Bài giảng Toán rời rạc - Chương 2: Quan hệ hai ngôi

ChươngChương 22 QUAN HỆ HAI NGÔI 2.1 Định nghĩa 2.2 Quan hệ tương đương 2.3 Quan hệ thứ tự 2.1 ĐỊNH NGHĨA a) Tích đề-các:  Tích đề-các của hai tập A&B là tập: A B  {(a,b) / a  A,b B}  Tích đề-các của các tập A1, A2, , An là tập: A1  A2 ... An  {(a1,a2 ,...an ) / ai  Ai} Ví dụ: Cho 2 tập: A = {1; 2; 3}, B = {a, b} AB = {(1; a), (1; b), (2; a), (2; b), (3; a), (3; b)} BA = {(a; 1), (a; 2), (b; 1), (b; 2), (c; 1), (c; 2)} AA = A2 = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)} b) Định nghĩa:  Quan hệ hai ngôi R giữa tập A và tập B là tập con của tích đề-các AB. + Nếu A = B ta nói R là quan hệ (hai ngôi) trên A. + Nếu (a, b)  R ta viết aRb, (a,b)R, a R b  Quan hệ R trên tập A gọi là phản xạ nếu:  a  A, aRa  Quan hệ R trên tập A gọi là đối xứng nếu:  a, b  A, aRb  bRa  Quan hệ R trên tập A gọi là phản đối xứng nếu:  a, b  A, aRb & bRa  a = b  Quan hệ R trên tập A gọi là bắc cầu nếu:  a, b, c  A, aRb & bRc  aRc Ví dụ Xét quan hệ hai ngôi R trên N như sau: “ a, b  N, aRb  (a + b) là số chẵn” Hãy kiểm tra các tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu, phản đối xứng của quan hệ R Ví dụ 1. Quan hệ “chia hết”: Trên tập N* định nghĩa quan hệ sau: m, n  N*, mRn  n chia hết cho m 2. Quan hệ đồng dư “mod n”: Trên tập số nguyên z, định nghĩa quan hệ như sau: a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n c) Ma trận biểu diễn quan hệ: Cho 2 tập A = {a1, a2, , an}, B = {b1, b2, , bn} Ma trận biểu diễn quan hệ giữa A&B, kí hiệu: MR = (mij)mxn Sắp xếp các phần tử của A&B theo một trật tự nào đó lần lượt trên một hàng ngang & hàng dọc, khi đó: 1 khi a iRb j mij   0 khi a i Rb j Ví dụ Cho A = {1; 3; 7; 9}, B = {1; 21; 28} Xét quan hệ hai ngôi R giữa A&B sau: aRb  “a là ước của b” Một ma trận biểu diễn quan hệ trên: 1 3 7 9 1 1 0 0 0 M  211 1 1 0 R   281 0 1 0 2.2 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG Quan hệ R gọi quan hệ tương đương nếu nó có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. Ví dụ Chứng minh quan hệ đồng dư “mod n” là quan hệ tương đương a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho n HD  Tính phản xạ: a  Z, (a  a)  0  n  aRa  R có tính phản xạ  Tính đối xứng: a,b  Z, aRb  (a  b)  n  (b  a)n  (b  a)n  bRa  R có tính đối xứng  Bắc cầu: aRb (a  b) n a,b,c Z,    bRc (b - c)  n  (a  b  b  c)n  (a  c)n  aRc  R có tính bắc cầu Vậy R là một quan hệ tương đương Lớp tương đương và phân hoạch  Cho tập A. Một phân hoạch của A: S = {A1, A2, , An, /Ai  A} Thỏa các điều kiện sau: i. Ai  Aj  , i  j ii. A1  A2 ... An ...  A  Cho R là một quan hệ tương đương trên tập A và xA. Lớp tương đương chứa x là tập hợp các phần tử của A có quan hệ với x, kí hiệu: [x] (hay x)  {a  A/aRx} Và S  {x / x A} là một phân hoạch của A.  Ghi chú: Tập hợp các lớp tương đương S của A gọi là tập thương của A. Ví dụ Cho f(x) = x2 + 2x. Trên tập số thực R, xét quan hệ tương đương R sau: a, bR, aRb  f(a) = f(b) Xác định các lớp tương đương [0], [1],[2]? HD [0] = {x/ xR0} = {x/ f(x) = f(0)} = {x/ x2 + 2x = 0} = {0; -2} [1] = {1; -3}, [2] = {2; -4} Ví dụ Tìm các lớp tương đương của quan hệ đồng dư “mod 5”: a, b  z, aRb  (a – b) chia hết cho 5 HD Các lớp tương đương: [0]  {x Z / x  5k,k  Z} [1]  {x  Z / x  5k 1,k  Z} .................. [4]  {x  Z / x  5k  4,k  Z} Và S = {[0], [1], [2], [3], [4]} là một phân hoạch trên z 2.3 QUAN HỆ THỨ TỰ Quan hệ R gọi quan hệ thứ tự nếu nó có tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ví dụ Chứng tỏ các quan hệ sau là quan hệ thứ tự: 1. Trên tập số thực R, xét quan hệ “” thông thường: a, b  R, aRb  a  b 2. Trên tập N*, xét quan hệ chia hết sau: a, b N*, aRb  “b chia hết cho a” HD 1. Ta kiểm tra các tính chất sau:  Tính đối xứng: a N*, a  a  aRa  R có tính phản xạ  Tính phản đối xứng: a, b N*, aRb & bRa  a  b & b  a  a = b  R có tính phản đối xứng  Tính bắc cầu: a, b, c N*, aRb & bRc  a  b & b  c  a  c  R có tính bắc cầu Vậy R là một quan hệ thứ tự