Bài toán về sự tiến triển phổ sóng gió

21 22 t¸c ba sãng vμ tiªu t¸n n¨ng l−îng sãng liªn quan tíi sù ®æ nhμo sãng ë n−íc n«ng. Cuèn chuyªn kh¶o nμy lμ sù tiÕp tôc l«gic nh÷ng c«ng tr×nh ®· nªu trªn ®©y. ë ®©y cè g¾ng gi¶i ®¸p mét lo¹t nh÷ng c©u hái ®Æt ra tr−íc ®©y vÒ quan ®iÓm tæng hîp trong viÖc m« t¶ sãng giã trªn §¹i d−¬ng ThÕ giíi trong ®iÒu kiÖn bÊt ®ång nhÊt kh«ng gian cña nã, ë ®©y ngô ý vÒ c¸c dßng ch¶y quy m« lín, bÊt ®ång nhÊt ®é s©u ®¹i d−¬ng, ¶nh h−ëng cña tÝnh mÆt cÇu cña mÆt Tr¸i §Êt... T¸c gi¶ muèn nhÊn m¹nh r»ng trong chuyªn kh¶o nμy sãng giã ®−îc xÐt trong khu«n khæ mét c¸ch ph¸t biÓu bμi to¸n tæng qu¸t duy nhÊt nh− lμ mét qu¸ tr×nh thñy ®éng x¸c xuÊt víi tÝnh biÕn thiªn kh«ng gian tõ nh÷ng quy m« toμn cÇu, nh− c¸c ®¹i d−¬ng víi kÝch th−íc s¸nh víi b¸n kÝnh Tr¸i §Êt, ®Õn nh÷ng quy m« khu vùc  tiªu biÓu lμ c¸c biÓn vμ quy m« ®Þa ph−¬ng  tiªu biÓu lμ c¸c thñy vùc hÑp h¬n, nh−ng cã gradient vËn tèc dßng ch¶y hay ®é s©u ®¸ng kÓ trong ®íi ven bê, t¹i ®ã sãng ®¹i d−¬ng sau khi du ngo¹n hμng ngh×n kil«mÐt sÏ kÕt thóc sù tån t¹i. phÇn 1 - dÉn lËp bμi to¸n tæng qu¸t, Nh÷ng vÊn ®Ò vμ kÕt qu¶ nghiªn cøu sãng giã trong biÓn s©u Ch−¬ng 1 bμi to¸n vÒ sù tiÕn triÓn phæ sãng giã 1.1. Bμi to¸n thñy ®éng lùc vÒ sù ph¸t sinh chuyÓn ®éng sãng trong chÊt láng bëi dßng kh«ng khÝ Ta xÐt sù tiÕn triÓn cña sãng giã d−íi d¹ng gi¶i bμi to¸n vÒ chuyÓn ®éng cïng nhau trong hÖ thèng n−íc  kh«ng khÝ víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ®éng lùc häc vμ ®éng häc t−¬ng øng ë biªn ph©n c¸ch hai m«i tr−êng ®−îc cho tr−íc. Gi¶ thiÕt r»ng chuyÓn ®éng trong c¸c m«i tr−êng tu©n theo nh÷ng ®Þnh luËt b¶o toμn khèi l−îng vμ ®éng l−îng. §Þnh luËt thø nhÊt (®Þnh luËt b¶o toμn khèi l−îng) viÕt d−íi d¹ng 0div  )( iii Udt d  , (1.1) trong ®ã  i mËt ®é kh«ng khÝ ( 1i ) hoÆc n−íc ( 2i ), iU  vËn tèc di chuyÓn cña m«i tr−êng. NÕu mËt ®é chÊt láng kh«ng ®æi, ph−¬ng tr×nh (1.1) sÏ ®¬n gi¶n h¬n vμ cã d¹ng 23 24 0)(div iU  . (1.2) Ph−¬ng tr×nh b¶o toμn ®éng l−îng viÕt cho c¸c trôc täa ®é g¾n chÆt víi Tr¸i §Êt quay cã d¹ng   iiiiiii FgPUdtUd    )(grad . (1.3) Thμnh phÇn thø nhÊt lμ lùc qu¸n tÝnh, liªn quan tíi gia tèc cña khèi l−îng. Thμnh phÇn thø hai chøa vect¬ quay  hay hai lÇn tèc ®é gãc quay Tr¸i §Êt  lùc Coriolis. Gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña vect¬ nμy 122 / giê 14s10461  , . Trong thμnh phÇn m« t¶ hiÖu øng cña träng lùc, vect¬ } ,0 ,0{ gg  ®Æc tr−ng cho gia tèc träng tr−êng 2m/s 81,9g . H−íng cña vect¬ g quyÕt ®Þnh ph−¬ng th¼ng ®øng ®Þa ph−¬ng. Thμnh phÇn iF  ë vÕ ph¶i ph−¬ng tr×nh (1.3) lμ tæng cña tÊt c¶ c¸c lùc t¸c dông lªn thÓ tÝch ®¬n vÞ cña chÊt láng, mét trong nh÷ng lùc ®ã lμ do nhít ph©n tö. HÇu nh− trong tÊt c¶ c¸c tr−êng hîp khi cã hiÖu øng nhít, ta cã thÓ xem n−íc lμ chÊt láng kh«ng nÐn ®¼ng h−íng, cßn tenx¬ øng suÊt cã thÓ ®−îc viÕt d−íi d¹ng ijijij epP 2  , (1.4) trong ®ã ij tenx¬ ®¬n vÞ ( 1ij khi ji  , nÕu kh«ng th× 0ij ),  hÖ sè nhít cña chÊt láng.        i j j i ij x U x U e 2 1 , (1.5) trong ®ã ije tenx¬ c¸c tèc ®é biÕn d¹ng. Do ®ã, nÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn kh«ng nÐn (1.2) th× lùc ma s¸t trªn mét ®¬n vÞ thÓ tÝch b»ng ij ij ij ij ij x U x e F 2    . (1.6) Ta chuyÓn sang xÐt m« h×nh hai líp cã gi¸n ®o¹n mËt ®é  vμ hÖ sè nhít ®éng häc  t¹i mÆt ph©n c¸ch di ®éng ),( tr      ;/, ;/., 3 33 cm g 01 cm g 1021 w a       ., ;, z z w a khi /scm 1001 khi /scm 1051 22 21 (1.7) §Ó x¸c ®Þnh ta sÏ xem chÊt láng phÝa d−íi lμ bÊt ®éng t¹i thêi ®iÓm ban ®Çu ,0)0,,( tzrU  00  ),( tr . (1.8) ë ®©y hÖ täa ®é §ecac  tr , ®−îc chän sao cho trôc 3xz  h−íng th¼ng ®øng lªn trªn, cßn mÆt ph¼ng 0z trïng víi mÆt ph©n c¸ch kh«ng nhiÔu ®éng }),{( yxr  . Do c¸c ®¹i l−îng aa  , vμ ww  , rÊt kh¸c nhau, c¸c phÐp ®¬n gi¶n hãa th«ng th−êng trong c¸c ph−¬ng tr×nh (1.1)(1.3) khi z vμ khi z sÏ kh¸c nhau. V× 100  aaww / , nªn cã thÓ cho r»ng t¹i giai ®o¹n ph¸t triÓn ®Çu tiªn dßng kh«ng khÝ gièng víi líp biªn rèi b×nh th−êng bªn trªn mÆt t−êng cøng vμ do ®ã dßng nμy lμ chuyÓn ®éng cã xo¸y. §èi víi líp biªn nμy, nh÷ng gi¶ thiÕt th«ng th−êng cña lý thuyÕt líp biªn logarit bªn t−êng sÏ ®−îc coi lμ tho¶ m·n, vËy lμ ë c¸ch xa mÆt ®Öm di ®éng cã thÓ g¸n cho líp nμy mét tèc ®é ma s¸t x¸c ®Þnh *U . Víi líp chÊt láng phÝa d−íi (n−íc) vÊn ®Ò sÏ kh¸c. Do cã sù kh¸c biÖt lín vÒ c¸c hÖ sè nhít ®éng lùc häc cña n−íc vμ kh«ng khÝ, sù truyÒn xung bëi c¸c øng suÊt nhít qua mÆt ph©n c¸ch  tá ra t−¬ng ®èi kÐm hiÖu qu¶. 25 26 Ta biÓu diÔn tr−êng vËn tèc d−íi d¹ng VU   grad , trong ®ã  thÕ cña vËn tèc,  )(rot AV  hîp phÇn solenoit (xo¸y)   rot )()( AU   . Khi ®ã 0div  )()(U vμ )()( VU   , tøc lùc nhít ®−îc x¸c ®Þnh chØ bëi hîp phÇn xo¸y. Th«ng th−êng nã chØ cã vai trß trong c¸c líp biªn máng gÇn mÆt n−íc vμ gÇn ®¸y vμ cã thÓ ®−îc tÝnh ®Õn nhê nh÷ng hiÖu chØnh nhá thªm vμo xÊp xØ thÕ )( gradU . Trong phÐp xÊp xØ nμy chuyÓn ®éng cña n−íc cã thÓ xem lμ chuyÓn ®éng thÕ vμ c¸c ph−¬ng tr×nh ®éng lùc häc t¹i z cã d¹ng   0 2 1 2 2           z zgP t ; (1.9) 0 2 2       z , (1.10) trong ®ã  vμ  c¸c to¸n tö vi ph©n ngang. ë ®©y thÕ vËn tèc  trong ph−¬ng tr×nh (1.10) ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸ch gi¶i bμi to¸n biªn ®èi víi ph−¬ng tr×nh Laplace (1.10) víi nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt tù do ),,( tyxz  :    21 2 1    tn (1.11) vμ t¹i ®¸y ),( yxHz  : 0   n , (1.12) trong ®ã  n / ®¹o hμm theo ph−¬ng ph¸p tuyÕn víi mÆt  hoÆc víi ®¸y H . Tuy nhiªn, ta l−u ý r»ng quan niÖm th«ng th−êng vÒ tÝnh cã thÕ cña chuyÓn ®éng trong lý thuyÕt sãng mÆt cæ ®iÓn khi øng dông vμo m« t¶ sãng giã chØ lμ mét c¸ch xÊp xØ kh¸ th«. Kh¸c víi m« t¶ chuyÓn ®éng cña n−íc, trong c¸c ph−¬ng tr×nh chuyÓn ®éng cña líp biªn khÝ quyÓn nh÷ng thμnh phÇn nhít vμ ®é xo¸y cña dßng tá ra cã gi¸ trÞ rÊt ®¸ng kÓ vμ kh«ng nªn bá qua chóng. Trong tr−êng hîp nμy ph¶i gi¶i ph−¬ng tr×nh xuÊt ph¸t (1.3), trong ®ã ®èi víi bμi to¸n líp biªn ng−êi ta bá qua lùc Coriolis. Tèc ®é dßng kh«ng khÝ U  ®−îc biÓu diÔn thμnh ba sè h¹ng: 321 UUUU   , trong ®ã 1U  gi¸ trÞ tèc ®é dßng trung b×nh, 2U  ®é chªnh lÖch víi 1U  g©y bëi sãng trªn mÆt n−íc, 3U  nh÷ng th¨ng gi¸ng rèi ngÉu nhiªn cña tèc ®é, ®Ó x¸c ®Þnh chóng ph¶i sö dông c¸c ph−¬ng tr×nh khÐp kÝn [190]. Bμi to¸n vÒ chuyÓn ®éng cïng nhau cña m«i tr−êng hai líp n−íc – kh«ng khÝ ®−îc gi¶i nhê ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc vμ ®iÒu kiÖn liªn tôc cña c¸c øng suÊt ph¸p tuyÕn t¹i z    2121     t UUa ; (1.13)            2 1 2 1 wa PP , (1.14) trong ®ã  ~10 cm3/s2  hÖ sè øng suÊt mÆt t¹i biªn n−íc  kh«ng khÝ chuÈn hãa theo  . Trong ph−¬ng tr×nh (1.14) gi¸ trÞ aP (t¹i z ) ph¶i ®−îc x¸c ®Þnh nhê gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh ®èi víi c¸c tr−êng thuû ®éng lùc ngÉu nhiªn aU vμ aP cña líp khÝ quyÓn s¸t mÆt n−íc, cßn wP (t¹i z ) cã thÓ trùc tiÕp biÓu diÔn qua c¸c ®¹o hμm cña thÕ vËn tèc (1.9). 27 28 HÖ ph−¬ng tr×nh ®Çy ®ñ (1.3), (1.9)(1.14) ®Ó x¸c ®Þnh sù tiÕn triÓn cña mÆt  víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu cña ph−¬ng tr×nh (1.8) rÊt phøc t¹p cho viÖc ph©n tÝch. Kh¸c víi lý thuyÕt sãng thÕ cæ ®iÓn b×nh th−êng ë ®ã cho tr−íc ph©n bè ¸p suÊt aP trªn mÆt cÇn t×m  , trong lý thuyÕt sãng giã b¶n th©n mÆt  vμ ¸p suÊt aP lμ c¸c hμm ch−a biÕt vμ do ®ã bμi to¸n x¸c ®Þnh mÆt ®ßi hái gi¶i ®ång thêi c¸c ph−¬ng tr×nh (1.9) (1.12) ®èi víi nh÷ng nhiÔu ®éng sãng khi z vμ nh÷ng ph−¬ng tr×nh kh¸ phøc t¹p cña dßng ch¶y xo¸y bªn trªn biªn dao ®éng sãng. 1.2. PhÐp xÊp xØ quang h×nh häc VÊn ®Ò m« t¶ to¸n häc sãng giã cßn bÞ phøc t¹p do ®¹i d−¬ng thùc cã nh÷ng bÊt ®ång nhÊt theo ph−¬ng ngang vμ ph−¬ng th¼ng ®øng kh¸c nhau, ¶nh h−ëng nhiÒu ®Õn sù ph©n bè vμ ph¸t sinh c¸c sãng träng lùc t¹i mÆt. Nh÷ng bÊt ®ång nhÊt ®Æc tr−ng nhÊt trong sè ®ã lμ: sù biÕn thiªn kh«ng gian vμ thêi gian cña c¸c dßng ch¶y trung b×nh, chuyÓn ®éng rèi, cßn ®èi víi nh÷ng vïng ®¹i d−¬ng víi ®é s©u nhá h¬n kÝch th−íc ngang ®Æc tr−ng cña sãng th× ®Þa h×nh ®¸y biÕn thiªn còng l¹i lμ mét bÊt ®ång nhÊt n÷a. V× vËy, viÖc xem xÐt ¶nh h−ëng cña nh÷ng bÊt ®ång nhÊt tíi sù ph©n bè vμ ph¸t sinh sãng ®¸ng ®−îc quan t©m. Trong c¸ch dÉn lËp tæng qu¸t, bμi to¸n nμy rÊt phøc t¹p. V× vËy, tr−íc hÕt nªn xÐt sù lan truyÒn c¸c sãng giã t−¬ng ®èi ng¾n, b−íc sãng vμ chu kú nhá h¬n nhiÒu so víi quy m« biÕn thiªn kh«ng gian vμ thêi gian ®Æc tr−ng cña m«i tr−êng. NÕu coi c¸c ®¹i l−îng nμy cã gi¸ trÞ cì 1100 km vμ 110 giê, ®iÒu nμy ®Æc tr−ng cho nhiÒu chuyÓn ®éng ë ®¹i d−¬ng, th× ta cã thÓ xÐt bμi to¸n nμy b»ng ph−¬ng ph¸p cña quang h×nh häc. Ph−¬ng ph¸p quang h×nh häc dùa trªn gi¶ thiÕt vÒ sù tån t¹i c¸c sãng ph¼ng. C¸c sãng ph¼ng cã tÝnh chÊt lμ h−íng truyÒn, b−íc sãng vμ biªn ®é nh− nhau ë mäi n¬i. DÜ nhiªn, nh÷ng sãng bÊt kú kh«ng cã nh÷ng tÝnh chÊt nμy, nh−ng chóng cã thÓ ®−îc xem lμ sãng ph¼ng trªn tõng kho¶ng kh«ng gian nhá. Muèn vËy, cÇn sao cho biªn ®é sãng a , vect¬ sãng k  vμ tÇn sè  gÇn nh− kh«ng ®æi trªn ®o¹n dμi cì b−íc sãng vμ trong kho¶ng thêi gian cì chu kú sãng. Nh÷ng biÕn thiªn cña c¸c tham sè nμy liªn quan víi biÕn ®æi cña nÒn mμ trªn ®ã sãng lan truyÒn. Tõ ®ã rót ra ®ßi hái vÒ tÝnh rÊt bÐ cña nh÷ng biÕn thiªn c¸c tham sè trong ph¹m vi biÕn ®æi nÒn. NÒn ë ®©y ®−îc hiÓu lμ nh÷ng dßng ch¶y quy m« lín vμ nh÷ng bÊt ®ång nhÊt ®Þa h×nh ®¸y. ThÝ dô, nÕu quy m« ngang ®Æc tr−ng biÕn thiªn ®Þa h×nh ®¸y 1M , quy m« kh«ng gian dßng ch¶y 2M vμ T quy m« thêi gian cña dßng ch¶y, th× ®iÒu kiÖn cÇn ®Ó ¸p dông c¸c ph−¬ng ph¸p quang h×nh häc lμ ph¶i tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn:   111 kM   112 kM   11  T . (1.15) NÕu tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn nμy, cã thÓ ®−a ra mét kh¸i niÖm gäi lμ c¸c mÆt sãng, t¹i mäi ®iÓm trªn ®ã pha cña sãng t¹i thêi ®iÓm ®ang xÐt lμ nh− nhau. Trªn mçi vïng kh«ng gian kh«ng lín cã thÓ coi h−íng truyÒn sãng vu«ng gãc víi mÆt sãng. Ta ®−a ra kh¸i niÖm c¸c ®−êng tia sãng mμ c¸c tiÕp tuyÕn víi chóng t¹i mçi ®iÓm trïng víi h−íng truyÒn sãng*. Trong quang h×nh häc sù truyÒn sãng ®−îc xem nh− sù truyÒn c¸c tia sãng, ng−êi ta bá qua b¶n chÊt sãng. PhÐp xÊp xØ * §Þnh nghÜa nμy øng víi tr−êng hîp truyÒn sãng trong c¸c m«i tr−êng ®¼ng h−íng [86]. C¸c sãng träng lùc mÆt trªn c¸c dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt thuéc lo¹i nh÷ng sãng t¶n m¹n trong c¸c m«i tr−êng bÊt ®¼ng h−íng. Sau nμy sÏ ®−a ra ®Þnh nghÜa chÝnh x¸c h¬n vÒ tia sãng cho tr−êng hîp ®ã. 29 30 cña quang h×nh häc øng víi tr−êng hîp tham sè  rÊt bÐ (ë ®©y })(,)(,)max{( 112 1 1   TkMkM ). Ta sÏ dÉn ra nh÷ng ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n cña quang h×nh häc  ®ã lμ nh÷ng ph−¬ng tr×nh m« t¶ sù truyÒn c¸c tia sãng. Gi¶ sö  ),( tr lμ l−îng lÖch cña mÆt tù do khái mÆt c©n b»ng. Trong sãng ph¼ng ®¬n s¾c  cã d¹ng ψitrki eaea   )(   . (1.16) Trong tr−êng hîp sãng kh«ng ph¶i lμ sãng ph¼ng, nh−ng quang h×nh häc vÉn ®−îc ¸p dông, th× biªn ®é a lμ hμm cña täa ®é vμ thêi gian ),( traa  vμ pha cã d¹ng phøc t¹p h¬n so víi trong (1.16). Tuy nhiªn, ®iÒu quan träng lμ: pha lμ ®¹i l−îng ®ñ lín 1 do nã biÕn ®æi mét l−îng 2 trªn kho¶ng mét b−íc sãng. BiÓu thøc (1.16) m« t¶ nh÷ng sãng h×nh sin côc bé. Trªn nh÷ng kho¶ng kh«ng gian vμ thêi gian nhá, pha  cã thÓ khai triÓn thμnh chuçi tíi sè h¹ng bËc nhÊt ...   t t r r 0   (1.17) Nh− vËy, pha  lμ hμm liªn hÖ víi vect¬ sãng côc bé k vμ tÇn sè côc bé  : )(  grad r k   ; (1.18) t   . (1.19) Tõ quan hÖ (1.18) trùc tiÕp suy ra r»ng 0)( k rot , (1.20) tøc tr−êng c¸c vect¬ sãng côc bé lμ kh«ng xo¸y. Tõ (1.19) cã thÓ thu ®−îc 0)(grad   t k  . (1.21) BiÓu thøc nμy lμ ph−¬ng tr×nh ®éng häc b¶o tån mËt ®é sãng [190]. Trong m«i tr−êng sãng cã thÓ tån t¹i c¸c sãng tù do kh«ng ph¶i víi gi¸ trÞ tÇn sè  vμ sè sãng bÊt kú, mμ chØ nh÷ng sãng nμo cã c¸c tham sè tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh. Trong tr−êng hîp nμy, tÇn sè lμ hμm cña vect¬ sãng )(kF  . D¹ng hμm tuú thuéc vμo kiÓu chuyÓn ®éng sãng ®ang xÐt vμ sù c©n b»ng c¸c lùc øng víi kiÓu ®ã. Tuy nhiªn, trong m«i tr−êng bÊt ®ång nhÊt vμ kh«ng dõng, tÇn sè  phô thuéc kh«ng chØ vμo vect¬ k  mμ vμo täa ®é r vμ thêi gian t . Quan hÖ t¶n m¹n trong tr−êng hîp c¸c tham sè m«i tr−êng biÕn ®æi chËm sÏ mang tÝnh chÊt côc bé vμ ®−îc viÕt d−íi d¹ng [86] ),,( trkF   , ),( trkk   . (1.22) NÕu sö dông c¸c ph−¬ng tr×nh (1.18) vμ (1.19), quan hÖ t¶n m¹n côc bé nμy cã thÓ viÕt l¹i thμnh 0       tr r F t ,,  . (1.23) Tuy nhiªn, vÒ néi dung ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh pha (1.23) rÊt kh¸c víi quan hÖ t¶n m¹n (1.22), v× nã kh«ng ®¬n gi¶n lμ t−¬ng quan ®¹i sè gi÷a tÇn sè vμ vect¬ sãng, mμ lμ ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hμm riªng ®èi víi hμm ch−a biÕt  . Tõ ph−¬ng tr×nh (1.23) suy ra sù t−¬ng tù lý thó gi÷a quang h×nh häc vμ c¬ häc phÇn tö chÊt. Ph−¬ng tr×nh pha (1.23) vÒ h×nh d¹ng lμ ph−¬ng tr×nh Hamilton–Jacobi [121] mμ trong c¬ häc ®−îc gi¶i so víi t¸c ®éng cña phÇn tö D . T¸c ®éng D liªn hÖ víi xung cña phÇn tö P  vμ hμm Hamilton H 31 32 )grad(DP  , t DH   . So s¸nh c¸c c«ng thøc nμy víi nh÷ng biÓu thøc (1.18) vμ (1.19), cã thÓ thÊy r»ng: t¸c ®éng cña phÇn tö chÊt D trong c¬ häc ®ãng vai trß pha  trong quang h×nh häc, xung phÇn tö P trong c¬ häc ®ãng vai trß vect¬ sãng k  , cßn hμm Hamilton H vai trß tÇn sè  . §iÒu kh¼ng ®Þnh ng−îc l¹i còng ®óng [121]. Nh− vËy, ta ®· lμm s¸ng tá sù t−¬ng tù gi÷a diÔn biÕn cña phÇn tö chÊt vμ chïm sãng, tøc sãng gåm tËp c¸c sãng ®¬n s¾c víi nh÷ng tÇn sè n»m trong kho¶ng bÐ nμo ®ã vμ chiÕm vïng kh«ng gian h÷u h¹n. Xung cña phÇn tö t−¬ng øng vect¬ sãng, cßn n¨ng l−îng  tÇn sè cña chïm sãng. C¸c ®Æc tr−ng cña ph−¬ng tr×nh (1.9) ®−îc cho bëi hÖ c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng k F dt rd     ; r F dt kd     ; t F dt d   . (1.24) C¸c ph−¬ng tr×nh (1.24) lμ nh÷ng ph−¬ng tr×nh Hamilton. NghiÖm }),({ ttr cña c¸c ph−¬ng tr×nh (1.24) quyÕt ®Þnh c¸c tia sãng kh«ng gian  thêi gian trong kh«ng gian ba chiÒu },,{ tyx . C¸c tia )(trr   lμ nh÷ng h×nh chiÕu cña c¸c tia kh«ng gian  thêi gian lªn kh«ng gian täa ®é },{ yxr  . Tõ ph−¬ng tr×nh (1.24) trùc tiÕp suy ra r»ng chïm sãng lan truyÒn víi tèc ®é nhãm gCkd F   . (1.25) Ph−¬ng tr×nh thø hai trong (1.24) ®Æc tr−ng cho sù biÕn ®æi cña vect¬ sãng däc theo tia, cßn ph−¬ng tr×nh thø ba trong (1.24) m« t¶ sù biÕn ®æi tÇn sè, tõ ®ã suy ra r»ng trong m«i tr−êng dõng, tøc khi quan hÖ t¶n m¹n (1.22) hoμn toμn kh«ng phô thuéc thêi gian, th× tÇn sè gi÷ nguyªn kh«ng ®æi däc theo tia, tøc const . TiÕp tôc ¸p dông phÐp t−¬ng tù cã thÓ nhËn ®−îc biÓu thøc cho pha sãng  däc theo ®−êng ®Æc tr−ng, sö dông ®Þnh nghÜa t¸c ®éng D nh− lμ tÝch ph©n cña hμm Lagrange L Hdt P HPDdtLDD t t t t    0 0 00   . (1.26) Nh− vËy ®èi víi pha sãng ta cã biÓu thøc   tdCkt t g 0 0    , (1.27) trong ®ã 0 gi¸ trÞ ban ®Çu cña pha. Trong m«i tr−êng kh«ng t¶n m¹n, khi tèc ®é nhãm gC  trïng víi tèc ®é pha 2 kkC /  sè h¹ng thø hai trong biÓu thøc (1.27) b»ng kh«ng. Trong