Bài giảng Hình học và hoạ hình

ao cña c¸c c¹nh cña ®a diÖn lµ c¸c ®Ønh cña ®a diÖn. - C¸c lo¹i ®a diÖn: + MÆt th¸p (MÆt chãp) lµ ®a diÖn cã c¸c c¹nh bªn c¾t nhau. (H×nh a) MÆt chãp th­êng ®­îc kÝ hiÖu b»ng ®Ønh (VÝ dô: S.ABCD …) H×nh a 4.2.1. §a diÖn 1. §Þnh nghÜa: + MÆt l¨ng trô lµ ®a diÖn cã c¸c c¹nh bªn song song víi nhau. * L¨ng trô xiªn lµ l¨ng trô cã c¸c c¹nh lµ ®­êng th¼ng bÊt k×. (H×nh b) * L¨ng trô chiÕu lµ l¨ng trô cã c¸c c¹nh bªn lµ ®­êng th¼ng chiÕu. (H×nh c) L¨ng trô th­êng ®­îc kÝ hiÖu b»ng c¸c c¹nh. (VÝ dô: a b c ….) H×nh c H×nh b + §a diÖn bÊt k× (H×nh d) H×nh d - §a diÖn ®­îc biÓu diÔn b»ng c¸c h×nh chiÕu bëi h×nh chiÕu c¸c c¹nh, c¸c ®Ønh vµ c¸c mÆt bªn cña nã. - §Ó vÏ ®iÓm thuéc c¹nh cña ®a diÖn ta ¸p dông bµi to¸n vÏ ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng. - §Ó vÏ ®iÓm thuéc mÆt ®a diÖn ta g¾n ®iÓm vµo ®­êng th¼ng thuéc c¸c mÆt cña ®a diÖn.Cô thÓ nh­ sau: 2. BiÓu diÔn ®a diÖn. 3. §iÓm thuéc ®a diÖn. H×nh biÓu diÔn cÇn ®­îc xÐt thÊy, khuÊt.Trªn mçi h×nh chiÕu, ®­êng bao quanh h×nh chiÕu th× thÊy( vÏ b»ng nÐt liÒn ®Ëm). C¹nh cã h×nh chiÕu ë bªn trong ®­êng bao quanh h×nh chiÕu th× ph¶i xÐt thÊy, khuÊt. C¹nh khuÊt vÏ b»ng nÐt ®øt. VÝ dô: BiÓu diÔn th¸p S.ABC.Hai c¹nh SB vµ AC chÐo nhau, ta thÊy S1B1 thÊy vµ A1C1 khuÊt.Tõ sù thÊy, khuÊt cña c¸c c¹nh, ta suy ra sù thÊy, khuÊt cña c¸c mÆt ®a diÖn trªn h×nh chiÕu ®ã.T­¬ng tù d­íi h×nh chiÕu b»ng, S2A2 thÊy, cßn B2C2 khuÊt. MÆt chãp: +Ta g¾n ®iÓm vµo ®­êng sinh ®i qua ®iÓm ®ã vµ ®Ønh chãp. + HoÆc g¾n ®iÓm vµo ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm ®ã vµ song song víi c¹nh cña ®¸y chãp. S 1 A 1 B 1 D 1 C 1 B 2 A 2 D 2 C 2 S 2 N 1 (K) MÆt l¨ng trô: §Ó vÏ ®iÓm thuéc mÆt bªn cña l¨ng trô, ta g¾n ®iÓm vµo ®­êng sinh thuéc mÆt bªn vµ song song víi c¹nh bªn cña l¨ng trô. -Trªn h×nh chiÕu ®ang xÐt cña mét ®a diÖn,mét ®iÓm thuéc mét mÆt thÊy th× ®iÓm ®ã thÊy, mét ®iÓm thuéc mÆt khuÊt, th× ®iÓm ®ã khuÊt. A 1 B 1 C 1 M 1 (K) A 2 B 2 C 2 x 4.2.2. MÆt cong 1.C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n: - MÆt cong lµ quü tÝch cña mét ®­êng (®­êng th¼ng hoÆc ®­êng cong) chuyÓn ®éng theo mét quy luËt nµo ®ã. §­êng chuyÓn ®éng nµy gäi lµ ®­êng sinh. -TiÕp tuyÕn,mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cong. +mét ®­êng th¼ng ®­îc gäi lµ tiÕp tuyÕn cña mÆt cong t¹i ®iÓm M, nÕu nã lµ tiÕp tuyÕn t¹i M cña mét ®­êng cong vÏ trªn mÆt cong qua ®iÓm M. +trªn mÆt cong cã v« sè ®­êng cong ®i qua M, do ®ã cã v« sè tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cong. NÕu c¸c tiÕp tuyÕn nµy cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng, th× mÆt ph¼ng nµy gäi lµ mÆt ph¼ng tiÕp xóc cña mÆt cong t¹i M. §­êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng tiÕp xóc t¹i M ®­îc gäi lµ ph¸p tuyÕn cña mÆt cong t¹i M. +Hai mÆt cong gäi lµ tiÕp xóc víi nhau t¹i ®iÓm M, nÕu ®iÓm M thuéc c¶ hai mÆt vµ hai mÆt ph¼ng tiÕp xóc cña hai mÆt cong t¹i M trïng nhau. + BiÓu diÔn mét mÆt: lµ biÓu diÔn c¸c yÕu tè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh mÆt ®ã. -§­êng thÊy ngoµi, ®­êng bao quanh h×nh chiÕu cña mét mÆt. Gi¶ sö cã mét mÆt , h­íng chiÕu s vµ mÆt ph¼ng h×nh chiÕu P .Ta v¹ch c¸c tia chiÕu theo h­íng s, tiÕp xóc víi mÆt . C¸c tia chiÕu nµy t¹o thµnh mét mÆt trô tiÕp xóc víi mÆt  theo ®­êng m, th×: +§­êng cong m gäi lµ ®­êng thÊy ngoµi trªn mÆt  øng víi h­íng chiÕu s.