Phân tích tần suất

ch−¬ng 3. ph©n tÝch tÇn suÊt ¶nh. Lò lôt ë s«ng Trinity c¹nh Dayton, Texas nawm 1990 3.1. lêi giíi thiÖu Ph¹m vi nghiªn cøu Cã nhiÒu c¸c chu tr×nh thuû v¨n ph¶i ®−îc lµm râ vµ ®−îc gi¶i thÝch theo x¸c suÊt lµ do sù biÕn ®æi ngÉu nhiªn vèn cã cña nã. cho vÝ dô kh«ng thÓ dù b¸o l−u l−îng vµ l−îng m−a mét c¸ch chÝnh x¸c dùa vµo c¸c sè liÖu trong qu¸ khø hay t−¬ng lai do kh«ng biÕt nguyªn nh©n c¬ chÕ ho¹t ®éng cña chóng. RÊt may lµ ph−¬ng ph¸p thèng kª lµ rÊt phï hîp ®Ó cÊu thµnh vµ biÓu diÔn chuçi sè liÖu quan tr¾c thµnh mét d¹ng mµ cã thÓ néi suy vµ −íc l−îng. Ch−¬ng nµy chØ ra c¸c ph−¬ng ph¸p ngÉu nhiªn mµ trong thuû v¨n c¸c sè liÖu cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh vµ biÓu diÔn trong mét phu¬ng ph¸p thèng kª chuÈn. 163 C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn Mét biÕn cè ngÉu nhiªn lµ mét tham sè (nh− l−u l−îng, l−îng m−a, qu¸ tr×nh l−u l−îng) nã cã thÓ ®−îc dù b¸o mét c¸ch chÝnh x¸c ®ã lµ, mét biÕn cè ngÉu nhiªn lµ kÕt qu¶ cña mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Mét sè biÕn cè cã thÓ ®−îc xö lý b»ng thèng kª mét c¸ch gi¸n ®o¹n hay liªn tôc. PhÇn lín c¸c sè liÖu thuû v¨n lµ liªn tôc vµ ®−îc ph©n tÝch x¸c suÊt b»ng ph©n bè x¸c suÊt liªn tôc. Cho vÝ dô, gi¸ trÞ l−u l−îng trong biÓu ®å h×nh 3.1a cã thÓ b»ng bÊt cø mét gi¸ trÞ thùc nµo khi ®o ®¹c b»ng dông cô ®o, ®ã lµ c¸c sè liÖu liªn tôc. Tuy nhiªn chÝnh b¶n th©n c¸c sè liÖu l¹i ®−îc biÓu diÔn mét c¸ch gi¸n ®o¹n lµ do c¸c qu¸ tr×nh ®o ®¹c. C¸c sè liÖu dßng ch¶y hµng ngµy cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh mét c¸ch x¸c thùc nhÊt b»ng l−u l−îng n−íc m3/s. D¹ng biÓu diÔn nµy cña sè liÖu ®−îc gäi lµ d¹ng gi¸n ®o¹n - liªn tôc. §ã lµ c¸c sè liÖu liªn tôc ®−îc quy thµnh gi¸n ®o¹n. §iÒu nµy còng ®−îc minh ho¹ trong h×nh 3.1(a), trong ®ã l−u l−îng ®−îc gi¶ thiÕt d¹ng m3/s gÇn nhÊt. C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn gi¸n ®o¹n cã thÓ chØ ®−îc lÊy trªn mét l−u vùc nhÊt ®Þnh trong c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c. Cho vÝ dô, tung mét ®ång xu kÕt qu¶ lµ mÆt sÊp hoÆc ngöa sÏ xuÊt hiÖn; tung mét con sóc s¾c c¸c gi¸ trÞ xuÊt hiÖn tõ 1 ®Õn 6. KÕt qu¶ tõ thïng ®o m−a lµ c¸c gi¸ trÞ thuû v¨n ®¬n gi¶n nh− trong h×nh 3.1(b): nã cã thÓ cã hay kh«ng cã mét ®Ønh trong suèt kho¶ng thêi gian. H×nh 3.1. C¸c sè liÖu liªn tôc vµ gi¸n ®o¹n a) sè liÖu liªn tôc vµ gi¸n ®o¹n b)sè liÖu gi¸n ®o¹n. KÕt qu¶ biÓu ®å lÊy tõ thïng ®o m−a. Mçi mét ®¬n vÞ ®é cao lµ 0.01 inch l−îng m−a. 164 C¸c sè liÖu gi¸n ®o¹n - liªn tôc cã thÓ ®−îc xö lý b»ng gi¸n ®o¹n. ThËt vËy chóng ®−îc gi¸n ®o¹n ho¸ bÊt cø lóc nµo c¸c b¶ng sè liÖu ®−îc s¾p xÕp tr×nh tù, do c¸c gÝa trÞ nµy cßn ®−îc c¾t bít. (VÝ dô nh− gi¸ trÞ gÇn nhÊt cña 1 ft3/s l−u l−îng hay 0.1 inch l−îng m−a). Tuy nhiªn, viÖc ph©n tÝch c¸c yÕu tè tÇn suÊt nµy lµ rÊt thuËn tiÖn do sè liÖu tÝnh to¸n lín mµ ta cã thÓ xem xÐt. Cho vÝ dô, nÕu l−u l−îng dßng ch¶y ®−îc ®o ®¹c gÇn ®óng nhÊt (ft3/s) trong kho¶ng tõ 0 ®Õn 5000 ft3/s th× ph¶i tÝnh to¸n 5000 kho¶ng gi¸n ®o¹n. T−¬ng øng, c¸c ®iÓm liªn tôc sÏ dÔ dµng h¬n rÊt nhiÒu. MÆc dï c¸c ph©n bè tÇn