Ôn thi Toán vào lớp 10

suất dự kiến. Phần 6. Hình học : Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại B. Một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, đường tròn đường kính MC cắt tia AM tại điểm thứ hai N và cắt tia Bn tại điểm thứ hai D. Chứng minh A, B, N, C cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh CB là tia phân giác góc ACD Gọi H là điểm đối xứng với M qua AB, K là điểm đối xứng với M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCK nội tiếp Xác định vị trí của điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHCK có đường kính nhỏ nhất có thể được. Bài 2 : Cho (O;R) đường kính AB, M là một điểm thuộc (O) và MA < MB. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại H và cắt (O) tại điểm thứ hai N. Trên tia đối của tia MN lấy điểm C. Nối C với B cắt đường tròn tại điểm thứ hai I. Giao điểm của AI với MN là K. Chứng minh tứ giác BHIK nội tiếp Chứng minh : CI. CB = CK . CH Chứng minh IC là tia phân giác góc ngoài của tam giác IMN Cho MN = và AN // BC. Tính MC. Bài 3 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, điểm M bất nằm trên cung AB. Gọi H là điểm chính giữa cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH, BM cắt nhau S. Chứng minh tam giác BAS cân. Từ đó suy ra S nằm trên đường tròn cố định. Chứng minh KS là tiếp tuyến của đường tròn tâm B, bán kính BA Tia AI cắt đường tròn tâm B, bán kính BA tại N. Chứng minh tứ giác BINS nội tiếp. Xác định vị trí của M sao cho Bài 4 : Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn đó (AC < BC), D là một điểm trên dây BC nhưng không trùng với B và C. AD cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là E, BE cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp. Chứng minh Gọi giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác BED với đường tròn đường kính AB là G. Chứng minh FD đi qua G. Biết dây AC = a, dây CB = b, tính tổng BE. BF + AC. AF theo a và b. Bài 5 : Cho (O) và một điểm A cố định ở ngoài đường tròn. Qua A kẻ một cát tuyến d cắt đường tròn tại điểm B và C (B nằm giữa A và C). Tiếp tuyến AM, AN tiếp xúc với đường tròn tại M và M, gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh : AM2 = AB. AC Chứng minh các tứ giác OMAN và IMAN nội tiếp được. Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE // MC Khi d quay quanh A thì trọng tâm G của tam giác MBC chạy trên đường nào ? Bài 6 : Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC với đường tròn, gọi I là trung điểm của MC tai BI cắt đườn tròn tại A, tia MA cắt đường tròn tại D. So sánh tam giác AIC và tam giác IBC Chứng minh : IM2 = IA. IB Chứng minh BD // MC Chứng minh IM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB. Khi thì tứ giác IBDC là hình gì ? Tính diện tích của tứ giác đó theo R. Bài 7 : Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm trên cung CB, kẻ đường cao CH của tam giác ACM. Chứng minh rằng tam giác HCM vuông cân và OH là phân giác của Gọi giao điểm của tia OH với Cb là I và giao điểm thứ hai của đường thẳng MI với nửa đường tròn (O) là D. Chứng minh MC // BD. Xác định vị trí của M sao cho D, B, H thẳng hàng. Gọi giao điểm của OH và BM là N. Tìm tập hợp điểm N. Bài 8 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là một điểm thuộc cung BC sao cho . Tia phân giác của cắt (O) tại M, cắt BC tại I. Chứng minh AB. IC = AI. MB Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Kẻ Dx vuông góc với DA cắt tia AM tại E. Tứ giác ADEC là hình gì ? Chứng minh. Tiếp tuyến của (O) tại C cắt tia DE tại G. Chứng minh rằng tứ giác BDGC nội tiếp. Chứng minh rằng B; M; G thẳng hàng. Bài 9 : Từ một điểm S ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho . Tia phân giác của cắt dây BC tại D và cắt đường tròn tại điểm thứ hai E. Các tiếp tuyến của (O) tại C và E cắt nhau tại N. Gọi P và Q theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CE; AE và CN. Chứng minh SA = SD Chứng minhEN // SD So sánh tam giác QCB và tam giác PCE Chứng minh : Bài 10 : Cho tam giác ADC (). Điểm B nằm giữa A và C (B ≠ A, B ≠ C). Đường tròn (O) đường kính BC giao CD tại M. Tia MA giao với (O) tại N. kẻ NP vuông góc với AC (P ẻ (O)). Chứng minh CM. CD = CB. CA Chứng minh D, B, P thẳng hàng Chứng minh tứ giác ADCP nội tiếp . Khi B di động trên doạn AC và tia MA giao đường tròn đường kính BC tại N. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác BCD luôn nằm trên đường thẳng cố định. Bài 11 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) sao cho AB < AC. Tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt đường thẳng BC tại S. Gọi M là trung điểm của BC và I là giao điểm của OM với đường tròn ( I thuộc cung BC). Chứng minh SA2 = SB. SC. Chứng minh Hạ IN vuông góc với AC. Chứng minh: Tứ giác MNCI nội tiếp . Hạ IP vuông góc với AB. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng. Bài 12: Cho tam giác ABC vuông tại A( AB > AC) ; đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E; nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F. a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp được. c) Chứng minh AE.AB = AF.AC d*) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn. Bài 13 :Cho đường tròn (O) , AB là dây cung của (O) ; đường kính PQ của đường tròn vuông góc với AB tại I ( P thuộc cung nhỏ AB) .Trên tia đối của tia BA lấy điểm M (góc AQM ≠ 90o), MQ cắt (O) tại E, PE cắt AB tại D a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp được đường tròn b) Chứng minh PE. PD = PI. PQ c) Qua A kẻ đường thẳng song song với PE cắt (O) tại F. Chứng minh BE vuông góc với QF d) Từ D kẻ DH vuông góc với PM. Chứng minh: IP, ME, DH đồng qui. e*) Xác định vị trí của M để D là trung điểm của BI Bài 14: Cho tam giác ABC ( góc A nhọn) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF thứ tự cắt đường tròn (O) tại E’ và F’ ; BE cắt CF tại H . a) Chứng minh : Tứ giác AEHF ; tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh : EF // E’F’ c) Chứng minh : OA ^ E’F’ d) Tia AO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D.Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành. e) Gọi I là trung điểm của đoạn BC. Chứng minhrằng : H, I, D thẳng hàng và AH = 2. IO Bài 15: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Giao điểm của ba đường cao AH, BK, CI là S. a) Chứng minh:Tứ giác CKSH, tứ giác AKHB nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh: CK. CA = CH. CB c) Chứng minh: S là tâm đường tròn nội tiếp tam giác HIK. d) Biết góc ACB = 60o . So sánh độ dài đoạn KH và đoạn AB Bài 16: Cho đường tròn (O), từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn ( B và C là tiếp điểm). M thuộc cung BC ( phần trong tam giác) , từ M kẻ MI, MK, MH thứ tự vuông góc với BC, AB, AC. MB cắt IK tại E , MC cắt HI tại F. a) Chứng minh: Tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được trong đường tròn. b) Chứng minh MI2 = MH. MK c) Chứng minh : EF vuông góc với MI d) Gọi giao thứ hai của đường tròn (MEK) và (MFH) là N. Chứng minh : MN luôn đi qua điểm cố định. Bài 17:Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB , M là một điểm bất kì trên cung AB ( M khác A và B).Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F. Tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. a) Chứng minh : IA2 = IM. IB b) Chứng minh : FK // AI c) Chứng minh : góc HAF = góc EBA.Tam giác BAF là tam giác gì ?Vì sao? d) Chứng minh : Tứ giác AHFK là hình thoi. e)Chứng minhBK.BE + AK.AM không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB. Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D và E theo thứ tự là điểm chính giữa của các cung AB, AC. Gọi giao điểm của DE với AB, AC theo thứ tự là H và K. Chứng minh : Tam giác AHK cân BE cắt CD tại I. Chứng minh AI vuông góc với DE. Chứng minh tứ giác CEKI nội tiếp Tam giác ABC cần điều kiện gì thì AI // EC. Bài 19 :Cho đường tròn (O ; R) và một điểm P nằm ngoài đường tròn. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA và PM với đường tròn(A, M là hai tiếp điểm). Nối OA kéo dài cắt đường tròn tại B. Chứng minh : BM // OP Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành. Đường thẳng AN cắt PO tại K, PM cắt ON tại I, PN cắt OM tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Hãy tính diện tam giác PJO, biết rằng tam giác này đều. Bài 20: Cho tam giác ABC (AC > AB, góc BAC tù). Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm của AB, AC. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F. Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp. Chứng minh AD, BF, CE đồng quy Gọi H là giao điểm thứ hai với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE.