Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh đại học

V) GIẢI HỆBẰNG CÁCH ĐƯA VỀPHƯƠNG TRÌNH CÙNG BẬC

Cơsởcủa pp này là khi 2 phương trình của hệcó thể đưa vềdạng phương trình

cùng bậc so với x,y thì ta đặt x=ty sau đó đưa vềphương trình một ẩn sốvà giải như

bình thường

14 trang | Chia sẻ: NamTDH | Lượt xem: 1115 | Lượt tải: 0

Nội dung tài liệu Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh đại học, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

PH ƯƠ NG PHÁP GI I H PH ƯƠ NG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH Đ I H C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h c ơ b n I . H ph ươ ng trình ñi x ng . 1.Ph ươ ng trình ñi x ng lo i 1 . a) Đnh ngh ĩa Mt h ph ươ ng trình n x, y ñưc g i là h ph ươ ng trình ñi x ng lo i 1 n u m i ph ươ ng trình ta ñi vai trò c a x, y cho nhau thì ph ươ ng trình ñó không ñi b) Tính ch t ( ) ( ) Nu x0 , y0 là m t nghi m thì h y0 , x0 c ũng là nghi m S = x + y c) cách gi i  ñiu ki n S 2 ≥ 4P P = .yx Ta bi n ñ i ñưa h ñã cho (1) v h 2 n S, P (2) (x;y) là nghi m c a (1) khi và ch khi (S,P) là 1 nghi mc c a (2) tho i mãn ñiu ki n: S 2 − 4P ≥ 0 v i m i (S;P) tìm ñưc ta có (x;y) là nghi m c a ph ươ ng trình: X 2 − SX + P = 0 . Gi s ph ươ ng trình có 2 nghi m là X 1, X 2. ∆ > ≠ ( ) ( ) + N u 0 thì X1 X 2 nên h (1) có 2 nghi m phân bi t X1; X 2 ; X 2 ; X1 ∆ = = ( ) + N u 0 thì X 1 X 2 nên h có nghi m duy nh t X1; X 2 . + H có ít nh t m t nghi m tho mãn x ≥ 0 khi và ch khi h (2) có ít nh t 1 nghi m (S;P) tho mãn. ∆ = S 2 − 4P ≥ 0  S ≥ 0  P ≥ 0 VD 1: Gi i h ph ươ ng trình x 2 + y 2 + xy = 7  H có nghi m là (1;2), (2;1) x + y + xy = 5 VD2: Đnh m ñ h sau có nghi m x + y + xy = m  ĐS: 0 ≤ m ≤ 8 x 2 + y 2 = m 2) H ph ươ ng trình ñi x ng lo i 2 . -Mt h ph ươ ng trình 2 n x, y ñưc g i là ñi x ng lo i 2 n u trong h ph ươ ng trình ta ñi vai trò x, y cho nhau thì ph ươ ng trình tr thành ph ươ ng trình kia. x3 + x 2 y =10 y VD:  y 3 + y 2 x =10 x b) Tính ch t. ( ) ( ) - N u x0 ; y0 là 1 nghi m c a h thì y0 ; x0 c ũng là nghi m c) Cách gi i 1 - Tr v v i v hai ph ươ ng trình c a h ta ñưc m t ph ươ ng trình có d ng (x − y)[ ( ; yxf )]= 0 x − y = 0   (; yxf ) = 0 3x3= x 2 + 2 y 2 Ví d : Gi i h ph ươ ng trình sau:  3y3= y 2 + 2 x 2 HD: Tr hai ph ươ ng trình c a h ta thu ñưc 3(x3− y 3 ) = − ( x 2 − y 2 ) ⇔ ( x − y )[3( x 2 + y 2 + xy ) + x + y ] = 0 H ñã cho t ươ ng ñươ ng v i x− y = 0  (I ) 3y3= y 2 + 2 x 2  Gi i (I) ta ñưc x=y=0 ho c x=y=1 3(x2+ y 2 + xy ) + x + y = 0  (II )  3 2 2 3y= y + 2 x Xét (II) T gi thi t ta suy ra x, y không âm . N u x, y d ươ ng thì h vô nghi m suy ta h có nghi m duy nh t x=y=0 Kt lu n: H có 2 nghi m x=y=0 và x=y=1 3) H ph ươ ng trình v trái ñ ng c p b c II a) Các d ng c ơ b n. ax2+ bxy + cy 2 = d .  