suÊt rêi r¹c thØnh tho¶ng ®−îc ¸p dông cho c¸c gi¸ tÞ liªn tôc (vÝ dô ®é lín l−îng m−a cña mét trËn m−a), c¸c øng dông chñ yÕu cña ph©n bè rêi r¹c trong thuû v¨n lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn mµ ë d¹ng sè ®Ó ®¸p øng mét sè tiªu chuÈn nhÊt ®Þnh, vÝ dô gi¸ trÞ lò ®−îc mong ®îi ®Ó v−ît qu¸ mét ®é lín nhÊt ®Þnh, trong thêi kú nhiÒu n¨m. biÓu diÔn sè liÖu Sè liÖu gi¸n ®o¹n - liªn tôc th−êng ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng biÓu ®å h×nh cét hay mét ®−êng cong. ChiÒu cao vµ h×nh d¹ng chung cña ®−êng cong lµ phï hîp víi c¸c ®Æc tr−ng sè liÖu vµ lùa chän luËt ph©n bè c¸c sè liÖu mét c¸ch hîp lý, vÝ dô cã nh÷ng ph©n bè nªn lµm ®èi xøng hay cã nh÷ng ph©n bè nªn chän bÊt ®èi xøng. Sö dông l−u l−îng dßng ch¶y, vÝ dô, gi¸ trÞ l−u l−îng ®−îc ph©n chia thµnh tõng líp mét vµ t−¬ng øng víi nã lµ mét tÇn suÊt xuÊt hiÖn cña líp ®ã. §é lín cña mçi líp nªn ®ñ nhá lµm sao c¸c thµnh phÇn sè liÖu cã thÓ thÊy ®−îc nh−ng còng ph¶i ®ñ lín ®Ó cho c¸c thµnh phÇn kh«ng bÞ lÉn lén. Gi¸ trÞ ®· sö dông trong c¸c líp cã thÓ thay ®æi h×nh ¶nh cña sè liÖu (Benjamin vµ Cornel, 1970). Gi¸ trÞ nµy cã thÓ kh«ng thuËn tiÖn cho viÖc thay ®æi nhiÒu ch−¬ng tr×nh tÝnh to¸n, v× vËy c¸c kü s− cã thÓ so s¸nh vµ ®−a ra mét vµi sù lùa chän kh¸c nhau. Víi sù trî gióp cña Panofsky vµ Brier, 1968 ®· ®−a ra: K = 5log10n (3.1) ë ®©y K lµ sè kho¶ng líp vµ n lµ sè gi¸ trÞ. Kho¶ng líp kh«ng ph¶i lµ h»ng sè ®é réng. NÕu kh«ng, thuËn lîi cho viÖc nhãm c¸c sè liÖu thµnh mét nhãm lín h¬n, kho¶ng ®−îc kÕt hîp. Nöa tung ®é cña ®å thÞ ®−îc ph©n chia bëi toµn bé sè lÇn quan s¸t ®−îc, tÇn suÊt t−¬ng øng (x¸c suÊt ) cña mçi mét kho¶ng líp, nh− vËy tæng tung ®é b»ng 1.0 t¹o nªn sù thay ®æi ph−¬ng ph¸p ®¸nh dÊu sè liÖu. Cho ®Õn c¸ch thø ba lµ d¹ng cña mét ph©n bè tÇn suÊt luü tÝch, nã cho biÕt toµn bé ®−êng cong ph©n bè tÇn suÊt t−¬ng øng trªn mét kho¶ng nhÊt ®Þnh vµ lµ x¸c suÊt mµ mét gi¸ trÞ ë hoµnh ®é lµ nhá h¬n hoÆc b»ng ®é lín ë mçi ®iÓm ®ã. C¶ hai tÇn suÊt trªn ®Òu ®−îc dïng nhiÒu trong thuû v¨n vµ ®−îc minh ho¹ râ nÐt nhÊt trong mét sè vÝ dô . VÝ dô 3.1 ®å thÞ tÇn suÊt Sè liÖu lò lín nhÊt trong 31 n¨m ®−îc ghi l¹i t¹i Cypress Creek, gÇn Horton, Texas, ®−îc tr×nh bµy trong b¶ng 3.1. Ph−¬ng tr×nh 3.1 cho biÕt r»ng cã kho¶ng t−¬ng øng 7 hay 8 líp. ë ®©y lµ nã cho phÐp giíi h¹n tiªu chuÈn lµ 2000ft3/s (tiªu chuÈn nµy quan träng h¬n nh÷ng quy t¾c ®Õm tay kh¸c ®«Ý víi sè kho¶ng líp). TÇn suÊt, tÇn suÊt t−¬ng øng, tÇn suÊt luü tÝch còng ®−îc x¸c ®Þnh trong b¶ng vµ 165 biÓu diÔn trong h×nh 3.2 vµ 3.3. VÝ dô , trong h×nh 3.2 x¸c suÊt n»m trong kho¶ng 2000 vµ 4000 lµ 0.29. Tõ ®−êng cong x¸c suÊt luü tÝch (h×nh 3.3), x¸c suÊt mµ l−u l−îng nhá h¬n hoÆc b»ng 4000 ft3/s lµ 0.58. Chó ý r»ng tæng cña tÇn suÊt t−¬ng øng lµ 1.0 ®−îc chØ ra trong b¶ng 3.1 vµ tæng tung ®é ®−îc biÓu diÔn trong h×nh 3.3. B¶ng 3.1 B¶ng tÝnh to¸n sè liÖu vµ tÇn suÊt ë Cypress Creek , gÇn Horton, Texas Sè liÖu ch−a s¾p xÕp Sè liÖu ®· s¾p xÕp Sè liÖu ch−a s¾p xÕp Sè liÖu ®· s¾p xÕp N¨m Q(m3/s) Stt Q(m3/s) N¨m Q(m3/s) Stt Q(m3/s) 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 