Dòng không ổn định : sóng ngắn trên mặt

212 Ch­¬ng 9. Dßng kh«ng æn ®Þnh: sãng Ng¾n trªn mÆt 9.1. Më ®Çu Sãng ng¾n trªn mÆt tù do lµ sãng dao ®éng ®­îc ®Æc tr­ng bëi ®é cao, ®é dµi, chu kú, vËn tèc lan truyÒn vµ h­íng cña chóng. Chu kú sãng lµ kho¶ng thêi gian gi÷a nh÷ng lÇn ®i qua hai ®Ønh sãng liªn tiÕp t¹i mét vÞ trÝ ®· cho. H­íng sãng (vµ còng lµ h­íng giã) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ h­íng mµ tõ ®ã sãng ®ang ®Õn so víi h­íng B¾c. Nh­ vËy, h­íng sãng 900 cã nghÜa sãng ®Õn tõ phÝa §«ng. H­íng sãng ng­îc víi h­íng dßng ch¶y, lµ h­íng mµ dßng ch¶y ®i vÒ phÝa ®ã. Sãng ng¾n kh¸c víi sãng dµi ë chç ¸p suÊt chÊt láng theo h­íng th¼ng ®øng lµ phi thuû tÜnh. Sãng ng¾n trªn mÆt tù do th­êng ph¸t sinh bëi lùc giã. Sãng ng¾n lan truyÒn trong mét vïng d­íi ¶nh h­ëng cña lùc giã ®­îc gäi sãng giã hoÆc sãng biÓn. Nh÷ng ®Æc tr­ng sãng giã ®­îc x¸c ®Þnh bëi ®µ giã, lµ kho¶ng c¸ch mµ qua ®ã giã thæi, bëi vËn tèc giã vµ bëi thêi gian giã thæi. Cïng mét lóc, giã ph¸t sinh ra c¸c sãng cã nhiÒu ®é cao, ®é dµi vµ chu kú (sãng ngÉu nhiªn). Sãng ®· lan truyÒn ra khái tr­êng lùc cña giã ®­îc gäi sãng lõng. Sãng nµy thay ®æi trong thêi gian lan truyÒn cña chóng tõ sãng giã t­¬ng ®èi dèc vµ ng¾n (L/H = 20, T = 5 –10 s) thµnh sãng t­¬ng ®èi ph¼ng vµ dµi (L/H = 100, T = 10 – 30 s) vµ thÓ hiÖn gièng nh­ sãng ®¬n ®iÖu (®Òu) h¬n. Sãng giã (biÓn) vµ sãng lõng lµ sãng träng lùc bëi v× träng lùc cã xu h­íng tr¶ bÒ mÆt chÊt láng vÒ vÞ trÝ c©n b»ng n»m ngang cña nã. Sãng ng¾n víi chu kú gi÷a 30 vµ 300 s ®«i khi ®­îc gäi lµ sãng d­íi träng lùc mµ chuyÓn thµnh sãng dµi. Sãng ng¾n cã thÓ lan truyÒn qua ®¹i d­¬ng vµ biÓn cho ®Õn khi chóng tiÕp cËn bê, n¬i n¨ng l­îng cßn l¹i cña chóng mét phÇn ®­îc ph¶n x¹ hoÆc tiªu t¸n bëi sãng ®æ vµ ma s¸t ®¸y. Ch­¬ng nµy giíi thiÖu c¬ së lý thuyÕt sãng ng¾n, cã thÓ ph©n chia nh­ sau: Sãng biªn ®é nhá Sãng tuyÕn tÝnh Airy (Sinusoid) Sãng Stokes bËc cao Sãng biªn ®é h÷u h¹n Sãng Trocoid Sãng Cnoid Sãng ®¬n ®éc Nh÷ng chñ ®Ò sau ®­îc tr×nh bµy: • nh÷ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n cña sãng tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn • nh÷ng thuéc tÝnh sãng tuyÕn tÝnh • líp biªn sãng • n¨ng l­îng sãng vµ sù truyÒn n¨ng l­îng sãng 213 • ph¶n x¹ sãng, n­íc n«ng, khóc x¹, nhiÔu x¹ vµ sãng ®æ • biÕn ®æi mùc n­íc do sãng (n­íc rót vµ n­íc d©ng) • dßng ch¶y däc bê do sãng • sãng ngÉu nhiªn Th«ng tin bæ sung cã thÓ thÊy trong VËt lý biÓn C«ng tr×nh (Wiegel,1962) vµ theo H­íng dÉn B¶o vÖ Bê (1984). 9.2. Lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn 9.2.1. Ph­¬ng tr×nh Bernoulli cho dßng kh«ng æn ®Þnh Gi¶ thiÕt c¬ b¶n cña lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn lµ dßng kh«ng quay, nãi r»ng kh«ng cã øng suÊt tr­ît néi. VÒ c¬ b¶n, sù quay ph¸t sinh t¹i c¸c biªn vµ th©m nhËp tõ ®ã vµo trong chÊt láng. Sù quay kh«ng thÓ tù nã ph¸t sinh trong chÊt láng khi kh«ng cã biªn. Trong tr­êng hîp sãng mÆt tù do chu kú ng¾n trong