2+ + 2 = a1 x b 1 xy c 1 y d 1 b) Cách gi i. + Xét tr ưng h p y=0 xem có ph i là nghi m hay không + Đt x=ty thay vào h r i chia 2 ph ươ ng trình c a h cho nhau ta ñưc ph ươ ng trình b c 2 theo t. Gi i ph ươ ng trình tìm t sau ñó th vao m t trong hai ph ươ ng trình c a h ñ tìm x,y Ph ươ ng pháp này c ũng ñúng khi v trái là ph ươ ng trình ñng c p b c n. x2−3 xy + y 2 = − 1 Ví d : Gi i h  x2+2 xy − 2 y 2 = 1 + D th y y=0 không ph i là nghi m t2 y 2−3 ty 2 + y 2 = − 1 + Đt x=ty th vào h ta có  chia 2 ph ươ ng trình c a h cho nhau ta t2 y 2+2 ty 2 − 2 y 2 = 1 có t=1  x = y 2 − + t3 t 1 2   = −1 ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇒ 1⇔ 1 t ñó th hai tr ưng h p vào t2 +2 t − 2 t= −  x = − y 2  2 mt trong hai ph ươ ng trình c a h ñ gi i. 2 PH N HAI: M T S PH ƯƠ NG PHÁP KHÁC TH ƯNG DÙNG TRONG GI I H I) PH ƯƠ NG PH P BI N Đ I T ƯƠ NG ĐƯƠ NG Ph ươ ng pháp này ch y u là dùng các k n ăng bi n ñ i ph ươ ng trình cu h ñ d ưa v ph ươ ng trình ñơ n gi n có th rút x theo y ho c ng ưc l i ñ th vào ph ươ ng trình khác ca h Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t ph ươ ng trình b c nh t theo n x ho c n y. Khi ñó ta rút x theo y ho c y theo x ñ th vào ph ươ ng trình còn l i x2( y+ 1)( x + y + 1) = 3 x 2 − 4 x + 1(1) Ví d 1) Gi i gh ph ươ ng trình  xy+ y +1 = x 2 (2) HD: Ta th y x=0 không ph i là nghi m c a ph ươ ng trình (2) t ph ươ ng trình (2) ta có x2 −1 y +1 = thay vào ph ươ ng trình (1) ta có x x2−1  x 2 − 1  x2  + x  =3 x2 − 4 x + 1 ⇔( x − 1 )( 2 x 3 + 2 x 2 − x − 1 ) =( x − 1 )( 3 x − 1 ) x  x  ⇔( x −1)( 2 x3 + 2 x 2 − 4 x ) = 0 x+ y + xy(2 x + y) = 5 xy Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình:  x+ y + xy(3 x − y ) = 4 xy Gi i: Ta có x=y=0 là nghi m. Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ 0 ho c x ≠ 0, y=0 không là nghi m. 1 1  + +2x + y = 5  x y Xét xy ≠ 0. chia 2 v ph ươ ng trình cho xy ≠ 0 ta ñưc  1 1  + +3x − y = 4  x y 1 1 Suy ra 5− 2x − y = + = 4 + y − 3 x ⇔ x = 2 y − 1 x y Thay x=2y-1 vào ph ươ ng trình th hai ta thu ñưc: 2y− 1 + y + y( 2 y − 1)( 5 y − 3) = 4( 2 y − 1) y ⇔ 3 y − 1 + y( 10 y2 − 11 y + 3) = 8 y 2 − 4 y ⇔10y3 − 19 y 2 + 10 y − 1 = 0 ⇔( y − 1)( 10 y2 − 9 y + 1 ) 9+ 41 9 − 41 ⇔y =1; y = ; y = 20 20 3 ( y=1; x = 1 ) + −  =9 41 = 41 1 Đáp s : y; x  20 10  + − −  =9 41 = 41 1 y; x  20 10  Lo i 2) M t ph ươ ng trình c a h có th ñưa v d ng tích c a 2 ph ươ ng trình b c nh t hai n. Khi ñó ta ñưa v gi i 2 h ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng xy+ x + y = x2 − 2 y 2 (1) Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  x2 y− y x − 1 = 2 x − 2 y (2) Điu ki n là y≥0; x ≥ 1 x= − y Ph ươ ng trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ñó ta có  thay l n l ưt hai tr ưng h p x=2 y + 1 vào ph ươ ng trình (2) ñ gi i  x+ y + x − y =1 + x2 − y 2 (1) Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình:   x+ y = 1(2) Gi i: Điu ki n x≥ y ≥ 0 (1)⇔ (x + y − 1)( x − y − 1) = 0 x+ y = 1   x+ y = 1 H ñã cho t ươ ng ñươ ng v i:  x− y = 1   x+ y = 1 x+ y = 1 x = 1 x = 0 gi i ⇔  và  x+ y = 1 y = 0 y =1 x− y = 1 x = 1 gi i ⇔  x+ y = 1 y = 0 Đáp s : x=1,y=0 và x=0, y=1.  y − 3  x+ y + x +3 = (1) Ví d 3) Gi i h ph ươ ng trình:  x   x+ y + x = x + 3(2) Gi i: Điu ki n x>0, y ≥ 3 y−3 y − 3 Ta có: (1) ⇔ = x+ y − x + 3 x Vi y=3 ta có 2x+ 3 = 0 ⇔ x = − 3 (lo i) 4  x+ y − x +3 = x Vi y ≠ 3ta có   x+ y + x = x + 3 Suy ra x+3 − x = x + y = x + x + 3 Suy ra x+3 + x = 3 ⇔ x = 1 thay vào (2) ta ñưc: y+1 = 3 ⇔ y = 8 x = 1 Đáp s :  y = 8 Chú ý: Trong m t s bài toán nhi u khi các em c n c ng ho c tr 2 ph ươ ng trình ca h sau ñó m i xu t hi n ph ươ ng trình d ng tích 4 4 2 2 x+ y +6 x y = 41 Ví d 4) Gi i h ph ươ ng trình :  2+ 2 = xy( x y ) 10 Gi i: S d ng h ng ñ ng th c: (x+ y )4 = x4 + y 4 +4 xy( x 2 + y 2) + 6 x 2 y 2 4 4 2 2 x+ y +6 x y = 41 HD: H ñã cho t ươ ng ñươ ng v i  2+ 2 = 4xy( x y ) 40 cng v v i v 2 ph ươ ng trình ta thu ñưc: 4 x4+ y 4 +4 xy( x 2 + y 2) + 6 x 2 y 2 = 81 ⇔( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ± 3 x+ y = 3  2+ 2 = xy( x y ) 10 h ñã cho t ươ ng ñươ ng v i  x+ y = − 3  (2+ 2 ) = xy x y 10 + = x+ y = 3 x y 3 x+ y = 3 a) Xét ⇔  ⇔  xy( x2+ y 2 ) =10 xy( x − y )2 − 2 xy  = 10 xy ( 9 − 2 xy ) = 10      x+ y = − 3 x+ y = − 3 b) Xét ⇔  2+ 2 =( − ) = xy( x y ) 10 xy 9 2 xy 10 Lo i 3) M t ph ươ ng trình c a h là ph ươ ng trình b c 2 theo m t n ch ng h n x là n. Khi ñó ta coi y nh ư là tham s gi i x theo y. y2 =(5 x + 4)(4 − x ) (1) Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  −5x2 + y 2 − 4 xy + 16 x − 8 y + 16 = 0 (2 ) HD: Coi ph ươ ng trình (2) là ph ươ ng trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y- 5x 2+16x+16=0 5  y=5 x + 4 Gi i y theo x ta có  thay l n l ưt hai tr ưng h p vào ph ươ ng trình ta s gi i  y=4 − x ñưc các nghi m c a h 2x2 + 2 xy + y = 5 Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình sau:  y2 + xy +5 x = 7 Tr hai ph ươ ng trình c a hê cho nhau ta có 2x2− y 2 + xy + y − 5 x + 2 = 0 ⇔  y +1 x = 2x2+ ( y − 5) x − y 2 + y + 2 = 0; ∆ = ( y − 5) 2 − 8( − y 2 + y + 2) = (3 y − 3) 2 ⇒   2 x=2 − y Thay l n l ưt 2 tr ưng h p vào h ta gi i ñưc x, y II) PH ƯƠ NG PHÁP ĐT N PH Đim m u ch t c a ph ươ ng pháp này là ph i phát hi n n ph u=f(x,y) và v=g(x,y) ngay trong t ng ph ươ ng trình c a h ho c sau các phép bi n ñ i Thông th ưng các phép bi n ñ i th ưng xoay quanh vi c c ng, tr 2 ph ươ ng trình ca h ho c chia các v ph ươ ng trình cho m t s h ng khác không có s n trong các ph ươ ng trình c a h ñ tìm ra nh ng ph n chung mà sau ñó ta ñt thành n ph 2 x+1 + y ( y + x ) = 4 y (1) Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  2 +( + − ) = (x1 ) y x 2 y (2) HD: Ta th y y=0 không ph i là nghi m c a h . Chia hai v ph ươ ng trình (1) và (2) cho y ta có h t ươ ng ñươ ng sau  x2 +1  +x + y = 4  y x2 +1 u+ v = 2  Đt u= ; v=x+y-2 ta có h sau  Gi i h tìm u,v  x2 +1 y uv =1 ( )(x+ y − 2) = 1  y sau ñó tìm x, y.  +2 + 2 +3 = 4xy 4( x y )2 7  (x+ y ) Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình sau  Điu ki n x+y ≠ 0  1 2x + = 3  x+ y  (+ )2 + ( − ) 2 +3 = 3x y x y 2 7  (x+ y ) 1 Khi ñó ta có h sau  Đt u= x + y +; v = x − y  1 x+ y x+ y + + x − y = 3  x+ y Vi u ≥ 2 3u2+ v 2 = 13 Thay vào ta có  Gi i h tìm u;v sau ñó thay vào tìm x; y u+ v = 3 6 x3+ y 2 x +3 x 2 + y 2 + 3 x − 2 y + 1 = 0 Ví d 3) Gi i h ph ươ ng trình:  2y3+ xy 2 + y 2 − 3 x − 3 = 0 3 (x+1 ) + ( x + 1 ) y2 = 2 y Gi i: H ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v i  2 3 (x+1 ) y + 2 y = 3 ( x + 1 ) ñt u=x+1 u3+ uy 2 = 2 y Ta có h m i  uy2+2 y 3 = 3 u D th y u=y=0 là m t nghi m Xét y ≠ 0 ñt u=ty th vào h sau ñó chia hai v ph ươ ng trình cho nhau ta ñưc ph ươ ng trình m t n t. ( Đây là m t bi n th c a h ph ươ ng trình ñng b c) ( x+ y)(1 + xy) = 18 xy Ví d 4) Gi i h ph ươ ng trình:  2+ 2 + 2 2 = 2 2 x y(1 x y ) 208 x y Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m. Xét xy ≠ 0 . H ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v i  1  (x+ y )1 +  = 18  xy  1 1 u+ v = 18  . Đt u= x +, v = y + ta ñưc   1  x y u2+ v 2 = 208 (x2+ y 2 ) 1 + = 208  2 2   x y   1  (x+ y )1 +  = 5  xy  Ví d 5) Gi i h ph ươ ng trình   1 xy + = 4  xy Gi i: 1 1 u+ v = 5 Điu ki n xy ≠ 0. Đt u= x +, v = y + ta ñưc h  y x uv = 6 x y  +  (x + y ) = 15 y x  Ví d 6) Gi i h ph ươ ng trình :  x2 y 2  +(x2 + y 2 ) = 85 2 2  y x  x y Gi i: Đt u= +, v = x + y .Ta có: y x 2 2 x+ y =2 − 2 2 u 2 y x x2+ y 2 =( x + y )2 −2 xy = v 2 − 2 xy 7 x2+ y 2 u= ⇔ u. xy = x2 + y 2 xy v2 Suy ra u. xy= v2 − 2 xy⇒ xy = u + 2 2v2 uv 2 15 v Suy ra x2+ y 2 = v 2 − = = ( vì uv=15) u+2 u + 2 u + 2 uv =15  Ta ñưc h  2 15 v  (u −2 )  = 85  u + 2  x2 y+2 y + x = 4 xy  Ví d 7) Gi i h :  1 1 x  + + = 3  x2 xy y Gi i: Điu ki n xy ≠ 0.  1 1 1 x + + + = 4  x x y h ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v i  . 1   1 1  x +   +  = 4 x   x y  1 1 1 u+ v =4  u = 2 Đt u= x +, v = + ta ñưc: ⇔  x x y uv=4  v = 2  1 x + = 2  x H ph ươ ng trình t ươ ng ñươ ng v i  ⇔(x =1, y = 1 ) 1 1  + = 2  x y III) PH ƯƠ NG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t ph ươ ng trình c a h có d ng f(x)=f(y). M t ph ươ ng trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y. T ñó suy ra hàm f(x) ñơ n ñiu suy ra x=y x3−5 x = y 3 − 5 y (1) Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  x8+ y 4 = 1 (2 ) T ph ươ ng trình (2) ta suy ra x, y ≤ 1 Xét ph ươ ng trình f( x )= x3 − 5 x v i x∈[ −1;1] ; f '( x ) = 3 x2 − 5 < 0 ∀ x ∈[ − 1;1 ] nên f(x) là hàm ngh ch bi n suy ra x=y thay vào ph ươ ng trình (2) ta d dàng gi i ñưc nghi m Lo i 2) H ñ i x ng mà sau khi bi n ñ i th ơng ñư a v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 trong ñó f là hàm ñơ n ñiu − x+ x2 −2 x + 2 = 3y 1 + 1 Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  2x− 1 y+ y −2 y + 2 = 3 + 1 8 u+ u 2 +1 = 3 v HD: Đt x-1=u; y-1=v ta có h  v+ v 2 +1 = 3 u Tr theo v hai ph ươ ng trình trên ta ñưc u+ u2 +1 + 3u = v + v 2 + 1 + 3 v Xét hàm s x f( x )= x + x2 + 1 + 3x ; f '( x ) = 1 + + 3 x ln 3 > 0 ∀ x ⇒ u= v . Thay vào (1) ta có x2 +1 u+ u2 +1 = 3u ⇔ ln( u + u 2 + 1) = u ln 3 ; f( u )= ln( u + u2 + 1) − u ln 3 ta có u 1+ 2 + 1 f'( u )=u 1 − ln 3 = − ln 3 < 0 ∀ u ⇒ f( u ) là hàm s ngh ch bi n. Ta có u+ u2 +1 u 2 + 1 khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghi m duy nh t ⇒ x=y=1 là nghi m duy nh t c a h ban ñu x3−3 x 2 + 2 = y 3 − 3 y − 2  Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình sau:  −  − x2+ y 1  =( − )2 logy  log x   x 2011  y−1   x − 2  Gi i: Đt y=u-1 thay vào ph ươ ng trình (1) c a h ta có x3−3 x 2 = u 3 − 3 u 2 . Ta th y bài toán xác ñnh khi 0<y < 1   < < 0x 2 3 2 Trong c hai tr ưng h p ta th y hàm s f( x )= x − 3 x⇒ f '( x )= 3 x ( x − 2) x > 2  y >1 luôn ñơ n ñiu nên Ta có x= u ⇔ x = y + 1 thay vào ph ươ ng trình (2) c a h ta có x=2011 là nghi m. Chú ý: Trong bài t p này ta c ũng có th bi n ñ i tr c ti p ph ươ ng trình ñu c a h v dng x3−3 x 2 =( y + 1 )3 − 3( y + 1) 2 (4x2 + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 Ví d 3) Gi i h ph ươ ng trình sau:  4x2+ y 2 + 2 3 − 4 x = 7 5 −t 2 HD: Đt 5− 2 y = t⇒ y = thay vào ph ươ ng trình (1) c a h ta có 2 5 − t 2 4x3 + x = t (3 − ) ⇔ 8 x3 + 2 x = t 3 + t Xét f( x )= x3 + x⇒ f '( x )= 3 x 2 + 1 suy ra hàm 2 5− 4 x2 s f( x ) luôn ñng bi n t ñó suy ra t=2 x ⇔ 5 − 2 y = 2 x ⇔ y = th vào 2 ph ươ ng trình (2) c a h ta có 9 − 2 2 2 5 4 x  3  g( x )= 4 x +  + 2 3 − 4 x − 7 = 0 v i x ∈ 0;  . 2  4  D th y x=0 ho c x=3/4 ñ u không ph i là nghi m 5  4 4 3  g'( x )= 8 x − 8 x − 2 x2  − = 4 x (4 x 2 − 3) − < 0 v i x ∈0;  Ta có 2  3− 4x 3 − 4 x 4  1 1 g( )= 0⇒ x= ; y = 2 là nghi m duy nh t c a h . 2 2 IV) PH ƯƠ NG PHÁP ĐÁNH GIÁ Vi ph ươ ng pháp này h c sinh c n quan sát n m ch c các bi u th c không âm trong h, qua ñó v n d ng các b t ñ ng th c ñ ñánh giá  2xy 2 x+ = x + y  3x 2 −2 x + 9 Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình  2xy y+ = y2 + x  3 2  y−2 y + 9 HD: Cng 2 v c a hai ph ươ ng trình v i nhau ta có 2xy 2 xy + =x2 + y 2 Ta có x=y=0 là m t nghi m c a h 3x 2−2 x + 93 y 2 − 2 y + 9 Có 3x 2−2 x + 9 =3 ( x − 1) 2 + 8 ≥ 2⇒ VT≤ 2 xy ; x 2 + y 2 ≥ 2 xy⇒ VP≥ 2 xy . D u b ng x y ra khi và ch khi x=y=1 Kt lu n: H có 2 ngi m x=y=0 và x=y=1 y= − x3 +3 x + 4 Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình sau  x=2 y3 − 6 y − 2 2 ( y−2) = − ( x + 1) ( x − 2) (1) H ñã cho t ươ ng ñươ ng v i  2 (x−2 ) = 2 ( y + 1 ) ( y − 2) (2) Nu y > 2 t (1) suy ra x<2. Nh ưng ñiu này là vô lý vì (2) vô nghi m Lp lu n t ươ ng t cho tr ưng h p y<2 Kt lu n x=y=2 là nghi m duy nh t c a h ph ươ ng trình. (1+x )(1 + x2 )(1 + x 4 ) = 1 + y 7 Ví d 3) Gi i h ph ươ ng trình sau:  (1+y )(1 + y2 )(1 + y 4 ) = 1 + x 7 HD: D th y x=y=0 ho c x=y=-1 là nghi m Xét x>0 ta có (1+x )(1 + x2 )(1 + x 4 ) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y> x ⇒1+y + y2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 > 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + y 7 > 1 + y 7 ⇒ x> y Vy h vô nghi m. T ươ ng t khi y>0 h c ũng vô nghi m Xét x<-1 ⇒1+x7 < 0⇒ 1+ y < 0⇒ y < − 1 10 Ta có 1+ (x + x2 ) + ( x 3 + x 4 ) + ( x 5 + x 6 ) + x 7 > 1 + x 7 ⇒ y> x . T ươ ng t khi y<-1 ta có x>y . V y h vô nghi m Xét tr ưng h p -1<x<0 ch ng minh t ươ ng t ta có h vô nghi m. Kt lu n: x=y=0 ho c x=y=-1 V) GI I H B NG CÁCH ĐƯA V PH ƯƠ NG TRÌNH CÙNG B C Cơ s c a pp này là khi 2 ph ươ ng trình c a h có th ñưa v d ng ph ươ ng trình cùng b c so c i x,y thì ta ñt x=ty sau ñó ñưa v ph ươ ng trình m t n s và gi i nh ư bình th ưng 2x+ 3 y = x2 + 3 xy + y 2 Ví d 1) Gi i h ph ươ ng