Lý thuyết điều khiển tự động

BÀI GIẢNGLÝ THUYẾTĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNGThạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNHNĂM 2009CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG4.1 Khái niệm về ổn định4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.1.1 Định nghĩa4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHHệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO)Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống.Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn.4.1.1 Định nghĩa4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHĐối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng.Phân biệt ba trạng thái cân bằng:- Biên giới ổn định- ổn định- và không ổn định4.1.1 Định nghĩa4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHTrên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu vị trí c. Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định.cabd4.1.1 Định nghĩa4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHCũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng.cabdTrong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHMột hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng tổng quát:Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng:4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHNghiệm của (4.1) gồm hai thành phần:Trong đó: c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập cqđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ.4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHDạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống:Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính:pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, , n4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHZero là nghiệm của phương trinh B(s) = 0. Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m 0 Hệ không ổn địnhnếu pi là nghiệm phứcnếu pi là nghiệm thực(Hệ ở biên giới ổn định)4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNHPhân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số:Phần thực của nghiệm cực dương i > 0Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0Phần thực của nghiệm cực âm i 3) được tính theo công thức:Với4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐBảng Routh:snc11= a0c12=a2c13=a4c14=a6-sn-1c21=a1c22=a3c23=a5c24=a7-sn-2c31=c12-3c22c32=c13-3c23c33=c14-3c24c34=c15-3c25-sn-3c41=c22-4c32c42=c23-4c33c43=c24-4c34c44=c25-4c35--------s0cn1=cn-2,2-ncn-1,24.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐPhát biểu tiêu chuẩn RouthĐiều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặc phẳng phức.4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVí dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:s4151S3420S21S10S01Giải:Bảng Routh4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định.4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVí dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau:G(s)R(s)H(s)C(s)4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐGiải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐBảng Routh:s511630s463150S30S250S10S050Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có 2 nghiệm nằm bên phải mặt phằng phức, do đó hệ thống không ổn định.4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVí dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ. Hãy xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định.G(s)R(s)C(s)4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐGiải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là:4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐBảng Routh:s413KS3320S2KS10S0K4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐĐiều kiện để hệ thống ổn định:Các trường hợp đặc biệt:Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số dương, nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVí dụ 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:s4143s3280s23s2 >03s10s03Giải:Bảng Routh4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định.Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:- Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàm trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là Ap(s).Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của . Sau đó quá trình tính toán tiếp tục.Chú ý: nghiệm của đa thức Ap(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng.4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐVí dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là:Xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo của của mặt phẳng phức?4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐs5187s4484s3s24s10s180S0Giải:Bảng Routh4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐĐa thức phụ:Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng:Kết luận: Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo. Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3. Hệ thống ở biên giới ổn định.4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐCho hệ thống có phương trình đặc trưng:Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc:- Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an. Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ- Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo.4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐPhát biểu tiêu chuẩn HurwitzĐiều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương.Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng làHỏi hệ thống có ổn định không?Giải:Ma trận Hurwitz:4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐCác định thức:Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định.4.3.1 Khái niệm4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐXét hệ thống có phương trình đặc tínhNghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K:K = 0: s1 = 0 s2 = - 4K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3K = 4: s1 = - 2 s2 = - 24.3.1 Khái niệm4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐK = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - jK = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732 K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số.4.3.1 Khái niệm4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐĐịnh nghĩa:Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 đến .0- 1- 2- 3- 4+ 2j+ 1j- 1j- 2jReIm s4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐXét hệ thống có sơ đồ khối sau:G(s)R(s)H(s)C(s)Phương trình đặc tính của hệ:Muốn áp dụng các quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng:trong đó K là thông số thay đổi.4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐĐặt:Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s), phương trình (4.12) trở thành:Điều kiện biên độĐiều kiện pha4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐSau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12);Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n.Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s).Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ.4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐQuy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi:Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A xác định bởi:Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐQuy tắc 8: Giao điểm của quỷ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây: Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz. Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K.Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi:Dạng hình học của công thức trên là: j = 1800 + ( góc từ các zero đến cực pj) - ( góc từ các cực còn lại đến cực pj).4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐQuy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVí dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVí dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +G(s)R(s)C(s)Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐCác cực: ba cực: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.Các zero: không có.Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trìnhTa có (1)Do đó- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây:Ta có (1)Cách 1:Áp dụng tiêu chuẩn Rouths316s25Ks10s0K4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐĐiều kiện để hệ thống ổn định:Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30.Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐCách 2:Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j. Thay s = j vào phương trình (1) ta được:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ0- 3ReIm s- 24.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVí dụ 8: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐCác cực: p1 = 0 , p2 = - 4 + j2 ; p3 = - 4 – j2 QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.Các zero: không có.Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trìnhTa có (1)Do đóDo đó4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVậy, quỷ đạo nghiệm có hai nghiệm tách nhập.- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.Thay s = j ta được:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVậy, giao điểm của QĐNS và trục ảo là:- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p2 là:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVẽ QĐNS của hệ thống:0ReIm s-63,50-1-2-3-4+j2- j24.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVí dụ 9: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hàm truyền hở là:Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  +Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐCác cực: p1 = 0 , p2 = - 3 ; p3,4 = - 4  j2 QĐNS gồm có bốn nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.Các zero: z1 =1Khi K  +, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi:- Góc giữa các tiệm cận và trục thực:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực:- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trìnhTa có (1)4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐDo đóVậy, quỷ đạo nghiệm số không có điểm tách nhập4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác định bằng cách thay s = j vào phương trình đặc tính.Thay s = j ta được:4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐVậy, giao điểm cần tìm là:Hệ số khuếch đại giới hạn là: Kgh = 3224.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p30ReIm s-1-4+j2- j2-2-312344.4.1 Nguyên lý góc quay4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐXét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:Đa thức A(s) được viết dưới dạng:Với p1, p2, ,pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính.Thay s = j vào phương trình (4.17) ta có:4.4.1 Nguyên lý góc quay4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐGiả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực dương), còn (n – m) nghiệm trái có phần thực âm.Góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số G(j)j+(j -Pm)(j -Pn - m)0j+- PmPn - m4.4.1 Nguyên lý góc quay4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐKhi tần số  thay đổi từ - đến + thì sự thay đổi góc quay của véctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ là:Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay.Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:Hệ có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái:4.4.1 Nguyên lý góc quay4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐVéctơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái (n – m) và nghiệm phải (m) nhân với  khi  biến thiên từ - đến +.Nguyên lý góc quay:Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n – m) nghiệm trái có vectơ đa thức đặc tính tần số A(j) sẽ quay một góc là (n – 2m)/2 vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ - đến +4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐTiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Tiêu chuẩn ổn định dựa vào nguyên lý góc quay được A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn định là biểu đồ véctơ đa thức đặc tính A(j) xuất phát từ nửa trục thực dương tại  bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số  biến thiên từ 0 đến +, với n là bậc của phương trình đặc tính của hệ thống. Chứng minh:Xét hệ thống bậc n có phương trình đâc tính:Hệ thống ổn định nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức.4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐTheo nguyên lý góc quay:Vì A(j) và A(-j) là phức liên hợp nên:Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng:4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐHệ ổn địnhn = 1n = 2n = 3n = 4n = 5ReIm0 = 0  Hệ không ổn địnhn = 1ReIm0 = 0n = 4n = 2n = 34.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Xây dựng biểu đồ Mikhailov Thay s = j vào phương trình đặc tính sau đó tách phần thực và phần ảo:Trong đó: P() là hàm chẵn với : P(-) = P() Q() là hàm lẻ với : Q(-) = - Q() Từ biểu thức A(j) nhận được bằng cách thay s = j vào mẫu số hàm truyền:Ta nhận thấy A(j) chính là đường chéo của đa giác có cạnh tương ứng bằng akn-k và các cạnh vuông góc với nhau.4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐVí dụ: Xét hệ bậc ba n = 3Cho  biến thiên từ 0 đến  bằng phương pháp xây dựng toàn bộ biểu đồ đa thức đặc tính A(j).ReIm0Ví dụ: Xét hệ bậc ba n = 34.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ Đa thức đặc tính (mẫu số hàm truyền đạt của hệ cần xét ổn định ở trạng thái hở hoặc trạng thái kín) được phân tích thành hai thành phần:Ví dụ:T1 = 0,5; T2 = 2; T3 = 0,1. Tính Kgh4.4.2 Tiêu chuẩn ổn định tần số4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐXây dựng biểu đồ:Từ đó suy ra: = 0ImRe10KghCho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau:G(s)R(s)C(s)Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặc ra là xét tính ổn định của hệ thống kín Gk(s).4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐTiêu chuẩn NyquistHệ thống kín Gk(s) ổn định nếu đường cong Nyquist của hệ hở G(s) bao điểm (-1, j0)l/2 vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi  thay đổi từ 0 đến +, trong đó l là số cực của hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐVí dụ: Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vị, trong đó hệ hở G(s) có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết G(s) ổn định. Xét tính ổn định của hệ thống.4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐImRe0(-1, j0)(1)(2)(3) = 0Vì G(s) ổn định trên trên G(s) không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquyst hệ kín ổn định nếu đường cong Nyquyst G(j) của hệ hở không bao điểm (-1,j0), vì vậy:4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐTrường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.Chú ý: đối với hệ thống có khâu tích phân lý tưởng. Để xác định đường cong Nyquyst có bao điểm (-1,j0) hay không ta vẽ thêm cung -/2 bán kính vô cùng lớn ( là số khâu tích phân lý tưởng trong hàm truyền hệ hở)4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐVí dụ: Xét tính ổn định của hệ thống hồi tiếp âm đơn vị biết hàm truyền của hệ hở là:Giải: tủy theo giá trị của K, T1, T2, T3 mà biểu đồ Nyquyst của hệ hở có thể có một trong ba dạng sau:4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐjQ()0(-1, j0)(1)(2)(3) = 0G(j)P()4.4.3 Tiêu chuẩn ổn định Nyquist4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐVì hệ kín không có cực nằm phía bên phải mặt phẳng phức nên:Trường hợp 1: G(j) không bao điểm (-1,j0) suy ra hệ ổn định.Trường hợp 2: G(j) qua điểm (-1,j0) suy ra hệ kín ở biên ổn định.Trường hợp 3: G(j) bao điểm (-1,j0) suy ra hệ kín không ổn định.Ví dụ: cho hệ thống có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có ổn định không?4.4.4 Tiêu chuẩn ổn ổn định Bode4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐG(s)R(s)C(s)Hệ thống kín Gk(s) ổn định nếu hệ thống hở G(s) có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha dương.Hệ thống ổn định