n­íc s©u, chuyÓn ®éng sãng kh«ng tr¶i réng ®Õn ®¸y vµ do ®ã kh«ng thÓ ph¸t sinh sù quay. Trong n­íc n«ng chuyÓn ®éng sãng ®¹t ®Õn ®¸y vµ ph¸t sinh líp biªn sãng víi dßng quay. Tuy nhiªn, líp biªn nµy rÊt máng (0,01 m) do chu kú cña sãng nhá. Dßng ch¶y sÏ ®¶o ng­îc tr­íc khi mét bÒ dµy líp biªn ®¸ng kÓ ph¸t triÓn vµ nh÷ng xo¸y n­íc ph¸t sinh tr­íc khi dßng ®¶o ng­îc nhanh chãng mÊt ®i. Nh­ vËy, nh÷ng chuyÓn ®éng quay sÏ bÞ h¹n chÕ trong mét líp biªn kh¸ máng gÇn ®¸y vµ cã thÓ bá qua trong ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng m« t¶ dao ®éng tù do trªn mÆt. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n m« t¶ dßng ch¶y kh«ng æn ®Þnh kh«ng quay trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng x - z lµ ph­¬ng tr×nh liªn tôc (ph­¬ng tr×nh 5.2.2) vµ ph­¬ng tr×nh chuyÓn ®éng Euler: 0      z W x U (9.2.1) 0 1             x P z U W x U U t U  (9.2.2) 0 1             g z P z W W x W U t W  (9.2.3) trong ®ã: U, W = vËn tèc tøc thêi theo c¸c h­íng x, z. Dßng kh«ng quay cã thÓ m« t¶ d­íi d¹ng thÕ vËn tèc  (xem môc 7.2.2), ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: x U     vµ z W     . (9.2.4) Thay ph­¬ng tr×nh (9.2.4) vµo ph­¬ng tr×nh liªn tôc cho ta ph­¬ng tr×nh Laplace, nh­ sau: 214 0 2 2 2 2       zx  . (9.2.5) Thay ph­¬ng tr×nh (9.2.4) vµo nh÷ng ph­¬ng tr×nh Euler (9.2.2), (9.2.3) vµ s¾p xÕp l¹i, ¸p dông ph­¬ng tr×nh liªn tôc (9.2.1) cuèi cïng cho ta: 0])( 2 1 )( 2 1 [ 22             gz P zxtx   (9.2.6) 0])( 2 1 )( 2 1 [ 22             gz P zxtz   . (9.2.7) Nh­ vËy, tæng nh÷ng sè h¹ng trong dÊu mãc kh«ng ®æi theo kh«ng gian, nh­ng cã thÓ thay ®æi theo thêi gian, cho ta: )()( 2 1 )( 2 1 22 tFgz P zxt             . (9.2.8) Gi¸ trÞ hµm phô thuéc thêi gian F(t) kh«ng mang ý nghÜa vËt lý ë ®©y (sãng æn ®Þnh) vµ ®­îc lÊy lµ F(t) = 0, cho ta: 0)( 2 1 )( 2 1 22           gz P zxt   . (9.2.9) Ph­¬ng tr×nh (9.2.9) lµ ph­¬ng tr×nh Bernoulli cho dßng kh«ng æn ®Þnh, hîp lÖ t¹i mçi ®iÓm trong miÒn dßng ch¶y. 9.2.2. Lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh biªn ®é nhá Gi¶ thiÕt r»ng dao ®éng mùc n­íc  nhá, nh÷ng sè h¹ng phi tuyÕn 2)( x  vµ 2)( z  biÓu thÞ gia tèc ®èi l­u phi tuyÕn cã thÓ bá qua, ta cã ph­¬ng tr×nh Bernoulli tuyÕn tÝnh sau: 0    gz P t   (9.2.10) trong ®ã z = täa ®é th¼ng ®øng, chiÒu d­¬ng h­íng lªn trªn tÝnh tõ mÆt n­íc (xem h×nh 9.1). Lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh hîp lÖ ®èi víi sãng tiÕn biªn ®é nhá trong chÊt láng ®ång nhÊt cã ®é s©u kh«ng ®æi. §Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh (9.2.5) vµ (9.2.10), nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn cÇn thiÕt lµ: + ®iÒu kiÖn ®éng häc t¹i z = - h lµ: W = 0 hoÆc 0   z  (9.2.11) 215 + ®iÒu kiÖn ®éng häc t¹i z = x,t lµ: tdt dx xdt dz        cho ta t U x W        hoÆc txxz             (9.2.12) + ®iÒu kiÖn ®éng lùc t¹i z = x,t lµ: 0    gz P t   víi P = 0 cho ta 0      g t . (9.2.13) H×nh 9.1. Sãng tiÕn biªn ®é nhá trªn mÆt tù do Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (9.2.12) vµ (9.2.13) chØ râ nh÷ng ®iÒu kiÖn biªn t¹i mÆt tù do z = x,t lµ mét trong nh÷ng biÕn ch­a biÕt sÏ ®­îc gi¶i. VÊn ®Ò nµy cã thÓ gi¶i quyÕt b»ng viÖc xÊp xØ ph­¬ng tr×nh (9.2.12) vµ (9.2.13) t¹i z =  b»ng khai triÓn chuçi Taylor t¹i mÆt n­íc trung b×nh z = 0, lµ mét vÞ trÝ ®­îc biÕt. ¸p dông cho ph­¬ng tr×nh Bernoulli (9.2.13): 0... 