tr−êng hîp nμy trªn c¸c tia kh«ng gian  thêi gian pha lμ ®¹i l−îng kh«ng ®æi 0 . Trong m«i tr−êng t¶n m¹n, xuÊt hiÖn mét hiÖn t−îng gäi lμ sù trÔ nhãm [86] do sè h¹ng thø hai trong biÓu thøc (1.27) quyÕt ®Þnh. TrÔ nhãm cã nghÜa sù dÞch chuyÓn tèc ®é truyÒn chïm sãng so víi tèc ®é pha. NÕu b¶n th©n m«i tr−êng truyÒn sãng chuyÓn ®éng víi tèc ®é V  nμo ®ã, vμ tèc ®é biÕn ®æi ®ñ chËm, th× tÊt c¶ nh÷ng nhËn xÐt trªn ®©y vÉn ®óng. Cã thÓ t¸ch ra gi¸ trÞ cña tèc ®é V  trong c¸c ph−¬ng tr×nh nh− sau. Gi¶ sö r vect¬ kh«ng gian trong hÖ quy chiÕu, trong ®ã m«i tr−êng chuyÓn ®éng, 1r vect¬ côc bé trong hÖ täa ®é chuyÓn ®éng cïng víi m«i tr−êng, khi ®ã tVrr 1   . 33 34 ChuyÓn sang biÕn míi 1r  ph−¬ng tr×nh Hamilton  Jacobi ®Ó x¸c ®Þnh pha (1.23) ®−îc viÕt d−íi d¹ng   0 111  trrFt ,,//  , trong ®ã hμm Hamilton 1F liªn hÖ víi hμm F (1.22) bëi quan hÖ rVFF   1  / . Tèc ®é nhãm trong hÖ täa ®é di ®éng gc  ®−îc biÓu diÔn qua tèc ®é nhãm cña hÖ täa ®é kh«ng di ®éng b»ng biÓu thøc VCc gg   . Nh− vËy ®Ó chuyÓn tõ hÖ täa ®é di ®éng sang hÖ kh«ng di ®éng vμ ng−îc l¹i chØ cÇn sö dông nh÷ng c«ng thøc ®· dÉn trªn ®©y. 1.3. Nguyªn t¾c b¶o tån t¸c ®éng sãng Nh÷ng ph−¬ng tr×nh ®éng häc nhËn ®−îc ë môc tr−íc trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p quang h×nh häc, cïng víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu vμ ®iÒu kiÖn biªn t−¬ng øng quy ®Þnh tr−êng kh«ng xo¸y cña vect¬ sãng k  trong kh«ng gian vμ thêi gian. §Ó t×m sù ph©n bè cña nh÷ng ®Æc tr−ng ®éng lùc häc cña sãng, nh− mËt ®é n¨ng l−îng, ph¶i cã nh÷ng d÷ liÖu vÒ ®éng lùc cña sãng vμ t−¬ng t¸c cña sãng víi m«i tr−êng sãng. Còng nh− tr−íc ®©y, nÕu gi¶ thiÕt r»ng b−íc sãng vμ chu kú lμ nhá so víi nh÷ng quy m« biÕn ®æi cña c¸c tham sè m«i tr−êng, th× cã thÓ dïng phÐp xÊp xØ quang h×nh häc ®Ó xem xÐt sù tiÕn triÓn cña biªn ®é c¸c sãng träng lùc lan truyÒn trªn mÆt ®¹i d−¬ng trong bèi c¶nh tån t¹i c¸c dßng ch¶y bÊt ®ång nhÊt kh«ng gian vμ ®Þa h×nh ®¸y biÕn ®æi. Ta nhËn thÊy r»ng bμi to¸n t−¬ng tù ®· ®−îc xÐt ®èi víi nh÷ng sãng néi vμ sãng mÆt ng¾n trong c¸c c«ng tr×nh [25, 26, 283, 369], ë ®Êy xÐt tíi c¶ bÊt ®ång nhÊt cña tr−êng mËt ®é. Ta sÏ tr×nh bμy nghiÖm cña bμi to¸n thñy ®éng lùc vÒ sù lan truyÒn c¸c sãng mÆt trong ®iÒu kiÖn dßng ch¶y vμ ®é s©u bÊt ®ång nhÊt theo kh«ng gian. Kh¸c víi c¸ch ph¸t biÓu bμi to¸n tæng qu¸t h¬n nh− trong [25], ta sÏ kh«ng chó ý tíi sù bÊt ®ång nhÊt cña tr−êng mËt ®é. Gi¶ sö ®¹i d−¬ng lμ chÊt láng nÆng ®ång nhÊt kh«ng nÐn, c¸c ph−¬ng tr×nh thñy ®éng lùc häc ®−îc viÕt d−íi d¹ng (1.1)(1.3). Bá qua t¸c dông cña lùc Coriolis. Vect¬ vËn tèc U biÓu diÔn thμnh c¸c thμnh phÇn theo ph−¬ng ngang V  vμ th¼ng ®øng W . C¸c ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt tù do ),( trz  cã d¹ng 0 aPP ;   VtW  , (1.28) trong ®ã aP ¸p suÊt khÝ quyÓn. §iÒu kiÖn t¹i ®¸y ),( trHz    0 HVW  . (1.29) Ta sÏ cho r»ng tham sè bÐ  ®Æc tr−ng cho sù biÕn thiªn chËm cña chuyÓn ®éng nÒn theo c¸c täa ®é ngang vμ thêi gian, theo