Bài giảng Bất đẳng thức

Phần 5 BẤT ĐẲNG THỨC. GTLN VÀ GTNN 1) bất đẳng thức Cauchy. Với là những sôù dương , ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2) Bất đẳng thức Bunhiakôpxki hay Cauchy-Svaxơ Với mọi ,ta luôn có Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đặc biệt . Chúng ta nên nhận biết trước điểm rơi của các bất đẳng thức thị việc chứng minh có thể dễ hơn một ít. Ngoài ra có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức như khảo sát , phương pháp đồ thị , phương pháp tương đương , vectơ , tam thức ,điều kiện có nghiệm …… Cauchy ngược dấu Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (a;b;c) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là ) Ta có Cũng chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được Mà Vậy từ và ta được Đẳng thức xảy ra khi và hay Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải Ta có Chứng minh tương tự và cộng vế theo vế ta được Mà Từ đó suy ra Đẳng thức xảy ra khi và hay Chứng minh rằng số dương ,ta luôn có. Giải Ta có Cộng vế theo vế ta được đpcm Chứng minh rằng số dương ,ta luôn có. Giải Ta có Chứng minh tương tự ta có. Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác với chu vi 2p. Chứng chứng minh rằng : Giải : a) Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương ta có . Trong đó nhân vế theo vế ta được (đpcm) b) như chứng minh trên ta có . Cộng vế theo vế ta được đpcm Bài tập Cauchy ngược Cho và Chứng minh rằng Cho ø Chứng minh Cho và Chứng minh Cho Chứng minh Cho . Chứng minh : Đẳng thức xảy ra khi nào . Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng . Điểm rơi của Cauchy Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là ) áp dụng Cauchy cho 3 số dương. Cộng vế theo vế ta được . Cho và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải (Với bài này ta nhận xét do tính đối xứng của (x;y) mà điểm rơi của đẳng thức có thể là ) áp dụng Cauchy cho 4 số dương . cộng vế theo vế ta được . Vấn đề là tại sao ta biết cộng hai số và hai số 1 ta đi tìm tính tổng quát của bài toán . Cho ,và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải áp dụng Cauchy cho b số dương ta có . Tương tự ta có . Cộng vế theo vế ta được . Cho , và Tìm giá trị nhỏ nhất Giải Gọi số là số dương giả định và áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương . Cộng vế theo vế ta được. (*) Đẳng thức xảy ra khi . do đó từ (*) ta được Khi đó giá trị nhỏ nhất là . Bài tập điểm rơi của Cauchy Cho , và Tìm giá trị nhỏ nhất Cho , và Tìm giá trị nhỏ nhất Cho , và Tìm giá trị nhỏ nhất Cho , và Tìm giá trị nhỏ nhất Cauchy thuận- phép tương đương-Bunhiacôpxki hay Cauchy-Svaxơ Cho ba số bất kỳ . Chứng minh rằng Giải Cách1 Aùp dụng Cauchy cho hai số dương ta luôn có . Tương tự . Cộng vế theo vế ta ra điều phải chứng minh . Cách2 Dùng phép biến đổi tương đương ,ta chứng minh Bất đẳng thức luôn luôn đúng với mọi Cách3 dùng tam thức bậc hai Ta cần chứng minh Vậy hay Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện . chứng minh rằng Giải Từ giả thuyết ta có . ù áp dụng Cauchy cho hai số dương ta có . Tương tự ta có . Nhân vế theo vế ta được . Cho ba số . Chứng minh rằng . Giải Ta có . áp dụng Cauchy với ba số dương ta được. Cho ba số . Thỏa mãn . CMR: (*) Giải Từ giả thuyết ta có áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có . Do đó ta có . Cộng vế theo vế ta được . Cho ba số bất kỳ . Chứng minh rằng Giải Dùng phép biến đổi