Chuyên đề Dãy số

dãy khử tích thì dãy { }nP : 1 0 0 n n n k k vS u v + = = =∏ , có các tính chất phụ thuộc vào tính chất của dãy { }nv . Trong nhiều bài tập, ñể tìm ñược các tính chất cần thiết của { }nS hoặc { }nP , ta cần tìm ñược dãy { }nv tương ứng và các tính chất của nó. Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 17 Bài toán 24: Chứng minh bất ñẳng thức sau ñúng với mọi *n ∈ℕ : ( )1 1 11 ln 1 2 3 n n + + + + > +… . Lời giải. Với mọi 0x > , ta có ( )ln 1x x> + . Do ñó, ( )1 1 1ln 1 ln ln 1 lnn n n n n n +    > + = = + −        Suy ra ( ) ( ) 1 1 ln 1 ln1 ln 1 n k n n k = ≥ + − = +∑ (ñpcm). Bài toán 25: Cho dãy số { }nu ñược xác ñịnh bởi 1 1u = , 21 2011n n nu u u+ = + . Tìm giới hạn: 1 2 2 3 1 lim n n n uu u u u u→∞ +   + + +    … . Nhận xét. Ở ñây cần tìm giới hạn của dãy 1 1 n k n k k uS u = + =∑ , ta cần biểu diễn mỗi số hạng trong tổng dưới dạng 1n nv v+ − . Trong bài này, 1 2011n n v u = . Lời giải. 1 2 1 1 1 1 1 1 12011 2011 n n n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u + + + + + −   = = = −    1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 2011 n n n uu u u u u u u+ +   ⇒ + + = −    … . { }nu là dãy tăng, không bị chặn trên (dễ chứng minh), lim n n u →∞ = +∞ . Vậy 1 2 2 3 1 1 1 1lim 2011 2011 n n n uu u u u u u→∞ +   + + + = =    … . Bài toán 26: Cho dãy số { }nu ñược xác ñịnh bởi 1 1 1 2 1 1 1 n n u u u u u n+ =  = + ∀ ≥ … ðặt 1 1n n k k S u = =∑ . Tìm lim n n S →∞ . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 18 Lời giải. Dễ thấy 2nu ≥ , 2n∀ ≥ . Ta có ( ) ( )1 1 2 1 1 1 1 11 1 1 1 1n n n n n n n n n u u u u u u u u u u u + + − = = − ⇒ = = − − − − … , 2n∀ ≥ . Suy ra 1 1 1 1 1 1n n nu u u + = − − − , 2n∀ ≥ . Khi ñó, 1 2 1 1 1 1 1 12 1 1 1n n n S u u u u+ + = + − = − − − − . Do 2nu ≥ , 2n∀ ≥ , nên 1 1 21 2nn nu u u u+ = + ≥… , 2n∀ ≥ lim n n u →∞ ⇒ = +∞ . Vậy lim 2n n S →∞ = . Bài toán 27: Cho dãy số { }nu ñược xác ñịnh bởi ( )( )( ) 1 1 1 1 2 3 1 1n n n n n u u u u u u n+ =  = + + + + ∀ ≥ Tìm 1 1lim 2 n n k ku→∞ = + ∑ . Hướng dẫn. Chứng minh 1 1 1 1 2 1 1n n nu u u + = − + + + . ðáp số: 1 1 1lim 2 2 n n k ku →∞ = = + ∑ . Bài toán 28: Cho dãy { } *n nx ∈ℕ ñược xác ñịnh bởi công thức truy hồi 21 2n nx x+ = − , với 1 5x = . 1) Tìm giới hạn 1 1 2 lim n n n x x x x + →∞ … . 2) Tìm giới hạn 1 1 2 1 2 1 1 1lim n nx x x x x x→∞   + + +    … … . Lời giải. 1) Ta có 2 2 2 1 1 1 2 1 4 42 2 4 n n n n n n x x x x x x + + + + − − = + = = − − 2 2 2 1 1 2 1 1 4 4 4 21 n n n k k x x x x + + = − − ⇒ = = − ∏ 2 2 1 1 2 1 2 1 21 4 n n n n x x x x x x + + +     ⇒ =    −   … . Dễ dàng chứng minh ñược { }nx là dãy tăng, không bị chặn trên. Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 19 Do ñó, lim n n x →∞ = +∞ ⇒ 2 2 1 1 2 1 2 1 21lim lim 21 4 n n n n n n x x x x x x + + →∞ →∞ +     = =    −   … . Vậy 1 1 2 lim 21n n n x x x x + →∞ = … . 2) 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x + + −     − = = −       … … … … 1 12 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 5 1 2 2 2 n n n n n x xx x x x x x x x x x x x x x x + +   ⇒ + + + = + − = −    … … … … . Theo 1), 1 1 2 lim 21n n n x x x x + →∞ = … . Vậy 1 1 2 1 2 1 1 1 5 21lim 2n nx x x x x x→∞   − + + + =    … … . Trong một vài bài khó hơn, ñể tìm ñược các tính chất cần thiết của { }nv , ta cần khảo sát tính chất của dãy tổng { }nS hoặc dãy tích { }nP tương ứng. Bài toán 29: Cho dãy số { }nu thỏa mãn 1 2 1 2 2 1 n n u u u u n u n =  + + + = ∀ ≥ … Tìm 2lim n n n u →∞ . Lời giải. ( ) ( )2 21 2 1 2 12 11 2 1 1 11 1 1( 1) n n n n n n nn n u u u u n u u n n u n u u nu u u n u − − − − −  + + + + = − ⇒ − = − ⇒ = ++ + + = − … … , 2n∀ ≥ . Khi ñó, 2 21 1 1 n n k k kk u k u k = = − − = +∏ ∏ 1 1 2 4 ( 1) ( 1) n n u u u n n n n ⋅ ⇒ = ⇒ = ⋅ + + . Vậy ( ) ( ) 2 2 4lim lim 4 1nn n n n u n n→∞ →∞ = = + . Bài toán 30: Cho dãy số { }nu thỏa mãn ( )1 2 1 2 0;1 1nn n u u u u n n +  ∈   = + ∀ ≥  Chứng minh rằng dãy { }nu hội tụ. Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 20 Lời giải. Dễ thấy 1n nu u+ ≥ , 1n∀ ≥ . Nếu 1nu nu≤ thì 2 2 21 1 1 1 1 12 2 ( ) ( 1)nn n u nu u u nu nu u n u n n + = + < + = + < + (vì 10 1u< < ). Do ñó, theo quy nạp: 1nu nu≤ , 1n∀ ≥ . Với số nguyên dương m ñủ lớn ñể 1 1 1 u m < − , thì 1 11 1m m u u u m m m < < − ⇒ < − . Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n n u un u u u u n u n n n n n+ + + − = = < < = − − − , Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n k m k mk k m nu u k k u u m n m= =+     − = − ⇒ − = − <    − −   ∑ ∑ , n m∀ > . ( 1) ( 1) m n m m u u m u − ⇒ < − − , n m∀ > . Như vậy, dãy { }n n mu ∞= là dãy tăng, bị chặn trên, nên hội tụ (ñpcm). Một số vấn ñề liên quan Phần này nêu ra một số phương pháp tìm giới hạn tiêu biểu khác, thường xuất hiện trong các bài tập Giải tích I ở bậc ðại học và các bài toán thi HSGQG, nhưng không phổ biến trong ñề thi KSTN. Dù vậy, bạn ñọc vẫn nên tham khảo ñể nắm ñược ý tưởng. Phương pháp dãy con Trong một số bài toán về tìm giới hạn dãy số, dãy ñang xét không ñơn ñiệu, nhưng nó có thể chia thành các dãy con mà từng dãy ñơn ñiệu và quan trọng hơn là hội tụ. Dãy lớn hội tụ khi và chỉ khi các dãy con ñều hội tụ về cùng một giới hạn. Bài toán 31: Cho dãy số thực { }nx xác ñịnh bởi: 0 1 2 12 2 nx n x x n − + =   = + ∀ ∈ ℕ Chứng minh dãy số này hội tụ và tìm giới hạn của nó. Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 21 Lời giải. ðặt ( ) ( )12 2 xf x x−= + ∈R . Ta có: ( ) 2 ln 2 0xf x −′ = − < , x∀ ∈R , nên hàm f nghịch biến trênR . 