Nghiên cứu các cơ chế vật lý hình thành phổ năng lượng sóng trên nước sâu

127 128 Ch−¬ng 4 nghiªn cøu c¸c c¬ chÕ vËt lý h×nh thμnh phæ n¨ng l−îng sãng trªn n−íc s©u NhËp ®Ò. Nh− ®· nhËn xÐt, mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m liªn quan tíi m« h×nh hãa sãng giã lμ kh¶o s¸t nh÷ng c¬ chÕ vËt lý kh¸c nhau h×nh thμnh phæ sãng giã. Hμm nguån cã mÆt ë vÕ ph¶i cña ph−¬ng tr×nh c©n b»ng n¨ng l−îng sãng ph¶n ¸nh quan niÖm h×nh thøc vÒ nh÷ng c¬ chÕ ®ã. HiÖn nay cã kh¸ nhiÒu c«ng tr×nh ®Ò cËp tíi vÊn ®Ò nμy. Tr×nh bμy tØ mØ nhÊt vÒ vÊn ®Ò cã thÓ t×m thÊy trong mét sè chuyªn kh¶o míi nhÊt, thÝ dô, ë Nga [162] vμ ë ngo¹i quèc [303]. Do ®ã, ë ®©y kh«ng cÇn ph¶i m« t¶ chi tiÕt vÒ tÊt c¶ nh÷ng kÕt qu¶. Chóng t«i chØ l−u ý nh÷ng ®iÓm quan träng nhÊt. Trong ®a sè c¸c m« h×nh hiÖn hμnh vÒ sãng giã, ng−êi ta chÊp nhËn [45, 162, 303, 331] r»ng hμm nguån G trªn n−íc s©u gåm tæng cña ba hîp phÇn chÝnh: inG n¹p n¨ng l−îng tõ giã cho sãng, dsG tiªu t¸n n¨ng l−îng sãng vμ nlG t¸i ph©n bè phi tuyÕn n¨ng l−îng bªn trong phæ sãng, g©y nªn bëi qu¸ tr×nh t−¬ng t¸c céng h−ëng bèn sãng gi÷a c¸c hîp phÇn phæ. Do ý nghÜa lý luËn vμ thùc tÕ to lín cña vÊn ®Ò vÒ vai trß cña c¸c c¬ chÕ vËt lý h×nh thμnh phæ sãng giã, chóng ta trë l¹i vÊn ®Ò nμy mét lÇn n÷a. 4.1. vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã T×nh h×nh nghiªn cøu. VÊn ®Ò vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã ®−îc h×nh thμnh trong c¸c c«ng tr×nh cña K. Hasselmann [260264] vμ V. E. Zakharov [65] vμo nh÷ng n¨m 60. Ph−¬ng tr×nh tiÕn triÓn phæ sãng do kÕt qu¶ t¸c ®éng cña sù t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng:      )()(),,,()( 321321321 kkkkkkkkTtkN    321321132 kdkdkdNNNNNNNN )()(  (4.1) trong ®ã  )( ii kNN  mËt ®é phæ t¸c ®éng sãng; ),,,( 321 kkkkT  hμm nh©n t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu gi÷a c¸c hîp ph©n sãng; )(k  vμ )( hμm  cña §irac, m« t¶ nh÷ng ®iÒu kiÖn t−¬ng t¸c céng h−ëng gi÷a bèn hîp phÇn sãng: 321 kkkk   ; (4.2a) 321  . (4.2b) §iÒu kiÖn céng h−ëng ®−îc biÓu diÔn b»ng s¬ ®å trªn h×nh 4.1. K. Hasselmann [262] ®· gi¶i thÝch tÝch ph©n (4.1) theo thuËt ng÷ c¸c t−¬ng t¸c bèn cùc gi÷a ba hîp phÇn sãng tÝch cùc, quyÕt ®Þnh c−êng ®é t−¬ng t¸c, vμ mét hîp phÇn thø t− thô ®éng, nhËn n¨ng l−îng, nh−ng kh«ng t¸c ®éng trôc tiÕp tíi sù t−¬ng t¸c. Trong mét lo¹t c«ng tr×nh tiÕp theo [45, 65, 68, 267, 303, 322, 331] ®· chøng minh tÇm quan träng ph¶i tÝnh tíi sù t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã vμ vai trß cña nã lμm dÞch chuyÓn cùc ®¹i phæ trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn sãng. Tuy nhiªn, muèn cã ®−îc −íc l−îng ®óng vÒ th«ng l−îng n¨ng l−îng tíi hîp phÇn sãng nμy vÉn lμ mét bμi to¸n kh¸ phøc t¹p. VÊn ®Ò ®é chÝnh x¸c tÝnh to¸n tÝch ph©n t−¬ng t¸c biÓu diÔn sù t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu lμ mét vÊn ®Ò kh¸ næi tiÕng. MÆc dï K. Hasselmann ®· rót ra tÝch ph©n t−¬ng t¸c lÇn ®Çu 129 130 tiªn vμo ®Çu nh÷ng n¨m 60, nh−ng mét thêi gian dμi thùc tÕ ng−êi ta ®· kh«ng thÓ tÝnh ®−îc tÝch ph©n nμy d−íi d¹ng chÝnh x¸c cña nã mét c¸ch ®ñ tin cËy. ViÖc −íc l−îng sè trùc tiÕp tÝch ph©n t−¬ng t¸c gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n. Lý do lμ: thø nhÊt nã cã d¹ng kÐp s¸u líp; thø hai, d¹ng hμm cña nh©n d−íi d©u tÝch ph©n ),,,( 321 kkkkT  rÊt phøc t¹p. H×nh 4.1. To¸n ®å t−¬ng t¸c bèn sãng theo [269] K. Hasselmann [275], J. Dungey vμ W. Hui [241], M. Fox [246], D. Webb [382] vμ nnk b»ng c¸ch sö dông hμm ®elta biÓu diÔn c¸c ®iÒu kiÖn céng h−ëng ®· biÕn ®æi tÝch ph©n s¸u líp thμnh tÝch ph©n ba líp. Tuy nhiªn, nh÷ng thñ tôc ®ã ®· lμm xuÊt hiÖn nh÷ng biÕn dÞ ë biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n, l¹i g©y thªm nh÷ng khã kh¨n trong tÝnh to¸n. Ng−êi ta ®· gi¶i quyÕt vÊn ®Ò hoÆc b»ng c¸ch thay thÕ c¸c biÕn vμ sö dông c¸c täa ®é "kÐo d·n", hoÆc b»ng c¸ch −íc l−îng phÇn ®ãng gãp tõ l©n cËn ®iÓm biÕn dÞ. Song b¶n th©n viÖc tÝnh to¸n biÓu thøc chÝnh x¸c cña tÝch ph©n vÉn cßn lμ mét bμi to¸n kh¸ phøc t¹p. KÕt qu¶ lμ nhiÒu t¸c gi¶ [246, 309, 344, 382] ®Ò xuÊt nh÷ng xÊp xØ ®¬n gi¶n cho phæ hÑp. N¨m 1980 A. Masuda [322] lμ mét trong nh÷ng ng−êi ®Çu tiªn kh¾c phôc ®−îc khã kh¨n tÝnh to¸n b»ng sè biÓu thuøc chÝnh x¸c cña tÝch ph©n t−¬ng t¸c. ¤ng ®· −íc l−îng ®−îc phÇn ®ãng gãp cña biÕn dÞ vμo tÝch ph©n b»ng c¸ch sö dông c¸c biÕn chän theo mét c¸ch ®Æc biÖt. Víi phÇn cßn l¹i th× thñ tôc tÝnh tÝch ph©n cã tÝnh chÊt truyÒn thèng. Sau ®ã, n¨m 1981 S. Hasselmann vμ K. Hasselmann [269, 270, 273] ®· ®Ò xuÊt ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n sö dông sù ®èi xøng cña biÓu thøc, cho phÐp t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n rÊt nhiÒu. Hä chuyÓn tõ viÖc xem xÐt biÓu thøc bÊt ®èi xøng (4.1), biÓu thøc nμy diÔn t¶ sù biÕn thiªn n¨ng l−îng ®èi víi hîp phÇn sãng k  nh− lμ kÕt qu¶ t−¬ng t¸c víi c¸c hîp phÇn kh¸c 21 , kk  vμ 3k  sang m« t¶ nh÷ng tÝnh chÊt cña c©n b»ng chi tiÕt nh»m lμm sao sö dông tèi ®a sù ®èi xøng ®Ó tèi −u hãa tÝnh to¸n tÝch ph©n. Sù cÇn thiÕt ph¶i tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu trong c¸c m« h×nh to¸n vμ ®Æc biÖt khi thùc hiÖn c¸c tÝnh to¸n dù b¸o sãng giã nghiÖp vô ®· buéc ng−êi ta lËp ra nh÷ng biÓu thøc xÊp xØ kh¸c nhau cña tÝch ph©n. §¹t nhÊt lμ mét xÊp xØ ®−îc gäi lμ "xÊp xØ gÇn ®óng gi¸n ®o¹n" do K. Hasselmann vμ S. Hasselmann [270] ®Ò xuÊt; xÊp xØ nμy sö dông tèi ®a sù ®èi xøng cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vμ mÆc dï nhiÒu gi¶n −íc song vÉn b¶o tån ®−îc nhiÒu tÝnh chÊt quan träng cña tÝch ph©n ban ®Çu. HiÖn nay, xÊp xØ nμy ®−îc dïng trong m« h×nh WAM [303]. BiÓu thøc xÊp xØ viÕt d−íi d¹ng                           42 431 4 4 4 32 1 114 3 2 1 111 1 1 2 )()()( , , , SSSSSSfCgD δG δG δG nl nl nl , (4.3) trong ®ã: ),( nnn SS  ; 250, ; 12  ; 13 1  )( ; 14 1  )( ; 12  ; 481113 , ; 563314 , ; 131 132  2/f ;  21082 7 /,C . Nhê nh÷ng tÝnh to¸n tiÕp theo ®· nghiªn cøu ®−îc nhiÒu tÝnh chÊt ®Þnh tÝnh cña tÝch ph©n. ë Nga nh÷ng tÝnh to¸n chi tiÕt do V. G. Polnikov [158, 159] thùc