§­êng thÊy ngoµi ®Þnh ra trªn mÆt  phÇn mÆt tr«ng thÊy vµ phÇn mÆt bÞ che khuÊt theo h­íng chiÕu s. +H×nh chiÕu m' cña m trªn mÆt ph¼ng h×nh chiÕu P gäi lµ ®­êng bao quanh h×nh chiÕu cña  trªn mÆt ph¼ng P. NÕu cã ®­êng k thuéc mÆt  vµ c¾t ®­êng thÊy ngoµi m ë ®iÓm M, th× nãi chung h×nh chiÕu k' cña k sÏ tiÕp xóc víi ®­êng bao quanh h×nh chiÕu cña mÆt  ë ®iÓm M' lµ h×nh chiÕu cña M. * §Þnh nghÜa: - MÆt nãn lµ mÆt ®­îc t¹o thµnh bëi mét ®­êng th¼ng chuyÓn ®éng lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh vµ tùa trªn mét ®­êng cong cho tr­íc. - §iÓm cè ®Þnh gäi lµ ®Ønh nãn. - §­êng cong cho tr­íc gäi lµ ®­êng chuÈn cña nãn. * C¸ch biÓu diÔn: Kh¶o s¸t mÆt nãn bao gåm mÆt xung quanh vµ mÆt ®¸y nãn. Trªn mçi h×nh chiÕu cÇn x¸c ®Þnh h×nh chiÕu cña ®Ønh nãn, ®¸y nãn, ®­êng sinh bao ngoµi vµ x¸c ®Þnh phÇn thÊy vµ khuÊt trªn tõng h×nh chiÕu ®ã 2. C¸c mÆt cong th­êng gÆp. a. MÆt nãn. Chó ý: +Trªn h×nh chiÕu ®øng, nöa tr­íc cña mÆt nãn giíi h¹n bëi ®­êng thÊy ngoµi sÏ thÊy, cßn nöa sau khuÊt. +Trªn h×nh chiÕu b»ng, nöa trªn cña mÆt nãn giíi h¹n bëi ®­êng thÊy ngoµi sÏ thÊy, cßn nöa d­íi sÏ khuÊt. MÆt sau MÆt tr­íc §­êng sinh VÜ tuyÕn S1 S2 S A B VÝ dô: cho mÆt nãn nh­ h×nh bªn. -Theo h­íng chiÕu ®øng,®­êng thÊy ngoµi cña mÆt nãn lµ hai ®­êng sinh SA vµ SB. Tõ ®ã vÏ ®­îc ®­êng bao quanh h×nh chiÕu ®øng cña mÆt nãn lµ S1A1B1S1. XÐt thÊy khuÊt, c¸c ®­êng sinh cã ch©n n»m trªn cung A2D2B2 lµ thÊy trªn h×nh chiÕu ®øng cña mÆt nãn. -Theo h­íng chiÕu b»ng, ®­êng thÊy ngoµi lµ hai ®­êng sinh SC vµ SD ,h×nh chiÕu b»ng cña chóng lµ S2C2 vµ S2D2 tiÕp xóc víi h×nh chiÕu b»ng ®­êng trßn ®¸y t¹i C2 vµ D2. Tõ ®ã vÏ ®­îc ®­êng bao quanh h×nh chiÕu b»ng lµ S2C2A2D2S2. Trªn h×nh chiÕu b»ng chØ c¸c ®­êng sinh cã ch©n n»m trªn cungC2A2D2 lµ thÊy. -Trªn c¸c h×nh chiÕu, c¸c ®iÓm n»m trªn c¸c ®­êng sinh thÊy trªn h×nh chiÕu ®ã sÏ thÊy. §iÓm thuéc mÆt nãn: §Ó x¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu cña ®iÓm thuéc mÆt nãn ta cã 2 c¸ch: G¾n ®iÓm vµo ®­êng sinh cña mÆt nãn. G¾n ®iÓm vµo ®­êng trßn song song víi ®¸y cña mÆt nãn. §Þnh nghÜa: MÆt trô lµ quü tÝch cña mét ®­êng th¼ng chuyÓn ®éng lu«n song song víi mét ®­êng th¼ng cho tr­íc vµ tùa trªn mét ®­êng cong cho tr­íc. - MÆt trô chiÕu: Lµ mÆt trô cã ®­êng sinh lµ ®­êng th¼ng chiÕu. - MÆt trô xiªn: Lµ mÆt trô cã ®­êng sinh lµ ®­êng th¼ng bÊt k×. b. MÆt trô. §iÓm thuéc mÆt trô: -§Ó x¸c ®Þnh c¸c h×nh chiÕu cña ®iÓm thuéc mÆt trô, ta g¾n ®iÓm vµo ®­êng sinh cña mÆt trô. * H×nh biÓu diÔn: §­êng bao quanh h×nh chiÕu ®øng vµ h×nh chiÕu b»ng cña mÆt cÇu lµ 2 vßng trßn b»ng nhau cã ®­êng kÝnh b»ng ®­êng kÝnh mÆt cÇu ®· cho. §ã lµ h×nh chiÕu t­¬ng øng cña hai vßng trßn lín thuéc mÆt ph¼ng mÆt vµ mÆt ph¼ng b»ng. c. MÆt cÇu * §Þnh nghÜa: MÆt cÇu cã thÓ coi lµ mÆt trßn xoay do nöa ®­êng trßn lín bÊt kú cña mÆt cÇu xoay quanh ®­êng kÝnh cña nã t¹o ra. * §iÓm thuéc mÆt cÇu: §Ó x¸c ®Þnh ®iÓm thuéc mÆt cÇu ta g¾n ®iÓm ®ã vµo ®­êng trßn n»m trªn mÆt ph¼ng b»ng hoÆc mÆt ph¼ng mÆt cña mÆt cÇu. Ch­¬ng 5: Giao cña mÆt ph¼ng víi c¸c mÆt §Þnh nghÜa: Giao cña mÆt ph¼ng víi c¸c mÆt lµ tËp hîp c¸c ®iÓm võa thuéc mÆt ph¼ng võa thuéc mÆt ®ã. 5.1. D¹ng cña giao - Giao cña mÆt ph¼ng víi ®a diÖn lµ mét ®a gi¸c, cã c¸c c¹nh lµ c¸c giao tuyÕn cña c¸c mÆt cña ®a diÖn víi mÆt ph¼ng, cã c¸c ®Ønh lµ c¸c giao ®iÓm cña c¸c c¹nh cña ®a diÖn víi mÆt ph¼ng. 5.1.1. Giao cña mÆt ph¼ng víi ®a diÖn 5.1.2. Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cong .Ta xÐt mét sè tr­êng hîp sau: a. Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt trô. NÕu lµ mÆt trô trßn xoay th× giao cã thÓ lµ: - NÕu mÆt ph¼ng c¾t vu«ng gãc víi trôc mÆt trô th× giao tuyÕn lµ mét ®­êng trßn. - NÕu mÆt ph¼ng c¾t hîp víi trôc cña trô mét gãc  90 th× giao tuyÕn lµ mét ElÝp. - NÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi ®­êng sinh cña mÆt trô th× giao tuyÕn lµ 2 ®­êng sinh. b. Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt nãn. NÕu mÆt nãn cã ®¸y (§­êng chuÈn) lµ ®­êng trßn th× giao tuyÕn cã thÓ lµ: - Lµ mét ®­êng trßn nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi ®¸y nãn. - Lµ mét elÝp nÕu mÆt ph¼ng c¾t c¾t tÊt c¶ mäi ®­êng sinh cña nãn. - Lµ mét Parabol, nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi chØ mét ®­êng sinh cña nãn. - Lµ mét Hypecbol nÕu mÆt ph¼ng c¾t song song víi 2 ®­êng sinh cña nãn. mÆt ph¼ng c¾t ®i qua ®Ønh nãn vµ tiÕp xóc víi mÆt nãn theo mét ®­êng sinh. - mÆt ph¼ng c¾t ®i qua ®Ønh nãn vµ c¾t nãn theo hai ®­êng sinh ph©n biÖt. MÆt ph¼ng  song song víi ®¸y nãn  c¾t tÊt c¶ ®­êng sinh  ®i qua S vµ c¾t nãn theo 2 ®­êng sinh  // 1 ®­êng sinh  // 2 ®­êng sinh c.Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cÇu. - MÆt ph¼ng c¾t mÆt cÇu theo giao tuyÕn lµ mét ®­êng trßn nÕu kho¶ng c¸ch tõ t©m cÇu tíi mÆt ph¼ng nhá h¬n b¸n kÝnh cÇu. - MÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i mét ®iÓm khi kho¶ng c¸ch tõ t©m cÇu tíi mÆt ph¼ng b»ng b¸n kÝnh cÇu. 5.2.vÏ Giao cña mÆt ph¼ng víi ®a diÖn - Mét h×nh chiÕu cña giao tuyÕn ®· biÕt n»m trªn h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu. - H×nh chiÕu cßn l¹i cña giao t×m ®­îc dùa vµo bµi to¸n vÏ ®iÓm hay ®­êng th¼ng thuéc ®a diÖn. A – Tr­êng hîp ®Æc biÖt Tr­êng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt. ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña c¸c yÕu tè h×nh häc ®Ó t×m h×nh chiÕu thø 2. §ã lµ c¸c tr­êng hîp: 1. MÆt ph¼ng chiÕu c¾t §a diÖn. * Nguyªn t¾c nèi giao: - Hai ®iÓm cïng thuéc mét mÆt bªn cña ®a diÖn th× nèi ®­îc víi nhau. - Khi xÐt thÊy khuÊt, c¹nh nµo thuéc mÆt thÊy trªn h×nh chiÕu t­¬ng øng cña ®a diÖn th× sÏ thÊy. VÝ dô : vÏ giao cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng  víi mÆt chãp S.ABCD. Gi¶i: V× ()  P1 ,nªn giao tuyÕn cã: - H×nh chiÕu ®øng ®· biÕt thuéc 1 Gäi c¸c ®Ønh cña giao lµ 1,2,3,4 th× 11213141  1 - T×m h×nh chiÕu b»ng cña c¸c ®Ønh lµ 12, 22, 32, 42 thuéc h×nh chiÕu b»ng c¸c c¹nh t­¬ng øng cña chãp - Nèi c¸c ®Ønh t×m ®­îc vµ xÐt thÊy khuÊt cña chóng, ta ®­îc h×nh chiÕu b»ng cña giao. 2. MÆt ph¼ng bÊt kú c¾t l¨ng trô chiÕu - Mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt n»m trªn h×nh chiÕu suy biÕn cña l¨ng trô chiÕu. - H×nh chiÕu cßn l¹i t×m b»ng c¸ch ¸p dông bµi to¸n vÏ ®iÓm hay ®­êng th¼ng thuéc mÆt ph¼ng. VÝ dô: X¸c ®Þnh giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (n , m ) vµ l¨ng trô chiÕu abc. Gi¶i: V× l¨ng trô( abc) P2, nªn giao tuyÕn cã: - H×nh chiÕu b»ng ®· biÕt . Gäi c¸c ®Ønh cña giao lµ 1,2,3, th× h×nh chiÕu b»ng lµ tam gi¸c cã c¸c ®Ønh: 12  a2 , 22  b2 , 32  c2 , - T×m h×nh chiÕu ®øng b»ng c¸ch g¾n chóng vµo c¸c ®­êng th¼ng cña mÆt ph¼ng , ta t×m ®­îc c¸c ®Ønh lµ 11, 21, 31- vµ nèi chóng b»ng c¸c ®o¹n th¼ng, råi xÐt thÊy khuÊt. Tr­êng hîp nµy ch­a cã h×nh chiÕu nµo cña giao tuyÕn ®· biÕt §Ó x¸c ®Þnh giao ta th­êng dïng ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî ®Ó t×m giao cña ®­êng th¼ng bÊt kú(c¹nh cña ®a diÖn) víi mÆt ph¼ng bÊt kú (mÆt ph¼ng c¾t), råi nèi c¸c ®Ønh thuéc cïng mét mÆt bªn cña ®a diÖn l¹i víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng vµ xÐt thÊy khuÊt cña chóng. B – Tr­êng hîp tæng qu¸t :MÆt ph¼ng bÊt k× c¾t th¸p vµ l¨ng trô xiªn VÝ dô: vÏ giao cña mÆt ph¼ng  vµ mÆt chãp S.ABC. NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng (n , m ) vµ chãp S.ABC lµ bÊt kú. - Ta dïng c¸c mÆt ph¼ng phô trî chiÕu ®øng, lÇn l­ît t×m giao cña c¸c c¹nh SA,SB,SC víi mf()- t­¬ng øng lµ c¸c ®iÓm 1,2,3. - Nèi c¸c ®Ønh víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng , ta ®­îc giao lµ tam gi¸c 123. Trªn h×nh chiÕu ®øng: c¸c c¹nh 1121,2131 thÊy, cßn c¹nh 1131 lµ khuÊt. H×nh chiÕu b»ng cã c¹nh 1222, 1232 lµ thÊy, cßn c¹nh 2232 lµ khuÊt. 5.3. Giao cña mÆt ph¼ng víi mÆt cong 1. Giao cña mÆt ph¼ng chiÕu vµ mÆt cong . - Giao cña mÆt ph¼ng chiÕu víi mÆt cong cã mét h×nh chiÕu suy biÕn trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt ph¼ng. - Tõ h×nh chiÕu ®· biÕt t×m h×nh chiÕu cßn l¹i theo bµi to¸n vÏ ®iÓm thuéc mÆt cong.: - Tr×nh tù: + X¸c ®Þnh d¹ng cña giao tuyÕn. + T×m h×nh chiÕu cña mét sè ®iÓm cÇn thiÕt thuéc giao tuyÕn nh­: C¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt (nÕu cã); ®iÓm cao nhÊt, thÊp nhÊt; ®iÓm xa nhÊt, gÇn nhÊt... C¸c ®iÓm x¸c ®Þnh d¹ng ®­êng cong trªn h×nh chiÕu. + Nèi c¸c ®iÓm ®· t×m ®­îc vµ xÐt thÊy khuÊt. NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng() c¾t tÊt c¶ c¸c ®­êng sinh cña nãn vµ kh«ng vu«ng gãc víi trôc nãn, vËy giao tuyÕn lµ ElÝp - H×nh chiÕu ®øng cña ElÝp suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng A1B1 n»m trªn 1 - X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña giao lµ mét elÝp: + Mét trôc cña elÝp lµ A2B2 . +Trôc thø 2 lµ C2D2- lµ ®­êng th¼ng chiÕu ®øng ®i qua trung ®iÓm cña A2B2. §Ó x¸c ®Þnh C2 vµ D2, ta dïng mf phô trî lµ mf b»ng ®i qua C1  D1. -Tõ hai trôc, vÏ ®­îc elÝp h×nh chiÕu b»ng. VÝ dô 2: VÏ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng chiÕu ®øng () vµ trô xiªn. VÝ dô 1: vÏ giao cña mf chiÕu ®øng ( ) vµ mÆt nãn trßn xoay ®Ønh S. NhËn xÐt: - MÆt ph¼ng() c¾t trô theo giao tuyÕn lµ ElÝp. - H×nh chiÕu ®øng cña giao lµ ®o¹n th¼ng: 1141,n»m trªn 1. - X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña giao: + X¸c ®Þnh h×nh chiÕu b»ng cña c¸c ®iÓm 1, 2, 3, 4, 5, 6 + Víi 22, 52 lµ c¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt trªn h×nh chiÕu b»ng. +Nèi c¸c ®iÓm t×m ®­îc, ta ®­îc elip h×nh chiÕu b»ng. VÝ dô 3: VÏ giao cña mÆt ph¼ng () vµ mÆt cÇu t©m O Gi¶i: 2. Giao cña mÆt ph¼ng bÊt kú vµ mÆt trô chiÕu. - Giao tuyÕn cã mét h×nh chiÕu ®· biÕt trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña trô chiÕu. - Tõ h×nh chiÕu ®· biÕt t×m ®­îc h×nh chiÕu cßn l¹i.(T­¬ng tù tr­êng hîp trªn). -Giao lµ ®­êng trßn. -H/c b»ng suy biÕn thµnh ®o¹n th¼ng n»m trªn 2. -H/c ®øng lµ elÝp cã c¸c ®iÓm ®Æc biÖt + 21 vµ 61- lµ hai ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt +1141 vµ 3151- lµ hai trôc cña elÝp. VÝ dô: VÏ giao tuyÕn cña mÆt ph¼ng (n , m ) vµ trô chiÕu b»ng. Bµi gi¶i: Chó ý: NÕu mÆt ph¼ng c¾t trô chiÕu theo giao tuyÕn lµ ElÝp th× trôc ng¾n vµ trôc dµi cña ElÝp h×nh chiÕu còng nh­ ElÝp giao tuyÕn n»m trªn c¸c ®­êng nh­ sau: - §­êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi P2 vµ ®­êng b»ng, nÕu trô lµ chiÕu b»ng. - §­êng dèc nhÊt cña mÆt ph¼ng ®èi víi P1 vµ ®­êng mÆt, nÕu trô lµ chiÕu ®øng. Ch­¬ng 6: giao ®iÓm cña §­êng th¼ng víi c¸c mÆt 6.1. Giao cña ®­êng th¼ng víi ®a diÖn - Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña ®­êng th¼ng. - H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc ®a diÖn ®Ó t×m. §Þnh nghÜa: Giao cña ®­êng th¼ng víi ®a diÖn lµ tËp hîp c¸c ®iÓm chung cña ®­êng th¼ng vµ mÆt ®a diÖn. A – Tr­êng hîp ®Æc biÖt Tr­êng hîp mµ mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt, ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña c¸c yÕu tè h×nh häc t×m h×nh chiÕu cßn l¹i. 1. §­êng th¼ng chiÕu c¾t ®a diÖn. Ta thÊy: - V× ®­êng th¼ng m  P2,nÕu gäi giao cña m víi chãp lµ I vµJ, th×: I2  J2  m2 -G¾n I,J vµo c¸c ®­êng sinh cña c¸c mÆt cña chãp, ta sÏ t×m ®­îc c¸c h×nh chiÕu ®øng cña chóng. -Khi xÐt thÊy khuÊt cña ®­êng th¼ng cÇn chó ý: §o¹n th¼ng nèi hai giao ®iÓm lu«n khuÊt ;phÇn h×nh chiÕu cña ®­êng th¼ng n»m ngoµi ®­êng bao quanh h×nh chiÕu cña ®a diÖn th× lu«n thÊy; phÇn cßn l¹i cña ®­êng th¼ng trªn mçi h×nh chiÕu ®Òu cã mét ®Çu mót lµ lµ mét giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng víi ®a diÖn. NÕu giao ®iÓm ®ã thuéc mÆt thÊy cña h×nh chiÕu ®a diÖn th× ®o¹n th¼ng ®ã thÊy trªn h×nh chiÕu ®ã, ng­îc l¹i th× ®o¹n ®ã khuÊt. VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng chiÕu b»ng m víi mÆt chãp S.ABC. - Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt lµ giao ®iÓm gi÷a h×nh chiÕu suy biÕn cña l¨ng trô chiÕu víi h×nh chiÕu t­¬ng øng cña ®­êng th¼ng. H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc ®­êng th¼ng ®Ó t×m. VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng m vµ l¨ng trô chiÕu b»ng. 2. §­êng th¼ng bÊt kú c¾t l¨ng trô chiÕu. Tr­êng hîp nµy ch­a cã h×nh chiÕu nµo cña giao ®iÓm ®· biÕt ta ph¶i dïng ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî. * Néi dung: B­íc 1: Qua ®­êng th¼ng ®· cho dùng mÆt ph¼ng phô trî () B­íc 2: T×m giao tuyÕn phô cña mÆt ph¼ng phô trî () víi c¸c mÆt cña §a diÖn. B­íc 3 T×m giao cña ®­êng th¼ng ®· cho vµ giao phô, ®­îc giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng vµ §a diÖn. B – Tr­êng hîp bÊt kú - §­êng th¼ng bÊt kú c¾t ®a diÖn bÊt kú. * Chó ý: + MÆt ph¼ng phô trî () ph¶i chän sao cho dÔ t×m giao phô nhÊt. + Th­êng chän mÆt ph¼ng phô trî() lµ c¸c mÆt ph¼ng chiÕu chøa ®­êng th¼ng, mÆt ph¼ng ®i qua ®­êng th¼ng vµ ®Ønh th¸p; mÆt ph¼ng ®i qua ®­êng th¼ng vµ song song víi c¹nh l¨ng trô... + Sau khi x¸c ®Þnh ®­îc giao ®iÓm th× ph¶i xÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu cña ®­êng th¼ng. C¸ch gi¶i: B1: Qua m dùng mÆt ph¼ng ()  P1 B2: T×m giao phô 123 = () x S.ABC B3: T×m I, J lµ giao cña m víi giao phô 123 B4: XÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu cña m. VÝ dô: X¸c ®Þnh giao cña ®­êng th¼ng m víi mÆt chãp S.ABC. 6.2. Giao §iÓm cña ®­êng th¼ng víi mÆt cong - Mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt trïng víi h×nh chiÕu suy biÕn cña ®­êng th¼ng. - H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm thuéc mÆt cong ®Ó t×m. §Þnh nghÜa: Giao cña ®­êng th¼ng víi mÆt cong lµ tËp hîp c¸c ®iÓm chung cña ®­êng th¼ng vµ mÆt cong. A – Tr­êng hîp ®Æc biÖt. Tr­êng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao ®iÓm ®· biÕt, ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña c¸c yÕu tè h×nh häc ®Ó t×m h×nh chiÕu cßn l¹i.Gåm c¸c tr­êng hîp sau: 1. §­êng th¼ng chiÕu c¾t mÆt cong. 2. §­êng th¼ng bÊt kú c¾t mÆt trô chiÕu. - Mét h×nh chiÕu cña giao ®· biÕt lµ giao gi÷a h×nh chiÕu suy biÕn cña mÆt trô chiÕu víi h×nh chiÕu t­¬ng øng cña ®­êng th¼ng. - H×nh chiÕu cßn l¹i ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña ®iÓm vµ ®­êng th¼ng ®Ó t×m. VÝ dô: T×m giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng chiÕu b»ng m víi mÆt trô. VÝ dô: T×m giao cña ®­êng th¼ng m vµ mÆt trô chiÕu b»ng. Tr­êng hîp nµy ch­a cã h×nh chiÕu nµo cña giao ®· biÕt, v× vËy ph¶i dïng ph­¬ng ph¸p mÆt ph¼ng phô trî- t­¬ng tù c¸ch x¸c ®Þnh giao ®iÓm cña ®­êng th¼ng víi ®a diÖn. B – Tr­êng hîp tæng qu¸t - §­êng th¼ng bÊt kú c¾t mÆt cong. Chó ý: - MÆt ph¼ng phô trî () ph¶i chän sao cho giao tuyÕn phô cña mÆt ph¼ng phô trî víi mÆt cong cã h×nh chiÕu lµ ®­êng th¼ng hoÆc ®­êng trßn. - NÕu mÆt cong lµ mÆt nãn, th× mÆt ph¼ng phô trî() chøa ®Ønh nãn vµ ®­êng th¼ng. - NÕu mÆt cong lµ mÆt trô, th× mÆt ph¼ng phô trî() chøa ®­êng th¼ng vµ song song víi ®­êng sinh trô. - NÕu mÆt cong lµ mÆt cÇu, th×: + NÕu ®­êng th¼ng ®· cho lµ ®­êng b»ng hay ®­êng mÆt, th× mÆt ph¼ng phô trî () lµ mÆt ph¼ng b»ng hay mÆt ph¼ng mÆt. + NÕu ®­êng th¼ng lµ bÊt kú, th× dïng ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi h×nh chiÕu. VÝ dô: T×m giao cña ®­êng th¼ng m vµ mÆt nãn. Ch­¬ng 7: giao cña hai mÆt §Þnh nghÜa: Giao cña hai mÆt  vµ  lµ tËp hîp c¸c ®iÓm cïng thuéc mÆt  vµ mÆt  . 