1 3 4 x = , 2 3 4 1 1 22 x = + , suy ra 2 0x x< . Dùng tính ñơn ñiệu của f , theo quy nạp, ta chứng minh ñược ñồng thời dãy { }2 1nx + tăng còn dãy { }2nx giảm. Thêm nữa, 2 1 21n nx x+ ≤ ≤ , n∀ ∈ℕ . Do ñó, { }2 1nx + và { }2nx có giới hạn hữu hạn. Phương trình 12 2 xx −= + có nghiệm duy nhất 1x = . Do ñó, 2 1 2lim lim 1n n n n x x+ →∞ →∞ = = . Vậy lim 1n n x →∞ = . Phương pháp min, max Bài toán 32: Dãy { }nx ñược xác ñịnh bởi: 0 1 2 3 2 , , 0 n n n x x x x x x+ + >  = + Chứng minh dãy { }nx hội tụ. Tìm lim n n x →∞ . Lời giải. Ta xây dựng 2 dãy { }na và { }nb như sau: { } { }0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 max , , , 2 min , , , 2 , 2 2n n n n a x x x b x x x a a b b+ + = =     = =   Khi ñó, dãy { }na giảm dần về 2 còn dãy { }nb tăng dần ñến 2. Bằng quy nạp ta chứng minh ñược: { } { }3 3 1 3 2 3 3 1 3 2min , , max , ,n n n n n n n nb x x x x x x a n+ + + +≤ ≤ ≤ ∀ Từ ñó dẫn ñến 3 3 1 3 2lim lim lim 2n n nx x x+ += = = lim 2nx⇒ = . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 22 Dãy số xác ñịnh bởi phương trình Bài toán 33: Xét phương trình 2 1 1 1 1 0 2 1 4x x x x n + + + + = − − − … , trong ñó *n∈ℕ . 1) Chứng minh rằng với mỗi *n∈ℕ , phương trình ñã cho có nghiệm duy nhất trong ( )0;1 . Kí hiệu nghiệm ñó là nx . 2) Chứng minh rằng dãy nghiệm { }nx ñược xác ñịnh như trên hội tụ. Lời giải. 1) Với mỗi *n∈ℕ , xét hàm số 2 1 1 1 1( ) 2 1 4n f x x x x x n = + + + + − − − … . ( )nf x là hàm liên tục và nghịch biến trên ( )0;1 . Mà 0lim ( )nx f x+→ = +∞ , 1lim ( )nx f x−→ = −∞ . Do ñó, phương trình ( ) 0nf x = có nghiệm duy nhất trong ( )0;1 , kí hiệu là nx . 2) Do ( )0;1nx ∈ nên 21 0( 1)nx n <− + , suy ra 1 1 1( ) ( ) 0 ( )n n n n n nf x f x f x+ + +< = = . Từ ñó kết hợp với tính nghịch biến của hàm 1( )nf x+ , suy ra 1n nx x +> . Dãy { }nx giảm, bị chặn dưới bởi 0, do ñó hội tụ (ñpcm). Phương pháp tổng tích phân Cho hàm f khả tích trên ñoạn [ ]0;1 . 1 1 0 1lim ( ) n n i if f x dx n n→∞ =   =    ∑ ∫ Bài toán 34: Tìm các giới hạn sau: 1) 1 1 1lim 1 2 2n n n n→∞   + + + + +  … 2) 2 2 2 2 2 2lim 1 2n n n n n n n n→∞   + + + + + +  … 3) 1 2 2 2 2lim 1 11 2 n n n n n n n n n →∞     + + +  + + +   … 4) 1lim ( 1)( 2) (2 )n n n n n n→∞   + +    … . Trần Vũ Trung KTSN ðKTð – K55 23 Lời giải. 1) 1 1 0 1 1 1 1 1 1lim lim ln 2 1 1 2 2 11 n n n k kn n n n x n →∞ →∞ =   + + + = = = − + + +  + ∑ ∫… . 2) 1 22 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 1lim lim 1 2 1 4 1 n n n k n n n n n n n n xk n pi →∞ →∞ =   + + + = = = + + + +    +     ∑ ∫… . 3) 1 2 1 2 2 2 1 2lim lim1 1 11 1 2 n k nn n n n n n kn nn n n nk →∞ →∞ =     + + + =  + + + +   ∑… Mà 1 22 211 k k kn n n nk − ≤ ≤ + , nên 1 1 0 1 2 1lim 21 ln 21 k n n x n k dx n nk →∞ = = = + ∑ ∫ . 4) ðặt 1 1 2( 1)( 2) (2 ) 1 1 1n nn nS n n n n n n n      = + + = + + +          … … 1 1ln ln 1 n n n k k u S n n =   = = +    ∑ , 1 0 lim ln(1 ) 2 ln 2 1n n u x dx →∞ = + = −∫ . Vậy 2ln 2 1lim n n S e − →∞ = .