Bài giảng Chương 3: thanh chịu kéo-Nén đúng tâm

Chương 3: Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm 1 Giới Thiệu 2 Khái Niệm 3 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang 4 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang 5 Biến Dạng 6 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu 8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ SốAn Toàn 9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm 10 Bài Toán Siêu Tĩnh Giới Thiệu1 zN yQ xM zM yM y x z xQ Khái Niệm2 z x y P q * Thanh chỉ chịu tác dụng của lực tập trung hay lực phân bố có phương trùng với trục thanh zN y x z P * Một thanh chịu kéo-nén đúng tâm khi trên mặt cắt ngang của thanh chỉ tồn tại duy nhất một thành phần nội lực: zN zN y x z P * Qui ước dấu của nội lực: lực dọc dương khi hướng ra mặt cắt (kéo) * Tồn tại duy nhất một thành phần nội lực: lực dọc zN Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang3 * Biểu đồ nội lực: P qaP q 3a a A B C 3P l l d 3qa 4qa 6qa 9qa Nz 4.1 Giả thiết về biến dạng của thanh: Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 L y x L ∆L q - Giả thiết mặt cắt ngang phẳng => Boû qua öùng suaát tieáp treân caùc maët. => Bieán daïng daøi nhö nhau treân caùc lôùp doïc: ez=const => Trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại ứng suất pháp dọc trục : z - Giả thiết về caùc thôù doïc NzF x y z szdF - Giả thiết về vaät lieäu: vật liệu liên tục, đồng nhất, đẳng hướng Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 4.2 Biểu thức tính ứng suất: zz E + Theo ñònh luaät Hooke: zz E  z z FdFdFN z F z F zz    szx y z F N z z  - F: diện tích mặt cắt ngang - Nz : lực dọc tại mặt cắt coùđñiểm tính ứng suất + Quan heä giöõa öùng suaát vaø noäi löïc: z const Vì treân toaøn maët caét z const Neân treân toaøn maët caét * Biểu thức tính ứng suất tại một điểm trên mặt cắt ngang của thanh chịu kéo- nén đúng tâm: Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 F N z z  - F: diện tích mặt cắt ngang - Nz : lực dọc tại mặt cắt coù điểm tính ứng suất * Ví dụ: tính ứng suất tại một mặt cắt: 4 2 2 )1( d qa z     - Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi B thuoäc ñoaïn BC:   4 2 4 2 )2( d qa z     - Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi B thuoäc ñoaïn AB:   4 2 7 2 )3( d qa z     - Ứng suất phaùt sinh treân maët caét taïi C: P qaP q 3a a A B C l l 2d d P Nz qa2 qa qa4 qa7 Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Ví dụ: tính ứng suất phát sinh trong các thanh của hệ dàn 2)( /714,10 7 752 cmkN F P F N ABAB ABAB z  - Ứng suất phaùt sinh trong thanh AB ; ; a ; 0 0cos30 cos 60 0AB ACX N N     030 060 PABN ACN A EF 2E F A B C a a P 030 060 0 0sin 30 sin 60 0AB ACY N N P     1 2AB N P  3 2AC N P    2cm KN12 KN150P  4 22.10 /E kN cm ma 2 27cmF  ( ) 2 3 3.150 2 2 9,279 / 2.7 AC AC z AC AC P N kN cm F F         - Ứng suất phaùt sinh trong thanh AC - Tách nút tại A: Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hiện tượng tập trung ứng suất Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hệ số tập trung ứng suất Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hệ số tập trung ứng suất Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hệ số tập trung ứng suất Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hệ số tập trung ứng suất Ứng Suất Trên Mặt Cắt Ngang4 * Hệ số tập trung ứng suất * Biến dạng dài dọc trục: Biến Dạng5 sz sz ez1ñv EF N E zz z   - Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa moät ñôn vò chieàu daøi: dzz- Bieán daïng daøi doïc truïc cuûavi phaân chieàu daøi dz:   L z L z dzEF NdzL - Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L: + Nz: lực dọc trên mặt cắt ngang + F: diện tích mặt cắt ngang + E: Môđun đàn hồi của vật liệu - Các trường hợp đặc biệt: EF LN L z Treân chieàu daøi L: constEF N z  Biến Dạng5  zN    P 3a a A B C P P P P3         i i z EF LN L Treân töøng ñoaïn chieàu daøi Li: constEF N z  3qa 4qa6qa 9qa  zN     3P P q 3a a A B C P qa  i ii Nz FE S L i constEF  Treân töøng ñoaïn chieàu daøi Li: * Ví dụ: Tính bieán daïng daøi doïc truïc cuûa coät AC:       2 2 22 2 1 5,22 4 2 3745,0 4 25,0 dE qa dE aqaqa dE aqaqa EF S L i i N AC z               P qaP q 3a a A B C l l 2d d P Nz qa2 qa qa4 qa7 Biến Dạng5          n i i N L z L z EF S dz EF NdzL z 1 * Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L: * Ví dụ: Tính biến dạng dài dọc trục của hai thanh AB,AC: ; ; a ; EF 2E F A B C a a P 030 060 1 2AB N P  3 2AC N P    2cm KN12 KN150P  4 22.10 /E kN cm ma 2 27cmF  Biến Dạng5          n i i N L z L z EF S dz EF NdzL z 1 * Bieán daïng daøi doïc truïc cuûa caû chieàu daøi L: 4 1 4. 2 2.150.2002 3 0,275 EF 3EF 3.2.10 .6,3 B AB AB aP N L PaL cm EF       * Biến dạng dài dọc trục của thanh AB: * Biến dạng dài dọc trục của thanh AC: 4 3 .2 3 3.150.2002 0, 206 E.2F .2 2EF 2.2.10 .6,3 C AC AC P aN L PaL cm E F           * Biến dạng ngang: Biến Dạng5 e’ 1ñv e s s E ' zz    5,00   m heä soá Poisson. Vaät lieäu m Vaät lieäu m Theùp 0,25 - 0,3 Ñaù 0,2 - 0,34 Gang 0,23 - 0,27 Beâ toâng 0,16 - 0,18 Ñoàng 0,31 - 0,34 Cao su 0,47 Nhoâm 0,32 - 0,36 Ñaát seùt 0,2 - 0,4 Thuyû tinh 0,25 * Biết ứng suất trên mặt cắt ngang, tìm ứng suất trên mặt cắt nghiêng: Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng6 Z u uv u v  1  u Z Z 1 1 1 0cos.FF0U zzuu   0sin.FF0V zzuuv   cos.FF uz Ta laïi coù: 2cos sin 2 2 u Z Z uv            z max 2 z min max    u uv 090 090045045 0 u uv 045 045 z z5,0 z5,0 z z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z z z 2 z 2 z 2 z 2 z2 z 2 z Ứng Suất Trên Mặt Cắt Nghiêng6 2cos sin 2 2 u Z Z uv            u uv 090 090045045 0 u uv 045 045 z z5,0 z5,0 z z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z 2 z z z 2 z 2 z 2 z 2 z2 z 2 z 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu * Kéo-nén vật liệu dẽo: L0 L0 h0 b0 d0 d0 h0 O l P A B C D E tlP bP 0 b b b PP F   0 ch ch ch PP F   0 tl tl tl PP F   chP O /z l L   0/z P F  A B C D E tl ch b 7 Đặc Trưng Cơ Học Của Vật Liệu * Kéo-nén vật liệu dòn: n bP k bP P P l lO O 0 n n n b b b PP F   0 k k k b b b PP F   D D * Ứng suất cho phép: 8 Ứng Suất Cho Phép-Hệ SốAn Toàn   0 n    + ứng suất nguy hiểm0 + hệ số an toànn * Vật liệu dòn: 0 b  * Vật liệu dẻo: 0 0( )ch tl        ; k n b b k nn n        ch n    * Điều kiện bền: * Điều kiện cứng: + Vật liệu dẻo:  max max z z N F    9 Tính Thanh Chịu Kéo-Nén Đúng Tâm + Vật liệu dòn:     max min k n          L L   3P P A B C Pll m3 m1 P3 P5 zN   Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. Cột có mặt cắt ngang hình tròn đường kính d. + Xác định đường kính cột theo điều kiện bền + Tính biến dạng dài dọc trục của cột   2 4 2150 , 9 / , 2.10 /P kN kN cm E kN cm   + Theo điều kiện bền  max max z z N F       2 5 20 20.150 10,3 .9 4 P Pd cm d            + Biến dạng dài dọc trục của cột 32 2 41 3 .1 5 .3 18.150.10 1,62 10,32.10 . 