Tập hợp và ánh xạ

0bài giảng đại số tuyến tính Người soạn: Lê Thị Nguyệt 1Chương 0 tập hợp và ánh xạ Bài 1: tập hợp I. Khái niệm tập hợp. 1.1. Định nghĩa. Thuật ngữ ”tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập nghiệm của một phương trình,.... Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn. Ta có thể hình dung tất cả những đối tượng xác định nào đó hợp lại tạo thành một tập hợp. Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳn hạn, khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh của lớp học đó, khi nói về tập hợp các số nguyên thì các đối tượng của tập hợp là các số nguyên. Mỗi đối tượng cấu thành tập hợp được gọi là một phần tử của tập hợp. Để chỉ a là một phần tử của tập A ta viết a ∈ A(đọc là a thuộc A). Viết a /∈ A(đọc là a không thuộc A) nghĩa là a không là phần tử của tập A. Ví dụ: ở chương trình toán phổ thông ta đã biết các tập hợp sau a) Tập hợp N các số tự nhiên. b) Tập hợp Z các số nguyên c) Tập hợp Q các số hữu tỉ d) Tập hợp R các số thực. 1.2 Cách mô tả tập hợp. Muốn mô tả một tập hợp ta phải làm đủ rõ để khi cho ta một phần tử ta biết được nó có thuộc tập hợp đã cho hay không. Thường có hai cách 1) Liệt kê ra tất cả các phần tử của tập hợp. 2) Mô tả tính chất của tập hợp. 1.3 Tập rỗng. Là tập hợp không có phần tử nào và được ký hiệu là ∅ II. Sự bằng nhau của hai tập hợp. III. Các phép toán trên tập hợp. 3.1 Phép hợp. Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc một trong hai tập A hoặc B, ký hiệu là A ∩ B. Như vậy A ∪B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B} Tổng quát ⋃ i∈I Ai = {x|∃i ∈ I : x ∈ Ai} 3.2 Phép giao. Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp tất cả các phần tử đồng thời thuộc A và B. Ký hiệu là A ∩B. Như vậy A ∩B = {x|x ∈ A và x ∈ B} Tổng quát ⋂ i∈I Ai = {x|∀i ∈ I, x ∈ Ai} 23.3 Phép hiệu. Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Ký hiệu là A|B. Vậy A|B = {x|x ∈ A và x /∈ B} Nếu B là con của A thì A|B được gọi là phần bù của B trong A. 3.4 Tích đề các. Tích đề các của hai tập hợp A và B là tập tất cả các cặp (a, b), trong đó a ∈ A, b ∈ B. Ký hiệu là A×B. Vậy A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} Tương tự ta có thể định nghĩa tích đề các của n tập hợp A1, A2, ..., An là A1 ×A2 × ...×An = {(a1, a2, ..., an)|a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, ..., an ∈ An} Nếu A1 = A2 = ... = An thì ta viết A n thay cho A×A× ...×A(n lần). 3.5 Các tính chất. a) A ∪B = B ∪A b) A ∩ B = B ∩ A c) A ∪A = A d) A ∩ A = A e) (A ∪B) ∩ C = A ∪ (B ∩ C) f) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) g) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) h) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) Tính chất phân phối ( ⋂ α∈I Aα) ⋃ B = ⋂ α∈I (Aα ⋃ B) ( ⋃ α∈I Aα) ⋂ B = ⋃ α∈I (Aα ⋂ B) Quy tắc De Morgan. Cho Aα, α ∈ I là các tập con của tập X. Ta có X| ⋃ α∈I Aα = ⋂ α∈I (X|Aα) X| ⋂ α∈I Aα = ⋃ α∈I (X|Aα) 3Bài 2: ánh xạ I. Các khái niệm cơ bản 1.1 Định nghĩa. Cho X và Y là các tập khác rỗng. Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy tắc đặt tương ứng mỗi phần tử x của tập X với một phần tử xác định duy nhất y của tập Y . Khi đó phần tử y được gọi là ảnh của của phần tử x qua ánh xạ đã cho. Thông thường, ánh xạ được ký hiệu bằng một chữ. Thuật ngữ "ánh xạ f từ X vào Y mà phần tử x được đặt tương ứng với ảnh y = f(x)” được ký hiệu như sau f : X −→ Y x 7→ y = f(x) Tập hợp X được gọi là tập nguồn hoặc là miền xác định của f . Tập hợp Y được gọi là tập đích của f . Ví dụ: 1) Cho X = {1, 2, 3, 4};Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng f : X −→ Y 1 7→ a 2 7→ c 3 7→ d 4 7→ b là ánh xạ. 2) Cho X = {1, 2, 3, 4};Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng g : X −→ Y 1 7→ a 2 7→ a 3 7→ d 4 7→ b là ánh xạ. 3) Cho X = {1, 2, 3, 4, 5};Y = {a, b, c, d}. Khi đó tương ứng h : X −→ Y 1 7→ a 2 7→ a 3 7→ d 4 7→ b 4không là ánh xạ. 4) Cho X = {1, 2, 3, 4};Y = {a, b, d}. Khi đó tương ứng k : X −→ Y 1 7→ a 2 7→ a 3 7→ d 4 7→ b là ánh xạ. 5) Cho X = N tập các số tự nhiên, Y = {0, 1}. Quy tắc m xác định bởi m(x) = 1 − (−1)x 2 = { 0, nếu x chẵn 1, nếu x lẻ là ánh xạ. 6) Tương ứng n : R −→ Z x 7→ n(x) = [x] là ánh xạ. 1.2 Định nghĩa. Hai ánh xạ f : X −→ Y và f1 : X1 −→ Y1 được gọi là bằng nhau nếu X = X1, Y = Y1 và với mọi x ∈ X, f(x) = f1(x). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ. Tập hợp f(X) = {f(x)|x ∈ X} được gọi là ảnh của ánh xạ f và được ký hiệu là Imf . Nếu A là tập con của X thì tập f(A) = {f(x)|x ∈ A} được gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f . Nếu y ∈ Y là một phần tử cố định thì tập f−1(y) = {x ∈ X|f(x) = y} được gọi là nghịch ảnh của y bởi ánh xạ f . Nếu B ⊂ Y thì tập hợp f−1 = {x ∈ X|f(x) ∈ B} được gọi là nghịch ảnh của B 1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Đơn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là đơn ánh nếu với mọi y ∈ Y, tập f−1(y) có không quá một phần tử. Như vậy, f là đơn ánh khi và chỉ khi ∀x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 5hay x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2) Toàn ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là toàn ánh ếu với mọi y ∈ Y, tập hợp f−1(y) 6= ∅ . Tức là ∀y ∈ Y,∃x ∈ X : f(x) = y. Như vậy f là toàn ánh khi và chỉ khi Imf = Y. Song ánh. ánh xạ f : X −→ Y được gọi là nếu f đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh. Như vậy f là song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Y,∃!x ∈ X : f(x) = y. Câu hỏi: Trong các ánh xạ f, g, k,m, n ở trên ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? II. Tích các ánh xạ. 2.1 Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z. Tích của hai ánh xạ f và g là ánh xạ h : x −→ Z được định nghĩa theo quy tắc sau ∀x ∈ X,h(x) = g(f(x)). Tích của hai ánh xạ f và g được ký hiệu là gof hoặc gf . Như vậy ta có ∀x ∈ X, (gof)(x) = g(f(x)). Ví dụ: Cho f : R −→ R; g : R −→ R được xác định bởi f(x) = x2, g(x) = x2+2x+8. Khi đó (gof)(x) = g(f(x)) = g(x 2) = x4 + 2x2 + 8. và (fog)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 2x + 8) = (x2 + 2x + 8)2. Như vậy, nói chung gof 6= fog. 2.2 Định lý. Cho các ánh xạ f : X −→ Y, g : Y −→ Z, h : Z −→ W. Khi đó ho(gof) = (hog)of 2.3 Định lý. Cho f : X −→ Y, g : Y −→ Z là các ánh xạ. Khi đó a) Nếu f và g là đơn ánh thì gof là đơn ánh. b) Nếu f và g là toàn ánh thì gof là toàn ánh. c) Nếu f và g là song ánh thì gof là song ánh. III. ánh xạ ngược. 3.1 Định nghĩa. Cho f : X −→ Y là song ánh. Với mỗi y ∈ Y tồn tại duy nhất một phần tử x sao cho f(x) = y. ánh xạ f−1 : Y −→ X đặt tương ứng mỗi phần tử y với nghịch ảnh x của nó bởi f được gọi là ánh xạ ngược của f . Như vậy ta có ∀y ∈ Y, f−1(y) = x ⇔ f(x) = y. Ta thấy rằng ánh xạ ngược f−1 của song ánh f cũng là song ánh và ta có 3.2 Mệnh đề. Nếu f : X −→ Y là song ánh thì a)(f−1)−1 = f, b) fof −1 = 1Y , f−1o f = 1X . 