hiÖn. Víi phæ sãng giã ®iÓn h×nh, hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu cã hai cùc ®¹i chÝnh: mét cùc ®¹i )(nlG d−¬ng, cùc ®¹i thø hai )( nlG ©m. VÞ trÝ vμ ®é lín cña c¸c cùc ®¹i lμ do d¹ng phæ quyÕt ®Þnh. Cùc ®¹i d−¬ng )(nlG th−êng n»m trªn h−íng tæng qu¸t cña phæ t¹i ®iÓm mμ tÇn sè phi thø nguyªn cña nã tuú thuéc vμo d¹ng phæ cã thÓ n»m ë c¸c ®iÓm 001940 ,,/~ max )(   (ë ®©y max tÇn sè cùc ®¹i phæ). Cùc tiÓu )(nlG th−êng n»m trªn h−íng tæng qu¸t t¹i ®iÓm 601051 ,,~ )(   . Ngoμi ra, tån t¹i hai cùc ®¹i d−¬ng phô ®èi xøng qua h−íng tæng qu¸t. Chóng n»m ë ®iÓm 03512 ,,~ )(   , t¹i ®©y gãc so víi h−íng tæng qu¸t b»ng 4525  . Tuy nhiªn, mÆc dï cã nh÷ng kÕt qu¶ ®ã, vÊn ®Ò vÒ ®é chÝnh x¸c tÝnh to¸n vÉn cßn bá ngá. C¸c −íc l−îng cho thÊy r»ng víi phÇn lín c¸c tÝnh to¸n sai sè sè ®iÓn h×nh tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c ë l©n cËn cùc ®¹i phæ lμ kh«ng nhá h¬n 1050%. Nã cã thÓ cao h¬n rÊt nhiÒu ë nh÷ng vïng kh¸c cña d¶i tÇn  gãc. Cã thÓ lμ ®é chÝnh x¸c nμy lμ ®ñ ®èi víi viÖc tÝnh to¸n sãng theo tr−êng giã, nÕu biÕt r»ng viÖc cho hμm nguån kh¸ bÊt ®Þnh, sai sè cña tèc ®é giã..., song ®Ó nghiªn cøu nh÷ng hiÖu øng tinh tÕ h¬n cña ®éng lùc sãng phi tuyÕn th× sö dông nh÷ng tÝnh to¸n ®ã lμ kh«ng hîp lý. HiÖn nay, ®−îc biÕt cã hai ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c hoμn thiÖn h¬n. Mét trong sè ®ã do D. Resio vμ W. Perrie [345] ®Ò xuÊt, ®· sö dông phÐp tû lÖ hãa vμ sù ®èi xøng khi tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c. Ph−¬ng ph¸p thø hai do R. Snyder vμ nnk. [358] ®Ò xuÊt dùa trªn sö dông s¬ ®å tÝch ph©n lai trong thuËt gi¶i cña S. Hasselmann vμ C. Hasselmann [269, 270]. S¬ ®å nμy sö dông nh÷ng ®iÓm hoμn thiÖn cña ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n Bolzman tr−íc ®©y kÕt hîp víi nh÷ng ®iÓm −u viÖt cña c¸ch tÝnh ®· ®Ò xuÊt trong m« h×nh EXACTNL [331], lμm t¨ng tèc ®é tÝnh to¸n lªn mét bËc. Tuy nhiªn, mÆc dï nh÷ng thμnh tùu hiÓn nhiªn, song vÊn ®Ò vÒ ®é chÝnh x¸c tÝnh to¸n vμ sù tèi −u vÉn rÊt ®¸ng quan t©m. V× vËy t¸c gi¶ c«ng tr×nh nμy ®· thö c¶i thiÖn tiÕp theo h−íng nμy. KÕt qu¶ nghiªn cøu nμy ®¸ng quan t©m kh«ng chØ v× nã lμm gi¶m ®¸ng kÓ khèi l−îng tÝnh to¸n vμ cho phÐp thùc thi tÝnh to¸n víi ®é chÝnh x¸c ®¶m b¶o ®èi víi nhiÒu d¹ng xÊp xØ phæ, mμ cßn v× nã gióp nhËn ®−îc nh÷ng −íc l−îng æn ®Þnh h¬n vÒ t¸i ph©n bè phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã. ThuËt to¸n tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c. BiÓu thøc xuÊt ph¸t cña tÝch ph©n t−¬ng t¸c bèn sãng phi tuyÕn yÕu nlG ®−îc cho bëi vÕ ph¶i ph−¬ng tr×nh (4.1). Trong tÝnh to¸n tiÕp theo chóng t«i dïng biÓu thøc cña hμm nh©n d−íi d¹ng do D. Webb [382] ®Ò xuÊt, vμ ®· chØnh l¹i mét lçi cña t¸c gi¶ nμy. Nh©n ®−îc viÕt d−íi d¹ng 321 2 321 2 321 4   w Q kkkkDgkkkkT ),,,(),,,(  , (4.4) trong ®ã     2 11 323211 2 1 321 2 )( ))(()(),,,( kkg kkkkkkkkkkkkD   133 134   2 22 323122 2 2 )( ))(()( kkg kkkkkkkk      2 33 212133 2 3 )( ))(()( kkg kkkkkkkk    ))(())(())(( 213312321 21 kkkkkkkkkkkk    ))(())()(( 31141212 41 kkkkkkkkg   4321342 ))()(()( kkkk  .)()()()( 321321 2 3 2 2 2 13 2 51 kkkkkkkk g  BiÕn ®æi tÝch ph©n (4.1) thùc hiÖn nh− sau. XuÊt ph¸t tõ sù ®èi xøng cña nã theo c¸c biÕn 2k  vμ 3k  , cã thÓ viÕt      32 321321 2 kk kdkdkdkdkdkd   , (4.5) biÓu thøc nμy ®óng víi ®iÒu kiÖn 32  . Ta sÏ thùc hiÖn tÝch ph©n theo 3k  vμ chuyÓn tõ c¸c biÕn tÝch ph©n theo c¸c vect¬ sãng },{ yixii kkk   sang c¸c tÇn sè i vμ c¸c gãc )/( xiyii kkarctg vμ tõ t¸c ®éng sãng sang phæ tÇn  gãc ),()/()(  SgkN 42 2 . Ta viÕt l¹i tÝch ph©n (4.3) d−íi d¹ng       )()(),( 41413242343212 SSSSSSSSTGnl .)( 11224 321 321   dddd (4.6) §Ó tiÕp tôc gi¶n −íc tÝch ph©n (4.6), nhê hμm )( ta thùc hiÖn tÝch ph©n theo biÕn 2 vμ ®−a tÝch ph©n vÒ d¹ng           2 20 4 1 4 132 4 23 4 3214 )()(),( SSSSSSSSTGnl 112 121 4 2 22 3321 121    ddd Bkaa ),,(])[( ),,( , (4.7) ë ®©y  1a ;  a ; )]cos([ 12124412 2 ak ;   )cos(),,( aaak 2121 2 hμm Hevisside. DÊu tæng tr−íc tÝch ph©n (4.7) hμm ý phÐp céng c¸c hμm d−íi dÊu tÝch ph©n ®èi víi hai gi¸ trÞ cña gãc 2 :  )/()( 22434222 2arscos  aaa kk ;  )/()( 23424323 2arscos  aaa kk ;   )sin(/)coscos( yyaa kkk  11212arscos . Hμm ),,( 121  BB cã d¹ng   )//()/()/(/ 42222 2222 aaaaaa kkB  . (4.8) §Æc ®iÓm diÔn biÕn cña hμm 2/1B cña ®èi sè 2 víi c¸c gi¸ trÞ kh¸c nhau cña tham sè a (ë ®©y ký hiÖu 22 aaa k  / ) biÓu diÔn trªn h×nh 4.2. XuÊt ph¸t tõ yªu cÇu gi¸ trÞ hμm B ph¶i d−¬ng, cã thÓ chØ ra r»ng khi 1a vïng tÝch ph©n theo biÕn 2 ph¶i n»m trong kho¶ng aaa  2 1 21 2 1 2)/( . T¹i biªn cña kho¶ng, tøc t¹i )/( 21 2 1 2 a hμm B b»ng kh«ng, t¹o nªn ®iÓm kú dÞ trong biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n. Khi 1a tÝch ph©n theo 2 thùc hiÖn trong kho¶ng )/( 21 2 1 aa  )( 112 1 2  aa . T¹i hai 135 136 ®Çu kho¶ng nμy hμm B b»ng kh«ng. Trong tr−êng hîp nμy sÏ xuÊt hiÖn nh÷ng ®iÓm kú dÞ ë c¶ hai ®iÓm biªn. Ta cÇn l−u ý r»ng nh÷ng ®iÓm kú dÞ ®ã kh¶ tÝch. H×nh 4.2. §Æc ®iÓm diÔn biÕn cña hμm )( ,/ aB 221 TÝnh tÝch ph©n ba líp ®−îc thùc hiÖn b»ng tÝch ph©n liªn tiÕp theo tõng biÕn. ®Çu tiªn, xuÊt ph¸t tõ tÝnh chÊt c¸c ®iÓm kú dÞ, sö dông c¸c c«ng thøc lËp ph−¬ng Jacobi ®Ó tÝch ph©n sè theo 2 [93]. VËy trong tr−êng hîp 1a , kh«ng tån t¹i nh÷ng ®iÓm kú dÞ t¹i hai ®Çu kho¶ng tÝch ph©n, cã thÓ viÕt      b a n j jfn d ba fF 1 11212 22 1121 111 ),,())(( ),,(),(~ , (4.9 a) trong ®ã  ),,( 1121f hμm d−íi dÊu tÝch ph©n kh«ng kÓ nh÷ng ®iÓm kú dÞ; )/(/ aaa ka  22 ; 211 /)(  aab ; ]//)cos[(/)(/)( njababj 212222  . Trong tr−êng hîp 1a cã thÓ lîi dông c«ng thøc b×nh ph−¬ng [93]     n j jj d a fAadd a fF 1 11222 2 1122 112 ),,( ),,(),(~ , (4.9 b) trong ®ã jA c¸c hÖ sè tØ träng;  j2 c¸c tung ®é cña c«ng thøc lËp ph−¬ng; 2/ad  ;  ),,( 1122f hμm d−íi dÊu tÝch ph©n kh«ng cã ®iÓm kú dÞ t¹i ®iÓm a2 . Nh÷ng thÝ nghiÖm sè cho thÊy r»ng trong vïng mang n¨ng l−îng khi 7n sai sè tÝch ph©n theo 2 kh«ng v−ît qu¸ 12%. Khi tÝch ph©n tiÕp biÓu thøc (4.7) theo biÕn 1 ®· tÝnh ®Õn biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n lμ hμm tuÇn hoμn theo biÕn nμy. §−îc biÕt, ph−¬ng ph¸p sè lÊy tÝch ph©n c¸c hμm tuÇn hoμn chÝnh x¸c nhÊt lμ ph−¬ng ph¸p h×nh ch÷ nhËt th«ng th−êng [93], cã thÓ viÕt nh− sau        ),(~),(~)(~ i m i F m dFJ 11 1 0 1111 2 , (4.10) trong ®ã i mi  21 . NÕu lÊy m2  hay m2 3 , biÓu thøc (4.10) sÏ ®óng ®èi víi c¸c ®a thøc d¹ng )cos()()(   maTC mmm 1 , trong ®ã 1mT ®a thøc l−îng gi¸c bËc 1m . Trong tr−êng hîp nμy biÓu thøc (4.10) sÏ chÝnh x¸c nhÊt, v× hμm ph©n bè gãc lμ 137 138 hμm cosin. §Ó thùc hiÖn tÝch ph©n theo 1 víi sai sè kh«ng qu¸ 12% ph¶i lÊy sè h×nh ch÷ nhËt kh¸ lín 90m . Tuy nhiªn ta nhËn thÊy r»ng dïng ph−¬ng ph¸p nμy ®Ó tÝch ph©n theo 1 kh«ng tèi −u, ph¶i lÊy sè chia h×nh ch÷ nhËt lín lμ do ë ®©y hμm d−íi dÊu tÝch ph©n còng chøa ®iÓm kú dÞ. T¹i v× gi¸ trÞ cña c¸c tÝch ph©n (4.9) khi 1a b»ng v« cïng lín, ®iÒu ®ã cÇn tÝnh ®Õn khi lÊy tÝch ph©n theo biÕn 1 . Nãi c¸ch kh¸c, trong tr−êng hîp tæng qu¸t chóng ta gÆp kh«ng ph¶i nh÷ng ®iÓm kú dÞ khi lÊy tÝch ph©n, mμ mét mÆt ph¼ng ®Æc biÖt, trªn ®ã hμm d−íi dÊu tÝch ph©n trë thμnh v« cïng. Víi môc ®Ých thùc hiÖn tÝch ph©n theo biÕn 1 mét c¸ch hiÖu qu¶ h¬n, ta ®−a tÝch ph©n (4.10) vÒ c¸c b×nh ph−¬ng vÞ cã ®é chÝnh x¸c ®¹i sè cao nhÊt. ë ®©y hμm tØ träng Jacobi còng sÏ cã Ých. Ta nh©n vμ chia hμm d−íi dÊu tÝch ph©n trong (4.10) cho ®¹i l−îng 12 22  )/( aak vμ biÓu diÔn tÝch ph©n d−íi d¹ng sau:       11111111 dAFdFJ )cos(/),( ~~),(~)(~ , (4.11a) trong ®ã AFF  )cos(~~~ 1 , )/())()(( 21244141 84 A . Gi¸ trÞ cña tham sè 1A chÊp nhËn trÞ sè cùc ®¹i b»ng ®¬n vÞ khi a . Ta ®−a ra biÕn tÝch ph©n míi )cos( 1x . TÝch ph©n (4.11a) cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng sau:       1 1 1 1 211 1 1 dx xAx FJ ),( ~~)(~ . (4.11 b) ë ®©y thùc hiÖn lÊy tæng víi hai gi¸ trÞ kh¸c nhau cña gãc )arccos(x1 . Trong tÝch ph©n nμy hμm ),( ~~ xF 1 lμ hμm bÞ chÆn kh¸ tr¬n. Nh÷ng ®Æc ®iÓm cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n hoμn toμn gièng nh− trong tÝch ph©n elliptic loaÞ mét *. ë ®©y còng cã thÓ sö dông c¸c hμm tØ träng Jacobi. Nh÷ng thÝ nghiÖm sè cho thÊy r»ng ®Ó cã ®é chÝnh x¸c cÇn thiÕt chØ cÇn lÊy 6 ®iÓm nót trªn khoangr tÝch ph©n tõ 1 ®Õn 1 lμ ®ñ. L−u ý r»ng ®é lín cña tÝch ph©n elliptic lo¹i mét cã thÓ nhËn gi¸ trÞ lín v« cïng, tuy nhiªn viÖc tÝch ph©n tiÕp theo biÕn 1 kh«ng phøc t¹p l¾m, v× ®iÓm kú dÞ nμy lμ lo¹i ®iÓm kú dÞ logarit. TÝch ph©n cuèi cïng trong c¸c tÝch ph©n (4.7) theo biÕn 1 thùc hiÖn b»ng ph−¬ng ph¸p c¸c h×nh ch÷ nhËt trung b×nh. C¸c giíi cËn cña tÝch ph©n    0 11 dJ )( ~ ®−îc x¸c ®Þnh theo kÕt qu¶ thÝ nghiÖm sè. ThÊy r»ng ®Ó cã ®é chÝnh x¸c cÇn thiÕt (sai sè d−íi 12%) cã thÓ giíi h¹n trong kho¶ng maxmax ,,  0660 1 (víi phæ JONSWAP). Sè ®iÓm chia nót víi b−íc tÝch ph©n ®Òu nhau ®Ó ®¹t ®é chÝnh x¸c cÇn thiÕt x¸c ®Þnh ®−îc b»ng kho¶ng 60. Khi b−íc tÝch ph©n kh«ng ®Òu nhau víi c¸c nót ë nh÷ng ®iÓm    6611111 11  //// Lll , trong ®ã 1 cËn d−íi cña tÝch ph©n vμ 1 cËn trªn, víi sè nót b»ng 32 cã thÓ ®¹t ®−îc cïng ®é chÝnh x¸c. TÝnh tÝch ph©n sÏ hiÖu qu¶ nhÊt nÕu ta tÝnh ®Õn tÝnh chÊt * Справочник по специальным функциам. М.: Наука, 1979. 