tương đương. Bất đẳng thức cuối cùng luôn luôn đúng nên bất đẳng thức cần chưng minh đúng . Cho ba số bất kỳ . Chứng minh rằng Giải Đặt từ đó bài toán được chứng minh là Với chứng minh . áp dụng Cauchy cho ba số dương ta có Nhân vế theo vế ta được . ()() (đpcm) Bài tập Cauchy và Cauchy-Svaxơ Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện chứng minh rằng Chứng minh rằng với mọi dương ta có Chứng minh rằng với mọi dương ta có Cauchy - Cauchy-Svaxơ kẹp khảo sát Giả sử là những số dương thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Giải áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương đặt Cho thay đổi tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của Giải áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxky ta có Ta lại có . Đặt trê đoạn Đạo hàm Bảng biến thiên. - + Từ bảng biến thiên ta có : Cho thay đổi thỏa mãn điều kiện hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa biểu thức : Giải Đặt ta khảo sát hàm số trên đoạn đạo hàm Ta có Bài tập Cho thay đổi là những số dương sao cho tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của tìm giá trị lớn nhất , và nhỏ nhất của hàm số Phương pháp vectơ Thông thường được sử dụng khi trong căn bậc hai có tổng của hai bình phương Cho là những số dương .Chứng minh rằng : Giải Trong mặt phẳng oxy gọi ba vectơ có tọa độ Theo bất đẳng thức vectơ ta có:hay Chứng minh rằng với mọi x và y ta đều có Giải Trong mặt phẳng oxy gọi hai vectơ có tọa độ Khi đó. Theo bất đẳng thức vectơ ta có: vậy. Cho ba số . Thỏa mãn . CMR: (*) Giải Từ giả thuyết ta có (*) Trong mặt phẳng oxy gọi ba vectơ có tọa độ Theo bất đẳng thức vectơ ta có: hay Bài tập vectơ Cho ba số . Thỏa mãn . CMR: (*) Cho ba số . Thỏa mãn . tìm giá trị nhỏ nhất của (*) Cho ba số là những số thực , chứng minh rằng : Cho ba số là những số tùy ý , chứng minh rằng Cho ba số , chứng minh rằng : Chứng minh bất đẳng thức Cauchy – Svaxơ . Với mọi ,ta luôn có , chứng minh rằng : Một số công thức thường gặp trong bất đẳng thức vectơ Đẳng thức Lagrange Định lí Lagrange Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì tồn tại một điểm sao cho : ý nghĩa hình học của định lí Lagrange Nếu hàm số liên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng thì tồn tại một điểm mà hệ số góc tại bằng với hệ số góc của cát tuyến AB như hình vẽ . y f(b) ------------------------------------B f(c) ------------------C f(a) --------- A a c b từ đó ta có bất đẳng thức sau bất đẳng thức cần chứng minh Tìm c trong công thức Lagrange. trên Giải hàm sốliên tục trên đoạn và có đạo hàm trên khoảng nên theo Lagrange ta có Chứng minh rằng nếu thì : Giải Xét hàm số . trên đoạn Đạo hàm . Theo Lagrange ta có Mà Từ và Chứng minh rằng nếu thì : Suy ra : Giải Xét hàm số . trên đoạn Đạo hàm . Theo Lagrange ta có Mà Từ và Suy ra : Cộng vế theo vế , ta được : Cho hàm số f(x) liên tuc trên có đạo hàm trong khoảng và chứng minh rằng : với Giải Ta có : Xét hàm số : thỏa mãn các điều kiện của định thức Lagange Đạo hàm : Theo Lagrange ta có Từ và Cho phương trình: . Biết rằng : . Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng Giải Xét hàm số Đạo hàm : áp dung Lagrange trên đoạn Vậy phương trình : có ít nhất 1 nghiệm trong Bài tập Lagrange Cho bất kỳ thỏa mãn . Chứng minh rằng phương trình có nghiệm thuộc khoảng Cho phương trình: . Biết rằng : . Chứng minh rằng phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng