Phân loại và phương pháp giải toán lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI --------------------------------------- PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10 Theo chuaån kieán thöùc kó naêng-Ban cô baûn TÂY NINH THÁNG 3 NĂM 2011 www.VNMATH.com 1 Lôøi noùi ñaàu Trong chương trình môn Toán lớp 10, khi giảng dạy chúng tôi nhận thấy rằng học sinh chưa tiếp cận tốt vấn ñề, nhất là kĩ năng giải toán. ðiều ñó dẫn ñến học sinh chưa có hứng thú trong học toán, ñặc biệt nó sẽ ảnh hưởng rất lớn cho những năm học tiếp theo. Nhằm giúp các em lấy lại căn bản và nâng cao chất lượng học tập môn Toán theo chương trình cải cách của Bộ giáo dục và ñào tạo, chúng tôi biên soạn bộ tài liệu : “ Phân loại và phương pháp giải toán lớp 10 ”. Bộ tài liệu gồm hai phần : Hình học và ðại số. Nội dung tài liệu bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Toán 10 (chương trình chuẩn) và dựa trên chương trình Chuẩn kiến thức, kĩ năng của Bộ giáo dục và ñào tạo vừa ban hành. Mỗi bài học trong bộ tài liệu này ñược trình bày như sau : A. Kiến thức cần nhớ. B. Phương pháp giải toán. C. Bài tập ñề nghị. Phần kiến thức cần nhớ chúng tôi tóm tắt lại nội dung chính của bài học trên nền Chuẩn kiến thức, kĩ năng. Phần phương pháp giải toán gồm nhiều vấn ñề, trong mỗi vấn ñề có nêu phương pháp giải quyết và một số bài tập cơ bản có hướng dẫn giải chi tiết. Phần bài tập ñề nghị giúp các em tự ôn lại kiến thức trong mỗi bài học. Chúng tôi hy vọng bộ tài liệu này sẽ giúp các em vững bước và tự tin hơn trên con ñường học vấn của mình. Chúc các em học tập tiến bộ và thành công !. Mặc dù rất cố gắng trong quá trình biên soạn nhưng khó tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận ñược ý kiến ñóng góp của các thầy cô và các em học sinh ñể tài liệu ñược bổ sung, ñiều chỉnh ngày một hoàn thiện hơn. Tây Ninh, tháng 3 năm 2011 Tổ Toán, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi www.VNMATH.com 2 PHẦN 1 ðẠI SỐ -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y 2 4 5y x x= − −1y x= − − www.VNMATH.com 3 CHƯƠNG I MỆNH ðỀ - TẬP HỢP §1. MỆNH ðỀ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. MỆNH ðỀ-MỆNH ðỀ CHỨA BIẾN 1.1. Mệnh ñề Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai. Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai. Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B… 1.2. Mệnh ñề chứa biến: “ n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến. Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến ( )P x trở thành một mệnh ñề. 2. PHỦ ðỊNH CỦA MỘT MỆNH ðỀ Cho mệnh ñề P . Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P là mệnh ñề P , ta có: P ñúng khi P sai và P sai khi P ñúng. 3. MỆNH ðỀ KÉO THEO Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo. Kí hiệu: ⇒P Q . Mệnh ñề ⇒P Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai (trong các trường hợp khác ⇒P Q ñều ñúng) Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng ⇒P Q . Khi ñó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 4. MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG Mệnh ñề ⇒Q P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề ⇒P Q . Nếu cả hai mệnh ñề ⇒P Q và ⇒Q P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương. Kí hiệu: P Q⇔ . ðọc là: P tương ñương Q , hoặc P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . www.VNMATH.com 4 5. KÍ HIỆU ∀VÀ ∃ Kí hiệu ∀ ñọc là với mọi. Kí hiệu ∃ ñọc là tồn tại ít nhất một (hay có ít nhất một). B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Cách xác ñịnh mệnh ñề Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh ñề ,mệnh ñề chứa biến từ ñó rút ra kết luận. Bài tập 1. Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh ñề, câu nào là mệnh ñề chứa biến và câu nào không là mệnh ñề ? a/ 2x-3>7 b/ 5-9=3 c/ ∀x, x2 =25 d/ Hôm nay trời mưa quá!. Giải a/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. b/ Là mệnh ñề.ðó là mệnh ñề sai. c/ Là mệnh ñề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta ñược một mệnh ñề. d/ Không là mệnh ñề.Vì không khẳng ñịnh ñược tính ñúng hoặc sai. Bài tập 2. Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x ñể ñược mệnh ñề ñúng, mệnh ñề sai ? a/ 5x2-14x+9=0 b/ 5x-1>x+11 c/ | x+3|= 5 d/ x2+4=0. Giải a/ Giải phương trình : 5x2 - 14x + 9 = 0 .Ta ñược nghiệm x = 1 v x = 9/5. • Với x = 1 v x = 9/5 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 1x và ≠ 9 / 5x thì ñược mệnh ñề sai. b/Giải bất phương trình .Ta ñược x > 3 • Với x > 3 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≤ 3x thì ñược mệnh ñề sai. c/ Giải phương trình  + = = + = ⇔ ⇔ + = − = −  3 5 2 3 5 3 5 8 x x x x x • Với x=2 hoặc x = - 8 thì ñược mệnh ñề ñúng. • Với ≠ 2x và ≠ −8x thì ñược mệnh ñề sai. d/ Phương trình x2 + 4 = 0 vô nghiệm. Vậy với mọi giá trị của x ñều ñược mệnh ñề sai. Không có mệnh ñề ñúng. Vấn ñề 2. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Dùng kí hiệu ,∀ ∃ viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. Phương pháp: 1. ∀ ∈" ; coù tính chaát T" x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∃ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x . 2. ∃ ∈" ; coù tính chaát T"x P x có mệnh ñề phủ ñịnh là ∀ ∈" ; khoâng coù tính chaát P"x P x . www.VNMATH.com 5 Bài tập. Phát biểu thành lời của một mệnh ñề. Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó. a/ ∀ ∈ 2: =-5x R x b/∀ ∈ ≥2: +4x 0x R x c/∃ ∈ 2: =3x Z x d/∃ ∈x x 2: 5ℤ ⋮ Giải a/ “ Với mọi số thực ñều có bình phương bằng -5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ ≠2: -5x R x b/ “Với mọi số thực x ta có x2+4x ñều lớn hơn hoặc bằng 0” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∃ ∈ 2: +4x<0x R x c/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương bằng 3” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ ≠2: 3x Z x d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5” Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈ 2: khoâng chia heát cho 5x Z x . Vấn ñề 3. Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo Phương pháp : Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận. Bài tập. Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không? a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy. b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5. Giải a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông” ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề. Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A1; góc C = A2 Mà tổng các góc B, A1, A2, C bằng 180 0 nên góc A1 + A2=90 0, suy ra tam giác ABC vuông tại A. Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo. b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0” Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0. Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo. Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó. 21 B A C M www.VNMATH.com 6 Vấn ñề 4. ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ Phương pháp : 1/Dạng: ⇒P Q . Khi ñó : P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc Q là ñiều kiện cần ñể có P . 2/ Dạng: ⇔P Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q . Bài tập 1. Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”: a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3. c/ Nếu a=b thì a2=b2. Giải a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau. + ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau. b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3. + ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6. c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a2=b2. + ðể a2=b2, ñiều kiện ñủ là a=b Bài tập 2. Cho hai tam giác ABC và ABC′ ′ ′ . Với hai mệnh ñề : P : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau". Q : " Tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau" a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P . c) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇔P Q . Giải a/ Ta có mệnh ñề ⇒P Q : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau” , mệnh ñề này hiển nhiên ñúng. b/Ta có mệnh ñề ⇒Q P : “Nếu tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ có diện tích bằng nhau thì tam giác ABC và tam giác ABC′ ′ ′ bằng nhau” là mệnh ñề sai. c/ Do ⇒P Q ñúng nhưng ⇒Q P sai nên ⇔P Q là mệnh ñề sai. www.VNMATH.com 7 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai? a) “10 là số nguyên tố” b) "123 là một số chia hết cho 3". c) " Ngày mai trời sẽ nắng" d) " Hãy ñi ra ngoài!" Bài 2. Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề phủ ñịnh ñó ? a) "Số 11 là số nguyên tố" b) Số 111 chia hết cho 3" Bài 3. Xét hai mệnh ñề: P : "π là số vô tỉ" và Q : "π không phải là số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh ñề ⇒P Q . b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên. c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên. Bài 4. Xét hai mệnh ñề: P : " 24 là số chia hết cho 2 và 3". Q : " 24 là số chia hết cho 6". a) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒P Q . b) Xét tính ñúng sai của mệnh ñề ⇒Q P . c) Mệnh ñề ⇔P Q ñúng hay sai ? www.VNMATH.com 8 §2. TẬP HỢP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1.1. Tập hợp và phần tử Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học. Thông thường mỗi tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một hay một vài tính chất. Tập hợp thường ñược kí hiệu bởi các chữ cái in hoa: , , ,...A B C phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: , , ...a b c a là phần tử của tập hợp A, viết là ∈a A. b không là phần tử của tập hợp B , viết là ∉b B . 1.2. Cách xác ñịnh tập hợp Có 2 cách: a) Liệt kê các phần tử của nó. b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó. Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín ñược gọi là biểu ñồ Ven. 1.3. Tập hợp rỗng Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào. Kí hiệu: ∅ . 2. TẬP HỢP CON Nếu mọi phần tử của tập hợp Añều là phần tử của tập hợp B thì ta nói Alà tập hợp con của B . Kí hiệu: ⊂A B (ñọc là A chứa trong B ) hay ⊃B A (ñọc là B chứa A). Tính chất: a) ⊂A A với mọi tập hợp A. b) ⊂A B và ⊂B C thì ⊂A C c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A. 3. HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU Khi ⊂A B và ⊂B Ata nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B= . B www.VNMATH.com 9 B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử. Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình,...tính toán, suy luận. Bài tập 1. Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử a/ {= ∈ </ 5}A x N x b/ {= ∈ − < ≤/ 2 4}B x Z x c/ {= = ∈ </ 3 ; vaø -1<k 6}C x x k k Z d/ = = ∈ ≥  1 1 / vôùi k N vaø } 2 8k D x x x e/ {= ∈ − − + =2/( 2)(3 5 2) 0}E x R x x x f/ F={x∈ /N x là số chính phương bé hơn 100}. Giải a/ {= 0;1;2;3;4}A c/ {= 0;3;6;9;12;15}C e/  =   2 ;1;2} 3 E b/ {= −1;0;1;2;3;4}B d/  =   1 1 1 ; ; ;1} 8 4 2 D f/ F={0 ;1 ;4 ;9 ;16 ;25 ;36 ;49 ;64 ;81}. Bài tập 2. Tập hợp nào sau ñây là tập rỗng. a/ {= ∈ + =2/ 4 5}A x R x b/ {= ∈ + =/ 3 9 6}B n N n . Giải a/Giải phương trình x2+4=5 ñược nghiệm x= -1 ; 1 nên A={-1 ;1}. b/ ∈ ∈  ∈ ⇔ ⇔  + = = − 3 9 6 1 n N n N n B n n vậy =∅B Vấn ñề 2. Xác ñịnh tập con của tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa về tập hợp con, tính toán, suy luận. Bài tập 1. a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }. Giải a/ Tập con gồm hai phần tử của A là : {1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6 },{5 ;6}. b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là : {0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}. www.VNMATH.com 10 Bài tập 2. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;3}⊂X⊂ {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} Giải Các tập hợp thỏa mãn ñề toán là : • X={1 ;2 ;3} • Ghép thêm vào X một phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4},{1 ;2 ;3 ;5},{1 ;2 ;3 ;6} • Ghép thêm vào X hai phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5},{1 ;2 ;3 ;4 ;6},{1 ;2 ;3 ;5 ;6} • Ghép thêm vào X ba phần tử còn lại của {4 ;5 ;6} ta ñược {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1.Viết tập hợp sau theo cách liệt kê các phần tử : a) { }= ∈ − + − =2( 2 1)( 3) 0A x R x x x . b) { }= ∈ ≤ 30; laø boäi cuûa 3 hoaëc cuûa 5B x N x x . c) { }= ∈ ≤ ≤/ 2 15, vaø 15 khoâng coù öôùc chung khaùc 1C m Z m m . d) {= = + ∈ ≤2/ 2 3 vôùi k N vaø 30}D x x k x . e) {= ∈ − − + =2/ (3 2)(3 5 2) 0}E x N x x x x . Bài 2.Tìm tất cả các tập con của X={a ;b ;c ;d ;e ;f}. Bài 3. Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;a ;b}⊂X⊂ {1 ;2 ;a ;b ;c ;d ;e}. www.VNMATH.com 11 §3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc Bñược gọi là giao của A và B . Kí hiệu: ∩A B . Ta có: { }∩ = ∈ ∈vaø A B x x A x B . 2. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc Bñược gọi là hợp của A và B . Kí hiệu: ∪A B . Ta có: { }∪ = ∈ ∈hoaëc A B x x A x B . 3. HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc Bñược gọi là hiệu của A và B . Kí hiệu: = \C A B . Ta có: { }= ∈ ∉\ vaø A B x x A x B *Chú ý: Khi B A⊂ thì \A B là phần bù của B trong A. Kí hiệu là: AC B . B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Dùng ñịnh nghĩa giao của hai tập hợp, hợp của hai tập hợp, hiệu, bù của hai tập hợp. Bài tập 1. Cho hai tập hợp A={0 ;1 ;2 ;5 ;7 ;8 ;9} B={1 ;2 ;6 ;8 ;10}. Tìm ∪ ∩; ; \ ; \A B A B A B B A. Giải A B A B∩ A B A B∪ A B \A B B A AC B www.VNMATH.com 12 Ta có : ∪ = ∩ = = = {0;1;2;5;6;7;8;9;10} {1;2;8} \ {0;5;7;9} \ {6;10} A B A B A B B A Bài tập 2. Cho A là tập hợp bất kỳ. Hãy xác ñịnh các tập hợp sau : a/ ∪A A b/ ∩A A c/ \A A d/ ∪∅A e/ ∩∅A f/ ∅\A g/ ∅ \ A h/ AC A k/ ∅AC . Giải a/ ∪ =A A A d/ ∪∅ =A A g/ ∅ =∅\ A b/ ∩A A e/ ∩∅ =∅A h/ = ∅AC A c/ =∅\A A f/ ∅ =\A A k/ ∅ =AC A . Bài tập 3. Cho tập hợp A. Có thể nói gì về tập B nếu : ∩ = ∩ = ∪ = ∪ = =∅ = a A B A b A B B c A B A d A B B e A B g A B A / / / / / \ / \ . Giải ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ∩ =∅ / / / / / / a B A b A B c B A d A B e A B g A B Bài tập 4. Mỗi học sinh lớp 10C1 ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 30 bạn chơi bóng ñá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này. Hỏi lớp 10C1 có bao nhiêu học sinh ? Giải Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng ñá. Gọi B là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng chuyền. Vì mỗi bạn ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền, nên ∪A B là tập các học sinh của lớp. Số phần tử của ∪A B là 30 + 20 – 10 = 40 Vậy lớp 10C1 có tất cả 40 học sinh. 10 A B www.VNMATH.com 13 C.BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Dùng biểu ñồ Ven biểu diễn giao, hợp, hiệu của hai tập hợp A và B bất kì. Bài 2. Cho { }= 1;2;4;6;7;9A và { }= 2;3;4;5;7;8B . C={2 ;5 ;4 ;5 ;8 ;9 ;10} Tìm ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩( ) ; ( ) ; ( \ ) ; \ ( )A B C A B C A B C B A C . Bài 3. Liệt kê các phần tử của tập hợp A các ươc số tự nhiên của 18 và của tập hợp B các ước số tự nhiên của 30. Xác ñịnh : ∩ ∪/ / / \ / \ .a A B b A B c A B d B A . www.VNMATH.com 14 §4. CÁC TẬP HỢP SỐ A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. CÁC TẬP HỢP SỐ ðà HỌC 1 ) Tập hợp số tự nhiên : { }=ℕ 0;1;2;3... 2) Tập hợp số nguyên : { }= − − −ℤ ... 3; 2; 1;0;1;2;3... 3) Tập hợp số hữu tỉ :   = ∈ ∈    ℚ *, m m Z n N n 4) Tập hợp các số thực : ℝ 2 .CÁC TẬP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R. Khoảng : { }= ∈ < <( ; )a b x R a x b { }+∞ = ∈ <( ; )a x R a x { }−∞ = ∈ <( ; )b x R x b ðoạn : { }= ∈ ≤ ≤[ ; ]a b x R a x b Nữa khoảng : { }= ∈ ≤ <[ ; )a b x R a x b { }= ∈ < ≤( ; ]a b x R a x b { }+∞ = ∈ ≤[ ; )a x R a x { }∞ = ∈ ≤(- ; ]b x R x b B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề .Thực hiện các phép toán về tập hợp. Xác ñịnh tập hợp. Phương pháp: Kỹ năng biểu diễn tập hợp số thực trên trục số. Bài tập 1. Cho các tập hợp A=[-3 ;1] ; B=[-2 ;2] ; ∞C=[-2;+ ) . a/ Trong các tập trên , tập nào là tập hợp con của tập hợp nào ? Tìm phần bù của chúng. b/ Tìm : ∩ ∪ ∪A B A B A C A B B C; ; ; \ \ www.VNMATH.com 15 Giải a/ Tập B là tập con của tập hợp C. Phần bù của B trong C là ∞CC B=(2;+ ) . b/ ∩ = − ∪ = − ∪ = − +∞ = − − =∅A B A B A C A B B C[ 2;1] ; [ 3;2] ; [ 3; ) ; \ [ 3; 2) \ Bài tập 2. Cho các tập hợp : = ∈ − ≤ ≤{ / 5 4}A x R x ; = ∈ ≤ <{ / 7 14}B x R x ; = ∈ >{ / 2}C x R x ; = ∈ ≤{ / 4}D x R x . a/ Dùng ký hiệu ñoạn, khoảng ,nửa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số. c/ Xác ñịnh ∩A B , ∪A B , ∪A C , A B\ , B C\ , ∩A D . Giải a/ A=[-5 ;4], B=[7 ;14), = +∞(2; )C , = −∞( ;4]D . b/
A=[-5 ;4] :
B=[7 ;14) :
= +∞(2; )C :
= −∞( ;4]D : c/ )∩ =∅ ∪ = − ∪ ∪ = − +∞A B A B A C, [ 5;4] [7;14], 5; A\B= − = ∪ +∞ ∩ = −B C A D[ 5;4] \ (2;7) (14; ) [ 5;4]. Bài tập 3. Cho a, b, c, d là các số thực với a < b < c < d. Xác ñịnh các tập hợp sau : ∩ ∩a a b c d b a c b d c a d b c d b d a c / ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; ) / ( ; ) \ ( ; ) / ( ; ) \ ( ; ). Giải ∩ =∅ ∩ = = ∪ = a a b c d b a c b d b c c a d b c a b c d d b d a c c d / ( ; ) ( ; ) / ( ; ] [ ; ) [ ; ] / ( ; ) \ ( ; ) ( ; ] [ ; ) / ( ; ) \ ( ; ) [ ; ). [ ] -5 4 14 7 [ ) 2 ( 4 ] www.VNMATH.com 16 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho các tập hợp: = − = − = − +∞[ 3;1]; [ 2;2]; [ 2; )A B C . a) Trong các tập hợp trên tập hợp nào là tập con của tập nào? Tìm phần bù của chúng? b) Tìm ; ; ; \ ; \A B A B A C A B B C∩ ∪ ∪ . Bài 2. Cho các tập hợp : = ∈ + >{ / 2 3 0}A x R x = ∈ − <{ / 8 2 0}B x R x = ∈ + ≥{ / 2 0}C x R x . a/ Dùng ký hiệu ñoạn,khoảng ,nữa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên. b/ Biểu diễn các tập hợp A,B,C,D trên trục số. c/ Xác ñịnh : ∩ ∪ ∪; ; ; \ \A B A B A C A B B C Bài 3. Sắp xếp các tập hợp số sau ñây *; ; ; ;ℕ ℤ ℕ ℝ ℚ theo thứ tự tập hợp trước là tập con của tập hợp sau. www.VNMATH.com 17 §5. SỐ GẦN ðÚNG - SAI SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho a là số gần ñúng của số ñúng a . 1. ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . 2. Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là = ±a a d . 3. Cách quy tròn số gần ñúng căn cứ vào ñộ chính xác cho trước : Cho số gần ñúng a với dộ chính xác d (tức là = ±a a d ). Khi ñược yêu cầu quy tròn số a mà không nói rõ là quy tròn ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một ñơn vị của hàng ñó. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm sai số tuyệt ñối của một số gần ñúng. Phương pháp : Cho a là số gần ñúng của số ñúng a . ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a . Bài tập 1. Cho ba giá trị gần ñúng của 8/17 là 0,4 ; 0,47; 0,471. Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải Ta có: − = < 8 1.2 0.4 0.08 17 17 ; − = < 8 0.01 0.47 0.001 17 17 ; − = < 8 0.007 0.471 0.0005 17 17 Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.4 là 0.08. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.47 là 0.001 Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.471 là 0.0005. Bài tập 2. Cho ba giá trị gần ñúng của 23/7 là 3,28 và 3,286 . Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này. Giải Ta có : − < 23 3.28 0,006 7 ; − < 23 3.286 0,0003 7 . Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.28 là 0.006. Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.286 là 0.0003. www.VNMATH.com 18 Vấn ñề 2 . Cách viết chuẩn số gần ñúng. Phương pháp :  Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là = ±a a d .  Nếu ñộ chính xác của số gần ñúng a ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng kề trước nó. Bài tập 1. Cho số = ±27975421 150a . Hãy viết số quy tròn của số 27 975 421. Giải Vì ñộ chính xác ñến hàng trăm nên ta qui tròn số 27 975 421 ñến hàng nghìn. Vây số quy tròn là : 27 975 000. Bài tập 2. Biết số gần ñúng a=257,4593 có sai số tuyệt ñối không vượt quá 0,01. Viết số quy tròn cùa a. Giải Vì sai số tuyệt ñối không vượt quá 1 100 nên số quy tròn của a là 257,5. C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài 1. Cho biết =3 1.7320508... .Viết số gần ñúng 3 theo quy tắc làm tròn ñến hai,ba,bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt ñối trong mỗi trường hợp. Bài 2. Dùng máy tính cầm tay tìm giá trị gần ñúng a của 3 13 (kết quả làm tròn ñến hàng phần nghìn). Ước lượng sai số tuyệt ñối của a. Bài 3. ðộ cao của một ngọn núi là = ±1856,7 0,1h m m .Hãy viết số quy tròn của số 1856,7. Bài 4.Thực hiện các phép tính trên máy tính cầm tay. a/ 315.(0.13) làm tròn kết quả ñến 4 chữ số thập phân. b/ 3 5 : 7 làm tròn kết quả ñến 6 chữ số thập phân. Bài 5. Cho số =13,6481a a) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần trăm. b) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần chục. www.VNMATH.com 19 CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1. HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Một hàm số có thể cho bằng: Bảng, Biểu ñồ, Công thức, ðồ thị. Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác ñịnh của nó thì ta qui ước tập xác ñịnh D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. 2. Hàm số y = f(x) gọi là ñồng biến (hay tăng) trên khoảng ( )a;b nếu ( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ < ⇒ < . 3. Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng ( )a;b nếu ( )1 2 1 2 1 2x , x a;b : x x f (x ) f (x )∀ ∈ . 4. Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng dồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả ñược tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 5. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số chẵn nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− = ðồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục ñối xứng. 6. Hàm số y = f(x) với tập xác ñịnh D gọi là hàm số lẻ nếu x D∀ ∈ thì x D− ∈ và f ( x) f (x)− = − ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn ñề 1. Tìm tập xác ñịnh của hàm số Phương pháp : Tìm tập xác ñịnh của hàm số y = f(x) là tìm tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. Bài tập. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số a) 2x 1 y 3x 2 − = + b) 2 1 2x y 2x 5x 2 − = − + c) y 4x 2 5 x= − + − d) x y 2x 4 x 1 = + + − www.VNMATH.com 20 Giải a) Hàm số xác ñịnh khi 2 3x 2 0 x 3 + ≠ ⇔ ≠ − Vậy tập xác ñịnh 2 D \ 3  = −    ℝ b) Hàm số xác ñịnh khi 2 x 2 2x 5x 2 0 1 x 2 ≠  − + ≠ ⇔  ≠ Vậy tập xác ñịnh 1 D \ 2; 2  =     ℝ c) Hàm số xác ñịnh khi 1 4x 2 0 x 2 5 x 0 x 5 − ≥ ≥  ⇔  − ≥  ≤ Vậy tập xác ñịnh 1 D ;5 2  =    d) Hàm số xác ñịnh khi x 1 0 x 1 2x 4 0 x 2 − ≠ ≠  ⇔  + > > −  Vậy tập xác ñịnh ( ) { }D 2; \ 1= − +∞ Vấn ñề 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số. Phương pháp : Hàm số y = f(x) : + Chẵn trên D nếu x D x D f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈  − = + Lẻ trên D nếu x D x D f ( x) f (x) ∀ ∈ ⇒ − ∈  − = Bài tập. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) 4 2f (x) x 3x 1= − + b) 3f (x) 2x x= − + c) f (x) x 2 x 2= + − − d) ( )2f (x) x 1= − www.VNMATH.com 21 Giải a) 4 2f (x) x 3x 1= − + Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ 4 2 4 2 f ( x) ( x) 3( x) 1 x 3x 1 f (x) − = − − − + = − + = Vậy hàm số là hàm số chẵn. b) 3f (x) 2x x= − + Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ ( ) 3 3 3 f ( x) 2( x) ( x) 2x x 2x x f (x) − = − − + − = − = − − + = − Vậy hàm số là hàm số lẻ. c) f (x) x 2 x 2= + − − Tập xác ñịnh : D = ℝ x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈ ( ) ( ) ( ) f ( x) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 f (x) − = − + − − − = − − − − + = − − + = − + − − = − Vậy hàm số là hàm số lẻ. d) ( )2f (x) x 1= − Tập xác ñịnh : D = ℝ Lấy x = 1 D∈ ( ) ( ) 2 2 f ( 1) 1 1 4 f (1) 1 1 0 f ( 1) f (1) − = − − = = − = ⇒ − ≠ ± Vậy hàm số không chẵn không lẻ. Vấn ñề 3. Tìm ñiều kiện ñể một ñiểm thuộc ñồ thị hàm số Phương pháp : ðiểm ( )0 0M x ;y thuộc ñồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi 0 0y f (x )= Bài tập. Những ñiểm sau ñây, ñiểm nào thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ ? ( ) ( ) ( ) ( )A 1;0 ,B 4;2 ,C 0;0 ,D 5; 2− − − Giải + ðiểm A ( 1;0)− thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 = 1 1− + + ðiểm B (4;2) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 2 4 1≠ + + ðiểm C (0;0) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 0 1≠ + + ðiểm D ( )5; 2− − không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0x 5= − không thuộc tập xác ñịnh của hàm số. www.VNMATH.com 22 C. BÀI TẬP ðỀ NGHỊ Bài tập 1. Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau: a) 2 3 + − = x x y b) = + + −2 7y x x c) 2 2 4 3 + = − + x y x x d) 2 1 2 4 = + + − y x x e) y x 3= + + x4 1 − f) x 1 y (x 3) 2x 1 + = − − Bài tập 2. Xác ñịnh tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) 3y 4x 3x= + b) 4 2y x 3x 1= − − c)