0 2 2 2 00                                             zzzz g tz g tz g t g t          . (9.2.14) Trong lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh chØ xÐt ®Õn sè h¹ng ®Çu tiªn bªn vÕ ph¶i cña ph­¬ng tr×nh (9.2.14). Còng øng dông quy tr×nh ®ã cho ph­¬ng tr×nh (9.2.12) vµ sau ®ã gi¶ thiÕt r»ng /x = 0 trong ph­¬ng tr×nh (9.2.12). HÖ ph­¬ng tr×nh ®Çy ®ñ cho lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh b©y giê lµ: + liªn tôc: 0 2 2 2 2       zx  (9.2.15) + chuyÓn ®éng: 0    gz P t   (9.2.16) 216 + ®iÒu kiÖn biªn ®éng häc z = 0: tz        (9.2.17) + ®iÒu kiÖn biªn ®éng lùc z = 0: 0      g t . (9.2.18) Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (9.2.17) vµ (9.2.18) cã thÓ s¾p xÕp l¹i thµnh: 0 2 2       z g t  . (9.2.19) Lêi gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (9.2.15) vµ (9.2.19), kÕt hîp víi ph­¬ng tr×nh (9.2.11) lµ: )sin( sinh )(cosh ˆ kxt kz zhk c     (9.2.20) trong ®ã: ˆ = biªn ®é mÆt n­íc (= H / 2) z = täa ®é th¼ng ®øng (chiÒu d­¬ng h­íng lªn tõ mÆt n­íc trung b×nh, xem h×nh (9.1)  = tÇn sè gãc (= 2 /T) k = sè sãng (= 2 /L) H = ®é cao sãng L = b­íc sãng T = chu kú sãng c = /k =(gtanh(kh)/k)0,5 = vËn tèc lan truyÒn sãng. VËn tèc lan truyÒn sãng c còng ®­îc gäi vËn tèc pha bëi v× tÊt c¶ ®iÓm cña pr«fil sãng (cã cïng pha) lan truyÒn víi cïng vËn tèc c ®ã. ¸p dông c = L/T = /k, cã thÓ nhËn ®­îc biÓu thøc sau: 2 = gk tanh(kh) (9.2.21) vµ gäi lµ quan hÖ ph©n t¸n, biÓu thÞ quan hÖ gi÷a chu kú sãng T vµ b­íc sãng L. Sãng ®­îc gäi ph©n t¸n khi sãng cã tÇn sè (chu kú) kh¸c nhau lan truyÒn víi vËn tèc pha kh¸c nhau. Biªn ®é mÆt n­íc ®­îc m« t¶ b»ng (xem h×nh 9.2):  = ˆ cos(t - kx). (9.2.22) H×nh 9.2. Lan truyÒn sãng 217 Nh÷ng vËn tèc U vµ W cã thÓ nhËn ®­îc tõ nh÷ng ®¹o hµm cña hµm thÕ  (môc 9.3.3). VËn tèc U vµ W lÖch pha 90o ®èi víi chuyÓn ®éng quü ®¹o cña vect¬ vËn tèc. Mçi h¹t chÊt láng m« t¶ mét chuyÓn ®éng quü ®¹o h×nh ªlÝp víi trôc dµi song song víi ®¸y. Nh÷ng quan tr¾c chØ ra r»ng quü ®¹o h¹t chÊt láng trong sãng tiÕn lµ kh«ng kÝn. Cã sù dÞch chuyÓn nhá thùc sù theo h­íng ngang trong thêi gian mçi chu kú sãng (xem môc 9.2.4). §©y lµ hiÖu øng phi tuyÕn, cã nghÜa lµ kh«ng thÓ dù ®o¸n nh÷ng quü ®¹o kh«ng kÝn chØ b»ng lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh. M« t¶ chi tiÕt nh÷ng thuéc tÝnh sãng tuyÕn tÝnh cho trong môc 9.3. 9.2.3. Lý thuyÕt sãng biªn ®é nhá phi tuyÕn ë ph¹m vi nµo ®ã cã thÓ xÐt nh÷ng sè h¹ng gia tèc ®èi l­u phi tuyÕn (/x)2 vµ (/z)2 b»ng c¸ch thÓ hiÖn thÕ  theo mét chuçi sè mò nh­ sau: ....)