9840 5170 1620 235 15600 4740 427 3310 4400 7760 2520 340 5440 3000 3690 10300 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15600 10300 9840 7760 6560 6260 5440 5230 5170 4740 4710 4400 4300 3980 3690 3460 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 6260 1360 1000 2770 1400 3210 1110 5230 4300 2820 1900 3980 6560 4710 3460 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 3310 3210 3000 2820 2770 2520 1900 1620 1400 1360 1110 1000 427 340 235 Kho¶ng líp Gi¸ trÞ trung b×nh TÇn suÊt TÇn suÊt t−¬ng øng TÇn suÊt l/t 0 - 2000 2000 - 4000 4000 - 6000 6000 - 8000 8000 - 10000 10000 - 12000 12000 - 14000 14000 - 16000 1000 3000 5000 7000 9000 11000 13000 15000 9 9 7 3 1 1 0 1 0.29 0.29 0.23 0.10 0.03 0.00 0.03 0.03 0.29 0.58 0.81 0.91 0.94 0.97 0.97 1.00 31=∑ 166 Mét c¸ch gi¸n ®o¹n ho¸ c¸c sè liÖu l−u l−îng liªn tôc sÏ ®−îc quy ®Þnh lµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c cho mçi mét kho¶ng líp. BÊt kú mét gi¸ trÞ nµo n»m trong mét líp sÏ ®−îc quy ®Þnh lµ gi¸ trÞ rêi r¹c t−¬ng øng cña c¸c líp ®ã, th«ng th−êng ®iÓm trung b×nh hay ®iÓm gi÷a cña mçi líp. Trong tr−êng hîp nµy ®iÓm gi÷a sÏ ®−îc ®iÒn vµo hoµnh ®é (h×nh 3.4). Mét gi¸ trÞ tÇn suÊt t−¬ng øng lµ gi¸ trÞ tÇn suÊt cña l−u l−îng 3000 ft3/s lµ 0.29 (gi¸ trÞ t−¬ng ®−¬ng nµy ®−îc lÊy dùa vµo nh÷ng hiÖn t−îng ®· biÕt mµ mét biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc cã thÓ cã, kh«ng cÇn x¸c ®Þnh chÝnh x¸c b»ng gi¸ trÞ cô thÓ). §−êng bÊt ®èi xøng l−u l−îng ë Cypress Creek ®−îc tr×nh bµy trong h×nh 3.2 vµ 3.4, ®ã lµ ®iÓm cuèi ë bªn ph¶i. Nã sÏ ®−îc x¸c ®Þnh vµ lÊy t−¬ng ®−¬ng víi sù thay ®æi ph©n bè trong nhiÒu tr−êng hîp kh¸c. H×nh 3.2. BiÓu ®å tÇn suÊt t−¬ng øng cho vïng Cypress Creek, gÇn Horton, Texas. H×nh 3.3. BiÓu ®å tÇn suÊt luü tÝch cho vïng Cypress Creek. 167 H×nh 3.4. BiÓu ®å tÇn suÊt rêi r¹c cña vïng Cypress Creek. Nh÷ng tÇn suÊt nµy b»ng víi hµm khèi l−îng x¸c suÊt rêi r¹c (PMF). 3.2. C¸c kh¸i niÖm x¸c suÊt TiÕn hµnh mét thÝ nghiÖm víi N kÕt qu¶ ®¹t ®−îc, X1,X2,…Xi,…XN. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ ®éc lËp, nÕu kh«ng hai trong sè ®ã cã thÓ x¶y ra cïng mét lóc. Nã lµ sè lÇn xuÊt hiÖn c¸c mÆt, chóng ®Æc tr−ng cho toµn bé kÕt qu¶ ®¹t ®−îc khi tiÕn hµnh thÝ nghiÖm. X¸c suÊt cña mét biÕn cè Xi cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn cè t−¬ng øng trong rÊt nhiÒu phÐp thö. X¸c suÊt nµy cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh b»ng P(Xi) = ni/n, ë ®©y ni lµ sè lÇn xuÊt hiÖn (x¸c suÊt ) cña biÕn cè Xi trong n phÐp thö. Tuy nhiªn ni/n chØ lµ tÇn suÊt t−¬ng øng hoÆc x¸c suÊt x¶y ra cña biÕn cè Xi. Mét x¸c suÊt rêi r¹c lµ mét x¸c suÊt ®¬n gi¶n cña mét biÕn cè rêi r¹c. NÕu nh− mét P(Xi) nhÊt ®Þnh b»ng víi x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn Xi, c¸c ®iÒu kiÖn cho phÐp tån t¹i nh÷ng x¸c suÊt rêi r¹c cña nh÷ng biÕn cè nµy khi xem xÐt c¸c kho¶ng ®¬n gi¶n cña toµn bé kÕt qu¶ ®¹t ®−îc: 0 < P(Xi) < 1 (3.2) . (3.3) ∑ = = N i XiP 1 1)( X¸c suÊt hîp cña hai biÕn cè ®éc lËp lµ tæng x¸c suÊt cña mçi x¸c suÊt biÕn cè thµnh phÇn: P(X1∪ X2) = P(X1) + P(X2) (3.4) Hai biÕn cè X1 vµ Y1 ®−îc gäi lµ ®éc lËp, nÕu viÖc x¶y ra biÕn cè nµy kh«ng ¶nh 168 h−ëng ®Õn sù xuÊt hiÖn biÕn cè kia. X¸c suÊt giao (c¶ hai cïng x¶y ra ®−îc ký hiÖu ∩ ) cña hai biÕn cè ®éc lËp lµ tÝch cña chóng: P(X1∩ Y1) = P(X1). P(Y1). (3.5) §èi víi c¸c biÕn cè phô thuéc lÉn nhau: P(X1∪ Y1) = P(X1) + P(Y1) - P(X1∩ Y1). (3.6) X¸c suÊt ®iÒu kiÖn cña X1 khi biÕn cè Y1 ®· x¶y ra lµ: P(X1/Y1) = P(X1∩ Y1)/ P(Y1) . (3.7) NÕu biÕn cè X1 vµ Y1lµ ®éc lËp th× kÕt hîp 2 ph−¬ng tr×nh 3.5 vµ 3.7 trë thµnh: P(X1/Y1) = P(X1).P(Y1)/P(Y1) =P(X1). (3.8) Nh÷ng kh¸i niÖm nµy th−êng ®−îc minh ho¹ trong biÓu ®å Venn (H×nh 3.5) trªn ®ã diÖn tÝch lµ x¸c suÊt, víi tæng diÖn tÝch t−ong øng th× x¸c suÊt b»ng 1.0, hay 100%. H×nh 3.5. BiÓu ®å Venn minh ho¹ x¸c suÊt VÝ dô 3.2 C¸c x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn LÊy biÕn cè Y1 lµ ®iÒu kiÖn mµ l−îng m−a x¶y ra trong mét ngµy nhÊt ®Þnh vµ biÕn cè X1 lµ ®iÒu kiÖn mµ chíp quan s¸t ®ù¬c trong mét ngµy nhÊt ®Þnh. Cho x¸c suÊt cña nh÷ng biÕn cè nµy: P(X1) = 0.3 (x¸c suÊt chíp lµ 30%) P(Y1) = 0.1 (x¸c suÊt m−a lµ 10% ) P(X1/Y1) = 0.5 (nÕu cã chíp xuÊt hiÖn th× m−a lµ 50% ) TÝnh x¸c suÊt c¶ m−a vµ chíp cïng x¶y ra (lµ x¸c suÊt ∩ cña X1 vµ Y1)? Tõ ph−¬ng tr×nh 3.7: P(X1∩ Y1) = P(Y1/X1).P(X1) = 0.15. NÕu lµ ®éc lËp víi P(Y1/X1) = P(Y1) = 0.03. X¸c suÊt cña c¸c biÕn cè ®éc lËp cïng x¶y ra lu«n lu«n nÕu chóng lµ phô thuéc. 169 3.3. C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn vµ c¸c luËt ph©n bè x¸c suÊt C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn vµ biÕn cè rêi r¹c TÝnh chÊt cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn cã thÓ ®ù¬c miªu t¶ bëi quy luËt ph©n bè x¸c suÊt cña nã. Mçi mét kÕt qu¶ ®¹t ®−îc trong mét phÐp thö ®ùoc quy ®Þnh lµ sè gi¸ trÞ phô thuéc vµo hµm khèi l−îng x¸c suÊt rêi r¹c (PMF) hay hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc (PDF). Trong thuû v¨n, c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c ®−îc sö dông rÊt réng r·i ®Ó biÓu diÔn sè tr−êng hîp x¶y ra mµ phï hîp v¬Ý mét tiªu chuÈn nhÊt ®Þnh. VÝ dô, gi¸ trÞ lò v−ît qu¸ gi¸ trÞ cô thÓ cho tr−íc, l−îng m−a x¶y ra t¹i mét n¬i nhÊt ®Þnh, … C¸c vÝ dô trong ch−¬ng nµy ®Òu thuéc lo¹i nµy. Nh− mét quy t¾c, c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c ®−îc liªn kÕt chØ víi c¸c tham sè mµ cã thÓ chØ lµ c¸c sè nguyªn. Tuy nhiªn cã thÓ nhãm c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc thµnh c¸c sè nguyªn gÇn ®óng nhÊt hay c¸c gi¸ trÞ nguyªn bá dÊu phÈy. Cho vÝ dô, l−îng m−a 2.18 inch thay lµ l−îng m−a 218 inch. §«i khi biÕn ®æi ®Ó xö lý mét biÕn cè liªn tôc thµnh d¹ng rêi r¹c, nh− l−u l−îng rêi r¹c trong h×nh 3.4. H·y chó ý P(x1) cã nghÜa lµ x¸c suÊt mµ biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c X lÊy tõ gi¸ trÞ x1. BiÓu diÔn l¹i l−u l−îng x "rêi r¹c ", chóng ta cã thÓ lÊy x¸c suÊt t−¬ng øng trong h×nh 3.4: P(1000) = 0.29, P(9000) = 0.03 P(3000) = 0.29, P(11000) = 0.03 P(5000) = 0.23, P(13000) = 0.0 P(7000) = 0.10, P(15000) = 0.03 ∑ ≤≤ =≤≤ bxa xPbxaP )()( (3.9) Chó ý r»ng c¸c gi¸ trÞ nµy phï hîp víi x¸c suÊt tuyÖt ®èi cña ph−¬ng tr×nh 3.2 vµ 3.3. H¬n n÷a c¸c x¸c suÊt lµ rêi r¹c. Hµm ph©n bè luü tÝch (CDF) ®−îc x¸c ®Þnh lµ: Tõ c¸c gi¸ trÞ trong b¶ng trªn, F(7000) = 29+29 + 23 +10 =91%. ∑ ≤ =≤= XXi XiPxXPxF )()()( (3.10) C¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc th−êng ®−îc sö dông ®Ó biÓu diÔn c¸c yÕu tè thuû v¨n nh− l−u l−îng, thÓ tÝch, ®é s©u, vµ thêi gian. C¸c gi¸ trÞ nµy kh«ng ph¶i chuyÓn vÒ d¹ng nguyªn, mÆc dï c¸c biÕn cè liªn tôc cã thÓ nhãm thµnh d¹ng nguyªn. Cho mét biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc, phÇn diÖn tÝch d−íi hµm mËt ®é ph©n bè x¸c suÊt f(x) nh− sau (xem h×nh 3.6): P(x1< x < x2) = (3.11) ∫ 21 )(xx dxxf vµ phÇn diÖn tÝch d−íi PDF b»ng 1.0: (3.12) ∫ ∞∞− = 0.1)( dxxf 170 B¶n th©n CDF kh«ng ph¶i lµ mét x¸c suÊt vµ cã thø nguyªn nghÞch ®¶o víi thø nguyªn cña X, vÝ dô nh− ft3/s-1 . Tuy nhiªn, kh«ng gièng víi c¸c nhµ tÝnh to¸n, nã kh«ng tu©n theo c¸c ®¬n vÞ th−êng dïng cña PDF. Trong thùc tÕ, c¸c gi¸ trÞ cña PDF rÊt Ýt khi dïng ®Õn. MÆt kh¸c nã lµ hµm mËt ®é luü tÝch (CDF) vµ rÊt quan träng v× nã lµ x¸c suÊt CDF, liªn tôc ®−îc x¸c ®Þnh gièng víi c¸c thµnh phÇn rêi r¹c cña nã: H×nh 3.6 .Hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc ∫ )1(xF ∞−=≤≤−∞= 1 )()1( X dxxfxxP (3.13) gi¸ trÞ n»m trong kho¶ng: c¸c 0.1)(0 ≤≤ Xf (3.14) vµ )1()()( xlFxFxxxP 221 −=≤≤ (3.15) DF vµ CDF ®−îc lÊy t−¬ng øng víi ph−¬ng tr×nh (3.13) nghÞch ®¶o : P )()( xf dx xdF = . BiÓu ®å trong h×nh 3.2 cã thÓ ®−îc biÓu diÔn b»ng PDF liªn tôc nÕu c¸c tÇn suÊt t−¬ng øng ®−îc t¹o ra tõ c¸c kho¶ng líp nhá h¬n x. PhÇn diÖn tÝch d−íi biÓu ®å lµ 1.0. Cho vÝ dô , nÕu tung ®é cña biÓu ®å tÇn suÊt t−¬ng øng trong h×nh 3.2 cã kho¶ng chia lµ 2000 ft3/s, t−¬ng øng víi mét PDF. Nã minh ho¹ cho nh÷ng PDF cã thÓ cã h×nh d¹ng cè ®Þnh vµ d¹ng gi¸ trÞ ®¬n, chóng kh«ng cÇn gièng h×nh d¹ng ®−ßng cong tr¬n. BiÓu ®å nµy cã ph©n bè hçn hîp, trong ®ã c¸c x¸c suÊt rêi r¹c biÓu diÔn x¸c suÊt mµ mét biÕn cè lÊy mét gi¸ trÞ rêi r¹c cô thÓ, trong khi mét PDF liªn tôc cho biÕt ®Ønh cña c¸c gi¸ trÞ víi m khã kh¨n bëi v× ng−êi ta th−êng b¾t ch−íc h×nh d¹ng cña biÓu ®å tÇn suÊt (h×nh 3.2) c¸c PDF phÇn lín sö ét diÖn tÝch b»ng 1,0 ngo¹i trõ c¸c hµm x¸c suÊt rêi r¹c. §Ó vÝ dô, mét ph©n bè hçn hîp ®ùoc biÓu diÔn trong h×nh 3.7 trong ®ã x¸c suÊt lµ 0.15 t¹i l−u l−îng b»ng 0.0. Chän mét ph©n bè liªn tôc PDF ®Ó biÓu diÔn c¸c sè liÖu lµ 171 dông c¸c biÕn cè thuû v¨n sÏ ®ùoc tr×nh bµy trong phÇn sau ®©y. H×nh 3.7. c (PMF) cho F) (®é lín diÖn tÝch = 0.85) ®èi víi x¸c suÊt cã gi¸ trÞ lín h¬n 0. C¸c ham sè ph©n bè. ChÝnh b¶n th©n c¸c m Cho mét ph©n bè rêi r¹c, moment gèc bËc N cã hÓ ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau. xPxµ (3.17) Vµ ®èi víi c¸c ph©n bè liªn tôc nh− sau: N rÞ trung vÞ, trung b×nh hay gi¸ trÞ kú väng, ®−îc tÝnh »ng E() ®èi víi kú väng nh− sau: (3.19) µ lµ mét tham sè vÞ trÝ v× nã ch LuËt ph©n bè tÇn suÊt rêi r¹c. Sö dông c¸c hµm ph©n bè x¸c suÊt rêi r¹ x¸c suÊt cã gi¸ trÞ = 0 vµ c¸c hµm mËt ®é x¸c suÊt liªn tôc (PD moment cña mét ph©n bè Kh¸i niÖm moment lµ mét thuËt ng÷ c¬ häc. Mét PMF hoÆc PDF lµ mét d¹ng hµm trong ®ã c¸c moment cã quan hÖ víi c¸c tham sè cña nã. Tuy nhiªn, nÕu c¸c moment cã thÓ t×m ®−îc th× còng cã thÓ t×m thÊy c¸c t oment còng cho biÕt h×nh d¹ng cña c¸c ph©n bè. t ∑= )(' iNiN ∫ ∞−= dxxfxN )('µ (3.18) Moment gèc bËc mét lµ gi¸ t ∞ b r¹c) rêi PMF (cho ∑∞ ∞− =≡ )()( ii xpxxE µ v )tôc nliª PDF (cho ∫ ∞−=≡ )()( ii xfxxE µ (3.20) Trung vÞ lµ mét gi¸ trÞ ®−îc lÊy ë gi÷a hay còng ®ùoc gäi ∞ o biÕt vÞ trÝ trôc quay x sè lín cña ph©n bè ®−îc thiÕt lËp. Th«ng th−êng luËt ph©n bè cña mét biÕn cè sÏ ®−îc t×m vµ th«ng tin vÒ c¸c biÕn cè quan hÖ sÏ ®−îc cung cÊp. §Ó vÝ dô, ph©n bè cña l−u l−îng dßng ch¶y cã thÓ ®−îc biÕt vµ cho biÕt th«ng tin vÒ tr¹m ®ã, ®ã lµ mét hµm cña l−u l−îng. Gi¸ trÞ kú väng cña 172 h guyªn µm g(x) ®èi víi biÕn cè ngÉu nhiªn x cã thÓ ®−îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc c¨n n cña x. ii xfxg (3.21) khi x lµ biÕn cè ngÉu nhiªn rêi r¹c, vµ = dxxfxgx )()()] (3.22) hi x lµ biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc. ú väng lµ mét hµm tuyÕn tÝnh, nÕu E(a) = a (3.23) vµ .25) C¸c moment gèc bËc cao h¬n cña luËt ph©n bè th tÕ, c¸c moment trung t©m cña gi¸ trÞ trung b×nh ®−îc x¸c ®Þnh theo PMF rêi r¹c lµ: (3.26) vµ ®èi víi PDF liªn tôc: i¸ trÞ rung b×nh cña x ®−îc ®−a lªn mò N, trong ®ã moment trung trung t©m bËc hai ®−îc gäi lµ ph−ong sai vµ ®ãng vai trß rÊt qu dxxfxxE i )()(])[( 22 µµ (3.28) cho c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn liªn tôc b×nh bËc hai, nã biÓu diÔn ®é lín hay ho¶ng réng cña ph©n b − é h uÈn ∑∞ ∞− = )()()) (( xgE ∫ ∞−∞ gE ([ k K a, b lµ h»ng sè. E(bx) = bE(x) (3.24) E(a + bx) = a + bE(x) (3 −ßng kh«ng sö dông. Trong thùc )()( i N iN xpx µµ −= ∑∞ ∞− ∫∞∞− −= dxxfx N )()( µµN (3.27) Nh÷ng moment nµy th−êng lµ c¸c gi¸ trÞ kú väng cña kho¶ng lÖch khái g t t©m bËc nhÊt b»ng 0. Moment an träng. ∑∞ ∞− −=− =≡xVar )( 2σ ∫∞∞− −=−=≡ dxxfxxExVar )()(])[()( 222 µµσ (3.29) Ph−¬ng sai lµ ®é lÖch khái gi¸ trÞ trung σ ,k è . Mét ®¬n vÞ t ¬ng ®−¬ng lµ ® lÖc ch nã ®¬n gi¶n lµ ai bËc hai. Tõ c«ng thø : ph−¬ng s c cña kú väng Var(x) = E[(x - µ ) ] = E[x - 2xµ µ 22 2 + ] = E[x2] - E[2µ µ 2x]+E[ ] = E[x2] - 2µ µ µ 2 +µ 22 E[x]+ = E[x ]2 - 2 ] µ=E[x ]- 2 2 E[x = Ph−¬ng sai kh«ng ph¶i lµ mé Var(bx) = b2Var(x) (3.32) 2]-[E(x)]2 (3.30) t biÕn ®æi tuyÕn tÝnh. Ta cã c¸c quan hÖ sau: Var(a) = 0 (3.31) Var(a+bx) = b2Var(x) (3.33) ë ®©y a,b lµ c¸c h»ng sè 173 C¸c moment bËc cao h¬n cã thÓ ®−îc x¸c trong thuû v¨n lµ bÊt ®èi xøng, nã lµ moment trung t©m bËc 3 vµ ®−îc ®¬n gi¶n ho¸ b»ng ®Þnh nÕu cÇn thiÕt, nh−ng th−êng dïng ®é lÖch trung b×nh mò 3. 3 µ≡g 3σ §é lÖch ph¶i hay lÖch tr¸i gi¸ trÞ trung b×nh lµ tham sè h×nh d¹ng vµ ®−îc biÓu diÔn tong h×nh 3.8. NÕu nh− ph©n bè lµ ®èi xøn (3.34) g th× hÖ sè bÊt ®èi xøng b»ng 0. §«i khi nã ®−îc sö dông ®Ó lµm ®¬n gi¶n h sè ph−¬ng sai ®−îc x¸c ®Þnh theo tû lÖ ®é lÖch khái gi¸ trÞ trung b×nh, hay nã cã thÓ ®−îc sö dông cho môc ®Ých tÝnh CV. o¸ viÖc tÝnh to¸n møc ®é ph©n bè. HÖ µσ /=CV (3.35) H×nh 3.8. ¶nh h−ëng cña hÖ sè bÊt ®èi xøng ®èi víi hµm mËt ®é x¸c suÊt (PDF) Þ, vµ ®Ønh (cña Haan 1977, H×nh 3.3) «ng cña ph©n bè. Gi¸ trÞ nµy cña x ©n bè sÏ ®−îc x¸c ®Þnh cho mçi mét ph©n bè khi xem xÐt. C¸c