635 с. 139 140 diÔn biÕn cña hμm d−íi dÊu tÝch ph©n )(~ 1J . Cô thÓ, víi ®a sè c¸c biÓu thøc xÊp xØ phæ sãng giã ®iÓn h×nh th× )(~ 1J gi¶m tíi v« cïng theo )(~ 1J  61 , cßn trªn kho¶ng tõ kh«ng ®Õn max1 nã t¨ng nhanh theo )(~ 1J  25101  . Thö nghiÖm thuËt to¸n tÝnh tÝch ph©n t−¬ng t¸c vμ ®¸nh gi¸ ®é chÝnh x¸c tÝnh to¸n. Tr−íc khi tÝnh to¸n ®· tiÕn hμnh thÝ nghiÖm nh»m môc ®Ých thö nghiÖm thuËt to¸n tÝch ph©n dùa trªn sö dông c¸c c«ng thøc b×nh ph−¬ng vÞ (4.9) ®· m« t¶. Muèn vËy ®· tÝnh tÝch ph©n vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu ®èi víi phæ JONSWAP víi mét sè nót d−íi dÊu tÝch ph©n. Nh− vËy trÞ sè cña tham sè n chÊp nhËn tuÇn tù b»ng 2, 3, 4, 5, 8. KÕt qu¶ tÝnh thÓ hiÖn trªn h×nh 4.3. Chóng cho thÊy r»ng khi t¨ng n kÕt qu¶ tÝnh héi tô kh¸ nhanh vÒ gi¸ trÞ chÝnh x¸c. C¸c gi¸ trÞ sè trë nªn thùc tÕ kh«ng kh¸c biÖt khi 5n . Khi 4n sai kh¸c t−¬ng ®èi ë d¶i mang n¨ng l−îng b»ng kho¶ng d−íi 15% (so víi gi¸ trÞ khi 8n ); sai sè nμy lμ tho¶ m·n ®èi víi phÇn lín nh÷ng tÝnh to¸n thùc tiÔn, cßn víi 8n sai sè tÝch ph©n −íc l−îng b»ng 12%. VÒ −íc l−îng ®é chÝnh x¸c tÝch ph©n sè theo c¸c biÕn kh¸c, th× víi phæ ®iÓn h×nh cña JONSWAP ®é chÝnh x¸c ®−îc −íc l−îng b»ng c¸ch thùc hiÖn tÝnh lÆp víi sè nót gÊp ®«i cho tíi khi hiÖu sè gi÷a hai lÇn tÝnh liªn tiÕp kh«ng v−ît qu¸ mét gi¸ trÞ cho tr−íc. KÕt qu¶ nhËn ®−îc sai sè kh«ng qu¸ 12% ë l©n cËn cùc ®¹i phæ ( 5190 ,~,  , ë ®©y max/~  ). Trong ®ã ë c¸c d¶i tÇn ),~,( 9080  vμ ),~,( 5251  sai sè tÝnh to¸n kh«ng qu¸ 35%, ë c¸c d¶i ),~,( 8070  vμ ),~,( 5352  sai sè kh«ng qu¸ 510%. Ngoμi ra, ®· −íc l−îng ®é chÝnh x¸c sè trÞ b¶o tån sù thô ®éng cña tÝch ph©n t−¬ng t¸c b»ng c¸ch tÝnh tÝch ph©n biÓu thøc )(kGnl  (4.1) theo vect¬ sãng k  (d−íi d¹ng phi thø nguyªn ®· tÝch ph©n ®¹i l−îng 3 ~),~(~nlS theo tÇn sè ~ vμ h−íng  ). Sai sè −íc l−îng b¶o tån sù thô ®éng cña vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu kh«ng qu¸ 1%. Sau ®ã c¸c kÕt qu¶ tÝnh tÝch ph©n (4.1) ®−îc ph©n tÝch tØ mØ. Chóng ®−îc so s¸nh víi nh÷ng kÕt qu¶ ®· biÕt cña c¸c t¸c gi¶ kh¸c. Víi t− c¸ch lμ tiªu chuÈn ®· sö dông nh÷ng kÕt qu¶ tÝnh tõng ®−îc kiÓm tra vμ thö th¸ch nhiÒu nhÊt cña S. Hasselmann vμ K. Hasselmann [269]; trong c«ng tr×nh cña hä ®· ®−a ra nhiÒu d¹ng hμm vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu cho phæ JONSWAP víi nh÷ng tham sè quyÕt ®Þnh cã trÞ sè kh¸c nhau. KÕt qu¶ tÝnh hμm mét chiÒu )(nlG lÊy tõ c«ng tr×nh [269] víi gi¸ trÞ tham sè ®Ønh 7 vμ ph©n bè gãc cña n¨ng l−îng  )(cos 2 dÉn trªn h×nh 4.4a. Trªn ®ã còng dÉn kÕt qu¶ tÝnh theo thuËt to¸n ®Ò xuÊt trong c«ng tr×nh nμy. Tõ h×nh vÏ thÊy râ r»ng c¸c kÕt qu¶ kh¸ phï hîp nÕu l−u ý r»ng nh÷ng gi¸ trÞ tÇn sè t¹i ®ã thùc hiÖn tÝnh to¸n cã h¬i kh¸c nhau. Sù t−¬ng ®ång gi÷a c¸c kÕt qu¶ tÝnh víi tham sè ®Ønh 33, hoμn toμn tho¶ m·n, mÆc dï trªn c¸c tÇn sè max,  21 cã thÊy chót Ýt kh¸c biÖt. Nhê so s¸nh kÕt qu¶ tÝnh cã thÓ rót ra kÕt luËn r»ng kÕt qu¶ tÝnh to¸n