(3sin)(2sin)sin( 3, 3 2, 2 1,,,  kxtHkxtHkxtH xxxtzx  (9.2.23) trong ®ã H = ®é cao sãng vµ z,1, z, 2... lµ nh÷ng hµm cña z gi¶m vÒ bËc ®é lín. Sè h¹ng ®Çu tiªn bªn vÕ ph¶i ph­¬ng tr×nh (9.2.23) ®­îc thÓ hiÖn trong lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh. Nh÷ng sè h¹ng kh¸c lµ sè h¹ng hiÖu chØnh, thÓ hiÖn c¸c hiÖu øng phi tuyÕn. Lý thuyÕt sãng bËc hai thÓ hiÖn hai sè h¹ng ®Çu tiªn, nh­ Stokes (1819 -1903) ®­a ra: )(2sin sinh )(2cosh 48 3 )sin( sinh )(cosh 2 4 2 kxt kz zhkH kxt kz zhkH k           . (9.2.24) Tû sè biªn ®é sè h¹ng bËc hai vµ sè h¹ng bËc nhÊt lµ: 33 2 0050 4 1 16 3 )(,)( h L L H h L L H R   . (9.2.25) Tû sè nµy biÓu thÞ r»ng tÝnh phi tuyÕn cña chuyÓn ®éng sãng nhá, nÕu tham sè UR = (h/L)(L/h)3 nhá (< 1). Sè h¹ng nµy ®­îc gäi lµ sè Ursell. Trong tr­êng hîp UR < 1, lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh cã thÓ øng dông an toµn trong n­íc s©u. Lý thuyÕt Stokes chØ cã thÓ ¸p dông trong n­íc kh«ng s©u l¾m nÕu ®é dèc sãng H/L nhá. Biªn ®é mÆt n­íc  theo lý thuyÕt sãng bËc hai lµ: )(2cos sinh )2cosh2)(2(cosh 44 )cos( 2 3 2 kxt kz khkhHk kxt H     . (9.2.26) Ph­¬ng tr×nh (9.2.26) cho trong h×nh 9.3. Víi viÖc tÝnh ®Õn nh÷ng sè h¹ng bËc cao h¬n, mÆt c¾t sãng trë nªn biÕn d¹ng h¬n. Nh÷ng ®Ønh sãng trë nªn hÑp vµ cao, nh÷ng ch©n sãng trë nªn réng vµ thÊp. HiÖu øng nµy t¨ng lªn khi ®é s©u gi¶m (n­íc n«ng). Trong n­íc s©u ®é biÕn d¹ng rÊt nhá. MÆt c¾t sãng lu«n ®èi xøng qua mét mÆt ph¼ng ®i qua ®Ønh sãng hoÆc ch©n sãng. Nh÷ng lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn kh«ng chÝnh x¸c trong n­íc n«ng, trõ khi H/h vµ H/L nhá. §Ó v­ît qua ®iÒu nµy, nh÷ng lý thuyÕt sãng ®Æc biÖt cho n­íc 218 n«ng ®· ®­îc ph¸t triÓn. Mét vÝ dô lµ lý thuyÕt sãng Cnoidal. VÒ c¬ b¶n, nh÷ng lý thuyÕt nµy lµ nh÷ng lý thuyÕt sãng dµi cã sù hiÖu chØnh nh÷ng hiÖu øng ®èi l­u ®éng l­îng th¼ng ®øng. §iÒu nµy ®Æc biÖt quan träng d­íi ®Ønh sãng. 9.2.4. C¸c hiÖu øng phi tuyÕn: vËn chuyÓn khèi l­îng trong sãng kh«ng ®æ Nãi mét c¸ch chÆt chÏ, vËn chuyÓn khèi l­îng lµ mét hiÖu øng phi tuyÕn bëi v× nh÷ng ph­¬ng tr×nh chøa sè h¹ng H2. Tuy nhiªn cã thÓ nhËn ®­îc nh÷ng ph­¬ng tr×nh nµy b»ng c¸ch ¸p dông nh÷ng ®Æc ®iÓm cña lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh. Dßng dao ®éng kh«ng nhít Stokes lµ ng­êi ®Çu tiªn chØ ra r»ng nh÷ng h¹t chÊt láng kh«ng m« t¶ chÝnh x¸c nh÷ng quü ®¹o kÝn trong tr­êng hîp sãng mÆt biªn ®é nhá (sinusoidal) lan truyÒn trong mét dßng dao ®éng kh«ng nhít (kh«ng quay) hoµn chØnh, xem h×nh 9.4. Nh÷ng h¹t cã vËn tèc Lagrange trung b×nh bËc hai (gäi lµ dßng tr«i Stokes) theo h­íng lan truyÒn sãng. §iÒu nµy lµ do vËn tèc quü ®¹o ngang t¨ng theo ®é cao (z) ë trªn ®¸y. VËy, mét h¹t t¹i ®Ønh quü ®¹o ë ®Ønh sãng chuyÓn ®éng nhanh h¬n vÒ phÝa tr­íc so víi khi t¹i ®¸y quü ®¹o ë ch©n sãng theo h­íng ng­îc l¹i. Theo ®Þnh nghÜa, kh«ng thÓ ph¸t hiÖn dßng tr«i Stokes theo ph­¬ng ph¸p Lagrange b»ng viÖc ®o ®¹c t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh. Dßng tr«i Stokes tøc thêi