Lý thuyết tổ hợp - Mô hình hồi qui đơn giản

Economics 20 - Prof. Anderson 1 Mô hình hồi qui đơn giản y = β0 + β1x + u Economics 20 - Prof. Anderson 2 Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thời gian (Time Series Models for Forecasting) Ôn tập phương pháp hồi qui Review of Regression Nguyễn Ngọc Anh Trung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển Nguyễn Việt Cường Đại học Kinh tế Quốc dân Economics 20 - Prof. Anderson 3 Hồi qui là gì? Là một công cụ quan trọng nhất của các nhà nghiên cứu kinh tế Hồi qui là phương pháp mô tả và đánh giá mối quan hệ giữa một biến (gọi là biến phụ thuộc, thường ký hiệu là y) với một hay nhiều biến khác (gọi là biến độc lập, x1, x2, ... , xk ) Economics 20 - Prof. Anderson 4 So sánh hồi qui và tương quan Trong quan hệ tương quan, hai biến y và x là tương đương nhau. Trong mô hình hồi qui, chúng ta coi biến độc lập và biến phụ thuộc là hoàn toàn khác nhau. Biến y được giả thiết là có tính ngẫu nhiên, còn biến x được giả thiết là cố định (nhận giá trị cố định) Economics 20 - Prof. Anderson 5 So sánh hồi qui và tương quan Mô hình hồi qui cho phép chúng ta ước lượng (estimate) và suy diễn thống kê (inferences) các tham số của tổng thể. Trong kinh tế lượng, mục tiêu của chúng ta là ước lượng tác động nhân quả của việc X thay đổi một đơn vị đối với Y. Economics 20 - Prof. Anderson 6 Nếu so sánh, thì ở giác độ tổng quan việc ước lượng mô hình hồi qui cũng giống như ước lượng con số trung bình. Trong mô hình hồi qui, việc suy diễn thống kê bao gồm các việc sau Ước lượng (Estimation): „ Làm thế nào để ước lượng Kiểm định giả thuyết (Hypothesis testing): „ Tham số ước lượng được có khác 0 hay không? Xây dựng khoảng tin cậy : „ Xây dựng khoảng tin cậy cho tham số được ước lượng Mô hình hồi qui đơn giản Economics 20 - Prof. Anderson 7 Mô hình hồi qui đơn giản Mô hình chỉ bao gồm một biến độc lập k=1. Trong mô hình này biến y chỉ phụ thuộc vào một biến x Mô hình có thể có nhiều biến x, nhưng ta sẽ xét trường hợp này sau. Mô hình hồi qui đơn giản có thể sử dụng trong một số trường hợp : „ Lạm phát và thất nghiệp „ Lợi nhuận của chứng khoán quan hệ thế nào với rủi ro „ Mô phỏng quan hệ giữa giá chứng khoán và cổ tức Economics 20 - Prof. Anderson 8 Mô hình hồi qui đơn giản : Ví dụ • Giả sử ta có số liệu như : • Chúng ta muốn tìm hiểu mối quan hệ giữa x và y Year, t Excess return = rXXX,t – rft Excess return on market index = rmt - rft 1 17.8 13.7 2 39.0 23.2 3 12.8 6.9 4 24.2 16.8 5 17.2 12.3 Economics 20 - Prof. Anderson 9 Biểu đồ rời rạc 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 5 10 15 20 25 Excess return on market portfolio E x c e s s r e t u r n o n f u n d X X X Economics 20 - Prof. Anderson 10 Tìm đường phù hợp nhất Chúng ta có thể sử dụng phương trình y= α + β x để ước lượng đường thẳng “tốt” nhất. β là độ dốc của đường thẳng Đường thẳng này còn gọi là đường hồi qui của tổng thể (population regression line) Ta không biết α và β , nên phải ước lượng Đường thẳng như vậy hoàn toàn mang tính xác định (deterministic) có hợp lý không? Economics 20 - Prof. Anderson 11 Một số ký hiệu và thuật ngữ Viết dạng tổng quát hơn, với mô hình hồi qui tuyến tính giản đơn, ta có y = α + β x+ u, Đây được gọi là mô hình hồi qui tuyến tính của tổng thể Chúng ta thường gọi y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập/biến kiểm soat. α là intercept, β là slope (độ dốc) u là sai số của đường hồi qui tổng thể Economics 20 - Prof. Anderson 12 Tại sao lại có sai số u - Chúng ta có thể bỏ sót những yếu tố có tác động đến yt - Việc đo lường/ghi nhận số liệu đối với biến số yt có thể có sai - Những tác động ngẫu nhiên đối với biến số yt mà chúng ta không thể mô hình hóa được Economics 20 - Prof. Anderson 13 Biểu diễn mô hình trên bằng hình ảnh Economics 20 - Prof. Anderson 14 Một số giả thiết Trung bình của các sai số trong mô hình hồi qui bằng 0. E(u) = 0 Đây không phải là một giả thiết quá nặng nề, do chúng tao luôn có thể dùng α để chuẩn hóa trung bình/kỳ vọng toán của u, E(u) về không. Economics 20 - Prof. Anderson 15 Giả thiết của mô hình hồi qui Chúng ta cần phải đưa ra giả thiết về mối quan hệ giữa u và x Chúng ta muốn giả thiết rằng, những thông tin mà chúng ta biết về x sẽ không cho chúng ta biết gì về u, và như vậy, u và x là hoàn toàn không có quan hệ với nhau E(u|x) = E(u) = 0, và điều này dẫn tới E(y|x) = β0 + β1x Economics 20 - Prof. Anderson 16 E(u|x) = E(u) = 0 Economics 20 - Prof. Anderson 17 Phương pháp bình phương cực tiểu Ý tưởng cơ bản của việc hồi qui là để ước lượng các tham số của tổng thể trên cơ sở một mẫu số liệu Gọi {(xi,yi): i=1, ,n} là một mẫu ngẫu nhiên, có cỡ là n mà ta thu được từ tổng thể Với mỗi quan sát trong mẫu này, ta sẽ có yi = α + β xi + ui Economics 20 - Prof. Anderson 18 . .. . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { u1 u2 u3 u4 x y E(y|x) = α +β x Đường hồi qui của tổng thể, điểm số liệu và các sai số Economics 20 - Prof. Anderson 19 Ước lượng với phương pháp bình phương cực tiểu Để ước lượng với phương pháp bình phương cực tiểu, chúng ta cần thấy rằng, giả thiết chính của chúng ta là E(u|x) = E(u) = 0, và điều này có nghĩa là Cov(x,u) = E(xu) = 0 Tại sao? Từ lý thuyết cơ bản về xác suất ta có Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) Economics 20 - Prof. Anderson 20 Ước lượng với phương pháp bình phương cực tiểu Với ý tưởng là tìm đường phù hợp nhất, chúng ta có thể xây dựng bài toán cực tiểu Tức là chúng ta muốn tìm các tham số sao cho biểu thức dưới đây đạt giá trị cực tiểu : Economics 20 - Prof. Anderson 21 • • . ∑ =−−−= t tt xy L 0)ˆˆ(2 ˆ βαα∂ ∂ ∑ =−−−= t ttt xyx L 0)ˆˆ(2ˆ βαβ∂ ∂ ( ) ( )∑∑ == +−= n i ii n i i xyu 1 2 1 2 )ˆˆ(ˆ βα Economics 20 - Prof. Anderson 22 Ước lượng với phương pháp bình phương cực tiểu Chúng ta có thể sử dụng đạo hàm để giải bài toán cực tiểu này, chúng ta nếu lấy đạo hàm bậc 1, theo α va β và giải các phương trình thu. Qua đó ta có thể ước lượng được các tham số của mô hình hồi qui. SXY = đồng phương sai của (X, Y) SX2 = phương sai của (X) 2 1 2 1 )( )()(ˆ X XY N i i N i ii S S XX YYXX =− −−= ∑ ∑ = =βXY βα ˆˆ −= Economics 20 - Prof. Anderson 23 Tóm tắt về ước lượng tham số beta (slope estimate) Ước lượng về độ dốc là đồng phương sai tính trên mẫu giữa y và x, chia cho phương sai mẫu của x. Nếu x và y có tương quan thuận (dương) với nhau, thì ước lượng có dấu dương Nếu x và y có tương quan nghịch (âm) với nhau, thì ước lượng có dấu âm Chúng ta chỉ cần x biến thiên trong Economics 20 - Prof. Anderson 24 OLS Về mặt trực giác, OLS là việc ước lượng đường thẳng qua các điểm số liệu trong mẫu sao cho tổng khoảng cách bình phương sai số là nhỏ nhất, nên có tên là bình phương cực tiểu. Sai số, û, chính là ước lượng cho sai số u và là sự sai khác giữa đường ước lượng (đường hồi qui trên mẫu) và các điểm số liệu. Economics 20 - Prof. Anderson 25 . .. . y4 y1 y2 y3 x1 x2 x3 x4 } } { { û1 û2 û3 û4 x y xy 10 ˆˆˆ ββ += Đường hồi qui mẫu, điểm số liệu và các sai số ước lượng Economics 20 - Prof. Anderson 26 • Đường hồi qui tổng thể là mô hình mà chúng ta cho rằng đã tạo ra số liệu, và các tham số thực là α và β. Hồi qui tổng thể Hồi qui mẫu và chúng ta biết rằng . • Chúng ta sử dụng đường hồi qui mẫu để suy diễn về đường mô hình của tổng thể • Chúng ta cũng muốn biết là các ước lượng α và β có phải là các ước lượng tôt hay không tt xy βα ˆˆˆ += ttt uxy ++= βα ttt yyu ˆˆ −= Economics 20 - Prof. Anderson 27 Tính chất của OLS Tổng các sai số (residual) OLS là bằng 0 Như vậy, trung bình mẫu các sai số OLS cũng bằng 0 Đồng phương sai mẫu giữa các biến độc lập và sai số OLS cũng bằng 0 Đường OLS sẽ chạy xuyên qua điểm trung bình của số liệu Economics 20 - Prof. Anderson 28 Biểu diễn bằng đại số, ta có xy ux n u u n i ii n i in i i 10 1 1 1 ˆˆ 0ˆ 0 ˆ thus,and 0ˆ ββ += = == ∑ ∑∑ = = = Economics 20 - Prof. Anderson 29 Tính chất của ước lượng OLS Tuyến tính (linear) Không trệch (unbiased) Hiệu quả nhất (best) Best Linear Unbiased Estimator $α $β $β $β $β $β $α Economics 20 - Prof. Anderson 30 Sử dụng STATA để ước lượng OLS Thực hiện hồi qui trong STATA rất giản đơn. Và để ước lượng mô hình hồi qui y theo x thì ta chỉ cần đánh lệnh reg y x Economics 20 - Prof. Anderson 31 Ước lượng sử dụng STATA regress testscr str, robust Regression with robust standard errors Number of obs = 420 F( 1, 418) = 19.26 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.0512 Root MSE = 18.581 ------------------------------------------------------------------------- | Robust testscr | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] --------+---------------------------------------------------------------- str | -2.279808 .5194892 -4.39 0.000 -3.300945 -1.258671 _cons | 698.933 10.36436 67.44 0.000 678.5602 719.3057 ------------------------------------------------------------------------- Economics 20 - Prof. Anderson 32 Mức độ phù hợp của mô hình (Goodness-of-Fit) ( ) ( ) SSR SSE SST co Ta (SSR)du con phuongbinh Phan tông ˆ (SSE) thich giai duoc phuongbinh Phân tông ˆ (SST)cach khoang phuongbinh Tông :saunhu nghiađinh somôt co se taChúng ˆˆ : thichgiai duoc khôngphân thich vàgiai duocPhân phân 2 có gôm làsát quan môi coi thcó taChúng 2 2 2 += − − += ∑ ∑ ∑ i i i iii u yy yy uyy Economics 20 - Prof. Anderson 33 Chứng minh rằng SST = SSE + SSR ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ =− +−+= −+−+= −+= −+−=− 0 ˆˆ rangbiêt tavà SSE ˆˆ2 SSR ˆˆˆ2ˆ ˆˆ ˆˆ 22 2 22 yyu yyu yyyyuu yyu yyyyyy ii ii iiii ii iiii Economics 20 - Prof. Anderson 34 Mức độ phù hợp của mô hình (Goodness-of-Fit) Chúng ta đánh giá thế nào về đường hồi qui mà ta ước lượng? Có phù hợp với số liệu hay không? Có thể tính tỷ lệ tổng bình phương khoảng cách (SST) được giải thích bởi mô hình, và gọi tỷ lệ này là R-bình phương của mô hình hồi qui. R2 = SSE/SST = 1 – SSR/SST Nằm trong khoảng 0-1. Càng lớn càng tốt!!!! Economics 20 - Prof. Anderson 35 Phân phối mẫu của ước lượng OLS Ước lượng OLS được tính toán dựa trên một mẫu số liệu, một mẫu số liệu khác sẽ cho ta một giá trị khác của 1ˆβ . Đây được gọi là tính bất định theo mẫu của 1ˆβ . Chúng ta muốn • đánh giá mức độ bất định của 1ˆβ • Sử dụng 1ˆβ để tiến hành kiểm định giả thuyết như β1 = 0 • Xây dựng khoảng tin cậy cho β1 • Tất cả những điều này đòi hỏi chúng ta phải xem xét tới phân phối mẫu (sampling distribution) của ước lượng OLS. Để làm được điều này, ta phải xem xét Phân phối của ước lượng OLS Economics 20 - Prof. Anderson 36 Hàm phân phối của 1βˆ Cũng giống như trung bình mẫu, Y , 1βˆ cũng có phân phối mẫu . • Vậy kỳ vọng toán của E( 1βˆ ) là bao nhiêu • Nếu như E( 1βˆ ) = β1, thì ước lượng OLS là ước lượng không trệch – Còn muốn gì hơn?! • Phương sai của 1βˆ - var( 1βˆ )? (cho chúng ta biết được mức độ bất định của ước lượng) • Phân phối của 1βˆ trong các mẫu nhỏ là phân phối gì ? • Vấn đề này rất khó!!!!! • Phân phối của 1βˆ ở các mẫu lớn là phân phối gì ? • Với các mẫu lớn, 1βˆ có phân bổ là phân bổ chuẩn (normally distributed). Economics 20 - Prof. Anderson 37 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) Giả thiết rằng mô hình tổng thể là tuyến tính theo tham số có dạng y = β0 + β1x + u Giả thiết rằng chúng ta sử dụng một mẫu có qui mô n, {(xi, yi): i=1, 2, , n}, được lấy từ mô hình tổng thể. Như vậy ta có thể biểu diễn mô hình mẫu là yi = β0 + β1xi + ui Giả thiết E(u|x) = 0 và như vậy E(ui|xi) = 0 Giả thiết rằng xi có biến thiên Economics 20 - Prof. Anderson 38 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) Để xét tính không trệch của ước lượng, chúng ta viết lại dưới dạng tham số của tổng thể. Viết một công thức đơngiản là ( ) ( )∑ ∑ −≡ −= 22 21 where,ˆ xxs s yxx ix x iiβ Economics 20 - Prof. Anderson 39 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ii iii ii iii iiiii uxx xxxxx uxx xxxxx uxxxyxx ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ −+ −+− =−+ −+− =++−=− 10 10 10 ββ ββ ββ Economics 20 - Prof. Anderson 40 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 211 2 1 2 ˆ thusand , asrewritten becan numerator the,so ,0 x ii iix iii i s uxx uxxs xxxxx xx ∑ ∑ ∑∑ ∑ −+= −+ −=− =− ββ β Economics 20 - Prof. Anderson 41 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) ( ) ( ) ( ) 1211 21 1ˆ then,1ˆ thatso ,let βββ ββ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= −= ∑ ∑ ii x ii x i ii uEdsE uds xxd Economics 20 - Prof. Anderson 42 Tính không trệch của OLS (Unbiasedness) Các ước lượng OLS của tham số β1 và β0 là không trệch Việc chứng minh tính không trêch, dựa trên 04 giả thiết. Nếu một giả thiết mà không đúng, thì ước lượng OLS sẽ không phải là không trệch Lưu ý rằng, tính không trệch là tính chất của phép ước lượng (estimator) – còn trong một mẫu cụ thể, thì ước lượng thu được có thể nhiều ít khác với tham số thực tế Economics 20 - Prof. Anderson 43 Phương sai của ước lượng OLS Chúng ta biết rằng hàm phân bổ (sampling distribution) của ước lượng nằm xung quanh tham số thực Muốn biết xem hàm phân bổ này có độ phân tán như thế nào Đưa thêm một giả thiết nữa về phương sai Giả thiết là Var(u|x) = σ2 (Homoskedasticity) Economics 20 - Prof. Anderson 44 Phương sai của ước lượng OLS Var(u|x) = E(u2|x)-[E(u|x)]2 E(u|x) = 0, so σ2= E(u2|x) = E(u2) = Var(u) Như vậy, σ2 cũng là phương sai không điều kiện, và được gọi phương sai của sai số σ, được gọi là sai số chuẩn của sai số Có thể nói rằng : E(y|x)=β0 + β1x và Var(y|x) = σ2 Economics 20 - Prof. Anderson 45 . . x1 x2 Trường hợp phương sai đồng nhât (Homoskedastic) E(y|x) = β0 + β1x y f(y|x) Economics 20 - Prof. Anderson 46 . xx1 x2 yf(y|x) Phương sai không đồng nhât (Heteroskedastic) x3 . . E(y|x) = β0 + β1x Economics 20 - Prof. Anderson 47 Phương sai của ước lượng OLS ( ) ( ) ( ) ( )1222222 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 211 ˆ1 11 11 1ˆ βσσ σσ ββ Varsss dsds uVardsudVars udsVarVar x x x i x i x ii x ii x ii x ==⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ =⎟⎟⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= ∑∑ ∑∑ ∑ Economics 20 - Prof. Anderson 48 Phương sai của ước lượng OLS Phương sai của sai số, σ2 càng lơn, thì phương sai của ước lượng càng lớn xi biến thiên càng nhiều, thì phương sai của ước lượng càng nhỏ Do đó, mẫu lớn sẽ làm giảm phương sai của ước lượng Vấn đề là phương sai của sai số chúng ta lại không biết Economics 20 - Prof. Anderson 49 Ước lượng phương sai của sai số Chúng ta không biết phương sai của sai, σ2, của sai số là bao nhiêu vì chúng ta không quan sát được sai số, ui Chúng ta chỉ quan sát được , ûi Chúng ta có thể sử dụng ûi để ước lượng phương sai của sai số Economics 20 - Prof. Anderson 50 Ước lượng phương sai của sai số ( )( ) ( ) ( ) ( )2/ˆ2 1ˆ is ofestimator unbiasedan Then, ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ 22 2 1100 1010 10 −=−= −−−−= −−++= −−= ∑ nSSRun u xux xyu i i iii iii σ σ ββββ ββββ ββ Economics 20 - Prof. Anderson 51 Ước lượng phương sai của sai số ( ) ( ) ( )( ) 2121 1 2 /ˆˆse , ˆ oferror standard the have then wefor ˆ substitute weif ˆsd that recall regression theoferror Standardˆˆ ∑ −= = == xx s i x σβ β σσ σβ σσ Economics 20 - Prof. Anderson 52 Tóm tắt về phân phối mẫu của 1ˆβ Nếu các giả thiết của OLS là đúng thì • Hàm phân phối mẫu của 1ˆβ có: • E( 1ˆβ ) = β1 (tức là, 1ˆβ là ước lượng không trệch) • var( 1ˆβ ) = 4var[( ) ]1 i x i X X u n μ σ −× ∝ 1 n . • Khi mẫu lớn , 1 1 1 ˆ ˆ( ) ˆvar( ) Eβ β β − ~ N(0,1) (CLT) • . Economics 20 - Prof. Anderson 53 Kiểm định giả thuyết và sai số chuẩn của 1ˆ Mục tiêu của việc kiểm định trong mô hình hồi qui là sử dụng số liệu để kiểm định một giả thuyết về tổng thể như β1 = 0, và đưa ra kết luận liệu giả thuyết có đúng hay không Giả thuyết trống và giả thuyết thay thế hai phía H0: β1 = β1,0 vs. H1: β1 ≠ β1,0 Trong đó β1,0 là một giá trị giả thuyết Giả thuyết trống và giả thuyết thay thế một phía : H0: β1 = β1,0 vs. H1: β1 < β1,0 β Economics 20 - Prof. Anderson 54 Phương pháp kiểm định: Xây dựng thống kê t hoặc z, tính p- value, hoặc so sánh với giá trị tới hạn của hàm phân phối N(0,1)) • Nói chúng ta có: • t = (ước lượng – giá trị muốn kiểm định)/sai số chuẩn của ước lượng Khi kiểm định về trung bình của Y: ta có t = ,0 / Y Y Y s n μ− • Khi kiểm định β1, ta có t = 1 1,0 1 ˆ ˆ( )SE β β β − , Economics 20 - Prof. Anderson 55 Công thức tính SE( )1ˆβ 1 2 ˆˆβσ = 2 2 2 1 estimator of (estimator of ) v Xn σ σ× = 2 1 2 2 1 1 ˆ 1 2 1 ( ) n i i n i i v n n X X n = = −× ⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∑ Trong đó ˆiv = ˆ( )i iX X u− . • • OK. SE( 1ˆβ ) trông phức tạp, nhưng STATA tính rất nhanh và ta không phải nhớ các công thức này . Economics 20 - Prof. Anderson 56 Ví dụ Ước lượng của mô hình hồi qui: Test score = 698.9 – 2.28×STR STATA cũng cho ta ước lượng độ lệch chuẩn của con số ước lượng là SE( 0βˆ ) = 10.4 SE( 1ˆβ ) = 0.52 Ta có thể tính các kiểm định thống kê cho 1ˆβ với giả thuyết Ho: β1,0 = 0 t-statistic testing β1,0 = 0 = 1 1,0 1 ˆ ˆ( )SE β β β − = 2.28 0 0.52 − − = –4.38 • Ở mức ý nghĩa 1% giá trị là 2.58, nên ta có thể bác bỏ giả thuyết trông với mức ý nghĩa 1%. • Ta cũng có thể tính giá trị p-value . Nhưng STATA làm hộ hêt rồi ! Economics 20 - Prof. Anderson 57 Ước lượng sử dụng STATA regress testscr str, robust Regression with robust standard errors Number of obs = 420 F( 1, 418) = 19.26 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.0512 Root MSE = 18.581 ------------------------------------------------------------------------- | Robust testscr | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] --------+---------------------------------------------------------------- str | -2.279808 .5194892 -4.39 0.000 -3.300945 -1.258671 _cons | 698.933 10.36436 67.44 0.000 678.5602 719.3057 ------------------------------------------------------------------------- Economics 20 - Prof. Anderson 58 Tóm tắt: kiểm định H0: β1 = β1,0 v. H1: β1 ≠ β1,0, • Tính kiểm định thống kê t (t-statistic) t = 1 1,0 1 ˆ ˆ( )SE β β β − = 1 1 1,0 2 ˆ ˆ ˆβ β β σ − • Bác bỏ giả thuyết trống với mức ý nghía 5% nếu |t| > 1.96 • Bác bỏ giả thuyết trống nếu p<5% • Việc kiểm định này dựa trên mẫu khoảng ít nhất là 30 quan sát. Economics 20 - Prof. Anderson 59 Đọc kết quả STATA regress testscr str, robust Regression with robust standard errors Number of obs = 420 F( 1, 418) = 19.26 Prob > F = 0.0000 R-squared = 0.0512 Root MSE = 18.581 ------------------------------------------------------------------------- | Robust testscr | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] --------+---------------------------------------------------------------- str | -2.279808 .5194892 -4.38 0.000 -3.300945 -1.258671 _cons | 698.933 10.36436 67.44 0.000 678.5602 719.3057 ------------------------------------------------------------------------- Y = 698.9 – 2.28×STR, , R2 = .05, (10.4) (0.52) t (β1 = 0) = –4.38, p-value = 0.000 (2-sided) Khoảng tin cậy 95% của β1 là (–3.30, –1.26)