Bài giảng Hai mặt phẳng vuông góc

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! + Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. + Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ). ⊂ → ⊥ ⊥ a P P Q a Q + Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ∆; a là đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ ∆ thì a ⊥ (Q). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; . ; ⊥ ∩ = ∆ → ⊥ ⊂ ⊥ ∆ P Q P Q a Q a P a + Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến ∆ của (P) và (Q) cũng phải vuông góc với (R). Viết dạng mệnh đề: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ⊥  ⊥ →∆ ⊥  ∩ = ∆ P R Q R R P Q Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD). a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC). b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI). Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng a) (SBC) ⊥ (ABC). b) (SOI) ⊥ (SAB). c) (SOI) ⊥ (SOJ). Ví dụ 3. Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC = AC = BC = BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD. b) Tính AB và IJ theo a và x. c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD). Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm của SC. a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC). b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC). 05. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên BC và DC sao cho 3; . 2 4 = = a aMB DN Chứng minh rằng (SAM) ⊥ (SMN). Ví dụ 6. Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với 2, . 3 aAB a BD= = Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh rằng a) ∆ASC vuông. b) (SAB) ⊥ (SAD). Hướng dẫn giải: a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Theo bài, ( ) ⊥⊥ ⇒ ⊥ SO AC SO ABCD SO BD . ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD. Xét tam giác vuông AOB: 2 2 2 2 6 2 6 3 3 3 = − = − = ⇒ = a a aOA AB OB a AC Xét tam giác vuông SOB: 2 2 2 2 6 1 3 3 2 = − = − = = a aSO SB OB a AC Tam giác ASC có trung tuyến SO bằng một nửa cạnh đối diện AC ⇒ ∆ASC vuông tại S. b) Để chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) ta không thể sử dụng cách truyền thống là chứng minh một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia được. Ở đây, tác giả đi chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng 900. Ta có (SAB) ∩ (SAD) = SA. Vấn đề bây giờ là tìm mặt phẳng nào để vuông góc với SA. Ta nhận thấy ( )⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ BD AC BD SAC BD SA BD SO , (1). Từ O, ta dựng OH ⊥ SA, (2). Khi đó, từ (1) và (2) ta có SA ⊥ (BHD). Lại có, ( )
( )
( ) ( ) ( ),( ) ,( ) ( ) ∩ = ⇒ = ∩ = BHD SAB HB SAB SAD HB HD BHD SAD HD . Chúng ta đi tính góc
BHD để xem
BHD là góc nhọn hay tù hay vuông!!! Xét tam giác vuông SOA có đường cao OH: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 36 6 3 3 = + = + = ⇒ =             aOH OH OA OS aa a Tam giác BHD có OH là trung tuyến và 1 23 = = aOH BD ⇒ ∆BHD vuông tại H. Vậy ( )
0( ),( ) 90 ( ) ( ).= ⇔ ⊥SAB SAD SAB SAD Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2015! BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng a) (SAC) ⊥ (SBD). b) (SAD) ⊥ (SCD). c) (SCD) ⊥ (ABM). Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC. a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC). b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì? c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC). d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy. a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD). b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD). c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH? Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥ (A’BD). Bài 5. Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC). a) (ABB′) ⊥ (ACC′). b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′) và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK). Bài 6. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Dựng đoạn 6 2 = aSD và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng: a) (SAB) ⊥ (SAC). b) (SBC) ⊥ (SAD). Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để: a) (ABC) ⊥ (BCD). b) (ABC) ⊥ (ACD). Đ/s: a) 2 2 2 0. 2 − + = b x y b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = 0.