h­íng ngang (Us) cña mét h¹t n­íc so víi vÞ trÝ trung b×nh x1 vµ z1 lµ Us (x1 + z1 + ), trong ®ã  vµ  lµ nh÷ng täa ®é cña vÞ trÝ h¹t trªn quü ®¹o. Mét xÊp xØ cña Us lµ: z U x U zxUzxU s        ),()( 1111 (9.2.27) ¸p dông lý thuyÕt sãng bËc nhÊt (tuyÕn tÝnh) vµ lÊy trung b×nh chu kú sãng, ta cã: kh hzk kHzU s 2 2 sinh )(2cosh 8 1 )(    (9.2.28) trong ®ã: sU = vËn tèc tr«i Stokes (tû sè cña ®é dÞch chuyÓn h­íng ngang thùc tÕ víi chu kú sãng)  = 2 /T = tÇn sè sãng k = 2 /L = sè sãng z = täa ®é th¼ng ®øng (chiÒu d­¬ng h­íng lªn trªn tõ mùc n­íc trung b×nh) T¹i ®¸y (z = - h): kh kHU s 2 2 sinh 1 8 1  . (9.2.29) T¹i mÆt (z = 0): kh kh kHU s 2 2 sinh 2cosh 8 1  . (9.2.30) 219 H×nh 9.3. MÆt c¾t sãng bËc hai §èi víi sãng lan truyÒn trong mét miÒn kh«ng cã biªn ngang, dßng khèi l­îng tÝch ph©n theo ®é s©u (m2/s) lµ: c gH kh H kh kh kHdzzUM h ss 8 coth 8sinh 2sinh 16 1 )( 22 2 2 0     (9.2.31) trong ®ã: c = vËn tèc sãng. H×nh 9.4. Nh÷ng quü ®¹o h¹t kÝn vµ kh«ng kÝn Ph­¬ng tr×nh (9.2.31) ®¬n gi¶n thµnh Ms = H 2/8 ®èi víi n­íc s©u (kh >> 1). §èi víi sãng lan truyÒn trong miÒn cã biªn n»m ngang, thÝch hîp nhÊt lµ g¸n ®iÒu kiÖn dßng khèi l­îng b»ng kh«ng (M = 0) cho mçi vÞ trÝ (x), cho ta (h×nh 9.5A): kh kh kh hzk kHzU s 2 2 sinh 2 2sinh )(2cosh 8 1 )(    . (9.2.32) Ph­¬ng tr×nh (9.2.32) cã thÓ xem nh­ tæng cña dßng tr«i Stokes vÒ phÝa tr­íc vµ mét dßng ®Òu quay ng­îc l¹i. ViÖc ph¸t sinh mét dßng khèi l­îng d­¬ng gÇn mÆt theo h­íng sãng vµ mét dßng ©m gÇn ®¸y ng­îc víi h­íng sãng ®ßi hái sù cã mÆt mét gradient ¸p suÊt ngang (øng suÊt tr­ît v¾ng mÆt trong dßng kh«ng nhít), gradient nµy ®­îc t¹o ra bëi "sù d©ng" mÆt tù do vÒ phÝa bê (t­¬ng tù n­íc d©ng do giã). Dßng khèi l­îng (m2/s) t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh (x) trong mét miÒn kh«ng cã biªn còng cã thÓ x¸c ®Þnh theo ph­¬ng ph¸p Euler nh­ sau:     T t h e dzztU T M 0 )( ),( 1  . (9.2.33) trong ®ã: 220 U = vËn tèc ngang tøc thêi t¹i ®é cao z  = ®é dÞch chuyÓn mÆt n­íc so víi mÆt trung b×nh. Trong vïng gi÷a ®Ønh vµ ch©n cña sãng h×nh sin, sù bÊt ®èi xøng cña vËn tèc ngang chØ ra r»ng chÊt láng truyÒn theo h­íng sãng d­íi ®Ønh lín h¬n trong vïng ch©n sãng. D­íi ch©n cña sãng h×nh sin, gi¸ trÞ trung b×nh thêi gian cña vËn tèc ngang t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh b»ng kh«ng. B»ng viÖc ¸p dông lý thuyÕt sãng bËc nhÊt (tuyÕn tÝnh) cho sãng h×nh sin biªn ®é nhá, ph­¬ng tr×nh (9.2.33) cho ta: c gH M e 8 2  . (9.2.34) Ph­¬ng ph¸p Euler vµ ph­¬ng ph¸p Lagrange cho ta cïng khèi l­îng vËn chuyÓn tÝch ph©n theo ®é s©u. Tuy nhiªn, ph©n bè th¼ng ®øng cña vËn tèc vËn chuyÓn khèi l­îng l¹i kh¸c nhau ®èi víi c¶ hai ph­¬ng ph¸p. Dßng dao ®éng rèi vµ nhít Longuet - Higgins (1953) ®· chØ ra r»ng ®èi víi nh÷ng chÊt láng thùc víi ®é nhít , cã sù truyÒn ®éng l­îng thùc tÕ xuèng d­íi trung b×nh theo thêi gian vµo trong líp biªn do khuyÕch t¸n nhít ( zU  / ), t¹o ra dßng Euler trung b×nh ( sU ) bæ sung cho dßng tr«i Stokes