4 zN i i S P PL mm EF EF                 Ví dụ: Cho cột chịu lực như hình vẽ. + Xác định các diện tích mặt cắt ngangcột theo điều kiện bền + Tính biến dạng dài dọc trục của cột   2 4 215 / , 1 , 8 / , 2.10 /q kN m a m kN cm E kN cm    * Theo điều kiện bền  max max z z N F        2 1 1 4 4 4.15.1 7,5 8 qa qaF cm F         * Biến dạng dài dọc trục của cột    2 1 1 2 0,5 4 3 0,5 2 zN i i S qa qa a qa qa a L mm EF EF EF              P qaP q 3a a A B C 2P l l 1F 2F 2qa qa 4qa Nz qa + Xét đoạn AB     2 2 2 2 2 2.15.1 3,75 8 qa qaF cm F         + Xét đoạn BC Ví dụ: Thanh AB tuyệt đối cứng chịu liên kết gối cố định tại A và được giữ bởi thanh BC như hình vẽ. Thanh BC có diện tích mặt cắt ngang F, làm bằng vật liệu có E, + Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để thanh BC bền + Tính biến dạng dài dọc trục của thanh BC   2 4 212 / , 2 , 8 / , 2 .10 /q kN m a m kN cm E kN cm    2a a A B C 060 ,E F q 2 a A B 060 q AX AY N   * Xét cân bằng thanh AB: 00 .2 . sin 60 .2 0 2 / 3Am q a a N a N qa       * Theo điều kiện bền     22 / 3 2 2.12.2 3,464 3 3.8 qa qaF cm F        * Biến dạng dài dọc trục của BC 2 3 4 . 2 2 4.12.2 .10. 0,922 3.2.10 .3, 473 3 BCN L qa aL mm EF EF        Ví dụ: Cho hệ dàn như hình vẽ + Xác định các diện tích mặt cắt ngang F để các thanh bền + Tính biến dạng dài dọc trục của các thanh   2 4 225 , 2 , 8 / , 2 .10 /P kN a m kN cm E kN cm    * Theo điều kiện bền     2 max 25 1,56 2 2 2.8z P PF cm F          * Biến dạng dài dọc trục của AB 3 4 . 4 25.4.2.10. 1,84 2 3 2.2.10 .1,57 3 AB AB AB N L P aL mm EF EF       0 0cos30 cos 60 0AB ACX N N     030 060 PABN ACN A EF 2E F A B C a a P 030 060 0 0sin 30 sin 60 0AB ACY N N P     1 2AB N P  3 2AC N P  * Tách nút tại A: 10 Bài Toán Siêu Tĩnh P 400mm 200mm 200mm 3 2 2 300 2.10 / 7 L mm E kN cm F cm    A B C D E F 3 2 2 400 2,5.10 / 9 L mm E kN cm F cm    P qaP q 3a a A B C l l 2d d Hệ siêu tĩnh: là hệ có số ẩn số nhiều hơn số phương trình thiết lập được Cách giải hệ siêu tĩnh: ngoài các phương trình cân bằng tĩnh học, ta thiết lập thêm các phương trình tương thích biến dạng 0ACL  2AF CEL L   Ví dụ: Cho cột chịu lực và có liên kết như hình vẽ + Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong cột + Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền PP 3m 1,5m A B C l l 2d d PP 3m 1,5m A B C l l 2d d CN + Tính chuyển vị của mặt cắt tại B   242 /10.2;/8;75 cmkNEcmkNkNP    CN zN  CN  P zN P2  PP 3m 1,5m A B C l l 2d d PP 3m 1,5m A B C l l 2d d CN + Phương trình tương thích biến dạng:     0 PACNACAC LLL C  CN zN  CN  P zN P2      PN dE P dE N dE N C CC 3 20 4 2 3.2 4 2 3. 4 5,1. 222   3/2P zN 3/4P   PP 3m 1,5m A B C l l 2d d + Theo điều kiện bền:    4 3 2 2max d P F N z z 3/2P zN 3/4P     cm Pd 82,2 83 75.8 3 8   Chọn: cmd 3 + Chuyển vị của mặt cắt tại A:                m dE ABPL m dE ABPL BC AB 4 242 4 242 10.3,5 3.10.2 75.8 4 .3/2 10.3,5 6.10.2 75.16 4 2 .3/4   Ví dụ: Kết cấu gồm một thanh thép đường kính d1=6cm, được lồng trong một ống nhôm có đường kính trong d2=10cm, đường kính ngoài d3=16cm chịu nén dọc trục bởi lực P=150kN thông qua một tấm cứng như hình vẽ. + Kiểm tra bền cho kết cấu. + Tính chuyển vị của đĩa B     242 24 hom 2 hom /10.2;/10 /10.7,0;/5,1 cmkNEcmkN cmkNEcmkN thepthep nn     Nhoâm Theùp P 1d 2d 3d A B m5,0 Nhoâm Theùp P 1d 2d 3d A B m5,0 tNnN tNnN nN B + Gọi Nt, Nn lần lượt là ứng lực phát sinh trong trục thép và ống nhôm + Xét cân bằng tấm cứng B  1nt NNP  + Phương trình tương thích biến dạng: nt LL   25,05,0 nn n tt t FE N FE N  Từ (1) và (2) ta có: 151/91;151/60 PNPN nt  + Kiểm tra bền cho kết cấu. Đối với trục thép:   222 /10/1,2 4 6.151 150.60 cmkNcmkN thept    Đối với ống nhôm:     2hom2 22 /5,1/73,0 1016 4 151 150.91 cmkNcmkN nn       + Tính chuyển vị của đĩa B m FE NL tt t thep 3 2 4 10.96,7 4 6..10.2 5,0.150.605,0.   Ví dụ: Thanh AC tuyệt đối cứng liên kết, chịu lực và có kích thước như hình vẽ. Các thanh giằng BE và CD làm cùng vật liệu có môđun đàn hồi E và có diên tích mặt cắt ngang lần lượt là 2F và F. + Tính ứng lực trong hai thanh CD và BE. + Xác định diện tích mặt cắt ngang của hai thanh CD và BE để hai thanh cùng bền mkNq /15 kNP 30 A m1 m1 m2 m1 m1 B C DE FE 2, FE,   242 /10.2;/8 cmkNEcmkN  + Tính chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P. mkNq /15 kNP 30 A m1 m1 m2 B C 1N 2N AX AY + Xét cân bằng thanh AC  1602 04.3.2.152.1.300 21 21   NN NNmA A m2 B C DE m2 BEL CDL + Phương trình tương thích biến dạng  22 2 1.22.2 21 12 NN FE N EF NLL BECD   Từ (1) và (2) kNNkNN 30,15 12  + Điều kiện bền     2 2 max 875,1 8 15 /815 cmF cmkN FF N z    + Chuyển vị thẳng đứng của điểm đặt lực P: mLBEP 44 10.875,12.2.10.2 1.30 2 1 2 1  mkNq /15 kNP 30 A m1 m1 m2 B C 1N 2N AX AY Ví dụ: Cho cột bêtông –cốt thép chiều cao h=3m có mặt cắt ngang hình vuông cạnh b=0,6m. Cột được gia cường bằng bốn thanh thép, mỗi thanh có đường kính d=28mm và được nén bởi lực P như hình vẽ. Xem ứng xủa của vật liệu là đàn hồi. Tính lực P lớn nhất mà cột có thể chịu được nếu ứng suất cho phép khi nén trong thép và bêtông lần lượt là . Môđun đàn hồi của thép và bêtông lần lượt là . Khi tính bỏ qua trọng lượng của cột.     MPaMPa CS 8,70   GPaEGPaE CS 25,200  0,6m 0,6m 3m P AA AA O B P sP cP 3m O cPsP B + Xét cân bằng đĩa cứng B )1(cs PPP  + Phương trình tương thích biến dạng . .s c c s s s c c P h P hL L E F E F      (2) + Từ (1) và (2) ta có ;s s c cs c s s c c s s c c E F E FP P P P E F E F E F E F     + Ứng suất phát sinh trong thép và bêtông ;s s c cs c s s s c c c s s c c P E P P E P F E F E F F E F E F        + Tải giớ hạn mà thép và bêtông có thể chịu được    . ; .c ss c s c s c s c E EP F F P F F E E                  + Diện tích của thép và bêtông + Ta có tỉ số + Tải giớ hạn mà thép và bêtông có thể chịu được 2 2 2 2 2 2 4 .28 2463 4 600 2463 357537 s c s dF mm F b F mm              200 8 25 s c E E         1. 2463 357537 70 3,3 8 . 357537 8.2463 8 3,0 c s c s s s c s c c EP F F MN E EP F F MN E                               Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi có diện tích và mang tải trọng P=160kN như hình vẽ. Xác định ứng suất trên tất cả các mặt của phân tố quay một góc . 21600mmF  030 Hình 3.8 P P + Ứng suất trên mặt cắt ngang z P F   + Ứng suất phát sinh trên mặt cắt của phân tố quay 030 2 2 2 0 2 2 160cos cos .cos 30 0,075 / 1600 1 1 160sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 0,043 / 2 2 1600 u z uv z P kN mm F P kN mm F                     2968mmF  030 + Ứng suất trên mặt cắt ngang z P F   + Ứng suất phát sinh trên mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một góc 030 P 1 1 P Ví dụ: Cho thanh thẳng, mặt cắt ngang không đổi có diện tích gồm hai đoạn được dán với nhau bằng keo tại mặt cắt 1-1. mặt cắt 1-1 tạo với phương đứng một góc . Hệ mang tải trọng P=16kN như hình vẽ. Biết rằng keo dán có độ bền chịu kéo và độ bền chịu cắt . Kiểm tra bền cho mối nối này   213780 /kN m    26890 /kN m      2 2 2 0 2 2 3 2 3 2 16cos cos .cos 30 0,0123 / 0,0137 / 968 1 1 16sin 2 sin 2 0,5. .sin 60 7,157.10 / 6,89.10 / 2 2 968 u z uv z P kN mm kN mm F P kN mm kN mm F                            => Vậy mối nối không đảm bảo điều kiện cắt