cña chóng t«i cã ®Æc ®iÓm æn ®Þnh (tr¬n chu) h¬n. Víi tham sè ®Ønh 01, sù kh¸c biÖt ®· trë nªn ®¸ng kÓ (xem h×nh 4.4 b). ThuËt to¸n cña chóng t«i ®−a ra ®−êng cong tr¬n chu h¬n nhiÒu, ®iÒu ®ã chøng tá tÝnh æn ®Þnh cao h¬n cña kÕt qu¶. NÕu so s¸nh c¸c kÕt qu¶ tÝnh hμm hai chiÒu ),( nlG th× sÏ cμng Ên t−îng h¬n n÷a. Nh− vËy cã thÓ kÕt luËn r»ng thuËt to¸n ®· x©y dùng cho phÐp nhËn ®−îc kÕt qu¶ tÝnh tÝch ph©n vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu kh¸ æn ®Þnh trong khi chi phÝ thêi gian tÝnh to¸n Ýt h¬n. 141 142 H×nh 4.3. KÕt qu¶ tÝnh hμm vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu víi sè nót n trong (4.9) vμ (4.10) kh¸c nhau: 1  ;2n 2  ;3n 3  ;4n 4  ;5n 5  ;7n 6  8n H×nh 4.4a. KÕt qu¶ tÝnh hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu trong phæ JONSWAP víi 7 : 1 theo [269], 2 theo thuËt to¸n ®ang xÐt; 3 c¸c ®iÓm tÝnh §Ó kÕt luËn chóng t«i nhËn xÐt r»ng viÖc ph©n t¸ch gi¶i tÝch t−êng minh nh÷ng ®iÓm kú dÞ cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n (4.7), (4.8) d−íi d¹ng (4.9) vμ (4.11) còng nh− lùa chän c¸c c«ng thø b×nh ph−¬ng vÞ phï hîp vμ sö dông c¸c ph−¬ng ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n sè ®é chÝnh x¸c cao nhÊt lμ mét "s¸ng t¹o" thμnh c«ng trong viÖc tÝch ph©n sè biÓu thøc (4.1). Cã lÏ ®©y chÝnh lμ sù kh¸c biÖt c¬ b¶n gi÷a quan ®iÓm tiÕp cËn cña chóng 143 144 t«i víi c¸c t¸c gi¶ kh¸c [158, 269, 322]; hä thiªn vÒ "kh¾c phôc" nh÷ng ®iÓm kú dÞ cña biÓu thøc d−íi dÊu tÝch ph©n vμ tiÕn hμnh tÝch ph©n b»ng nh÷ng ph−¬ng ph¸p kÐm hiÖu lùc h¬n. H×nh 4.4b. KÕt qu¶ tÝnh hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu trong phæ JONSWAP víi 0,1 : 1 theo [269], 2 theo thuËt to¸n ®ang xÐt; 3 c¸c ®iÓm tÝnh KÕt qu¶ tÝnh tÝch ph©n vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã *. Ta sÏ tiÕn hμnh tÝnh to¸n vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu trong phæ sãng giã ®èi víi mét sè xÊp xØ tÇn  gãc ®iÓn h×nh nhÊt ),( S cho d−íi d¹ng sau: ),()(),(  QSS , (4.12) trong ®ã )(S phæ tÇn sè;  ),(Q ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc. XÊp xØ tÇn sö dông d−íi d¹ng phæ JONSWAP [267]           )/()(exp maxmax max )( 222 4 2 4 5 52 JegS , (4.13) trong ®ã     ;~, ;~, 1 090 1 070 J max ~   . Ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc sö dông liªn tiÕp d−íi d¹ng hai xÊp xØ, thø nhÊt  ph©n bè n¨ng l−îng cosin th«ng th−êng:                ./ ;/)(cos /)( )( ),( 20 2 212 1 2 n n n n Q (4.14) Ph©n bè gãc thø hai sö dông d−íi d¹ng do thÝ nghiÖm JONSWAP [272] nhËn ®−îc   )/)((cos)(/)(),( 21212 2212   ss ssQ , (4.15) trong ®ã  )~(maxss ; 774,9max s ; 064, víi 1~ vμ 342, trong nh÷ng tr−êng hîp kh¸c. * Nh÷ng tÝnh to¸n nμy thùc hiÖn cïng víi tiÕn sÜ Fransisco Okampo Toresa (CICESE, Mªhic«). 145 146 Trong tÝnh to¸n còng ®· sö dông xÊp xØ phæ sãng giã do M. Donelan [240] ®Ò xuÊt  )/()(exp maxmaxmax)( 222 4 252        DDD egS , (4.16) trong ®ã 10060  )/(, maxcUD víi 05830 ,/, max  cU ;  1410080  )/(, maxcUD víi 0501 ,/, max  cU ;     ;,/,)/lg(,, ;,/,, maxmax max 05016071 0183071 cUcU cU D U tèc ®é giã t¹i mùc 10 m; maxc tèc pha cña c¸c sãng cã tÇn sè trïng víi tÇn sè cùc ®¹i phæ. Ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc cho b»ng c«ng thøc  )(),(  2sech 2 1 BQ , (4.17) trong ®ã         .,~, ~~, ;,~,~, , , 61 241 1,6;0,95 282 950560 612 31 31 B Trong c«ng tr×nh cña M. Banner [202] sö dông sè liÖu ¶nh lËp thÓ cao tÇn, c«ng thøc (4.17) ®· ®−îc chÝnh x¸c hãa, vμ ë vïng tÇn cao 601,~  ®· nhËn ®−îc xÊp xØ míi cho tham sè B yB 10 , (4.18) víi  )~ln(,exp,, 256708393040 y . Trong c¸c tÝnh to¸n tiÕp theo ®· sö dông nh÷ng xÊp xØ nªu trªn cña phæ tÇn  gãc. Tr−íc hÕt chóng t«i dÉn kÕt qu¶ tÝnh vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu ®èi víi phæ xÊp xØ JONSWAP (4.13) víi ph©n bè gãc cosin (4.14). KÕt qu¶ tÝnh biÓu diÔn trªn mÆt },~{  d−íi d¹ng c¸c ®−êng ®¼ng trÞ ®¹i l−îng vËn chuyÓn n¨ng l−îng phi tuyÕn yÕu quy chuÈn vμ phæ tÇn  gãc (h×nh 4.5a, b): ,/),(),~(~ );//(),(),~(~ max maxmax SSS gSGG nlnl   4311 (4.19) trong ®ã maxS cùc ®¹i phæ tÇn  gãc. T¹i l©n cËn c¸c cùc trÞ chÝnh cã thÓ thÊy nh÷ng cùc ®¹i vμ cùc tiÓu côc bé. ThÝ dô, víi ph©n bè gãc ®ñ hÑp  )(cos n , trong ®ã 10n , cùc ®¹i chÝnh chia thμnh hai cùc ®¹i ®èi xøng qua h−íng tæng qu¸t (kÕt qu¶ phãng ®¹i h¬n biÓu diÔn trªn h×nh 4.5c). Cã lÏ, ®iÒu nμy chøng tá vÒ t¸c ®éng lμm æn ®Þnh cña sù t−¬ng t¸c phi tuyÕn yÕu lªn ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc: sù ph©n bè gãc kh¸ hÑp trë thμnh réng h¬n, cßn ®èi víi ph©n bè n¨ng l−îng gãc réng sÏ trë thμnh gãc hÑp. Ngoμi ra, ®èi víi ph©n bè gãc ®ñ hÑp vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu trë thμnh ©m trªn h−íng tæng qu¸t t¹i nh÷ng tÇn sè nhá h¬n tÇn sè cña cùc ®¹i. Cùc trÞ cña nã ®èi víi tr−êng hîp ®· cho n»m t¹i tÇn sè 7403 , ~ )(   , cßn ®é lín nhá h¬n hai bËc so víi gi¸ trÞ cùc ®¹i chÝnh (xem h×nh 4.5 c). T¹i l©n cËn cùc trÞ ©m chÝnh tån t¹i cùc trÞ thø hai. Nã n»m cã vÞ trÝ t¹i tÇn sè 3512 ,~ )(   . §é lín cña nã b»ng kho¶ng 52% ®é lín cña cùc trÞ ©m chÝnh. Ngoμi ra, tån t¹i hai cùc ®¹i phô, ®èi xøng qua h−íng tæng qu¸t. Chóng cã vÞ trÝ t¹i nh÷ng tÇn sè lín 6212 ,~ )(   ë ®iÓm cã gãc 520, vμ b»ng 35% cùc ®¹i chÝnh. 147 148 H×nh 4.5. Phæ quy chuÈn JONSWAP (a) vμ hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu (b) víi tham sè ®Ønh 33, vμ ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc d¹ng cosin víi 12n H×nh 4.5c. Hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu víi tham sè ®Ønh 3,3 vμ ph©n bè n¨ng l−îng theo gãc d¹ng cosin víi 12n Trªn c¸c h×nh tiÕp theo (h×nh 4.6 a, b) biÓu diÔn nh÷ng gi¸ trÞ t−¬ng øng cña phæ vμ vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu ®èi víi phæ JONSWAP víi cïng tham sè ®Ønh, nh−ng cho ph©n bè gãc d¹ng cosin (4.14) víi 2n . MÆt hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu trë nªn ph¼ng h¬n vμ réng h¬n. Nã chiÕm gÇn nh− toμn bé nöa bªn ph¶i cña nöa mÆt ph¼ng { ,~ }. Trong nöa mÆt ph¼ng bªn tr¸i hμm vËn chuyÓn phi tuyÕn yÕu thùc tÕ b»ng kh«ng. N