mèi quan hÖ cho biÕt mét ph−¬ng ph¸p ®¬n gi¶n cña viÖc x¸c ®Þnh c¸c · biÕt. Víi môc ®Ých ®ã viÖc x¸c ®Þnh c¸c mome vµ c¸c vÞ trÝ t−¬ng øng cña gi¸ trÞ sè ®«ng, trung v Mét gi¸ trÞ tÝnh t¹i gi−· ®−êng cong lµ trung vÞ xm, nã kh«ng ph¶i lµ moment nh−ng ®óng h¬n gi¸ trÞ cña x mµ CDF b»ng 0.5: F(xm) = 0.5 (3.36) C¸c tham sè kh¸c kh«ng ph¶i lµ moment nh− sè ® ë PDF (hoÆc PMF) lµ mét ®iÓm cùc ®¹i. C¸c quan hÖ gi÷a gi¸ trÞ trung b×nh, trung vÞ vµ sè ®«ng còng ®−îc minh ho¹ trong h×nh 3.8. C¸c ph©n bè chñ yÕu lµ mét ph−¬ng thøc (ph©n bè hçn hîp cña h×nh 3.7 lµ nhÞ thøc). C¸c moment vµ c¸c tham sè ®−îc tr×nh bµy trong phÇn nµy ®Ó xem xÐt quy luËt ph©n bè x¸c suÊt vµ cã thÓ lÊy ®Ó ph©n tÝch. C¸c d¹ng hµm nh− PMF hay PDF cã thÓ ®−îc thay thµnh d¹ng tæng hay d¹ng tÝch ph©n vµ c¸c moment ®· x¸c ®Þnh tõ c¸c thµnh phÇn cña c¸c tham sè trong ph©n bè. Nã kh«ng ®−îc minh ho¹ ë ®©y do mèi quan hÖ gi÷a c¸c moment vµ c¸c tham sè ph tham sè ph©n bè nÕu nh− c¸c moment ® nt ph¶i ®−îc lÊy tõ c¸c sè liÖu. ¦íc l−îng moment tõ c¸c sè liÖu Cho c¸c gÝa trÞ tham sè cña ph©n bè, nã lµ mét chuçi x1, x2,…, xn cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc vµo viÖc cho PMF hay PDF. C¸c chuçi cã ®é dµi x¸c ®Þnh sÏ x©y dùng mét c¸ch phæ biÕn toµn bé c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn dùa vµo PDF hay PMF ®· cho víi c¸c tham sè nhÊt ®Þnh. T−¬ng tù cã thÓ x¸c ®Þnh c¸c tham sè tõ c¸c moment do chóng cã quan hÖ víi nhau, nh− xem xÐt ë trªn (vµ ®−îc xö lý l¹i cho phï hîp). C¸c sè liÖu thuû v¨n ®o ®¹c th−êng ®−îc t¹o ra tõ c¸c qu¸ tr×nh vËt lý hçn hîp(vÝ dô dßng ch¶y 174 cã thÓ ®−îc t¹o ra tõ m−a hay tuyÕt tan), v× vËy cã thÓ kÕt hîp nhiÒu ph©n bè x¸c suÊt. Trong ®ã c¸c sè liÖu quan s¸t lµ ®èi t−îng nghiªn cøu ®Ó thÊy sù kh¸c nhau cña nã víi gi¸ trÞ thùc vµ t×m ra mét ph©n bè phï hîp. Do ®ã, c¸c gi¸ trÞ cña c¸c moment ®· tÝnh tõ c¸c sè liÖu sÏ ®−îc sö dông ®Ó tÝnh ng−îc trë l¹i nh÷ng gi¸ trÞ ch−a biÕt. Tuy nhiªn −íc l−îng cña chóng cã thÓ x¸c ®Þnh nhanh chãng t÷ c¸c sè liÖu, nh −íi ®©y ®èi víi 3 tham sè moment chñ yÕu trong thuû v¨n. NÕu s nhiªn c¸c − tr×nh bµy ë d è c¸c biÕn cè ngÉu lµ n, −íc l−îng trÞ trung b×nh lµ: ∑ = ®èi t−îng ®Ó thÊy sù sai kh¸c trong viÖc −íc l−îng chóng. ¦íc l−îng kh«ng cã sai sè lµ gi¸ trÞ kú väng vµ b»ng gi¸ trÞ sè ®«ng. Nã cã thÓ ®−îc tr×nh bµy (Benjamin vµ Cornel, 1970 ) nh− == n i ixn x 1 1~µ (3.37) C¸c moment bËc cao h¬n lµ c¸c µ=)(xE khi cÇn thiÕt. Cho ph−¬ng ai vµ −íc l−îng kh«ng chÝnh x¸c lµ: s , 1 1 22 1 − −= − ∑ )(1 222 −=≡ ∑ = xxS n iσ 1 ®Õn n ), trong ®ã cho nhiÒu gi¸ trÞ, mÉu n phÇn lín còng ®−îc −íc l−îng t−¬ng Do viÖc −íc l−îng cña c¸c moment lµ mét hµm cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, chÝnh ¶n th©n chóng còng lµ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn. Ph−¬ ®−îc n xnx n i i (3.38) ë ®©y mÉu sè n-1 (thùc chÊt lµ n) ®Ó gi¶m bít sai sè (ngo¹i trõ c¸c tr−êng hîp kh¸c, céng tÊt c¶ tõ tù, vµ c¶ 2 mÉu nµy ®Òu cã thÓ ®−îc t×m trong ®ã, mÆc dï c¸c −íc l−îng chÝnh, sai sè th−êng ®−îc chó ý h¬n trong tÝnh to¸n. D¹ng thø hai cña ph−¬ng tr×nh 3.38 ®−îc −a chuéng h¬n. b ng sai cña gi¸ trÞ trung b×nh còng x¸c ®Þnh nh− sau: S SxVar xx 2 2)( =≡ (3.39) n µn bé c¸c moment. §é lÖch lµ hµm ®Æc biÖt do nã bao gåm tæng kho¶ng lÖch khái gi¸ trÞ trung b×nh µ lµ sai sè lín h¬n khi x¸c ®Þnh chóng (gi¸ trÞ cña nã). Mé sè lµ: Tuy vËy, nÕu ph−¬ng sai cña gi¸ trÞ trung b×nh ®−îc coi lµ sai sè ®o ®¹c trong viÖc −íc l−îng gi¸ trÞ trung b×nh, nã ®−îc t¹o nªn khi chuçi t¨ng, ®iÒu nµy ®óng khi x¸c ®Þnh to v t −íc l−îng xÊp xØ gi¶m sai 3 3)( . )2)(1( ˆ 1 x i S S xx nn n gC ∑ −−−=≡ (3.40) Víi Sx2 ®−îc cho bëi ph−¬ng tr×nh 3.38. kh«ng dÔ ®Ó lÊy xÊp xØ lµm gi¶m sai sè dùa v cong ph©n bè Pearson - 3 (phÇn 3.5) nh−n µo c¸c hµm ph©n bè (Bodee vµ Robitaille, 1975), nh−ng lÊy xÊp xØ CS1 lµ phï hîp ®Ó øng dông trong thuû v¨n (Tasker vµ Stedinger, 1986) lµ CS2 = (1 + 6/n).CS1 (3.41) C«ng thøc nµy chÝnh x¸c ®Ó øng dông ®−êng g còng tho¶ m·n c¸c ph©n bè kh¸c khi CS1 ®−îc xö lý. ¦íc l−îng bÊt ®èi xøng ®· tÝnh to¸n sö dông ph−¬ng tr×nh 3.41 ®−îc gäi lµ kho¶ng −íc l−îng, cã nghÜa lµ viÖc −íc l−îng toµn bé sè liÖu t¹i tr¹m ®o mµ ta quan t©m. 175 C¸c sai sè vµ c¸c lçi trong khi −íc l−îng c¸c hÖ sè bÊt ®èi x khi sè øng t¨ng lªn ®©y W lµ nh©n tè träng l−îng, CS lµ hÖ sè bÊt ®èi · tÝnh b»ng viÖc sö dông c¸c sè liÖu ®¬n gi¶n, vµ Cm lµ h×nh d¹ng bÊt ®èi xøng, nã ®−îc x¸c ®Þnh dùa vµo b¶n ®å nh− trong tr¹m ®o n gi¶m xuèng. C¸c sè liÖu vÒ n−íc ë Héi ®ång t− vÊn Thuû lîi lµ rÊt phï hîp cho viÖc x¸c ®Þnh hÖ sè bÊt ®èi xøng, Cw, dùa vµo ph−¬ng tr×nh: Cw = WCS + (1 - W)Cm (3.42) ë xøng ® h×nh 3.9. Nh©n tè träng l−îng W ®−îc tÝnh to¸n lµm gi¶m sai sè cña CW, ë ®©y )()( )( mS m CVCV CV W += §Ó x¸c ®Þnh W ®ßi hái ph¶i biÕt ph−¬ng sai cña Cm[V(Cm)] vµ ph−¬ng sai cña CS[V(CS)]. V(Cm) ®−îc x¸c ®Þnh tõ biÓu ®å cña hÖ sè bÊt ®èi xøng ë n−íc Mü b»ng 0.3025. §−a W vµo ph−¬ng tr×nh (3.42) bÊt ®èi xøng Cw ®−îc viÕt nh− sau )()( )()( Sm mSSm w CVCV CCVCCV C + += H×nh 3.9 .T¹o ra c¸c hÖ sè bÊt ®èi xøng theo d¹ng loga cña dßng chaû hµng n¨m lín nhÊt. (tõ sè liÖu n¨m 1982 ë Héi ®ång t− vÊn thuû lîi). loga Pearson 3 cña c¸c biÕn ngÉu hÓ ®−îc tÝnh tõ kÕt qu¶ cña Monte Carlo, hÖ sè kinh nghiÖm Wallis, Matalas, vµ Slack n¨m 1974. Chóng ®−îc biÓu diÔn nh− sau: V(CS)=10A-Blog10(n/10) rong ®ã Sai sè cña bÊt ®èi xøng CS ®èi víi ®−êng cong nhiªn cã t t 176 50.155.0 50.126.094.0 >= ≤−= SC nÕu C nÕu B CB SS ë ®©y C 90>SC Õu ®èi xøng) vµ n lµ sè n¨m. §èi víi c¸c vïng thuû v¨n ®« thÞ ¨n ®Ó −íc l−îng c¸c moment do dßng ch¶y t¨ng theo thêi gian. Do ®ã ph©n bè tÇn suÊt cã thÓ kh«ng æn ®Þnh (thay ®æi theo thêi gian). T−¬ng tù, c¸c m« h×nh ®· tr×nh bµy trong ch−¬ng 5 vµ 6, cã thÓ ®−îc sö dông ®Ó ph¸t triÓn c g mét thêi kú ph¸t triÓn n 30.052.0 9008.033.0 +−= ≤+−= n nÕu CA CCA S SS S lµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña hÖ sè bÊt ®èi xøng cè ®Þnh (®−îc sö dông nh− mét −íc l−îng cña sè ®«ng bÊt , rÊt khã kh ¸c ph©n bè x¸c suÊt cho dßng ch¶y trong vïng ®« thÞ tron hÊt ®Þnh. VÝ dô 3.3 C¸c moment cña chuçi sè liÖu cùc ®¹i hµng n¨m Chuçi sè liÖu 31 n¨m cña l−u l−îng lín nhÊt hµng n¨m ë miÒn Nam Cpress Creek cña H g b¶ng 3.2. X¸c ®Þnh gi¸ trÞ trung b×nh, ®é ) t−¬ng øng b