PHần 3. TÍCH PHÂN

Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phần 3. TÍCH PHÂN I.Nguyên hàm và tích phân bất định: 1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với x(a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b)=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là  dx)x(f . Vậy  dx)x(f = F(x)+C  F ’(x) = f(x) với x(a;b) và C là hằng số.  Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2.Tính chất: a) )'dx)x(f( = f(x) b)  dx)x(kf = k  dx).x(f k0 c)   dx)]x(g)x(f[ =  dx)x(f +  dx)x(g d) C)t(Fdt)t(f   C)u(Fdu)u(f  với u = u(x) 3.Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ Nguyên hàm của các hàm số hợp Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật cấp dx=x+C du=u+C 1 xdxx 1     +C, 1 1 uduu 1     +C, 1  x dx = lnx+ C, x  0  u du = lnu+ C, x  0  dxex = e x+C  dueu = eu+C   aln adxa x x +C, 0<a1   aln adua u u +C, 0<a1  xdxcos = sinx+C  uducos = sinu+C  xdxsin =  cosx+C  udusin =  cosu+C  xcos dx 2 = tgx+C, x 2  +k và kZ  ucos du 2 = tgu+C, u 2  +k và kZ  xsin dx 2 =  cotgx+C, x k và kZ  usin du 2 =  cotgu+C, u k và kZ II. Phương pháp đồng nhất: a.Hai đa thức đồng nhất: Cho hai đa thức : f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 (an  0) Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật g(x) = bnxn+bn-1xn-1+...+b1x+b0 (bn  0)         00 nn ba ... ba )x(g)x(f b.Phép đồng nhất: 1) Dạng f(x) = n)ax( )x(g  ( với degg(x) < n): Phương pháp: Phải tìm n số r1, r2, r3, ..., rn sao cho: f(x) = ax r... )ax( r )ax( r n 1n 2 n 1       Kiến thức: 1)    1n n n )ax)(1n( 1)ax(d)ax( )ax( dx +C với 2 nN 2) Caxln ax )ax(d ax dx       2) Dạng f(x) = )bx)(ax( )x(g  ( với degg(x)  1 ): Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho: f(x) = )bx)(ax( )x(g  = bx B ax A    3) Dạng f(x) = )cbxax)(x( )x(g 2  ( với degg(x) < 3 và =b24ac < 0 ) Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho: f(x) = cbxax CBx x A 2     4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau. III. Tích phân xác định: 1) Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,bK; F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là  b a dx)x(f . Ta viết : )a(F)b(F)x(Fdx)x(f b a b a  (Công thức Niutơn-Laipnit) 2) Các tính chất của tích phân : Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c  K. *  a a dx)x(f =0 *  a b dx)x(f =  b a dx)x(f *  b a dx)x(kf =k  b a dx)x(f (k|R) *   b a dx)]x(g)x(f[ =  b a dx)x(f   b a dx)x(g Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 9 - Gv soạn: Phạm Văn Luật diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng () vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi: V=  b a dx)x(S 2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=  b a 2dxy 3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=  b a 2dyx Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Một số lưu ý khi sử dụng công thức này: a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x[a;b] thì   b a b a dx).x(fdx.)x(f b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :  Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x1 < x2=b.  Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì : a= x1 < x2 <… < xn=b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi: S=  b a dx.)x(f =  2x a dx.)x(f +  3x 2x dx.)x(f +…+   b 1nx dx.)x(f =  2x a dx)x(f +  3x 2x dx)x(f +…+   b 1nx dx)x(f 2) Cho f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f1(x); y= f2(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi: S=   b a 21 dx.)x(f)x(f 2.Thể tích vật thể hình học: 1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng () và () đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật *  c a dx)x(f =  b a dx)x(f +  c b dx)x(f * f(x)  0 trên [a;b]  b a dx)x(f 0 * f(x)  g(x) trên [a;b]  b a dx)x(f   b a dx)x(g * m f(x)  M trên [a;b]  m(ba)  b a dx)x(f  M(ba) * t[a;b]  G(t)=  t a dx)x(f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0. IV. Các phương pháp tính tích phân xác định: 1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần tính  b a dx)x(f , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] . a) Đổi biến số dạng 1:  Đặt x = u(t) - Tính dx=u’(t)dt - Đổi cận x = a u(t) = a t =  x = b u(t) = b t =  Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 6 - Gv soạn: Phạm Văn Luật  Đổi biến     dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]  Tính     dt)t(gdx)x(f b a =G(t) )(G)(G|  b) Đổi biến số dạng 2:  Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x)  x = u(t)) - Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt ) - Đổi cận: x = a  t = v(a) =  x = b  t= v(b) =   Đổi biến     dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,]  Tính     dt)t(gdx)x(f b a = G(t) )(G)(G|  2) Phương pháp tính tích phân từng phần : a) Định ly: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:  b a )x(u .v’(x)dx= u(x) v(x) b a  b a )x(v .u’(x)dx hay:   b a b a b a vduuvudv b) Cách tính: Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 7 - Gv soạn: Phạm Văn Luật  Biến đổi   b a b a udvdx)x(f với cách đặt hợp lý :            )x(vv dx)x('udu dx)x('vdv )x(uu  Biến đổi về:   b a b a b a vduuvudv , sau đó tính từng phần uv  b a b a vdu,| c) Chú y : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần (a0):   )baxcos(a 1dx).baxsin( + C )1(a )bax(dx)bax( 1      +C, 1   )baxsin(a 1dx).baxcos( + C   a 1 bax dx lnax+b+ C   )bax(cos dx 2 = a 1 tg(ax+b) +C    baxbax ea 1dx.e + C   )bax(sin dx 2 =  a 1 cotg(ax+b)+C      ax axln a2 1 ax dx 22 + C, V. Ứng dụng của tích phân : 1.Diện tích hình phẳng: 1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi: S=  b a dx.)x(f