Một số công thức toán học lớp 10,11

Ôn t p ậ Toán THPT M T S CÔNG TH C TOÁN H C L P 10 & 11Ộ Ố Ứ Ọ Ớ 1. Các tính ch t c b n c a b t đ ng th c:ấ ơ ả ủ ấ ẳ ứ 1.1. Tính ch t 1 (tính ch t b c c u):ấ ấ ắ ầ a > b và b > c ⇔ a > c 1.2. Tính ch t 2:ấ a > b ⇔ a + c > b + c T c là:ứ N u c ng 2 v c a b t đ ng th c v i cùng m t s ta đ c b t đ ng th c cùngế ộ ế ủ ắ ẳ ứ ớ ộ ố ượ ấ ẳ ứ chi u và t ng đ ng v i b t đ ng th c đã cho.ề ươ ươ ớ ấ ẳ ứ H qu (Quy t c chuy n v ):ệ ả ắ ể ế a > b + c ⇔ a – c > b 1.3 Tính ch t 3: ấ a b a c b d c d > ⇒ + > + > N u c ng các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ộ ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c tr hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ừ ế ủ ấ ẳ ứ ề 1.4 Tính ch t 4: ấ a > b ⇔ a.c > b.c n u c > 0ế ho c ặ a > b ⇔ c.c < b.c n u c < 0ế 1.5 Tính ch t 5: ấ 0 . . 0 a b a c b d c d > > ⇒ > > > N u nhân các v t ng ng c a 2 b t đ ng th c cùng chi u ta đ c m t b t đ ngế ế ươ ứ ủ ấ ẳ ứ ề ượ ộ ấ ẳ th c cùng chi u. Chú ý: KHÔNG có quy t c chia hai v c a 2 b t đ ng th c cùng chi u.ứ ề ắ ế ủ ấ ẳ ứ ề 1.6 Tính ch t 6:ấ a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguy n d ng)ể ươ 1.7 Tính ch t 7: ấ 0 n na b a b> > ⇒ > (n nguyên d ng)ươ 2. B t đ ng th c Cauchy (Cô-si):ấ ẳ ứ Đ nh lí:ị N u ế 0a ≥ và 0b ≥ thì . 2 a b a b+ ≥ . Đ ng th c x y ra khi và ch khi: a = b ẳ ứ ả ỉ T c là:ứ Trung bình c ng c a 2 s không âm l n h n ho c b ng trung bình nhân c aộ ủ ố ớ ơ ặ ằ ủ chúng. H qu 1:ệ ả N u 2 s d ng có t ng không đ i thì tích c a chùng l n nh t khi 2 s đõế ố ươ ổ ổ ủ ớ ấ ố b ng nhau.ẳ Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng chu vi, hình vuông có di nấ ả ữ ậ ệ tích l n nh t.ớ ấ H qu 2:ệ ả N u 2 s d ng có tích không đ i thì t ng c a chùng nh nh t khi 2 s đóế ố ươ ổ ổ ủ ỏ ấ ố b ng nhau.ằ Ý nghĩa hình h c:ọ Trong t t c các hình ch nh t có cùng di n tích hình vuông có chuấ ả ữ ậ ệ vi nh nh t.ỏ ấ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 1/18 Ôn t p ậ Toán THPT 3. B t đ ng th c ch a giá tr tr tuy t đ i:ấ ẳ ứ ứ ị ị ệ ố 0 0 x x x > =  − > T đ nh nghĩa suy ra: v i m i ừ ị ớ ọ x R∈ ta có: a. |x| ≥ 0 b. |x|2 = x2 c. x ≤ |x| và -x ≤ |x| Đ nh lí:ị V i m i s th c a và b ta có: ớ ọ ố ự |a + b| ≤ |a| + |b| (1) |a – b| ≤ |a| + |b| (2) |a + b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ ≥ 0 |a – b| = |a| + |b| khi và ch khi a.b ỉ ≤ 0 4. Đ nh lí Vi-et:ị N u ph ng trình b c 2: axế ươ ậ 2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghi m xệ 1 , x2 (a ≠ 0) thì t ng và tích 2ổ nghi m đó là: ệ S = x1 + x2 = b a − P = x1.x2 = c a Chú ý: + N u a + b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ 1 = 1 và x2 = c a + N u a – b + c = 0 thì ph ng trình (*) có nhi m xế ươ ệ 1 = -1 và x2 = c a − H qu :ệ ả N u 2 s u, v có t ng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghi m c aế ố ổ ệ ủ ph ng trình: xươ 2 – S.x + P = 0 5. Chia đo n th ng theo t l cho tr c:ạ ẳ ỉ ệ ướ a. Đ nh nghĩa:ị Cho 2 đi m phân bi t A, B. Ta nói đi m M chia đo n th ng AB theo t s kể ệ ể ạ ẳ ỉ ố n u ế MA kMB= uuur uuur b. Đ nh lí:ị N u đi m M chia đo n th ng AB theo t s k ế ể ạ ẳ ỉ ố ≠ 1 thì v i đi m O b t kì ta có: ớ ể ấ 1 OA kOBOM k − = − uuur uuur uuuur 6. Tr ng tâm tam giác:ọ a. Đi m G là tr ng tâm tam giác khi và ch khi: ể ọ ỉ 0GA GB GC+ + = uuur uuur uuur r Email: duytrung8x@gmail.com Trang 2/18 n u x ế ≥ 0 n u x < 0ế Ôn t p ậ Toán THPT b. N u G là tr ng tâm tam giác, thì v i m i đi m O ta có: ế ọ ớ ọ ể 3OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur 7. Các H Th c L ng Trong Tam Giác:ệ ứ ượ 7.1. Đ nh lí Cosin trong tam giác:ị Đ nh lí:ị V i m i tam giác ABC, ta luôn có:ớ ọ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .cos 2 .cos 2 .cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C = + − = + − = + − 7.2. Đ nh lí sin trong tam giác:ị Đ nh lí:ị Trong tam giác ABC, v i R là bán kính đ ng tròn ngo i ti p ta có:ớ ườ ạ ế 2 sin sin sin a b c R A B C = = = 7.3. Công th c đ dài đ ng trung tuy n:ứ ộ ườ ế 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 a b c b c am a c bm b a cm + = − + = − + = − 8. T s l ng giác c a m t s góc c n nh :ỉ ố ượ ủ ộ ố ầ ớ Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 0 6 pi 4 pi 3 pi 2 pi 2 3 pi 3 4 pi 5 6 pi pi sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 – 1 2 – 2 2 – 3 2 -1 tg 0 1 3 1 3 || – 3 1 – 1 3 0 cotg || 3 1 1 3 0 – 1 3 1 – 3 || Email: duytrung8x@gmail.com Trang 3/18 Ôn t p ậ Toán THPT 9. Công th c bi n đ i tích thành t ng:ứ ế ổ ổ 1cos .cos [cos( ) cos( )] 2 1sin .sin [cos( ) cos( )] 2 1sin .cos [sin( ) sin( )] 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = − + + = − − + = + + − 10. Công th c bi n đ i t ng thành tích:ứ ế ổ ổ cos cos 2cos .cos 2 2 cos cos 2sin .sin 2 2 sin sin 2sin .cos 2 2 sin sin 2cos .sin 2 2 a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a ba b + − + = + − − = − + − + = + − − = 11.Công th c nhân đôi:ứ 2 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin sin 2 2sin cos 22 ( , , ) 1 2 2 2 a a a a a a a a tgatg a a k a k k tg a pi pi pi pi = − = − = − = = ≠ + ≠ + ∈ − Z 12. Công th c nhân ba:ứ 3 3 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos a a a a a a = − = − 13. Công th c h b c:ứ ạ ậ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 4/18 Ôn t p ậ Toán THPT 2 2 2 3 3 cos 2 1cos 2 1 cos 2sin 2 1 cos 2 1 cos 2 3sin sin 3sin 4 3cos cos3cos 4 aa aa atg a a a aa a aa + = − = − = + − = + = 14. Công th c c ng:ứ ộ sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + = + − = − + = − − = + Ngoài ra ta cũng có công th c sau v i m t s đi u ki n:ứ ớ ộ ố ề ệ ( ) (*) 1 . ( ) (**) 1 . tga tgbtg a b tga tgb tga tgbtg a b tga tgb − − = + + + = − (*) có đi u ki n: ề ệ , , 2 2 2 a k b k a b kpi pi pipi pi pi≠ + ≠ + − ≠ + (**) có đi u ki n:ề ệ , , 2 2 2 a k b k a b kpi pi pipi pi pi≠ + ≠ + + ≠ + 15. Công th c tính ứ tga, cosa, sina theo 2 at tg= : 2 2 2 2 2sin 1 1cos 1 2 , 1 2 ta t ta t ttga a k t pi pi = + − = + = ≠ + − Email: duytrung8x@gmail.com Trang 5/18 Ôn t p ậ Toán THPT 16. Công th c liên h gi a 2 góc bù nhau, ph nhau, đ i nhau và h n kém nhau 1 gócứ ệ ữ ụ ố ơ pi ho cặ 2 pi : 16.1. Hai góc bù nhau: sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga pi pi pi pi − = − = − − = − − = − 16.2. Hai góc ph nhau:ụ sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a tg a cotga cotg a tga pi pi pi pi − = − = − = − = 16.3. Hai góc đ i nhau: ố sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga − = − − = − = − − = − 16.4 Hai góc h n kém nhau ơ 2 pi : sin( ) cos 2 cos( ) sin 2 ( ) 2 ( ) 2 a a a a tg a tga cotg a cotga pi pi pi pi + = + = − + = − + = − 16.5 Hai góc h n kém nhau ơ pi : Email: duytrung8x@gmail.com Trang 6/18 Ôn t p ậ Toán THPT sin( ) sin cos( ) cos ( ) ( ) a a a a tg a tga cotg a cotga pi pi pi pi + = − + = − + = + = 16.6. M t s công th c đ c bi t:ộ ố ứ ặ ệ sin cos 2 sin( ) 4 sin cos 2 sin( ) 4 x x x x x x pi pi + = + − = − 17. T h p, hoán v , ch nh h p:ổ ợ ị ỉ ợ 17.1. Hoán v :ị + Đ nh nghĩa:ị M t hoán v c a n ph n t là m t b g m n ph n t đó, đ c s p x pộ ị ủ ầ ử ộ ộ ồ ầ ử ượ ắ ế theo m t th t nh t đ nh, m i ph n t có m t đúng m t l n. S t t c các hoán v khácộ ứ ự ấ ị ỗ ầ ử ặ ộ ầ ố ấ ả ị nhau c a n ph n t ký hi u là Pủ ầ ử ệ n + Công th c :ứ Pn =1.2.3.....n = n ! 17.2 Ch nh h p: ỉ ợ + Đ nh nghĩa:ị M t ch nh h p ch p k c a n ph n t (ộ ỉ ợ ậ ủ ầ ử 0 k n≤ ≤ ) là m t b s p th tộ ộ ắ ứ ự g m k ph n t l y ra t n ph n t đã cho. s t t c các ch nh h p ch p k c a n ph n t kýồ ầ ử ấ ừ ầ ử ố ấ ả ỉ ợ ậ ủ ầ ử hi u làệ knA +Công th c :ứ ( ) 1 0 1 ! ! ( 1)...( 1) ( ) ! 1 ! k n k n k k n n n n n n n n n n nA n k A n n n k A n k A A P n A A A n + − = − = − − + = − = = = = = (qui c 0! = 1)ướ 17.3 T ch p: ổ ợ + Đ nh nghĩa:ị Cho m t t p h p a g m n ph n t (n nguyên d ng). M t t h p ch p kộ ậ ợ ồ ầ ử ươ ộ ổ ợ ậ c a n ph n t (ủ ầ ử 0 k n≤ ≤ ) là m t t p con c a a g m k ph n t . S t t c các t h p ch p kộ ậ ủ ồ ầ ử ố ấ ả ổ ợ ậ c a n ph n t ký hi u là ủ ầ ử ệ knC Email: duytrung8x@gmail.com Trang 7/18 Ôn t p ậ Toán THPT + Công th c:ứ ! !( )! ( 1)...( 1) ! k n k n nC k n k n n n kC k = − − − + = + Tính ch t:ấ 0 0 1 1 1 1 1 ... 2 k n k n n n n n n n n n n k k k n n n C C C C C C C C C C − + + + = = = + + + = + = 17.4. Công th c Newton: ứ Tk là s h ng th k +1 c a khai tri n nh th c (a + b)ố ạ ứ ủ ể ị ứ n : k n k kk nT C a b−= 0 1 1 2 2 2( ) ... ...n n n n m n m m n nn n n n na b C a C a b C a b C a b C b − − −+ = + + + + + + 18. Ph ng pháp t a đ trong m t ph ng và không gian:ươ ọ ộ ặ ẳ 18.1 Trong m t ph ng:ặ ẳ Cho các vec-t ơ 1 1 2 2( , ), ( , )a x y b x y r r và các đi m ể 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y : 1 2 1 2.a b x x y y= + r r 2 2 1 1| |a x y= + r 2 2 2 1 2 1( ) ( )d AB x x y y= = − + − 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos( , ) x x y ya b x y x y + = + + + r r 1 2 1 2 0a b x x y y⊥ ⇔ + = r r 18.2 Trong không gian: Cho các vec-t ơ 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )a x y z b x y z r r và các đi m ể 1 1 1 2 2 2( , , ), ( , , )A x y z B x y z : 1 2 1 2 1 2.a b x x y y z z= + + r r Email: duytrung8x@gmail.com Trang 8/18 Ôn t p ậ Toán THPT 2 2 2 1 1 1| |a x y z= + + r 2 2 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )d AB x x y y z z= = − + − + − 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 cos( , ) x x y y z za b x y z x y z + + = + + + + r r 1 2 1 2 1 2 0a b x x y y z z⊥ ⇔ + + = r r 19. Đ ng th ng trong m t ph ng và trong không gian:ườ ẳ ặ ẳ 19.1 Đ ng th ng trong m t ph ng:ườ ẳ ặ ẳ a. Kho ng cách: ả + Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể 0, y0) đ n đ ng th ng (d) : Ax + By + C = 0ế ươ ẳ 0 0 2 2 | Ax |By C MH A B + + = + + Kho ng cách gi a hai đ ng th ng song song: Ax + By + Cả ữ ườ ẳ 1 = 0 và Ax + By + C2 = 0 1 2 2 2 | |C C A B − + b. V trí t ng đ i 2 đ ng th ng:ị ươ ố ườ ẳ (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 *( ) ( ) *( ) / /( ) *( ) ( ) *( ) ( ) A Bd d A B A B Cd d A B C A B Cd d A B C d d A A B B φ∩ ≠ ⇔ ≠ ⇔ = ≠ ≡ ⇔ = = ⊥ ⇔ + c. Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ (d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 (d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0 1 2( , )d dα = Email: duytrung8x@gmail.com Trang 9/18 Ôn t p ậ Toán THPT 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | |cos A A B B A B A B α + = + + d. Ph ng trình đ ng phân giác c a góc t o b i 2 đ ng th ng (dươ ườ ủ ạ ở ườ ẳ 1)và (d2): 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 A x B y C A x B y C A B A B + + + + = ± + + (góc nh n l y d u – , góc tù l y d u + )ọ ấ ấ ấ ấ e. Ph ng trình chùm đ ng th ng có tâm là giao c a 2 đ ng th ng (dươ ườ ẳ ủ ườ ẳ 1)và (d2): 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y Cα β+ + + + + = v i ớ 2 2 0α β+ > 19.2 Đ ng th ng trong không gian:ườ ẳ Góc gi a 2 đ ng th ng:ữ ườ ẳ (d1) có vector ch ph ng ỉ ươ 1 1 1( , , )u a b c= r (d2) có vector ch ph ng ỉ ươ 2 2 2( , , )v a b c= r α là góc gi a (dữ 1) và (d2) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 | |cos a a bb c c a b c a b c α + + = + + + + 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0d d a a b b c c⊥ ⇔ + + = 20. M t ph ng:ặ ẳ a. Kho ng cách t đi m M(xả ừ ể 0, y0) đ n m t ph ng (P):ế ặ ẳ Ax + By + Cz + D = 0 là: 0 0 0 2 2 2 | |Ax By Cz D MH A B C + + + = + + b. Chùm m t ph ng đi qua giao tuy n c a 2 m t ph ng: ặ ẳ ế ủ ặ ẳ 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 P A x B y C z D Q A x B y C z D + + + = + + + = là ph ng trình m t ph ng có d ng:ươ ặ ẳ ạ 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C z D A x B y C z Dα β+ + + + + + + = 21.C p s c ng:ấ ố ộ + Đ nh nghĩa:ị C p s c ng là m t dãy s trong đó, k t s h ng th hai đ u là t ng c aấ ố ộ ộ ố ể ừ ố ạ ứ ề ổ ủ s h ng đ ng ngay tr c nó v i m t s không đ i khác 0 g i là công sai.ố ạ ứ ướ ớ ộ ố ổ ọ 1*, n nn N U U d+∀ ∈ = + + Tính ch t c a c p s c ng :ấ ủ ấ ố ộ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 10/18 Ôn t p ậ Toán THPT 1 2 1n n n nU U U U+ + +− = − 2 1 2 n n n U U U ++ + = + S h ng t ng quát:ố ạ ổ 1 ( 1)nU U d n= + − + T ng n s h ng đ u:ổ ố ạ ầ 1( ) 2 n n a a n U + = 12 ( 1) 2n a d nU n+ −= 22. C p s nhân:ấ ố + Đ nh nghĩa:ị C p s nhân là m t dãy s trong đó s h ng đ u khác không và k t sấ ố ộ ố ố ạ ầ ể ừ ố h ng th hai đ u b ng tích c a s h ng đ ng ngay trạ ứ ề ằ ủ ố ạ ứ ư c nó v i m t s không đ i khác 0ớ ớ ộ ố ổ và khác 1 g i là công b i.ọ ộ "n Є N*, Un + 1 = Un.q + Tính ch t :ấ 1 2 1 n n n n U U U U + + + = 1 2.n n nU U U+ += , Un > 0 + S h ng t ng quát :ố ạ ổ Un = U1.qn - 1 + T ng n s h ng đ u tiên: ổ ố ạ ầ 1 2 1 1... 1 n n n qS U U U U q − = + + + = − + T ng c a c p s nhân lùi vô h n:ổ ủ ấ ố ạ V i |q| < 1ớ 1 1 2 ... 1n n US U U U q = + + + = − CÔNG TH C TÍNH Đ O HÀM & TÍCHỨ Ạ PHÂN 12 I. Đ o hàm:ạ 1. B ng các đ o hàm c b n:ả ạ ơ ả STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 11/18 STT Hàm s yố Đ o hàm y’ạ 1 u ' 2 u u 2 1 u 2 'u u − 3 eu u'.eu 4 au au.lna.u’ 5 ln|u| 'u u 6 logau ' .ln u u a 7 sinu cosu.u’ 8 cosu sinx.u’ 9 tgu 2 ' cos u u 10 cotgu 2 ' sin u u − 11 y=f(u) và u=g(x) y'(x)=y’(u).g’(x) Ôn t p ậ Toán THPT 1 C 0 2 x 1 3 x2 2x 4 x 1 2 x 5 xn n.xn-1 6 1 x 2 1 x − 7 ex ex 8 ax ax.lna 9 ln|x| 1 x (x≠ 0) 10 logax 1 lnx a 11 xα 1xαα − 12 sinx cosx 13 cosx sinx 14 tgx 2 1 cos x 15 cotgx 2 1 sin x − 2. Tính ch t c a đ o hàm:ấ ủ ạ a. (u + v)’ = u’ + v’ b. (u – v)’ = u’ – v’ c. (u.v)’ = u’.v + u.v’ d. (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ e. ' 2 '. '.u u v v u v v −  =   II. Nguyên hàm: 1. B ng các nguyên hàm c b n:ả ơ ả STT Hàm s & Nguyên hàmố 1 dx x C= +∫ 2 1 1 xx dx C α α α + = + +∫ ( 1)α ≠ − Email: duytrung8x@gmail.com Trang 12/18 Ôn t p ậ Toán THPT 3 ln | | dx dx x C x = +∫ ( 0)x ≠ 4 x xe dx e C= +∫ 5 ln x x aa dx C a = +∫ (0 1)a< ≠ 6 sin cosxdx x C= − +∫ 7 cos sinxdx x C= +∫ 8 2 1 cos dx tgx C x = +∫ ( )2x kpi pi≠ + 9 2 1 sin dx cotgx C x = − +∫ ( )x kpi≠ 2. M t s nguyên hàm khác:ộ ố * Hàm y = ( )m a x α− (m ≠ 1) . Hàm s có d ng : ố ạ 'm u u = u'.u-m (m≠ 1) v i u = x-ớ α Nguyên hàm là : ( )m a dx x α−∫ = a. 11( 1)( )mm x α −−− − + C * Hàm y = 2 2ax b ax bx c + + + . Đ t t = ặ 2ax bx c+ + ⇒ t' = 2ax + b Hàm s có d ng : ố ạ 't t ⇒ H nguyên hàm c a hàm s là : ln|t| + C = ln|ọ ủ ố 2ax bx c+ + | + C ⇒ 22 2 ln | |ax b dx ax bx c C ax bx c + = + + + + +∫ * Hàm 2 1y ax bx c = + + . Ta có các tr ng h p sau :ườ ợ + M u s ẫ ố 2ax bx c+ + có 2 nghi m phân bi t xệ ệ 1,x2 và gi s xả ử 1 < x2 . Ta có : 2ax bx c+ + = 1 2( )( )a x x x x− − . Ta có th vi t nh sau :ể ế ư 2 1 dx ax bx c+ +∫ = 1 2 1 ( )( ) dx a x x x x− −∫ = 1 21 2 2 1 ( ) ( )1 ( )( ) x x x x dx a x x x x x x   − − −  − − − ∫ = 2 1 1 2 1 1 1 ( ) dx a x x x x x x   −  − − − ∫ = 2 2 1 1 1 ln ( ) x x C a x x x x − + − − Email: duytrung8x@gmail.com Trang 13/18 Ôn t p ậ Toán THPT + M u s có nghi m képẫ ố ệ : 2 2( )ax bx c a x m+ + = − 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) dx dxdx C ax bx c a x m a x m a x m − = = = + + + − − −∫ ∫ ∫ + M u s không có nghi m (vô nghi m):ẫ ố ệ ệ 2 2( )ax bx c a x m n+ + = + ± . Đ t u = ặ 2( )x m+ . Ta có : * 2 2.ax bx c a u n+ + = + ⇒ 2 1 dx au n+∫ . Đ t ặ nu tgta= * 2 2.ax bx c a u n+ + = − ⇒ 2 1 dx au n−∫ . Nguyên hàm là : 2 2 1 1 1 1 1 ln 2 nu adx C nau n a a n nu ua a a − = = + − − + ∫ ∫ 3. H nguyên hàm c a các hàm vô t :ọ ủ ỉ 3.1. Hàm s có d ng :ố ạ 2 2 1( )f x x k = + ; 2 2 1( )f x x k = − * Cách 1 : Đ t ặ 2 2x k+ = -x + t ⇒ t = x + 2 2x k+ ⇒ dt = 2 2(1 ) x dx x k + + = 2 2 2 2 x k x dx x k + + + = 2 2 t dx x k+ ⇒ 2 2 dx dt tx k = + . Do đó : 2 22 2 ln | | ln | | dx dt t C x x k C tx k = = + = + + + + ∫ ∫ *Cách 2: Bi n đ i : ế ổ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) x x k x k x k x x k + + = + + + + ( Nhân t và m u v i ử ẫ ớ 2 2x x k+ + ) Ta có : 2 2 2 2 1 ( ) ( ) x x kf x x x k + + = + + ( Chia t và m u cho ử ẫ 2 2x k+ ) Đ t ặ 2 2t x x k= + + . Suy ra : 2 2(1 ) dt x dx t x k = + + ⇒ ( )f x dx = dt t V y nguyên hàm là : ậ 2 2( ) ln | | ln | |f x dx t C x x k C= + = + + +∫ T ng t : ươ ự 2 2 1 dx x k−∫ 2 2ln | |x x k C= + − + . Email: duytrung8x@gmail.com Trang 14/18 Ôn t p ậ Toán THPT 3.2. Hàm s d ng :ố ạ 2 2 1( )f x k x = − và 2 2 1( )f u k u = − Đ t ặ sinx k t= v i ớ [ ; ] 2 2 x pi pi−∈ (ho c ặ cosx k t= v i ớ [0; ]x pi∈ ) ⇒ cosdx k tdt= ⇒ 2 2 2 2 1 cos . (1 sin ) k t dt dx k x k t = − − ∫ ∫ = 2cos . cos .| cos |cos ) k t dt t dt tk t =∫ ∫ Vì [ ; ] 2 2 t pi pi− ∈ nên cost > 0 ⇒ cos . cos | cos | cos t dt t dt dt t C t t = = = +∫ ∫ ∫ T ng t : ươ ự 2 2 1 du k u−∫ = t C+ 3.3. Hàm s d ng :ố ạ 2 2( )f x x k= − ; 2 2( )f u u k= − Nguyên hàm là : 2 2 2 2 2 2 2ln | | 2 2 x k x k dx x k x x k C− = − + + − +∫ Cách khác: đ t ặ sin k x t = ho c ặ cos k x t = v i ớ [0; ] 2 t pi ∈ 3.4. Hàm s d ng :ố ạ 2( )f x ax bx c= + + ⇒ Ta bi n đ i v m t trong hai d ng sau: ế ổ ề ộ ạ 2 2( )f x u k= − ho c ặ 2 2( )f x u k= + r i ápồ d ng theo m c 3.ụ ụ 3.5. Hàm s d ng :ố ạ 2 2( )f x x k= + và 2 2( )f u u k= + Đ t ặ x ktgt= , u ktgt= v i ớ [- ; ] 2 2 t pi pi ∈ 3.6. Hàm s d ng :ố ạ 2 2 1( )f x x m = − ho c ặ 2 2 1( )f u u m = − Phân tích thành : 2 2 1( )f x x m = − = 1 1 x m x m + − + r i áp d ng theo công th c đã h c.ồ ụ ứ ọ 3.7. Hàm s d ng :ố ạ 2 2 1( )f x x m = + ho cặ 2 2 1( )f u u m = + + Đ t ặ x mtgt= , u mtgt= v i ớ [- ; ] 2 2 t pi pi ∈ ⇒ 2 22 2 2 2 1 1 | ost |. cos os t( 1) m cdx dt dx t cx m m tg t = = + + ∫ ∫ ∫ Vì [- ; ] 2 2 t pi pi ∈ nên 2 2 | ost | ost os t 1 sin c cdx dt c t = − ∫ ∫ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 15/18 Ôn t p ậ Toán THPT + Đ t ti p : ặ ế sinu t= ⇒ du = costdt .Do đó : 2 2 ost 1 1 sin 1 c dt du t u = − − ∫ ∫ 1 1ln2 1u Cu −= − ++ 4. Các tr ng h p t ng quát c n chú ý :ườ ợ ổ ầ a. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm l đ i v i cosx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = sinx b. Tr ng hườ ợp: f(x) là hàm l đ i v i sinx : Đ tẻ ố ớ ặ : t = cosx c. Tr ng h p:ườ ợ f(x) là hàm ch n đ i v i sinx và cosx :ẵ ớ ớ R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx) d. Tr ng h pườ ợ : f(x) là hàm l đ i v i sinx và cosx : ẻ ố ớ Đ tặ : t = tgx e.Tr ng h pườ ợ : f(x) ch ch a sinx ho c cosx :ỉ ứ ặ Đ t ặ 2 xt tg= * Ph ng pháp chung:ươ A. D ng f(x) = sinạ 2nx.cos2mx : (a) 2 2 1 cos 2sin ( ) 2 n xxdx dx−=∫ ∫ (b) 2 2 1 cos 2os ( ) 2 m xc xdx dx+=∫ ∫ (c) 2n 2s in os mxc xdx∫ . Thay cos2x = 1 – sin2x ho c thay sinặ 2x = 1 – cos2x r i chuy n v d ngố ể ề ạ (a) ho c (b).ặ B. D ng : ạ 2n 2m s in( ) os x af x c b + = + . Đ t t = tgxặ III. Ph ng trình l ng giácươ ượ 1. Ph ng trình c b n:ươ ơ ả * sinx = sina x = a + k2π ho cặ x = π - a + k2π * cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π * tgx = tg = + ( ≠ a ⟺ x a kπ x k ) * cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ) 2. Ph ng trình đ ng c p đ i v i sinx và cosx:ươ ẳ ấ ố ớ Các phư ng trình lơ ng giácượ * asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1) * asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2) * asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3) g i là phọ ng trình đ ng c p b c 2, 3, 4 đ i v i sinx và cosx.ươ ẳ ấ ậ ố ớ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 16/18 Ôn t p ậ Toán THPT Do cosx ≠ 0 nên chia hai v c a phế ủ ng trình (1), (2), (3) theo th t cho ươ ứ ự cos2x, cos3x, cos4x đ a phư ng trình đã cho v phươ ề ng trình m i và ta d dàng gi i các phươ ớ ễ ả ng trìnhươ này. 3. Ph ng trình b c nh t đ i v i sinx và cosx:ươ ậ ấ ố ớ * sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 ph ng trình (1) có nghi m ươ ệ a2 + b2 - c2 ≥ 0 Có ba cách gi i lo i phả ạ ng trình này :ươ - Gi s a ả ử ≠ 0 (1) sin cos 0 b cx x a a ⇔ + + = (2) Đ t : ặ btg a ϕ = (2) sin cos 0 cx tg x a ϕ⇔ + + = sin( ) coscx a ϕ ϕ⇔ + = − Ta d dàng gi i phễ ả ư ng trình này.ơ - Đ t :ặ 2 xtg t= 2 2 2 2 1(1) 0 1 1 t ta b c t t − ⇔ + + = + + Gi i phả ư ng trình b c hai đ i v i t, d dàng gi i đơ ậ ố ớ ễ ả ư c phợ ư ng trình (1).ơ - Do 2 2 0a b+ ≠ , chia hai v c a phế ủ ư ng trình cho ơ 2 2a b+ : 2 2 2 2 2 2(1) sin cos a b cx x a b a b a b ⇔ + = − + + + Đ t :ặ 2 2 2 2 sin cos a a b b a b α α  = + = + 2 2(1) sin( ) cx a b α⇔ + = − + (đây là ph ng trình c b n).ươ ơ ả Chú ý : Ta luôn có : 2 2| sin sin |a x b x a b+ ≤ + D u "=" x y ra khi và ch khi sin(x + a) = 1.ấ ả ỉ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 17/18 Ôn t p ậ Toán THPT 4. Ph ng trình đ i x ng đ i v i sinx và cosx:ươ ố ứ ố ớ a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là h ng s )ằ ố Gi i phả ng trình (1) b ng cách đ t :ươ ằ ặ sinx + cosx = t , | | 2t ≤ Đ a (1) v phư ề ư ng trình ơ 2 2 ( 2 ) 0bt at b c+ − + = Gi i phả ng trình (2) v i ươ ớ | | 2t ≤ . 5. H phệ ng trình lươ ư ng giác:ợ 1) H phệ ng trình lươ ng giác m t n. Ch ng h n có h phượ ộ ẩ ẳ ạ ệ ng trình :ươ sin 1 cos 0 x x = = Có hai ph ng pháp gi i :ươ ả * Phư ng pháp th , gi i m t phơ ế ả ộ ư ng trình c a h r i th nghi m tìm đơ ủ ệ ồ ế ệ c vào phượ ngươ trình còn l i.ạ * Ph ng pháp tìm nghi m chung, gi i tìm nghi m c a m i phươ ệ ả ệ ủ ỗ ng trình trong h , sau đóươ ệ tìm nghi m chung. ệ 2) H phệ ư ng trình lơ ng giác hai n. Ch ng h n có h phượ ẩ ẳ ạ ệ ư ng trình :ơ 3 sin sin 1 x y x y pi + = + = Ph ng pháp chung là đươ a nó v h phư ề ệ ng trình đ i s hai n, ho c đươ ạ ố ẩ ặ a v phề ng trìnhươ t ng tích.ổ Email: duytrung8x@gmail.com Trang 18/18