Khảo sát và những vấn đề liên quan

Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 1 Câu 1. Khảo sát và những vấn đề liên quan Vấn đề 1: Tính đơn điệu của hàm số Với dạng này ta chỉ gặp tính đơn điệu của hàm số bậc ba: 3 2y ax bx cx d,a 0= + + + ¹ Ta có: 2y ' 3ax 2bx c= + + · Hàm số đồng biến trên ¡ khi và chỉ khi 2 3a 0 y ' 0, x ' b 3ac 0 >ìï³ " Î Û í D = - £ïî ¡ · Hàm số nghịch biến trên ¡ khi và chỉ khi 2 3a 0 y ' 0, x ' b 3ac 0 <ìï£ " Î Û í D = - £ïî ¡ Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 1) 3 2y x 3mx 3m(m 1)x 2= - + + + đồng biến trên ¡ 2) 3 2(m 1)xy (m 1)x (2m 3)x m 3 - = - - + - + nghịch biến trên ¡ . · Hàm số đồng biến trên a b( ; ) khi và chỉ khi ( )³ Û + + ³ " Î a b2y ' 0 3ax 2bx c 0, x ; (1) · Hàm số nghịch biến trên (a;b) khi và chỉ khi ( )£ Û + + £ " Î a b2y ' 0 3ax 2bx c 0, x ; (2). Để giải (1) và (2) ta cô lập tham số (nếu có thể) rồi dùng hàm số để giải quyết với chú ý * Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng: ( ) [ ]; m f(x), x ; m max f(x) a b ³ " Î a b Û ³ * Nếu (1) và (2) biến đổi về dạng: ( ) [ ]; m f(x), x ; m min f(x) a b £ " Î a b Û £ . Ví dụ 2. Tìm m để hàm số 1) 3 21y mx (m 1)x 3(m 2)x 1 3 = - - + - + đồng biến trên ( )2;+¥ 2) 3 2xy (m 1)x (2m 1)x m 3 = - + + + + nghịch biến trên ( )0;3 3) ( ) ( )3 2y m 1 x 3 m 1 x 2mx 4= + - + + + đồng biến trên khoảng có độ dài nhỏ hơn 1 . Trong trường hợp không cô lập được m thì ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 3 2 2y x (m 1)x (2m 3m 2)x m(2m 1)= - + - - + + - đồng biến trên )2;+¥éë . Vấn đề 2: Cực trị hàm số 1) Cực trị hàm số bậc ba: 3 2y ax bx cx d,a 0= + + + ¹ có 2y ' 3ax 2bx c= + + · Hàm số có cực trị Û y ' 0= có hai nghiệm phân biệt · Hàm số đạt cực trị tại 0 0 2 y '(x ) 0 x x ' b 3ac 0 =ìï= Û í D = - >ïî · Hàm số đạt cực đại tại 00 0 y '(x ) 0 x x y"(x ) 0 =ì = Û í <î · Hàm số đạt cực tiểu tại 00 0 y '(x ) 0 x x y"(x ) 0 =ì = Û í >î Ví dụ 1. Tìm m để các hàm số 1) 3 2y mx 3mx (m 1)x 1= + - - - có hai điểm cực trị 2) 3 2(m 1)xy (m 2)x (2m 1)x 4 3 - = - + + - + có cực trị 3) 3 2 2y x 3mx (m 1)x 2= - + - + đạt cực tiểu tại x 2= . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 2 Ví dụ 2. Tìm các số thực a,b,c,d (với a 0¹ ) sao cho hàm số : 3 2y ax bx cx d= + + + Đạt cực đại tại cdx 0,y 1= = và đạt cực tiểu tại ctx 1,y 0= = . Ví dụ 3. Tìm m để hàm số 2y (x m)(x 3x m 1)= - - - - có cực đại và cực tiểu thoả cd ctx .x 1= Ví dụ 4. Tìm m để 3 2m(C ) : y 2x mx 12x 13= + - - có điểm cực đại và cực tiểu và các điểm này cách đều trục tung. Ví dụ 5. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2y x 1 2m x 2 m x m 2 1= + - + - + + 1. Khảo sát vẽ đồ thị khi 2m = 2. Tìm m để đồ thi hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu và hoành độ của các điểm cực trị đó nhỏ hơn 1. Cách tính cực trị của hàm số bậc ba Cách 1: Nếu 2 2' b 3ac (Am B)D = - = + thì ta tìm các nghiệm 1 2x ,x của phương trình y ' 0= rồi thay vào phương trình hàm số ta tìm được 1 2y ,y . Ví dụ 1. Cho hàm số: ( )3 2y x 3x 3m m 2 x 1= - - + - (1) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0= . 