Kinh tế học - Chương 6: Ước lượng

21/01/2015 1 CHÖÔNG 6 ÖÔÙC LÖÔÏNG 1 Trung bình không biết Tổng thể Mẫu ngẫu nhiên 95% giá trị nằm giữa 40 & 60. Trung bình = 50 Tiến trình ước lượng Mẫu   2 6.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM: Một ước lượng tham số tổng thể được cho bởi một con số thì được gọi là ước lượng điểm của tham số tổng thể. VÍ DỤ : công ty A có hàng ngàn công nhân.  Thăm dò 100 công nhân của công ty nhận thấy thu nhập trung bình là 1,5 triệu đồng/tháng.  Sử dụng trung bình mẫu để ước lượng thu nhập trung bình của công nhân công ty A.  Ta nói thu nhập trung bình của công nhân công ty được ước lượng là 1,5 triệu đồng/tháng. 3 THỐNG KÊ TOÁN ĐÃ CHỨNG MINH : E(S2) = 2 DO ĐÓ KHI ĐÃ CÓ MẪU CỤ THỂ TA LẤY : 4 ( )E X  ˆ( )E P p 2 2 μ x ˆp p σ s    21/01/2015 2 6.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG : Giả sử tổng thể chung có chưa biết .Căn cứ vào mẫu gồm có n đơn vị, ta đưa ra , là các đại lượng ngẫu nhiên sao cho: Với : : độ tin cậy của khoảng ước lượng đó. : giới hạn tin cậy trên : giới hạn tin cậy dưới 5 1 2 1 2( ) 1P        1  1 2  VÍ DỤ: Kiểm tra 50 bóng đèn của một công ty, thấy tuổi thọ trung bình là 1000 giờ.  Sử dụng tuổi thọ trung bình mẫu (50 bóng đèn) để ước lượng cho trung bình của tổng thể (bóng đèn do công ty sản xuất) với sai số là 100 giờ.  Ta nói tuổi thọ trung bình của bóng đèn do công ty trên sản xuất từ 900 đến 1100 giờ. 6 6.2.1 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ : Giả sử ta có mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát được chọn từ tổng thể có phân phối chuẩn với chưa biết.Với độ tin cậy cho trước, trung bình tổng thể được xác định như sau: Ta có các trường hợp a) n  30 + PHƯƠNG SAI ĐÃ BIẾT: + PHƯƠNG SAI CHƯA BIẾT: TA THAY BẰNG S2 (PHƯƠNG SAI MẪU HIỆU CHỈNH) 7 /2 /2-z x x z n n        2 2  1  2 8 b) n < 30 + PHÖÔNG SAI 2 ÑAÕ BIEÁT: /2 /2-z x x z n n        + PHÖÔNG SAI 2 CHÖA BIEÁT: 1, /2 1, /2- n n s s x t x t n n      21/01/2015 3 9 (1-α)100% 80% 1.28 85% 1.44 90% 1.645 95% 1.96 98% 2.33 99% 2.58 99.8% 3.08 99.9% 3.27 - TÓM TẮT- Phương sai của tổng thể Chưa biết Đã biết  Cỡ mẫu lớn (n > 30) Cỡ mẫu nhỏ (n ≤ 30) /2x z n    /2 s x z n  1 /2 n sx t n   10 VÍ DUÏ : ÑEÅ ÖÔÙC LÖÔÏNG TUOÅI THOÏ TRUNG BÌNH CUÛA MOÄT LOAÏI SAÛN PHAÅM, NHAÂN VIEÂN KYÕ THUAÄT CHOÏN 40 SAÛN PHAÅM MOÄT CAÙCH NGAÃU NHIEÂN TÖØ KHO SAÛN PHAÅM. KEÁT QUAÛ KIEÅM TRA CHO THAÁY TUOÅI THOÏ TRUNG BÌNH LAØ 200 GIÔØ; S 2 = 5776. GIAÛ SÖÛ RAÈNG TUOÅI THOÏ CUÛA SAÛN PHAÅM COÙ PHAÂN PHOÁI CHUAÅN, HAÕY ÖÔÙC LÖÔÏNG TUOÅI THOÏ TRUNG BÌNH CUÛA SAÛN PHAÅM TREÂN VÔÙI ÑOÄ TIN CAÄY LAØ 95%. 11 Hãy ước lượng chiều cao trung bình của một sinh viên nữ của trường này với độ tin cậy: a) 95% b) 99% 12 VÍ DỤ: Số sinh viên nữ ở trường Đại học XYZ là 1.546 sinh viên. Chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm 100 sinh viên nữ với các chiều cao như sau: Chiều cao (cm) Số SV 151–158 5 159–166 18 167–174 41 175–182 27 183–190 9 21/01/2015 4 13  VÍ DỤ : Một mẫu gồm 10 độ đo đường kính của một quả cầu, có đường kính trung bình là 4,38 cm và độ lệch chuẩn s = 0,06 cm. Hãy tìm khoảng tin cậy của đường kính thực với độ tin cậy a) 95%; b) 99%.  Công thức ước lượng:  a) 1 –  = 0,95   = 0,05  t0,025(9) = 2,2622.  Khoảng tin cậy (4,3348; 4,4252)cm.  b) 1 –  = 0,99   = 0,01  t0,005(9) = 3,250.  Khoảng tin cậy (4,3150; 4,4450)cm. n 1, /2 S X t n   6.3 ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ TỔNG THỂ: Nếu là tỷ lệ các phần tử thỏa đặc tính cần nghiên cứu của một mẫu ngẫu nhiên cỡ n, khoảng tin cậy với độ tin cậy (1-  ) cho tỷ lệ p các phần tử có đặc tính nghiên cứu của tổng thể là pˆ /2 /2 ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 ) ˆ ˆ p p p p p p p n z z n        Bài toán: cần tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ p của tổng thể thỏa mãn một đặc tính nào đó. 14 15 VÍ DUÏ: MOÄT COÂNG TY KINH DOANH GAS THÖÏC HIEÄN MOÄT NGHIEÂN CÖÙU ÑEÅ ÖÔÙC LÖÔÏNG TYÛ LEÄ CAÙC HOÄ GIA ÑÌNH COÙ SÖÛ DUÏNG GAS LAØM CHAÁT ÑOÁT. KEÁT QUÛA ÑIEÀU TRA MAÃU NGAÃU NHIEÂN 50 HOÄ GIA ÑÌNH CHO THAÁY COÙ 35 HOÄ SÖÛ DUÏNG GAS LAØM CHAÁT ÑOÁT. VÔÙI ÑOÄ TIN CAÄY 95% HAÕY ÖÔÙC LÖÔÏNG TYÛ LEÄ HOÄ GIA ÑÌNH SÖÛ DUÏNG GAS LAØM CHAÁT ÑOÁT. 16 Biết lương tháng của công nhân (Đv: triệu đồng) trong một nhà máy có phân phối chuẩn. Chọn ngẫu nhiên16 công nhân khảo sát Công nhân gọi là có thu nhập cao nếu lương tháng từ 2 triệu đồng trở lên. Hãy lập khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ công nhân có thu nhập cao. Lương tháng 0.8 1.0 1.2 1.3 1.5 1.7 2 2.3 2.5 Số công nhân 1 1 2 2 2 3 2 2 1 Ví dụ 21/01/2015 5 17  VÍ DỤ :  Một mẫu thăm dò ý kiến của 100 cử tri được chọn ngẫu nhiên tại một quận cho thấy có 55% trong số này ủng hộ ứng cử viên A. Hãy tìm khoảng tin cậy tỷ lệ của tất cả các cử tri ủng hộ ứng cử viên A, với độ tin cậy: a) 95%; b) 99%; 18  Gọi p là tỷ lệ của tất cả các cử tri tại địa phương này ủng hộ ứng cử viên A.  Áp dụng công thức ước lượng:  a) Với 1 –  = 95%  z/2 = 1,96  Vậy 0,4525 < P < 0,6475, hay p(0,4525; 0,6475)  b) Với 1 –  = 99%  z/2 = 2,58.  Khoảng tin cậy của p là: 0,4216 < P < 0,6784. /2 ˆ ˆ(1 ) ˆ p p p z n    0,55(1 0,55) 0,55 1,96 0,55 0,0975 100     6.4 ƯỚC LƯỢNG KHÁC BIỆT TRUNG BÌNH 2 TỔNG THỂ 6.4.1 Trường hợp mẫu phối hợp từng cặp (không độc lập): Trong đó: là trung bình của 2 tổng thể 19 1 n i i d d n   2 1 ( ) 1 n i i d d d S n      /2, 1 /2, 1 d d n X Y n S S d t d t n n         Là trung bình của n khác biệt (xi-yi) Là độ lệch tiêu chuẩn của n khác biệt (xi- yi) ,X Y  Ví dụ:Một công ty thực hiện biện pháp tăng năng suất lao động .Số liệu NSLĐ của 10 công nhân trước và sau khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ như sau 20 Công nhân Năng suất lao động của công nhân trước và sau khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ Trước Sau A 50 52 -2 B 48 46 2 C 45 50 -5 D 60 65 -5 E 70 78 -8 F 62 61 1 G 55 58 -3 H 62 70 -8 I 58 67 -9 K 53 65 -12 i i id x y  21/01/2015 6 B1: Gọi lần lượt là NSLĐ của công nhân trước và sau khi thực hiện biện pháp tăng NSLĐ B2: + Vì n=10<30 nên áp dụng công thức Với độ tin cậy 95% Từ số liệu tính được: 21 ,X Y  /2, 1 /2, 1 d d n X Y n S S d t d t n n         1 4.9 n i i d d n     2 1 ( ) 4.4833 1 n i i d d d S n       /2, 1 2.262nt   4,4833 4,4833 4,9 2,262 4,9 2,262 10 10 8,1069 1,6931 1.6931 8,1069 X Y X Y Y X                       B3: Kết luận : Vậy với độ tin cậy 95% có thể nói các biện pháp tăng NSLĐ đã làm tăng NSLĐ trung bình của 1 công nhân từ 1,6931 đến 8,1069kg/ngày 22 6.4 ƯỚC LƯỢNG KHÁC BIỆT TRUNG BÌNH 2 TỔNG THỂ 6.4.2 Trường hợp mẫu độc lập: Trong đó: là trung bình của 2 tổng thể là trung bình mẫu của 2 tổng thể là phương sai của 2 tổng thể Trong trường hợp cỡ mẫu lớn ta có thể dùng phương sai mẫu hiệu chỉnh để thay cho phương sai tổng thể (nếu chưa biết phương sai tổng thể) 23 2 2 2 2 /2 /2( ) ( ) X Y X Y X Y X Y X Y x y Z x y Z n n n n                 2 2,X Y  ,x y ,X Y  , 30x yn n  2 2,x ys s Ví dụ : Một công ty nghiên cứu thị trường được thực hiện một cuộc khảo sát khách hàng của một chuỗi của hàng thực phẩm lớn để ước lượng sự khác biệt trong thời gian trung bình mỗi lần ghé cửa hàng của khách hàng nam và khách hàng nữ với độ tin cây là 95%.Nghiên cứu cho thấy phương sai của khách hàng nam là 11 phút và nữ là là 16 phút.Công ty chọn ngẫu nhiên 100 khách hàng nam và 100 khách hàng nữa vào những thời điểm khác nhau ở các cửa hàng khác nhau trong chuỗi của hàng này để khảo sát.Kết quả là thời giant rung bình của khách nam tại cửa hàng là 34.5 phút còn thời giant rung bình của khách nữ là 42.4 phút. 24 21/01/2015 7 B1: Gọi lần lượt là thời gian trung bình tổng thể tại cửa hàng của khách nam và khách nữ lần lượt là phương sai tổng thể thời gian tại cửa hàng của khách nam và khách nữ B2: + Xác định số liệu + Áp dụng công thức, tính toán 25 ,X Y  2 2,X Y  2 2 /2 34.5, 42.4; 11, 16 1 95% 1.96 X Yx y Z            2 2 2 2 /2 /2( ) ( ) 11 16 11 16 (34.5 42.5) 1.96 (34.5 42.5) 1.96 100 100 100 100 11.7056 4.0944 X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y x y Z x y Z n n n n                                    B3: Kết luận : Vậy với độ tin cậy 95% trung bình khách hàng nữ mất nhiều thời gian tại cửa hàng hơn khách hàng nam từ 4.0944 đến 11.7056 phút 26