kiÓu Lagrange ( eU ). Dßng Euler trung b×nh cã thÓ xem nh­ vËn tèc trung b×nh cña c¸c t©m quü ®¹o. Gi¶ thiÕt dßng kh«ng nhít, vËn tèc Euler trung b×nh b»ng kh«ng (lý thuyÕt Stokes). VËn tèc vËn chuyÓn khèi l­îng tæng céng ( mU ) x¸c ®Þnh nh­ sau:        Udt z U Udt x U UUUU esem . (9.2.35) Víi dßng ch¶y ph©n tÇng trong líp biªn, Longuet - Higgins dÉn ra: )3cos85( sinh16 )( 2 2 2    zz m e z e kh kH zU  (9.2.36) trong ®ã:  /2 = ®é dµy líp biªn ph©n tÇng. (9.2.37) Ph­¬ng tr×nh (9.2.37) cã gi¸ trÞ lín nhÊt gÇn ®¸y: c U kh kH Um 2 2 2 3761 4 3761   ˆ , sinh ,max,  . (9.2.38) Khi z/ -, ph­¬ng tr×nh (9.2.37) cho ta vËn tèc t¹i mÐp líp biªn: c U kh kH U m 2 2 2 ˆ 4 5 sinh16 5   (9.2.39) trong ®ã: 221 H×nh 9.5. Nh÷ng vËn tèc vËn chuyÓn khèi l­îng trong sãng kh«ng ®æ 222 bUˆ = gi¸ trÞ vËn tèc quü ®¹o lín nhÊt ngay ngoµi líp biªn theo lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh, ph­¬ng tr×nh (9.3.25) c = vËn tèc sãng (/k). B»ng viÖc gi¶ thiÕt dßng khèi l­îng b»ng kh«ng trªn toµn bé ®é s©u n­íc (M = 0), Longuet - Higgins (1953) dÉn xuÊt: )/( sinh8 )()()( 2 2 hzF kh kH zUzUzU esm   (9.2.40) )1)( 2 3 2 2sinh ( 2 3 )143)(2sinh( 22 3 )(2cosh)/( 2 2 2 2  h z kh kh h z h z kh kh hzkhzF . (9.2.41) Ph­¬ng tr×nh (9.2.40) cã thÓ xem nh­ tæng cña dßng tr«i Stokes vÒ phÝa tr­íc (ph­¬ng tr×nh (9.2.28)) vµ ph©n bè vËn tèc parab«n Euler, cho ta mét dßng ch¶y vÒ phÝa tr­íc t¹i ®¸y vµ mét dßng ch¶y ng­îc l¹i t¹i gi÷a ®é s©u (h×nh 9.5 C). Gi¶i thÝch nµy kh«ng ch¾c ch¾n l¾m bëi v× nã liªn quan ®Õn mét thµnh phÇn dùa vµo dßng kh«ng nhít vµ mét thµnh phÇn kh¸c dùa vµo dßng nhít. Nh÷ng vËn tèc t¹i mÐp líp biªn (z = - h): c U kh kH U s 2 2 2 ˆ 2 1 sinh8 1   (9.2.42) c U kh kH U e 2 2 2 ˆ 4 3 sinh16 3   (9.2.43) c U kh kH U m 2 2 2 ˆ 4 5 sinh16 5   . (9.2.44) Ph­¬ng tr×nh (9.2.40) hîp lÖ ®èi víi H < 2, cho ta mét cÊp ®é cao sãng Ýt quan träng ®èi víi thùc hµnh. Dùa trªn so s¸nh víi kÕt qu¶ thÝ nghiÖm, ®· nhËn ®­îc nh÷ng dù ®o¸n kh¸ tèt ®èi víi 0,7 < kh < 1,5. Longuet - Higgins còng cho thÊy cã thÓ sö dông ph­¬ng tr×nh (9.2.44) ®Ó m« t¶ vËn tèc vËn chuyÓn khèi l­îng ngay bªn ngoµi líp biªn trong tr­êng hîp dßng dao ®éng rèi tr¬n. 9.2.5. C¸c hiÖu øng phi tuyÕn: vËn chuyÓn khèi l­îng trong sãng ®æ VËn chuyÓn khèi l­îng còng ph¸t sinh do sãng ®æ. Trªn mùc ch©n sãng cã vËn chuyÓn khèi l­îng thùc tÕ h­íng vµo bê. Theo xÊp xØ bËc nhÊt, khèi l­îng vËn chuyÓn trªn mùc ch©n sãng cã thÓ ®¸nh gi¸ nh­ sau (xem ph­¬ng tr×nh 9.2.34): c gH Me 8 2  . (9.2.45) ¸p dông c = (gh)0,5 trong n­íc n«ng, ta cã: 223 h gH M 8 2  . (9.2.46) Gi¶ thiÕt kh«ng cã dßng thùc tÕ trong toµn bé ®é s©u, dßng trë l¹i, cßn gäi lµ dßng sãng déi, d­íi mùc ch©n sãng cã thÓ ®¸nh gi¸ b»ng (xem h×nh 9.6): t offm h H h g U 2 8 1 , . (9.2.47) LÊy ht = 0,8 h, ta cã: h H h g U offm 2 150,,  . (9.2.48) VÝ dô Gi¶ thiÕt h = 2 m vµ H = 1,2 m, dßng ch¶y trë l¹i lµ offmU , = 0,25 m/s. H×nh 9.6. VËn chuyÓn khèi l­îng trong sãng ®æ 9.3. C¸c thuéc tÝnh sãng tuyÕn