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu. Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2 2 2y x 3x 3(m 1)x 3m 1= - + + - - - (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O . Cách 2: Nếu 2' b 3acD = - không đưa được về dạng trên (tức là phương trình y ' 0= có hai nghiệm xấu :D) Thì ta chia y cho y ' : y (kx l)y ' mx n= + + + . Khi đó ct cty mx n= + và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình : y mx n= + . Ví dụ 3. Cho hàm số 3 2 2y x 3x m x m= - + + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng : 1 5d : y x 2 2 = - . 2) Cực trị hàm số trùng phương: 4 2y ax bx c,a 0= + + ¹ có ( )2y ' 2x 2ax b= + , 2 by ' 0 x 0,x 2a = Û = = - · Hàm số có ba điểm cực trị b 0 2a Û - > . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: ( )A 0;c 2 2b 4ac b b 4ac b B ; ,C ; 2a 4a 2a 4a æ ö æ ö- - - - -ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø è ø và tam giác ABC là tam giác cân tại A và Oy là trục đối xứng. Ví dụ 1. Tìm m để hàm số 4 2 2y x 2m x 1= - + có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân. Ví dụ 2. Cho hàm số 4 2 2y x 2mx 2m 1= - + - (Cm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi =m 1 . 2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có gốc tọa độ O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hàm số 4 22 2y x mx= - + có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm. Ví dụ 4. Cho hàm số: 4 22 1y x mx m= - + + (Cm). Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị và tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của đồ thị (Cm) có diện tích bằng 1. Vấn đề 4. Bài toán phương trình tiếp tuyến Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 3 1) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số bậc ba Vấn đề 5. Bài toán giao điểm 1) Giao của đồ thị (C): ax by mx n + = + với đường thẳng : y cx dD = + Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và D : 2ax b cx d mcx (cn md a)x nd b 0 mx n + = + Û + + - + - = + (*) (C) cắt D tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt 1 2 nx ,x m¹ - Khi đó: ( ) ( ) D+ + Þ = + - = +2 2 2 21 1 2 2 1 2 2A x ;cx d ,B x ;cx d AB (c 1)(x x ) (c 1) a . Chú ý: 1S h.AB 2DIAB = với h d(I, )= D . Ví dụ 1. Tìm m để đường thẳng y 2x m= - + cắt đồ thị (C) : 2x 1y x 1 + = + tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 . Ví dụ 2. Tìm m để đường thẳng d : y 2x m= + cắt đồ thị x 1(C) : y x 1 + = - tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho tiếp tuyến của ( )C tại ,A B song song với nhau. Ví dụ 3. Tìm m để đường thẳng d : y 2x m= + cắt đồ thị (C): 2x 2y x 1 - = + tại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho AB 5= . Ví dụ 4. Tìm m để đồ thị (C): 2x 1y x 1 + = - cắt đường thẳng d : y 2x m= + tại hai điểm phân biệt nằm về một nhánh đối với (C). 2) Giao của đồ thị 3 2(C) : y ax bx cx d= + + + và : y mx nD = + PTHĐ giao điểm: 3 2ax bx (c m)x d n 0+ + - + - = (*) (C) cắt D tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có 3 nghiệm phân biệt · Nếu (*) có nghiệm 0x x= ta biến đổi (*) về dạng: ( )20(x x ) x x 0- a + b + g = và (*) có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình 2x x 0a + b + g = có hai nghiệm phân biệt khác 0x . · Nếu (*) không có nghiệm đặc biệt thì ta tìm các cô lập tham số rồi sự dụng hàm số để giải quyết Chú ý: Các giao điểm của (C) và D có dạng: i i iA (x ;mx n)+ trong đó ix là nghiệm của (*). Ví dụ 1. Cho hàm số 3 2y x 3x 4= - + (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3)> - đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ví dụ 2. Tìm m để đồ thị hàm số 3 2y x 6x 3m(m 4)x 8= - - + - cắt Ox tại ba điểm phân biệt. Ví dụ 3. Cho hàm số 3 22 ( 3) 4y x mx m x= + + + + ( mC ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi 1m = . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 4 2. Tìm m để đường thẳng : 4d y x= + cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt (0;4), ,A B C sao cho tam giác IBC có diện tích bằng 8 2 với (1;3)I . Ví dụ 4. Cho hàm số ( )3 2y x 2x 1 m x m= - + - + (1), m là số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3x , x , x thỏa mãn điều kiện : 2 2 31 2 2x x x 4+ + < . 3) Giao của đồ thị 4 2(C) : y ax bx c= + + và : y nD = PTHĐ giao điểm: 4 2ax bx c n 0+ + - = (1). Đặt 2t x , t 0= ³ ta có phương trình : 2at bt c n 0+ + - = (2). (C) và D cắt nhau tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm dương phân biệt 1 2t t< 2b 4a(c n) 0 b S 0 a c n P 0 a ì ïD = - - > ï ïÛ = - >í ï ï - = >ïî . Khi đó tạo độ các gia điểm là: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2A t ;n ,B t ;n ,C t ;n ,D t ;n- - . Ví dụ 1. Cho hàm số 4 2y x 2(m 1)x 2m 1= - + + - - (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m = . 2. Xác định tham số m để đồ thị (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt lập thành cấp số cộng. Ví dụ 2. Cho hàm số ( )4 2y x – 3m 2 x 3m= + + có đồ thị là (Cm), m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 0m = . 2. Tìm m để đường thẳng 1y = - cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. Ví dụ 3. Cho hàm số 4 2y x 2(m 1)x 2m 1= - + + + , ( )mC (m là tham số). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1.=m 2) Xác định m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lần lượt có hoành độ 1 2 3 4x ,x ,x ,x , 1 2 3 4(x x x x )< < < sao cho tam giác ACK có diện tích bằng 4 , với (3; 2)-K . 4) Bài toán suy đồ thị: Cho đồ thị (C) : y f(x)= . Từ đồ thị (C) hay suy ra đồ thị các hàm số sau ( )1(C ) : y f x= 2(C ) : y f(x)= 3 f(x) khi x I (C ) : y f(x) khi x I Îì = í- Ïî . Phương pháp: · Vẽ 1(C ) : Vì hàm số ( )y f x= là hàm số chẵn nên 1(C ) nhận Oy làm trục đối xứng. Do đó để vẽ đồ thị 1(C ) ta chỉ cần vẽ một bên Oy rồi lấy đối xứng qua Oy phần vừa vẽ ta được đồ thị 1(C ) . Mà với x 0³ thì ( )f x f(x)= nên 1(C ) (C)º , tức là phần đồ thị của 1(C ) nằm về phía bến phải trục Oy trùng với đồ thị (C). Vậy ta có cách vẽ đồ thị 1(C ) như sau B1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phia bên phải trục Oy (ta gọi là phần (1)) B2: Lấy đối xứng phần (1) qua Oy ta được phần (2) B3: Lấy hợp của hai phần (1) và (2) ta có đồ thị 1(C ) . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 5 · Vẽ 2(C ) : Ta có f(x) khi f(x) 0f(x) f(x) khi f(x) 0 ³ì = í- <î . Suy ra ứng với miền f(x) 0³ (tức là phần đồ thị (C) nằm trên Ox) thì hai đồ thị (C) và 2(C ) trùng nhau, còn miền f(x) 0< (tức là phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox) thì hai đồ thị (C) và 2(C ) đối xứng nhau qua Ox. Từ đó ta có cách vẽ đồ thị 2(C ) như sau: B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3)) B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4)) B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị 2(C ) · Vẽ 3(C ) : Ta có ứng với miền x IÎ thì hai đồ thị (C) và 3(C ) trùng nhau, còn ứng với miền x IÏ thi (C) và 3(C ) đối xứng nhau qua Ox, nên ta có cách vẽ 3(C ) như sau: B1: Phần đồ thị (C) nằm trên Ox thì ta giữ nguyên (ta gọi là phần (3)) B2: Phần đồ thị (C) nằm dưới Ox thì ta lấy đối xứng qua Ox (ta gọi là phần (4)) B3: Lấy hợp của hai phần (3) và (4) ta có đồ thị 2(C ) . Ví dụ 1. Cho hàm số ( )4 2y 2x – 4x 1= 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Với các giá trị nào của m , phương trình 2 2x x 2 m- = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt? Ví dụ 2. Cho hàm số: 3 2y 2x 9x 12x 4= - + - có đồ thị là (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt : 3 22 x 9x 12 x m- + = . Ví dụ 3. Cho hàm số 3y x 3x 1= - + (C). 1) Khảo sát và vẽ (C) 2) Tìm m để phương trình 3x 3x 1 m- + = có 6 nghiệm phân biệt. Vấn đề 6. Điểm thuộc đồ thi Ta thường gặp bài toán: Tìm điểm M nằm trên đồ thị (C) : y f(x)= thỏa mãn tính cách T nào đó. Để giải bài toán này ta làm như sau: Gọi M(m;f(m)) , dựa vào M thỏa tính chất T cho ta một phương trình ẩn m . Giải phương trình này ta tìm được m . Chú ý: Cho hai điểm M(a;b),N(c;d) · M, N đối xứng nhau qua Ox a c b d =ì Û í = -î · M, N đối xứng nhau qua Oy a c b d = -ì Û í =î · M, N đối xứng nhau qua O a c b d = -ì Û í = -î · 0 0 2 2 ax by c d(M, ) a b + + D = + . Ví dụ 1. Cho hàm số: xy x 1 = + (1) có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1). 2. Tìm các điểm M thuộc (C) có khoảng cách đến đường thẳng : 3x 4y 0D + = bằng 1. Ví dụ 2. Cho hàm số 3 2x 11y x 3x 3 3 = - + + - 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số . 2. Tìm trên ( )C hai điểm phân biệt ,M N đối xứng với nhau qua trục tung. Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 6 Ví dụ 3. Cho hàm số 2 11 xy x - = - , có đồ thị là (C). 1. Khảo sát vẽ đồ thị (C). 2. Tìm tọa độ hai điểm E, F thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho EF có độ dài nhỏ nhất. Câu 2. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1. Phương trình lượng giác Để giải phương trình lượng giác không mẫu mực ta sử dụng các công thức lượng giác biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác quen thuộc: Khi biến đổi ta tìm các đưa về một trong ba loại sau Loại 1: Phương trình chứa một hàm số lượng giác Chúng ta cần chú ý các công thức: · cos2x,cos3x luôn biểu diễn được qua cosx ; cos2x,sin3x luôn biểu diễn được qua sin x ; 2k 2msin x,cos x luôn biểu diễn được qua cos2x ; 2 2sin x cos x 1+ = . · 2tan x cot x sin 2x+ = và cot x tan x 2 cot2x- = . · 4 4 2 1 3 1sin x cos x 1 sin 2x cos 4x2 4 4+ = - = + ; 6 6 2 3 5 3sin x cos x 1 sin 2x cos 4x4 8 8+ = - = + . Loại 2: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos · Phương trình a sin x bcosx c+ = có nghiệm 2 2 2a b cÛ + ³ . · ± = -sin 3 cos 2 sin( )3x x x p ; ± = ±3 sin cos 2 sin( )6x x x p · 3 cosx sin x 2cos x 6 pæ ö± = ç ÷ è ø m ; cosx 3 sin x 2cos x 3 pæ ö± = ç ÷ è ø m · 1 1sin cos 2 sin cos 2 sin( )42 2 x x x x x pé ù± = ± = ±ê ú ë û . Loại 3: Phương trình tích Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung : · Các biểu thức 21 sin 2x (s inx cos x)+ = + ; cos 2x (cos x sin x)(cos x sin x)= - + ; sin x cos x1 tan x cos x + + = ; sin x cos x1 cot x sin x + + = nên chúng có thừa số chung là sin x cos x+ . · Các biểu thức 1 sin 2x- ; cos 2x ; 1 tan x- ; 1 cot x- có thừa số chung là cos x sin x- . · Các biểu thức 2 2sin x; tan x có thừa số (1 cos x)(1 cos x)- + . Tương tự 2 2cos x; cot x có thừa số (1 sin x)(1 sin x)- + . Khi biến đổi chúng ta cần chú ý một số nguyên tắc sau 1) Đưa các hàm số lương giác xuất hiện trong phương trình về một cung hoặc một hàm số lượng giác nếu có thể 2) Nếu gặp sin hoặc cos với lũy thừa cao ta có thể dùng công thức hạ bậc 3) Nếu gặp tích thì ta có thể biến đổi thành tổng và ngược lại 4) Nếu trong phương trình chứa sin, cos, tan và cot thì ta thay tan và cot qua sin và cos. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 7 1) 3sin cos sin2 3 cos 3 2(cos 4 sin )x x x x x x+ + = + 2) ( ) ( )3 3 4 44 cos 3 cos sin 3 sin 3 sin 6 1 3 cos sinx x x x x x x+ + = + - 3) ( ) ( )4 44 sin cos sin 4 3 1 tan2 tan 3x x x x x+ + - - = 4) (1 2 sin )cos 3(1 2 sin )(1 sin ) x x x x - =+ - 5) 3 cos5 2 sin 3 cos2 sin 0x x x x- - = . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau 1) 1+ sin x cos x sin 2x cos 2x 0+ + + = 2) 2cos x(cos x 1) 2(1 sin x)sin x cos x - = + + 3) 2 23 cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x+ = + 4) 2 sin 2x cos 2x 7 sin x 2 cos x 4- = + - 5) ( )sin2x cos2x cos x 2 cos2x sin x 0+ + - = 6) 22 sin 2 sin 7 1 sinx x x+ - = 7) 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cosx x x x x x- = - 8) 83cotx tanx 8 sin(x )3 p - = - . Ví dụ 3. Giải các phương trình sau 1) 1 3 tan x 2 sin 2x+ = 2) 2cot x tgx 4 sin 2x sin 2x- + = 3) 6 6sin x cos x sin 2x+ = 4) 4 4 3cos x sin x cos(x ) sin(3x ) 04 4 2 p p + + - - - = 5) 2 2 1 11 9sin 2 .cos6 sin 3 sin .sin2 2 2 x xx x x+ = 6) ( ) 21 2 2 sin2 cos2 6 tan ( )sin 4 8 x x xx p- + = - 7) (1 sin x cos2x)sin x 4 1 cos x1 tan x 2 æ öp + + +ç ÷ è ø = + 8) ( )6 62 sin cos sin cos 0 2 2 sin x x x x x + - = - . Vấn đề 2. Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình 1. Phương trình bậc cao: Cách 1: Đưa về dạng tích: f (x) 0f(x).g(x) 0 g(x) 0 =é = Û ê =ë . Để đưa về một phương trình tích ta thường dùng các cách sau: * Sử dụng các hằng đẳng thức đưa về dạng 2 2 3 3a b 0, a b 0,...- = - = * Nhẩm nghiệm rồi chia đa thức: Nếu x a= là một nghiệm của phương trình ( ) 0f x = thì ta luôn có sự phân thích: ( ) ( ) ( )f x x a g x= - . Để dự đoán nghiệm ta dựa vào định lí sau: Định lí: Nếu đa thức 11 1 0( ) ...n nn nf x a x a x a x a--= + + + + có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của 0a * Sử dụng phương pháp hệ số bất định. Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: Phương trình đối xứng: Là phương trình có dạng: 4 3 2 0ax bx cx bx a± + ± + = . Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 8 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho 2 ( 0)x x ¹ ta có : 2 2 1 1( ) ( ) 0a x b x cxx + ± + + = Đặt 1t x x= + với 2t ³ ta có 2 2 2 2 1 1( ) 2 2x x txx + = + - = - thay vào phương trình ta có: 2( 2) 0a t bt c- ± + = Dạng 2: ( )( )( )( )x a x b x c x d e+ + + + = trong đó a b c d+ = + Cách giải: Đặt 2 ( ) t x a b x= + + ta có : ( )( )t ab t cd e+ + = Dạng 3: 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = . Đặt 2 a bx t += - ta đưa về phương trình trùng phương. 2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Cách 1: Dùng định nghĩa: khi 0| | khi 0 a aa a a ì ³ï= í- <ïî Cách 2: Bình phương hai vế kết hợp với tính chất 2 2| |a a= 1) 2 2 ( ) 0 | ( ) | ( ) ( ) ( ) 0 g x f x g x f x g x ì ³ï= Û í - =ïî 2) ( ) ( )| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) f x g xf x g x f x g x é = = Û ê = -êë . Cách 3: Đặt ẩn phụ 3. Phương trình – bất phương trình vô tỉ Cách 1: Biến đổi tương đương * 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0n nf x g x f x g x= ³= Û * 2 2 ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ) n n g x f x f x g xg x ì ³ï í =ïî = Û * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ = Û = * 2 12 1 ( ) ( ) ( ) ( )nn f x g x f x g x++ > Û > * 2 ( ) ( )n f x g x< Û 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n f x g x f x g x ì ³ïï ³í ï <ïî * 2 ( ) ( )n f x g x> Û 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )n g x f x g x f x g x é <ê ê ³ê êì ³ïêíê >ïîë ì í î Cách 2: Đặt ẩn phụ Dạng 1: ( ( )) 0nF f x = , với dạng này ta đặt ( )nt f x= (nếu n chẵn thì phải có điều kiện 0t ³ ) và chuyển về phương trình ( ) 0F t = giải phương trình này ta tìm được t xÞ . Trong dạng này ta thường gặp dạng bậc hai: ( ) ( ) 0af x b f x c+ + = . Dạng 2: ( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( )) 0m f x g x n f x g x n f x g x p± ± + + + = . Vì ta có: 2( ( ) ( )) 2 ( ). ( ) ( ( ) ( ))n f x g x n f x g x n f x g x+ ± = ± Nên với dạng này ta đặt ( ) ( )t f x g x= ± . Bình phương hai vế ta sẽ biểu diễn được những đại lượng còn lại qua t và chuyển phương trình (bpt) ban đầu về phương trình (bpt) bậc hai đối với t. Dạng 3: n( ( ), ( )) 0nF f x g x = , trong đó ( , )F a b là một biểu thức đẳng cấp bậc k. Với dạng này ta xét hai trường hợp: Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 9 TH1: ( ) 0g x = thay vào phương trình ta kiểm tra, TH2: ( ) 0g x ¹ chia hai vế phương trình cho ( )kn g x và đặt ( )( )n f xt g x= ta được phương trình ( ) 0G t = là phương trình đa thức bậc k. Ta thường gặp dạng: . ( ) . ( ) . ( ) ( ) 0a f x b g x c f x g x+ + = . Đặt ( )( ) f xt g x= , ta có phương trình : 2 0at ct b+ + = . Dạng 4: . ( ) ( ) ( ) ( ) 0a f x g x f x h x+ + = . Với phương trình dạng này ta có thể đặt ( )t f x= , khi đó ta được phương trình theo ẩn t: 2 ( ) ( ) 0at g x t h x+ + = , ta giải phương trình này theo t, xem x là tham số (Tức là trong phương trình vừa có t vừa có x) nên ta thường gọi dạng này là dạng đặt ẩn phụ không triệt để. Dạng 5: ( ), ( ), ( )n mF f x a f x b f x cé ù+ - =ê úë û (I). Ta có thể đặt: ( ), ( )n mu a f x v b f x= + = - , lúc đó ta có hệ phương trình: ( , )n m f u v c u v a b ì =ï í + = +ïî giải hệ này ta tìm được u, v. Từ đây ta có được x. Chú ý : Khi tìm được u,v để tìm x ta chỉ cần giải một trong hai phương trình: ( ) n a f x u+ = hoặc ( )mb f x v- = . Dạng 6: ( )( ) ( )n nf x b a af x b+ = - (II) Để giải phương trình này ta đặt ( ); ( )nt f x y af x b= = - ta có hệ: n n t b ay y b at ì + =ï í + =ïî . Đây là hệ đối xứng loại II với hai ẩn t và y. Cách 3: Đánh giá Xét phương trình : ( ) ( )f x g x= xác định trên D. * Nếu phương trình 2 2 ( ) 0( ) ( ) 0 ( ) 0 u xu x v x v x ì =ïÛ + = Û í =ïî * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x m x x Dg x m x ì ³ï " Îí £ïî thì : ( ) ( )PT f x g x= với x DÎ ( ) ( )( ) ( ) f x m x g x m x ì =ïÛ í =ïî . Trong cách đánh giá này ta thường dùng các hằng đẳng thức và các bất đẳng thức quen thuộc (như BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacovski, BĐT chứa trị tuyệt đối… )để đánh giá hai vế. III. Hệ phương trình 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. Định nghĩa: Là hệ có dạng: ' ' ' ax by c a x b y c ì + =ï í + =ïî , trong đó , , , ’, ’, ’a b c a b c là các số thực cho trước và a,b,a’,b’ không đồng thời bằng không. b. Cách giải: Dùng định tthức Crame Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 10 Ta có các định thức: c c; ; ' ' ' ' ' c 'x y a b b aD D Da b c b a= = = . * Nếu D 0¹ thì hệ có nghiệm duy nhất: ; yx DDx yD D= = . * Nếu 0x yD D D= = = thì hệ vô số nghiệm: ( 0) x c axy bb ì Î ï í - = ¹ïî ¡ * Nếu 0 0 0 x y D D D ì = ï é ¹í êï ¹êëî thì hệ đã cho vô nghiệm. 2. Hệ đối xứng loại I a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; ) f x y a g x y b ì =ï í =ïî (I) trong đó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức đối xứng, tức là ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; )f x y f y x g x y g y x= = . b. Cách giải: Đặt , S x y P xy= + = . Biểu diễn ( ; ), ( ; )f x y g x y qua S và P ta có hệ ( ; ) 0( ; ) 0 F S P G S P ì =ï í =ïî giải hệ này ta tìm được S, P. Khi đó x,y là nghiệm của phương trình : 2 0 (1)X SX P- + = . c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P. 