täa ®é th¼ng ®øng ta kh«ng ®Æt ra gi¶ thiÕt vÒ sù biÕn ®æi chËm. Ta biÓu diÔn tÊt c¶ c¸c tr−êng thñy ®éng lùc cã mÆt trong nh÷ng ph−¬ng tr×nh thuû ®éng d−íi d¹ng      tzratzrtzr ee ,,,,,,~  0  , (1.30) trong ®ã ~ ®−îc hiÓu lμ mét hμm thñy ®éng lùc bÊt kú;  0 tr−êng "nÒn" trung b×nh;  nhiÔu ®éng lan truyÒn trªn nÒn; rre   vμ  tte c¸c täa ®é ngang vμ thêi gian biÕn ®æi chËm; a tham sè biªn ®é bÐ. V× ),,(00 ee tzrVV    , nªn tõ ph−¬ng tr×nh liªn tôc (1.2) rót ra 0W  0V  . Gi¶ thiÕt r»ng mÆt ®¸y )( erHH  còng biÕn ®æi chËm. ThÕ biÓu thøc (1.30) vμo c¸c ph−¬ng tr×nh (1.1)(1.3), kÕt qu¶ lμ ta cã thÓ t¸ch ra ®−îc nh÷ng ®¹i l−îng liªn quan víi chuyÓn ®éng "nÒn" 35 36   0000 1 PVVtV re     ; (1.31) 00 V  ; (1.32) z P g 0   . (1.33) Nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn cña hÖ (1.31)(1.33) trïng lÆp víi c¸c biÓu thøc (1.28), (1.29) nÕu g¸n chØ sè 0 cho tÊt c¶ c¸c ®¹i l−îng. NghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh ®èi víi nhiÔu ®éng  ®−îc t×m d−íi d¹ng khai triÓn      ),(...,,,, ee trieeee etzrtzr 21   . (1.34) ThÕ biÓu thøc khai triÓn (1.34) vμo c¸c ph−¬ng tr×nh nhiÔu ®éng vμ cho c¸c ®¹i l−îng bËc a trong khai triÓn (1.30) b»ng nhau, cã thÓ nhËn ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh vμ ®iÒu kiÖn biªn cho 1W vËn tèc th¼ng ®øng cña nhiÔu ®éng bËc nhÊt (sau ®©y ta bá qua kh«ng viÕt chØ sè (1)): 0 2      WkW ; (1.35) WkgW 3 2       khi 0z ; 0W khi  erHz  , (1.36) trong ®ã  ),( Vk  tÇn sè Dopler phô thuéc vμo z . DÊu ph¶y trªn chØ ®¹o hμm theo z . Bμi to¸n biªn (1.35), (1.36) sÏ cho mét tËp hîp nh÷ng quan hÖ t¶n m¹n ®èi víi nh÷ng hμi dao ®éng (mode) kh¸c nhau  trkF e ,,  (1.37) vμ nh÷ng hμm riªng ),,( tzrWW e  phô thuéc tham sè vμo er vμ et . Nh÷ng gi¸ trÞ kh¸c ®Æc tr−ng cho sãng ®−îc biÓu thÞ qua W b»ng nh÷ng c«ng thøc: ., ;                  WiW k iP z VWiW k kiV 2 0 2  (1.38) Trong c¸c ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vμ c¸c ®iÒu kiÖn biªn nÕu chó ý tíi c¸c biÓu thøc (1.30), (1.34) vμ t¸ch c¸c thμnh phÇn bËc  a , sau mét sè biÕn ®æi kh¸ phøc t¹p ta sÏ nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vμ nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn ®èi víi 2W :   QWkW     222   ; 12 2 2 QWkg z W       khi 0z ; (1.39)   22 QHVW   khi Hz  , trong ®ã 1 ,QQ vμ 2Q nh÷ng hμm ®−îc biÓu diÔn qua 0 vμ 1 (d¹ng t−êng minh cña nh÷ng hμm nμy ®−îc cho trong c«ng tr×nh [25]). §Ó tån t¹i nghiÖm cña bμi to¸n biªn bÊt ®ång nhÊt (1.39) cÇn sao cho c¸c hμm 21, QQQ , trùc giao víi nh÷ng hμm riªng cña bμi to¸n biªn ®ång nhÊt t−¬ng øng (®iÒu kiÖn gi¶i ®−îc). §iÒu nμy dÉn tíi ®iÒu kiÖn      0 0 22122 H Hzz Qk WiQ k iWdz k iWQ . (1.40) NÕu tÝnh tíi d¹ng t−êng minh cña c¸c hμm 21, QQQ , , sau nhiÒu biÕn ®æi phøc t¹p, ®iÒu kiÖn (1.40) cã thÓ dÉn tíi d¹ng ®Þnh luËt b¶o toμn bÊt biÕn ®o¹n nhiÖt 0   )( AC t A gr e e   , (1.41) trong ®ã 37 38           0 0 2 223 2 22 2 2 H zWk gzdW k A ; (1.42) . 