tÝnh 9.3.1. Më ®Çu Nh÷ng thuéc tÝnh sau ®©y cña sãng tuyÕn tÝnh biªn ®é nhá ®­îc xem xÐt: • b­íc sãng • vËn tèc lan truyÒn sãng • vËn tèc h¹t chÊt láng • ®é dÞch chuyÓn h¹t chÊt láng • ¸p suÊt chÊt láng • n¨ng l­îng sãng vµ vËn chuyÓn • vËn tèc nhãm sãng vµ vËn tèc front sãng. 224 Th«ng th­êng c¸c ph­¬ng tr×nh m« t¶ nh÷ng thuéc tÝnh sãng cã thÓ ®¬n gi¶n hãa cho n­íc s©u vµ n­íc n«ng b»ng viÖc ¸p dông nh÷ng gi¸ trÞ tiÖm cËn cho nh÷ng hµm hyperbolic. Nh÷ng hµm hyperbolic cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau: 2 sinh khkh ee kh   2 cosh khkh ee kh   khkh khkh ee ee kh     tanh . Bá qua nh÷ng sai sè nhá h¬n 5 %, nãi chung cã thÓ ¸p dông c¸c xÊp xØ n­íc s©u vµ n­íc n«ng (c¸c h×nh 9.7 vµ 9.8): Nh÷ng xÊp xØ N­íc s©u kh < 0,1  (h < 0,05 L) N­íc n«ng kh >  (h > 0,5 L) sinh(kh) kh 1/2ekh cosh(kh) 1 1/2ekh tanh(kh) kh 1 Nh÷ng tham sè sãng n­íc s©u nãi chung ®­îc g¸n chØ sè d­íi 0, lµ H0, L0, c0 v©n v©n. H×nh 9.7. ChuyÓn ®éng quü ®¹o trong n­íc s©u vµ n­íc n«ng 225 H×nh 9.8. C¸c hµm hyperbolic 9.3.2. Quan hÖ ph©n t¸n Quan hÖ ph©n t¸n biÓu thÞ mèi t­¬ng quan hµm sè gi÷a chu kú sãng, b­íc sãng vµ gia tèc träng tr­êng nh­ sau: khgk tanh2  (9.3.1) hoÆc ) 2 tanh( 2 )( 2 L hgL T L    . (9.3.2) Ph­¬ng tr×nh (9.3.1) còng cã thÓ biÓu thÞ b»ng: khgkhk tanh0  (9.3.3) ) 2 tanh(0 L h LL   (9.3.4) ) 2 tanh(0 L h cc   (9.3.5) trong ®ã:  = 2 /T = tÇn sè gãc 226 k = 2 /L = sè sãng k0 =  2/g = 2 /L0 = sè sãng t¹i n­íc s©u L = b­íc sãng L0 = b­íc sãng t¹i n­íc s©u (= 2 g/ 2) T = chu kú sãng (h»ng sè) c = L / T = vËn tèc lan truyÒn sãng c0 = L0/T = vËn tèc lan truyÒn sãng t¹i n­íc s©u h = ®é s©u n­íc. Ph­¬ng tr×nh (9.3.1) kh«ng thÓ gi¶i t­êng minh khi biÕt chu kú sãng T. Nh÷ng hµm xÊp xØ do Nielsen (1984) ®­a ra, chÝnh x¸c ®Õn 1% ®èi víi kh < 3 (ph­¬ng tr×nh 9.3.6) vµ bëi Hunt (1979), chÝnh x¸c tíi 0,1% ®èi víi kh <  (ph­¬ng tr×nh 9.3.7). ),,( 2031016601 yyykh  (9.3.6) 65432 22 00654002180063201610355066601 yyyyyy y ykh ,,,,,, )(   (9.3.7) trong ®ã: 2 2 22 024 4 Th gT h g h y /,  . Quan hÖ ph©n t¸n, ph­¬ng tr×nh (9.3.2) ®­îc ®­a vµo d¹ng ®å thÞ trong h×nh 9.9 (Groen vµ Dorrestein, 1976). C¸c gi¸ trÞ ®Æc tr­ng sau ®©y cho n­íc n«ng vµ s©u: N­íc s©u: 20 2 T g L   . (9.3.8) T g c 2 0  . (9.3.9) N­íc n«ng: ghTL  (9.3.10) ghc  . (9.3.11) §é dµi sãng nhËn ®­îc ®èi víi T = 10 s vµ h = 50 m (cho ta y = 2,01) lµ: kh = 2,068 vµ L = 151,9 m theo víi ph­¬ng tr×nh (9.3.6) kh = 2,078 vµ L = 151,1 m theo víi ph­¬ng tr×nh (9.3.7) L = 150 m theo h×nh 9.9. Nh÷ng ph­¬ng tr×nh (9.3.2) vµ (9.3.5) dù ®o¸n ®é dµi vµ vËn tèc truyÒn sãng sÏ gi¶m vÒ phÝa bê, gi¶ thiÕt chu kú sãng kh«ng ®æi vµ ®é s©u gi¶m. 227 H×nh 9.9. Quan hÖ ph©n t¸n ë d¹ng ®å thÞ (Groen vµ Dorrestein, 1976) VÝ dô, T = 10 s: L0 = 156 m L = 152 m L = 131 m L = 92 m c0 = 15,6 m/s c = 15,2 m/s c = 13,1 m/s c = 9,2 m/s t¹i h = 500 m t¹i h = 50 m t¹i h = 25 m t¹i h = 10 m ¶nh h­ëng cña dßng ch¶y Khi sãng lan truyÒn vµo trong n­íc n«ng h¬n gÇn bê, chóng cã thÓ gÆp dßng ch¶y t­¬ng ®èi m¹nh ¶nh h­ëng tíi nh÷ng ®Æc tr­ng sãng. Mét dßng ch¶y ng­îc víi sãng lµm cho ®é cao sãng t¨ng vµ b­íc sãng gi¶m, nh­ vËy sãng trë nªn dèc, thËm chÝ ®¹t 228 ®iÓm sãng ®æ. Mét dßng ch¶y theo h­íng sãng lµm t¨ng b­íc sãng vµ gi¶m ®é cao sãng. MÆc dÇu ®é cao vµ b­íc sãng cã thÓ thay ®æi, chu kú sãng vÉn hÇu nh­ kh«ng ®æi so víi mét hÖ thèng täa ®é cè ®Þnh. Lý thuyÕt tuyÕn tÝnh cã thÓ vÉn øng dông cho hÖ thèng täa ®é chuyÓn ®éng víi vËn tèc dßng ch¶y (v). Tr­íc hÕt, xem xÐt mét dßng ch¶y ®ång nhÊt theo kh«ng gian (v) ®i theo sãng. Mét hÖ täa ®é chuyÓn ®éng víi vËn tèc v ®­îc ®­a ra. §é dµi sãng L' khi cã mÆt dßng ch¶y sÏ kh«ng ®æi ®èi víi mét hÖ täa ®é chuyÓn ®éng vµ cè ®Þnh, nh­ng chu kú sãng vµ vËn tèc pha thay ®æi phï hîp víi hÖ chuyÓn ®éng. Chu kú sãng vµ vËn tèc pha ®èi víi hÖ chuyÓn ®éng lµ cr vµ Tr, cho ta: L’ = c’T = crTr = (c’=v)Tr . (9.3.12) Nh­ vËy, TLv T cv T vc Tc Tr )'/(1'/1' '       . (9.3.13) Mét ng­êi quan s¸t chuyÓn ®éng víi vËn tèc b»ng vËn tèc pha sÏ chÞu mét t×nh huèng æn ®Þnh víi sãng "®ãng b¨ng" vµ Tr = . Trong tr­êng hîp dßng ch¶y ( v ) lµm mét gãc  víi h­íng sãng, cÇn ph¶i lÊy thµnh phÇn vËn tèc ( v cos ) theo h­íng sãng, cho ta: TLv T cv T vc Tc Tr )'/ cos (1'/1' '       . (9.3.14) Chu kú sãng t­¬ng ®èi còng cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau:  cos' vkr  . (9.3.15) Ph­¬ng tr×nh (9.3.15) vµ ph­¬ng tr×nh (9.3.11) lµ ®ång nhÊt. §é dµi sãng L' cã thÓ x¸c ®Þnh tõ ph­¬ng tr×nh ph©n t¸n mµ giê ®©y hîp lÖ víi hÖ chuyÓn ®éng, cho ta: )'tanh('2 hkgkr  . (9.3.16) ¸p dông L ' = crTr = (r/k')Tr ta cã: ' 2 tanh 2 ' ) ' ( 2 L hgL T L r    (9.3.17) hoÆc ' 2 tanh 2 ' )cos ' ( 2 L hgL v T L     (9.3.18) trong ®ã: v = ®é lín vect¬ vËn tèc trung b×nh ®é s©u  = gãc gi÷a h­íng dßng ch¶y vµ h­íng lan truyÒn sãng ( = 0o ®èi víi dßng ch¶y theo,  = 180o ®èi víi dßng ch¶y ng­îc,  = 90o ®èi víi dßng ch¶y vu«ng gãc víi sãng) c' = vËn tèc lan truyÒn sãng (tuyÖt ®èi) khi cã mÆt dßng ch¶y 229 T = chu kú sãng tuyÖt ®èi ( = 2 /T) cr = vËn tèc lan truyÒn sãng t­¬ng ®èi so víi dßng ch¶y (= c0 - v cos ). Tr = chu kú sãng t­¬ng ®èi so víi dßng ch¶y ( = 2 /Tr) L ' = b­íc sãng khi cã mÆt dßng ch¶y k' = sè sãng khi cã mÆt dßng ch¶y (= 2 /L '). Cã thÓ x¸c ®Þnh ¶nh h­ëng cña dßng ch¶y lªn vËn tèc pha vµ b­íc sãng trong n­íc s©u b»ng viÖc gi¶ thiÕt r»ng chu kú sãng vÉn kh«ng ®æi ®èi víi hÖ täa ®é cè ®Þnh, cho ta: cos ' ' ' ,0 0 0 0 0 0 vc L c L c L T r   . (9.3.19) L’0 vµ c’0 lµ b­íc sãng vµ vËn tèc pha thay ®æi do hiÖu øng dßng ch¶y ®em l¹i. H×nh 9.10. ¶nh h­ëng cña dßng ch¶y lªn b­íc sãng vµ vËn tèc pha trong n­íc s©u Trong n­íc s©u: L0 = 2c0 2/g, vµ L0' = 2c 2 0,r/g (lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh t­¬ng ®èi hîp lÖ víi dßng ch¶y) sau khi thay vµo ph­¬ng tr×nh (9.3.19) cho ta: cos,0 ,0 2 0 0 2 vc c c c r r   hoÆc rr ccvc ,0 2 0,0 )cos(   . (9.3.20) Lêi gi¶i ph­¬ng tr×nh (9.3.20): ) )cos4 11( 2 1 0 0,0 c v cc r   . (9.3.21) ¸p dông L'