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + - = - + = + + - = - + = + = + = + - = - - d. Chú ý: * Nếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * Hệ (I) có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0S P- ³ . 3. Hệ đối xứng loại 2 a. Định nghĩa: Là hệ có dạng ( ; )( ; ) f x y a f y x a ì =ï í =ïî (II) b. Cách giải: Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được : ( ; ) ( ; ) 0f x y f y x- = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 x yx y g x y g x y é = Û - = Û ê =êë . c. Chú ý: Nếu hệ (II) có nghiệm 0 0( ; )x y thì 0 0( ; )y x cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là 0 0x y= . 4. Hệ đẳng cấp a. Định nghĩa: *Biểu thức f(x;y) gọi là đẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; )kf mx my m f x y= * Hệ: ( ; )( ; ) f x y a g x y b ì =ï í =ïî trong đó f(x;y) và g(x;y) đẳng cấp gọi là hệ đẳng cấp b. Cách giải: *Xét x=0 thay vào hệ kiểm tra Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa Tài liệu luyện thi cấp tốc GV:Nguyễn Tất Thu: 01699257507 Page 11 * Với 0x ¹ đặt y tx= thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; )( ; ) (1; ) k k f x tx a x f t a g x tx b x g t b ìì = =ï ïÛí í= =ï ïî î (1; ) (1; )af t g tbÛ = . 5. Phương pháp thế: Đây là phương pháp khá hữu hiệu thường hay được sử dụng trong giải hệ phương trình . Nội dung của phương pháp này từ một phương trình hoặc kết hợp hai phương trình của hệ ta biểu diễn ẩn này qua ẩn kia hoặc một biểu thức này qua biểu thức khác và thế vào phương trình còn lại chuyển về phương trình một ẩn (có thể là ẩn phụ). Mục đích của việc làm này là giảm số ẩn. Tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán mà ta có những cách biến đổi phù hợp. Trong phương pháp này ta cần lưu ý một số dấu hiệu sau. 1) Nếu trong hệ phương trình có một phương trình bậc nhất đối với một ẩn thì ta rút ẩn đó qua ẩn kia thế vào phương trình còn lại và chuyển về giải phương trình một ẩn. 2) Với hai số thực bất kì x 0; y¹ ta luôn có y tx= (t là số thực cần tìm). Với cách làm này ta sẽ được hệ về phương trình một ẩn t. 3) Phương trình ( ; ) ( ; )f x y f y x= luôn có một cặp nghiệm x y= , do đó ta luôn phân tích phương trình đã cho về dạng: ( ) ( ; ) 0x y g x y- = 4) Trong hệ phương trình nếu biểu thức u(x) xuất hiện ở hai phương trình thì ta có thể đặt ( )t u x= để làm đơn giản hình thức bài toán. 5) Nếu mỗi vế của hai phương trình là những biểu thức đồng bậc, ta có thể đặt ( 0)x ty y= ¹ và từ hai phương trình của hệ ta rút ra được: ( )( ) y f t y g t ì =ï í =ïî , giải phương trình ( ) ( )f t g t= ta tìm được t, từ đó suy ra x và y . Bài 1. Giải các phương trình sau. 1. 4 1 1 2x x x+ - - = - 2. 22 6 1 1x x x+ + = + 3. 2 2 2 3( 1 1) x x x = + + - 4. 2 24 3 2 2 1x x x x x+ + + - - = + 5. ( )2 27(2 1) 4 3 2 6 2x x x+ + - + = 6. 2 5 5x x+ + = 7. 13 2 1 2x x x+ - + = + 8. 3 3 32 1 16 2 1x x x- = - + 9. 4 1 52x x xx x x+ - = + - 10. 22 1 ( 1) 0x x x x x x- - - - + - = 11. 32 1 2 1 2 xx x x x +- - + + - = 12. 2 3 2 1 3 2 x x x x - - =