0 0 2 222 0 222230 2 22 0 2 2220 2 1 2 2 1 2                          z H g W k kg z V kk gV zdW k k z V kk VAC   (1.43) Tõ c¸c tÝnh chÊt cña bμi to¸n biªn (1.35) cã thÓ chØ ra r»ng tû sè cña c¸c biÓu thøc (1.42) vμ (1.43) thùc sù lμ vËn tèc nhãm kFCg   / . L−u ý r»ng ®Þnh luËt b¶o toμn bÊt biÕn ®o¹n nhiÖt (1.41) ®óng kh«ng ph¶i ®èi víi c¸c tr−êng vËn tèc thñy ®éng lùc bÊt kú, mμ chØ ®èi víi nh÷ng tr−êng ®−îc m« t¶ bëi c¸c ph−¬ng tr×nh thñy ®éng lùc häc (1.1)(1.3). Ta xÐt tr−êng hîp riªng: khi tèc ®é cña dßng ch¶y trung b×nh kh«ng phô thuéc vμo täa ®é th¼ng ®øng z . Tõ nh÷ng t−¬ng quan (1.35)(1.36) dÔ dμng nhËn ®−îc )th( kHgk2 , khi ®ã tèc ®é di chuyÓn bÊt biÕn ®o¹n nhiÖt gC  sÏ b»ng            kH kH k kHg k kV k VCg 2 sh 2 1 th 2 1 2 1 00    . (1.44) Vμ tõ nh÷ng biÓu thøc (1.41)(1.44) rót ra  EA , (1.45) trong ®ã E mËt ®é n¨ng l−îng sãng. BiÓu thøc (1.45) ®−îc biÕt réng r·i trong v¨n liÖu víi t− c¸ch lμ mËt ®é t¸c ®éng sãng. §Þnh luËt b¶o toμn mËt ®é t¸c ®éng sãng (1.41) víi (1.44) lμ biÓu thøc ®¬n gi¶n vμ tæng qu¸t nhÊt trong ®éng lùc häc sãng. LÇn ®Çu tiªn ®Þnh luËt nμy ®−îc thiÕt lËp dùa trªn nguyªn lý biÕn ph©n cña J. Wisem [188, 385] vμ ®−îc ph¸t triÓn trong c¸c c«ng tr×nh cña F. Breterton vμ C. Garrett [220, 221], A. G. Voronovich [25, 26]. L−u ý r»ng ph−¬ng tr×nh b¶o toμn bÊt biÕn ®o¹n nhiÖt (1.41)(1.43) lμ ®Þnh luËt cã tÝnh chÊt tæng qu¸t h¬n so víi nguyªn lý b¶o toμn t¸c ®éng sãng, v× nã tÝnh tíi sù bÊt ®ång nhÊt th¼ng ®øng cña vËn tèc dßng ch¶y trung b×nh. Ph−¬ng tr×nh (1.41) x¸c nhËn mét thùc tÕ r»ng tèc ®é biÕn ®æi côc bé cña t¸c ®éng sãng c©n b»ng víi ph©n kú cña dßng t¸c ®éng  mét ®¹i l−îng di chuyÓn víi tèc ®é nhãm gC  cña m«i tr−êng chuyÓn ®éng t−¬ng ®èi. NÕu tèc ®é trung b×nh V  kh«ng gi÷ nguyªn kh«ng ®æi th× theo biÓu thøc (1.24) vect¬ sãng k  vμ tÇn sè riªng  cã thÓ biÕn thiªn trong kh«ng gian vμ thêi gian, thμnh thö trong khi b¶o toμn t¸c ®éng sãng A mËt ®é n¨ng l−îng sãng kh«ng ®−îc b¶o tån. Gi÷a sãng vμ dßng ch¶y trung b×nh diÔn ra sù trao ®æi n¨ng l−îng. HÖ qu¶ quan träng rót ra tõ nghiÖm bμi to¸n lμ ë chç nh÷ng ®¹c tr−ng cña ph−¬ng tr×nh (1.41) trïng víi c¸c ph−¬ng tr×nh (1.24), mμ nh÷ng ph−¬ng tr×nh nμy vÒ phÇn m×nh l¹i lμ nh÷ng ®Æc tr−ng cña ph−¬ng tr×nh pha (1.23). Ta xÐt bμi to¸n víi nh÷ng ®iÒu kiÖn ban ®Çu. §Ó gi¶i bμi to¸n nμy ph¶i x¸c ®Þnh mÆt xuÊt ph¸t Q~ trªn ®ã cho tr−íc nh÷ng gi¸ trÞ ban ®Çu. Ta viÕt c¸c ph−¬ng tr×nh cña mÆt Q~ d−íi d¹ng tham sè ),(  0rr  , trong ®ã  vμ  nh÷ng täa ®é cong trªn mÆt Q~ . Gi¶ sö t¹i mÆt Q~ khi 0 (®¹i l−îng  lμ tham sè biÕn ®æi däc theo tia, thÝ dô: thêi gian, tøc t ) cho tr−íc tr−êng sãng ),( 0 x¸c ®Þnh bëi gi¸ trÞ ban ®Çu cña pha sãng 39 40 ),(~  0 Q vμ biªn ®é ),(~  0 aa Q . NÕu sù truyÒn sãng x¶y ra däc theo tia th× ®iÓm ph¸t sinh tia ),()(  00 rr  trªn mÆt Q~ sÏ lμ ®iÒu kiÖn ban ®Çu tù nhiªn ®èi víi quü ®¹o tia sãng )( rr  . NghiÖm cña c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña tia (1.24) tho¶ m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn ba