trình sau  x2+2 y 2 = x + 2 y HD: Rõ ràng ban ñu h không thu c d ng ñ c bi t nào c nh ưng quan sát k Hs s th y ñim m u ch t c a bài toán n m v n ñ sau Ta th y x=y=0 là m t nghi m c a h Xét tr ưng h p x, y ≠ 0 h ñã cho t ươ ng ñươ ng v i (2x+3y)(x2 +2y 2 )=(x+2y)(x 2 +3xy+y 2 )⇔ x 3 + 4y 3 − 3 xy 2 − 2 x 2 y = 0 Đt x=ty th vào ph ươ ng trình ta có  t =1   1+ 17 t3−2 t 2 − 3 t + 4 = 0 ⇔ ( t − 1)( t 2 ` − t − 4) = 0 ⇔ t =  2   1− 17 t =  2 T ñó ta gi i h theo 3 tr ưng h p c a t. Sau khi gi i xong chú ý vi c th nghi m ñ ch n nghi m chính xác 2x2 y 2+ x 2 + 2 x = 2 Ví d 2) Gi i h ph ươ ng trình sau:  2x2 y− x 2 y 2 + 2 xy = 1 2(xy )2+ ( x + 1) 2 = 3 HD: Ta th y h t ươ ng ñươ ng v i  Đt xy=u;x+1=v Ta ñưc h 2xy ( x+ 1) − xy 2 = 1 ñng b c 2u2+ v 2 = 3  2uv− u 2 = 1 Trong m t s bài t p vi c ñưa v h ñ ng b c nhi u khi ñòi h i nh ng k th t t ươ ng ñi khó nh ưng sau ñó ta th ưng thu ñưc cách gi i h khá hay. Ta xét ví d sau: x2+ y 2 + xy +2 y + x = 2 Ví d 3) Gi i h ph ươ ng trình sau:  2x2− y 2 − 2 y − 2 = 0 HD: Đt x=u+a,y=y+b thay vào ph ươ ng trình ñu c a h ta có 11 (u+ a )2 + ( v + b ) 2 +( u + a )( v + b ) + 2( v + b ) + u + a = 0 Đ h ph ươ ng trình ñòng b c thì ñiu ki n c n là trong ph ươ ng trình không có s h ng b c nh t. 2a+ b + 1 = 0  a = 0 Suy ra ⇒  2b+ a + 2 = 0  b = − 1 x2+ u 2 + xu = 3 Đt y=u-1 ta có h sau:  2x2− u 2 = 1 MT S BÀI T P GI I H PH ƯƠ NG TRÌNH Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088  2 + + 3 + 2 + = − 5 x y x y xy xy 4 3 22  4 x + 2x y + x y = 2x + 9 1)  2)  5  2 + = + x 4 + y 2 + xy (1+ 2x ) = − x 2xy 6x 6  4 xy + x + y = x 2 − 2y 2 x 2 + y 2 + x − y = 4 3)  4)  x 2y − y x −1 = 2x − 2y  (xx − y +1 )+ (yy −1 ) = 2 x 2 + y 2 + xy = 7 1+ x y 33 =19 x3 5)  6)  x 4 + y 4 + x y 22 = 21 y + xy 2 −= 6x 2   1  (x + y )1+  = 5   xy  xy + 3y 2 − x + 4y = 7 7)  8)    1  2xy + y 2 − 2x − 2y +1 = 0 (x 2 + y 2 )1+  = 49   22    x y   x + y − x − y = 2 x3 + 2xy 2 +12 y = 0 9)  10)  2 2 2 2 2 + 2 =  x + y + x − y = 4 8y x 12  x + x 2 − y 2 x − x 2 − y 2 17  + = 2x2 + 5xy + 2y 2 + x + y +1 = 0 11)  x − x 2 − y 2 x + x 2 − y 2 4 12)   x 2 + y 2 + 4xy +12 x +12 y +10 = 0 2  (xx + y ) + x + xy + 4 = 52 x 2 + y 2 + x − 2y = 2  2(x− y ) = xy 13)  14)  2 2 x + y + 2x + 2y = 11 x2− y 2 = 3  2 2 2xy x+ y + = 1 y x2− y 2 = 48 15)  x+ y 16)  2 2  2 x+ y + x − y = 24  x+ y = x − y   2y 2xy+ 3 x + 4 y = − 6 x− y + = − 2 17)  18)  x 2+ 2 + + = x4 y 4 x 12 y 3  2 2xy− 2 y + x = 0 12 x2+ y 2 + xy = 3 x2 y+2 x + 3 y = 6 19)  20)  x2 +2 xy = 7 x + 5 y − 9 3xy+ x + y = 5 x2+ y 2 + xy = 3 2x2 y 2+ x 2 + 2 x = 2 21)  22)  y2 − xy +5 x + 4 y = 9 2x2 y− x 2 y 2 + 2 xy = 1 2x2+ 2 y 2 = 1 + 2 x + y x2 y 2+ y 4 +1 = 3 y 2 23)  24)  2y2 + 2 x + y + 1 = 6 xy xy2 + x = 2 y  2 2y− x + 6 y + y x − 2 y = 0  x+ y + x − y = 2 y 25)  26)  + =  x+ x −2 y − x − 3 y = 2  x5 y 3  1 x−2 y − xy = 0 2x2 + x − = 2 27)  28)  y  x−1 − 2 y − 1 = 1  2 2  y− y x −2 y = − 2 2 x y+ y = 2 3 2 2 2  x+ y x +3 x + y + 3 x − 2 y + 1 = 0 29)  1 30)  x2+ + x 2 y 2 = 3 2y3+ xy 2 + y 2 − 3 x − 3 = 0  x2  y − 3  x+ y + x +3 = (1)  x+ y + x − y =1 + x2 − y 2 (1) 31)  x 32)    x+ y = 1(2)  x+ y + x = x + 3(2)   3 +2 + 2 + = 2 4xy 4( x y )2 7 x y+2 y + x = 4 xy  (x+ y )  33)  34)  1 1 x  1  + + = 3 2x + = 3  x2 xy y  x+ y  2xy x+ = x2 + y  2y− 1  3 2 x+ x −2 x + 2 = 3 + 1  x−2 x + 9 35)  36 )  2x− 1 2xy y+ y −2 y + 2 = 3 + 1 y+ = y2 + x  3 2  y−2 y + 9 4 4 2 2 x+ y + xy(2 x + y) = 5 xy x+ y +6 x y = 41 37)  38)  + + − = 2+ 2 = x y xy(3 x y ) 4 xy xy( x y ) 10 x2 y+ y 3 = x 4 + x 6 x3+4 y = y 3 + 16 x 39)  40)  2 2 (x+ 2) y + 1 = ( x + 1) 2 1+y = 5( x + 1) x2+ y 2 + xy +1 = 4 y x2+ y 2 + x 2 y 2 =1 + 2 xy 41)  42)  y( x+ y )2 = 2( x 2 + 1) + 7 y x+ x2 y + xy = y + xy 2 + 1 13 x3−3 x 2 = y 3 − 3 y − 2 (4x2 + x) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0  43)  44)  x−2   y − 1  3 2 2 + =( − ) 4x+ y + 2 3 − 4 x = 7 logy  log x   x 3  y−1   x − 2   x− y = sin x e π  45)  sin y x, y ∈ 0;   4  3 8x2+ 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y 1−x2 2x− y 1 − 2 x + y 2 x − y + 1   + = + 2 3 (1 4) 5 1 2 2x − 2 y = −xy − 46)  47)  2 y3+4 x + 1 + ln( y 2 + 2 x ) = 0   (x2 y+ 2 x ) 2 − 2 x 2 y + 1 − 4 x = 0 1  8 y2 + x2 +1 2− 42 = 3(2y − x ) x2+ y 2 + xy +2 y + x = 2 48)  49)  + 2 3 7 2= + 2 + 2(x y ) +x + y = 2x 2 y 2 y  2 2 x2+2 y 2 + 2 x + 8 y + 6 = 0 x2+ xy + y 2 = 3 50)  51)  x2 + xy + y +4 x + 1 = 0 x3+2 y 3 = y + 2 x x2+ y 2 + xy = 3 x2+ y 2 +2 x = 3  52)  53)  x5+ y 5 31 2(x3+ y 3 ) + 6 x 2 = 5 + 3( x 2 + y 2 )  =  x3+ y 3 7 x2+ y 2 = 5  x2 −8 x + 9 −3 xy + 12 − 6 x ≤ 1 54)  55)  4+ 4 + 2 2 + = 2 x y6 x y 20 xy 81  2(x− y ) + 10 x − 6 y + 12 − y = x + 2  6+ 3 + 2 = − 2 2 y2+(4 x − 1) 2 =3 4 x (8 x + 1) y y2 x xy x y 56)  57)  1 2 40x2 + x = y 14 x − 1 4xy3+ y 3 + ≥ 2 x 2 + 1 +( 2 x − y )  2  1   3x  1+  = 2  x+ y  58)     −1 =  7y  1  4 2  x+ y  Trong bài vi t có s d ng m t s t ư li u trích t bài vi t c a th y Nguy n Minh Nhiên, th y Nguy n T t Thu.Tôi xin chân thành c m ơn các th y. 14

Các file đính kèm theo tài liệu này:

giai_he_phuong_trinh_trong_ky_thi_dai_hoc_6702.pdf