7.1. giao cña hai ®a diÖn - Giao cña hai ®a diÖn lµ mét hay nhiÒu ®­êng gÉy khóc khÐp kÝn gåm c¸c ®o¹n th¼ng nèi tiÕp nhau. - Mçi ®Ønh cña giao lµ giao ®iÓm cña mét c¹nh nµo ®ã cña ®a diÖn nµy víi mét mÆt cña ®a diÖn kia. - Mçi c¹nh cña giao lµ giao tuyÕn cña hai mÆt t­¬ng øng cña hai ®a diÖn. 7.1.1. D¹ng cña giao. NhËn xÐt: -Tr­êng hîp ®Çu, ta thÊy mçi ®a diÖn ®Òu cã Ýt nhÊt mét c¹nh kh«ng giao víi ®a diÖn kia- Gäi lµ c¾t nhau kh«ng hoµn toµn, giao cña chóng th­êng lµ mét ®­êng g·y khóc khÐp kÝn. -Tr­êng hîp sau, tÊt c¶ c¸c c¹nh( d,e,f) cña l¨ng trô xiªn ®Òu c¾t ®a diÖn kia-Gäi lµ c¾t nhau hoµn toµn, giao th­êng lµ hai ®­êng g·y khóc khÐp kÝn. * Nguyªn t¾c nèi giao: - ChØ hai ®Ønh cïng thuéc mét mÆt cña ®a diÖn nµy ®ång thêi thuéc cïng mét mÆt cña ®a diÖn kia th× nèi ®­îc víi nhau thµnh c¹nh cña giao. * Nguyªn t¾c xÐt thÊy khuÊt: Trªn mçi h×nh chiÕu, c¹nh nµo cña giao thuéc hai mÆt cïng thÊy cña hai ®a diÖn trªn h×nh chiÕu ®ã th× thÊy,cßn l¹i lµ khuÊt. 7.1.2. ph­¬ng ph¸p t×m giao. - §Ó t×m giao cña hai ®a diÖn ta cã thÓ: + X¸c ®Þnh c¹nh cña giao b»ng c¸ch t×m giao cña tõng mÆt cña §a diÖn nµy víi §a diÖn kia. C¸ch nµy th­êng khã, nªn Ýt dïng. + X¸c ®Þnh c¸c ®Ønh cña giao b»ng c¸ch t×m giao cña c¸c c¹nh cña §a diÖn nµy víi §a diÖn kia, råi nèi chóng víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng. - Tr­êng hîp ®Æc bÞªt: (Mét §a diÖn lµ l¨ng trô chiÕu, mét §a diÖn lµ bÊt kú) Tr­êng hîp nµy mét h×nh chiÕu cña giao dÔ dµng t×m ®­îc, h×nh chiÕu cßn l¹i t×m ®­îc b»ng c¸ch ¸p dông tÝnh liªn thuéc cña c¸c yÕu tè h×nh häc. - Tr­êng hîp bÊt kú: (Hai ®a diÖn lµ bÊt kú) §Ó t×m c¸c ®Ønh vµ c¸c c¹nh cña giao ph¶i dïng ph­¬ng ph¸p phô trî. VÝ dô 1: VÏ giao cña hai ®a diÖn abc vµ def. NhËn xÐt: - Hai ®a diÖn c¾t nhau theo giao tuyÕn lµ 1 ®­êng gÉy khóc. -L¨ng trô a,b,c  P2 , vËy h×nh chiÕu b»ng cña giao suy biÕn ,n»m trªn hc suy biÕn cña l¨ng trô nµy. +T×m giao cña c¸c c¹nh cña l¨ng trô( abc) víi l¨ng trô xiªn: C¸c c¹nh a,c kh«ng c¾t C¹nh b x (de) = 2 cã (22  b2) C¹nh b x (df) = 5 cã (52  b2) +T×m giao cña c¸c c¹nh l¨ng trô def víi l¨ng trô ®øng: C¹nh d- kh«ng c¾t C¹nh e x (ab) = 1, e x (bc) = 3 C¹nh f x (ab) = 6, f x (bc) = 4 a 1 b 1 c 1 a 2 e 1 d 1 f 1 b 2 f 2 e 2 d 2   +Nèi c¸c ®Ønh víi nhau b»ng c¸c ®o¹n th¼ng: 12 = ab x de 23 = bc x de 34 = bc x ef 45 = bc x df 56 = ab x df 61 = ab x ef -Chó ý khi nèi ph¶i x¸c ®Þnh thÊy khuÊt cña c¸c c¹nh giao tuyÕn trªn c¸c h×nh chiÕu. + Cuèi cïng ph¶i xÐt thÊy khuÊt c¸c c¹nh cña hai ®a diÖn trªn tõng h×nh chiÕu do sù che khuÊt lÉn nhau cña chóng. Cã thÓ dïng h×nh khai triÓn c¸c mÆt cña hai ®a diÖn ®Ó nèi c¸c ®Ønh cña giao: -Hai ®Ønh trªn mét « nèi víi nhau. -C¹nh thuéc c¶ hai mÆt thÊy th× thÊy. S 1 A 1 D 1 C 1 B 1 a 1 c 1 b 1 x S 2 b 2 a 2 c 2 B 2 C 2 A 2 D 2 1 1 2 1 1 2 2 2 3 1 4 1 3 2 4 2 5 1 6 1 5 2 6 2 7 1 8 1 7 2 8 2 º 9 1 º 10 1 9 2 10 2 VÝ dô 2: VÏ giao cña chãp S.ABCD víi l¨ng trô chiÕu ®øng abc. -NhËn xÐt: TÊt c¶ c¸c c¹nh bªn cña chãp ®Òu c¾t l¨ng trô, vËy giao lµ 2 ®­êng khÐp kÝn. -Sau khi x¸c ®Þnh c¸c ®Ønh cña giao, ta cã thÓ dïng h×nh khai triÓn mÆt xung quanh cña hai ®a diÖn ®Ó nèi c¸c ®Ønh cña giao víi nhau vµ xÐt thÊy khuÊt cña giao tuyÕn ®ã nh­ h×nh d­íi ®©y: - Giao cña ®a diÖn víi mÆt cong lµ mét hay nhiÒu ®­êng khÐp kÝn gåm c¸c ®o¹n ®­êng cong nèi tiÕp nhau. - Cã c¸c ®iÓm gÉy khóc lµ giao ®iÓm cña c¸c c¹nh ®a diÖn víi mÆt cong. - Cßn c¸c ®o¹n ®­êng cong cña giao lµ giao cña c¸c mÆt cña ®a diÖn víi mÆt cong. 7.2 Giao cña ®a diÖn víi mÆt cong. 7.2.1 D¹ng cña giao 7.2.2 C¸ch t×m giao - §Ó t×m giao cña §a diÖn víi mÆt cong ta lÇn l­ît t×m giao cña tõng mÆt cña §a diÖn víi mÆt cong. - Nguyªn t¾c xÐt thÊy khuÊt: Trªn mçi h×nh chiÕu, phÇn ®­êng cong nµo cña giao thuéc c¶ 2 mÆt cïng thÊy cña ®a diÖn vµ mÆt cong trªn h×nh chiÕu ®ã th× thÊy, cßn l¹i lµ khuÊt. b 1 c 1 O 1 O 2 VÝ dô 1: VÏ giao cña l¨ng trô chiÕu ®øng ( abc)víi mÆt cÇu. Gi¶i: -Cã hai mÆt ab vµ bc cña l¨ng trô c¾t mÆt cÇu, h×nh chiÕu ®øng cña giao suy biÕn thµnh c¸c ®o¹n th¼ng b111 vµ b141. -H×nh chiÕu b»ng lµ cung trßn 221232 vµ cung elÝp 224232. VÝ dô 2: VÏ giao cña l¨ng trô ( abc) vµ nãn ®øng. Bµi gi¶i: NhËn xÐt: MÆt bªn (ac) x nãn = §­êng trßn. MÆt bªn (ab) x nãn = Parabol. MÆt bªn (bc) x nãn = ElÝp. Mp ®¸y trªn (abc) x nãn = Hypebol C¹nh a x nãn = hai ®iÓm 1, 2. C¹nh d­íi cña ®¸y trªn x nãn = hai ®iÓm 4, 5. C¹nh b x nãn = hai ®iÓm 7, 8. 7.3.1. D¹ng cña giao. - Giao cña hai mÆt cong nãi chung lµ mét hay nhiÒu ®­êng cong ghÒnh. Trong mét sè tr­êng hîp giao cã thÓ lµ c¸c ®­êng cong ph¼ng. 7.3. Giao cña hai mÆt cong. * Nguyªn t¾c chung: §Ó vÏ giao cña 2 mÆt cong  vµ  ta lµm nh­ sau: - Dùng mÆt phô trî () c¾t c¶ hai mÆt  vµ  - T×m c¸c giao phô c = () x , g = () x  - T×m giao ®iÓm cña c vµ g lµ nh÷ng ®iÓm thuéc giao cña 2 mÆt ®· cho. * Chó ý: - Khi chän mÆt phô trî () ph¶i chän sao cho viÖc t×m giao phô ®­îc dÔ dµng, th­êng chän () lµ mÆt ph¼ng. - Tr­êng hîp ®Æc biÖt : Khi ®· biÕt 1 h×nh chiÕu cña giao, ®Ó vÏ h×nh chiÕu cßn l¹i ta tiÕn hµnh nh­ sau: + X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt vµ c¸c ®iÓm giíi h¹n thÊy khuÊt cña giao + C¨n cø vµo d¹ng cña giao ®Ó nèi c¸c ®iÓm võa t×m ®­îc víi nhau. + Nãi chung sè ®iÓm t×m ®­îc cµng nhiÒu th× giao vÏ cµng chÝnh x¸c. + XÐt thÊy khuÊt c¸c h×nh chiÕu cña giao vµ cña hai mÆt . 7.3.2 C¸ch t×m giao VÝ dô: VÏ giao cña mÆt trô vµ mÆt nãn. 7.3.3 Tr­êng hîp hai mÆt bËc hai c¾t nhau theo hai ®­êng bËc hai 1- NÕu hai mÆt bËc hai ®· c¾t nhau theo mét ®­êng bËc hai , th× chóng cßn c¾t nhau theo mét ®­êng bËc hai n÷a. 2-NÕu hai mÆt bËc hai cïng néi hay ngo¹i tiÕp víi mét mÆt bËc hai thø ba, th× chóng c¾t nhau theo hai ®­êng cong ph¼ng. C¸c ®­êng cong nµy ®i qua giao ®iÓm cña c¸c ®­êng tiÕp xóc. 7.2.5 hai mÆt bËc hai cã mÆt ph¼ng ®èi xøng chung §Þnh lý: NÕu hai mÆt bËc hai cã mÆt ph¼ng ®èi xøng chung th× giao cña chóng chiÕu lªn mÆt ph¼ng ®èi xøng chung ®ã nãi chung lµ ®­êng cong bËc hai.