Ma trận và định thức

Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 23 Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận ______________________________________________________ 1. Ma trận: 1.1 Định nghĩa: Ma trận m dòng, n cột trên trường số K ( , ) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận. Ta ký hiệu tập các ma trận là M(m, n; K) và mỗi ma trận thuộc M(m, n; K) được viết chi tiết là: 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 hoặc 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 Hay viết gọn là ( )ij m nA a  hoặc [ ]ij m nA a  trong đó 1,i m chỉ số dòng và 1,j n chỉ số cột của phần tử. Hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  được gọi là bằng nhau nếu ij ija b với mọi 1,i m và 1,j n . Ví dụ: Ma trận 2x3 3 3 1 2 3 1 2 3 ; 4 5 6 4 5 6 7 8 9 x A B               1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.2.1 Ma trận vuông: Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M(n; K), với n là cấp của ma trận vuông. A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n n n nn a a a a a a a a a                 Trong ma trận vuông các phần tử 11 22, ,..., nna a a là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử 1 ( 1)2 1, ,...,n n na a a là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Ví dụ: 1 2 3 4 A        là ma trận vuông cấp hai và 1 2 3 4 5 7 7 8 9 B          là một ma trận vuông cấp 3. Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 24 1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột: Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự, nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột. Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột. Ví dụ: Ma trận dòng:  1 2 3 4A  và ma trận cột 1 5 7 B          1.2.3 Ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n. Ví dụ: Ma trận 0 cấp 2x3: 0 0 0 0 0 0       1.2.4 Ma trận chéo Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo (hay ma trận đường chéo). Ma trận chéo cấp n có dạng A= 11 22 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... nn a a a                  0, :1,iia i n  Ví dụ: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 C            Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi 1 2diag( , ,..., )na a a với các phần tử trên đường chéo chính là 1 2, ,..., na a a 1.2.5 Ma trận đơn vị: Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu nI 1.2.6 Ma trận tam giác Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 25 A = 11 12 1 22 2 ... 0 ... 0 0 ... n n nn a a a a a a                 Trong đó 0ija  khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên. Ví dụ: 1 2 3 4 0 4 3 2 0 0 1 2 0 0 0 5 A             là ma trận tam giác trên B = 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ...n n nn b b b b b b                 Trong đó 0ijb  khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới. Ví dụ: 3 0 0 1 2 0 0 1 1 B          là ma trận tam giác dưới. Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. 1.2.7 Ma trận chuyển vị a) Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu TA là ma trận mà trong đó, vai trò của dòng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng. Giả sử ta có ma trận A= 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... n n m m mn a a a a a a a a a                 thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là 11 21 1 12 22 2 1 2 ... ... ... m mT n n mn a a a a a a A a a a                 Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận TA có cấp là n x m. Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 A          thì ma trận chuyển vị của ma trận A là 1 5 9 2 6 1 3 7 2 4 8 3 TA             Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 26 b) Định lý: Cho các ma trận x, ( )m nA B M K . Khi đó ta có các khẳng định sau:  TTA A . T TA B A B   1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa TA A thì ta nói A là ma trận đối xứng. Ví dụ: Ma trận 1 2 3 2 1 0 3 0 1 A          là một ma trận đối xứng cấp3. Ma trận 1 2 3 4 2 0 1 2 3 1 1 0 4 2 0 3 A             là ma trận đối xứng cấp 4. Nếu ma trận vuông A thỏa TA A  thì A ma trận phản đối xứng. Ví dụ: Ma trận 0 2 3 4 2 0 5 1 3 5 0 3 4 1 3 0 B             là ma trận phản đối xứng. Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì , , 1,ij jia a i j n   Nếu A là ma trận phản xứng thì , , 1,ij jia a i j n    , từ đây suy ra 0iia  (các phần tử trên đường chéo chính bằng 0). 1.2.9 Ma trận bậc thang: Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K. Ví dụ: Ma trận 0 3 12 1 7 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 B             là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0. 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi sau i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau. ii. Nhân dòng thứ i với một số khác không. iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số  với i j . Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B. Nhận xét: - Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 27 - Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. - Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị nI qua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ: 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I          thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ 3I qua các phép biến đổi sơ cấp là: 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 S          với 1 43 1 d dI S 2 1 0 0 0 1 0 0 0 4 S          với 3 343 2 d dI S 3 1 0 2 0 1 0 0 0 1 S          với 1 1 423 3 d d dI S  2. Các phép toán trên ma trận 2.1 Phép cộng các ma trận 2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận ( )ij m nA a  và ( )ij m nB b  là một ma trận ( )ij m nC c  với ij ij ijc a b  . Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B. 11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1 21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... n n n n n n n n m m mn m m mn m m m m mn mn a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b a b a b a b                                                       2.1.2 Ví dụ: 1 2 3 2 1 4 A       và 0 2 1 1 3 4 B       . Khi đó, 1 0 4 3 2 0 A B         2.2 Phép nhân ma trận với một số: 2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận ( )ij m nA a  với số  thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số  , ký hiệu A . Ta có, ( )ij m nA a   2.2.2 Ví dụ: 4 2 3 8 4 6 2 7 3 2 14 6 4                 Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma trận. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 28 2 3 5 4 2 1 A        và 2 1 3 3 5 2 B       thì 0 4 8 1 3 3 A B        2.2.3 Định lý: Với x, , ( )m nA B C M K và , K   ta có: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) 0 + A = A + 0 = A d) A + (-A ) = (-A) + A = 0 e)  T T TA B A B   f) ( )A B A B     g) ( )A A A      2.3 Phép nhân hai ma trận: 2.3.1 Định nghĩa: Cho hai ma trận ( )ij m rA a  và ( )ij r nB b  , khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB là một ma trận ( )ij m nC c  với các phần tử ijc là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B. Tức là 1 1 2 2 1 ... r ij i j i j ir rj ik kj k c a b a b a b a b       11 12 1 11 12 121 22 2 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ... ... ...... ... ... ...... ... . ... ... ... ... ... r nr n n n r r rn m m mn m m m ij j j i rj ir r i a a a b b ba a a c c c b b b b b c c c b b b c c c a a ca a b a a                                                       Chú ý: Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán. Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0. 2.3.2 Ví dụ: a) Giả sử 1 2 1 3 A       và 2 1 0 1 B        khi đó; 2 3 2 2 AB       và 1 7 1 3 BA       . Vậy AB BA b) Với 1 0 0 0 ; 0 0 1 0 C D              ta có 0 0 0 0 CD        mặc dù 0; 0C D  . Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 29 2 5 4 3 2 1 B          Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp. c) Cho 1 2 1 3 1 4 A        và thì 1.( 2) 2.4 ( 1).2 1.5 2.( 3) ( 1).1 4 2 3.( 2) 1.4 4.2 3.5 1.( 3) 4.1 6 16 AB                          d) Cho 1 3 2 1 1 x A       và 2 4B y          . Nếu 12 6 AB        hãy tìm x và y Giải: Ta có 2 1 3 2 4 3 12 4 2 1 1 6 x x y AB y y                          Suy ra y = 6 và x = -2. ■ 2.3.4 Định lý: Cho x, ' ( )m nA A M K và x, ' ( )n pB B M K và x ( )p qC M K và K  thì:   x x x x 0 0 ; 0 0 ; ( ') '; ; ( ) ( ) ( ), n p m p r m r n T T T A A A B B AB AB AB B A AB A B A B K              2.3.5 Định lý: Với 1 2diag( , ,..., )nA a a a và 1 2diag( , ,..., )nB b b b thì 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 diag( , ,..., ) diag( , ,..., ) A B a b a b a b AB a b a b a b       2.3.6 Nhận xét: Cho các ma trận 1 2, ,..., nA A A là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ... )n n n n A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A      Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có: 1 2 1 2 1( .... ) ... T T T T T n n nA A A A A A A 2.4 Lũy thừa ma trận: 2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là: lâ . ...k k n A A A A . Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 30 Cụ thể, 0 1 2 1; ; . ;..., .k knA I A A A A A A A A     2.4.2 Ví dụ: Cho 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A          thì ta được 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 A           và 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A           Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với k sẽ thành ma trận không. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất tồn tại một số k , sao cho 0kA  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh. Một ma trận ( ; )A M n K thỏa tính chất 2 0A  thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy đẳng. 2.4.3 Tính chất: Cho ( ; )A M n K và ,r s , khi đó:   0 0; r     r n nI I  .r s r sA A A    srs rA A 2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M(n;K) (nghĩa là AB = BA) và k , khi đó ta có:  ( ) .k k kAB A B ;  1 2 1( )( ... )k k k k kA B A B A A B B        ;  ( ) . i k i i k i k k A B C A B   2.5 Đa thức của ma trận: Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng 1 1 1 0( ) ... n n n nf x a x a x a x a       Giả sử ( ; )A M n K thì ta gọi 1 1 1 0( ) ... n n n n nf A a A a A a A a I       là đa thức của ma trận A. Ví dụ: Cho 3 2( ) 3 5f x x x   . Hãy tính f (A) với 1 2 3 2 0 ; 5 4 6 0 3 7 1 8 A B               Ta có 3 2 2 8 0 4 0 1 0 1 0 ( ) 3 5 3 5 0 27 0 9 0 1 0 5 f A A A I                               (Sinh viên tự giải f (B )như là bài tập nhỏ). Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 31 Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định thức ________________________________________________________________ 1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng 1 (1) 2 (2) ( )det sign ... n n n S A a a a        , trong đó nS là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n số tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}. Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định thức cấp n. Ví dụ: Khi n = 2 Ta có nhóm các phép thế 2 1 2 1 2 ; 1 2 2 1 S                 Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là: 11 12 11 22 12 21 21 22 a a a a a a a a   Khi n = 3 Ta có nhóm các phép thế 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; 1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 S                                         Suy ra: 11 12 13 21 22 23 11 22 33 12 21 33 23 32 11 13 22 31 12 23 31 13 21 32 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 12 21 33 23 32 11 13 22 31 a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a               2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3: Theo trên ta có Cho 11 12 21 22 a a A a a        ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng 2 1 (1) 2 (2) 11 22 12 21 11 22 12 21det sign ( 1) . S A a a a a a a a a a a           Cho 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a          khi đó ta có 3 1 (1) 2 (2) 3 (3) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 21 33det sign . S A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a             Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 31 a a a a a a a a a a a a a a a Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 32 Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau Ví dụ: 1 2 3 2 1 3 1.1.2 2.1.3 2.3.3 3.1.3 3.1.1 2.2.2 6 3 1 2        2 1 2.3 2 4 2 3    3. Các tính chất 3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det det .TA A Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Ví dụ: 2 0 2 1 6 1 3 0 3   3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng ( )i j (hoặc hai cột khác nhau) bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu. Ví dụ: 1 3 5 3 1 7 2 7 9 2 7 9 3 1 7 1 3 5   3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng (hoặc một cột) của định thức được nhân với  thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với  . Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 4 2 6 2. 2 1 3 9 8 6 9 8 6  Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det( ) det( ).nA A  3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng ' '' ij ij ija a a  với j = 1, 2, …,n. Khi đó ta có: ' '' ' '' ' '' ' ' ' '' '' '' i1 i1 i2 i2 in in i1 i2 in i1 i2 in ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... det ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A a a a a a a a a a a a a      Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A. Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 33 Ví dụ: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 6 6 5 4 2 0 2 7 8 9 7 8 9 7 8 9    Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột. Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau: 3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:  Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,  Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,  Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng id mà 1 1 2 2 1 1 1 1... ... ...i i i i i k kd a d a d a d a d a d           với ia K. 3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:  Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.  Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Nhận xét: - Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng. - Đối với các ma trận A có cấp n (với n là một số rất lớn), khi đó việc tính detA bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên của định thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây. 4. Định lý Laplace: 4.1 Định thức con và phần bù đại số: Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa 1 k n  . Các phần tử nằm trên giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của A. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A. Đặc biệt, khi cho trước 1 ,i j n  , nếu ta xóa đi dòng i, cột j của ma trận A ta sẽ được ma trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là ijM . Khi đó, ( 1) i j ij ijA M   được gọi là phần bù đại số của phần tử ija (với ija là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A). Ví dụ: Xét ma trận 1 2 3 2 0 2 4 1 1 5 1 4 0 5 2 1 A             khi đó. Định thức 2 1 2 2 0 2 D   được gọi là định thức con cấp 2 của A. Ta có 11 2 4 1 5 1 4 5 2 1 M  khi đó phần bù đại số của phần tử ở dòng 1 và cột 1 của ma trận A là: 1 1 11 11( 1) | | 51A M    Nhận xét: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 34 Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng 1 2, ,..., ki i i và 1 2, ,..., kj j j thì phần bù đại số của M. Ký hiệu là M’ được xác định như sau: 1 2 1... ....' ( 1) det( )k ki i i j jM K       với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng 1 2, ,..., ki i i và các cột 1 2, ,..., kj j j . Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét 1 2 1 5 M  là định thức của A tạo bởi dòng 1 và dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó, 4 1 2 1 K        là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 1, dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy, 1 1 1 2 3 1 3 2 4 1' ( 1) 2 2 1 M          . 4.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n 11 12 1 1 21 22 2 2 i1 i2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... ... j n j n ij in n n nj nn a a a a a a a a A a a a a a a a a                                 . Khi đó  Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 i1 i1 i2 i2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n i i i n i k in in ik ik k A a A a A a A a A               Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng 1 2 1 1 2 2 1 det ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1) n j j j n j k j j j j nj nj kj kj k A a A a A a A a A              Ví dụ: a) Xét ma trận 1 0 2 2 0 0 3 4 5 0 0 0 a b A c d  Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có: 4 1 0 2 ( 1) 0 0 4 5 a A d b c   . Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức 0 2 1 0 0 4 5 b c ta có: 2 . . ( ) 0 a A d c dc ab abcd b       Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 35 b) Xét ma trận 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 B  Khai triển theo dòng 1 có 1 2 1 4 2 1 1 2 3 1 ( 1) 3 1 3 0 ( 1) 5 1 1 3 0 0 5 0 4 0 B      Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có: 1 2 3 3 1 4 2 32 1 2 1( 1) .3.5.( 1) ( 1) 4.( 1) .5 25 1 3 1 3 B           4.3 Định lý Laplace (tổng quát): Cho ( )nA M K , chọn trong A các dòng 1 2 ... ki i i   . Khi đó, 1 2 ... det( ) ' kj j j A MM      , với M là các định thức con cấp k của A sinh bởi các dòng 1 2, ,..., ki i i và các cột 1 2, ,..., kj j j và M’ là phần bù đại số của M. Ví dụ: Tính 0 3 0 5 2 3 1 1 1 1 3 0 0 4 0 5 A  Chọn M là ma trận vuông cấp 2 tạo bởi các phần tử trên dòng 1 và dòng 4. Khi đó, 1 4 2 4 1 4 1 2 1 4 2 4 1 4 1 3 1 4 1 4 1 4 4 1 3 5 2 1 0 3 1 1 3 0 2 1 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 4 5 1 3 0 4 3 0 4 0 1 0 0 0 3 1 0 5 2 1 0 5 2 3 ( 1) . ( 1) . ( 1) . 0 0 1 3 0 5 1 3 0 5 1 1 ( 1)( 5)5 25 A                                   Ta chọn ma trận con dựa trên dòng 1 và 3, cột 1 và cột 3. Áp dụng định lý Laplace ta có 1 3 1 3 2 8 9 1 1 det ( 1) 1 1 0 252 3 1 7 2 3 A       Từ định lý Laplace ta có thể chứng minh được hai tính chất quan trọng sau của định thức 4.3 Tính chất 1: Nếu A là ma trận tam giác trên (ma trận tam giác dưới) thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính (đường chéo phụ). Tức là nếu 11 12 1 22 2 ... 0 ... 0 0 ... n n nn a a a a a A a                 và 1 2( 1) 2 1 0 0 ... 0 0 ... .... n n n n nn b b b B b b                  Khi đó: Chương 2. Ma trận – Định thức Đại số tuyến tính 1 - Sưu tầm - wWw.kenhdaihoc.com 36 11 22det . ... nnA a a a và 1 2( 1) 1det . ...n n nB b b b . 4.4 Tính chất 2: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det(A.B) = detA . det B. 4.5 Nhận xét: Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao (n > 3) ta có thể khai triển định thức theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính các định thức cấp bé hơn. Cứ như vậy, sau một số lần ta sẽ đưa việc tính định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên thực tế thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:  Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định thức theo dòng (cột) đó.  Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng (cột) đã chọn thành dòng (cột) chỉ có một số khác 0.  Bước 3: Khai triển định thức theo dòng (cột) đó. Khi đó, việc tính một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3. 4.6 Các ví dụ: 1) Tính detA với 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 0 1 0 2 1 1 1 1 1 A               Giải: Ta chọn cột 2 để khai triển. Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3 và nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 5. Khi đó 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 1 4 3 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2        . Khai triển theo cột 2 ta được 1 1 1 2