3.3 Định lý. Cho ánh xạ f : X −→ Y . Nếu tồn tại ánh xạ g : Y −→ X sao cho gof = 1X , fog = 1Y thì f là song ánh và g = f −1. 3.4 Định lý. Nếu f : X −→ Y, g : Y −→ Z là song ánh thì gof là song ánh và (gof) −1 = f−1g−1. 6bài tập Bài 1: Cho các ánh xạ f : A −→ B sau, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh, song ánh a) A = R, B = R, f(x) = x+ 7; b) A = R, B = R, f(x) = x2 + 2x− 3; c) A = [4, 9], B = [21, 96], f(x) = x2 + 2x− 3; d) A = R, B = (0,+∞), f(x) = ex+1; e) A = N, B = N, f(x) = x(x+ 1). Bài 2: a)Cho ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x) = 2x 1 + x2 Nó có đơn ánh, toàn ánh? Tìm ảnh f(R). b) Cho ánh xạ g : R/{0} −→ R xác định bởi x 7→ 1 x . Tìm ảnh fog. Bài 3: Xét hai ánh xạ f : R −→ R xác định bởi f(x) = |x|; g : [0,+∞) −→ R xác định bởi x 7→ √x Hãy so sánh fog và gof . Bài 4: Cho hai tập E và F và ánh xạ f : E −→ F . A và B là hai tập con của A. Chứng minh a) A ⊂ B ⇔ f(A) ⊂ f(B); b) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B); c) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B); d) Nếu f là đơn ánh thì f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B). 7Chương I Cấu trúc đại số - số phức Bài 1: luật hợp thành trong trên một tập hợp I. Khái niệm luật hợp thành trong. 1.2 Định nghĩa: Luật hợp thành trong trên tập E, hay phép toán trên E, là một quy luật khi tác động lên hai phần tử a và b của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử cũng của E. Theo nghĩa ánh xạ, luật hợp thành trong trên tập E là một ánh xạ từ E tới E. 1.2 Tính chất của một luật hợp thành trong. Một luật hợp thành trong (∗) trên tập E có thể có một số tính chất sau đây. 1. Tính kết hợp. Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính kết hợp nếu ∀a, b, c ∈ E : a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N,Z,Q,R có tính kết hợp. 2. Tính giao hoán: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính giao hoán nếu ∀a, b : a ∗ b = b ∗ a. Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N,Z,Q,R có tính giao hoán. 3) Phần tử trung hòa: Luật hợp thành trong (∗) trên tập E có tính trung hòa là e nếu e ∈ E và ∀a ∈ E : a ∗ e = e ∗ a = a. Vd: Phép cộng và phép nhân trên các tập hợp N,Z,Q,R có phần tử trung hòa là 0. 4) Phần tử đối xứng: Phần tứ a′ ∈ E được gọi là phần tử đối của a ∈ E nếu a ∗ a′ = a′ ∗ a = e. Vd: Đối với phép cộng trên tập hợp Z,Q,R, mọi phần tử a đều có phần tử đối là −a. 1.3. Khái niệm về cấu trúc đại số. Một tập có trang bị một hay nhiều luật hợp thành trong với những tính chất xác định tạo thành một trong nhãng đối tượng toán học được gọi là cấu trúc đại số. Sau đây ta sẽ nghiên cứu các cấu trúc nhóm, vành, trường và đặc biệt là trường số phức. 8Bài 2: các cấu trúc đại số I. Cấu trúc Nhóm. 1.1 Định nghĩa: Một tập G không rỗng được trang bị một luật hợp thành trong (∗) được ký hiệu là (G, ∗). Cặp (G, ∗) được gọi là một nhóm nếu thỏa mãn ba tính chất sau 1) Phép toán (∗) có tính kết hợp. 2) Phép toán (∗) có phần tử trung hòa e. 3) Mội phần tử của G đều có phần tử đối. Ba tính chất trên được gọi là ba tiên đề của nhóm. Nếu có thêm tính chất thứ tư : Phép toán (∗) có tính giao hoán thì nhóm (G, ∗) được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Ví dụ: Các cặp (Z,+), (Q,+), (R,+) là những nhóm giao hoán. 1.2 Một số tính chất của nhóm. Ta có các tính chất sau đây: 1) Phần tử trung hòa e là duy nhất. 2) Phần tử đối của một phần tử a bất kỳ là duy nhất. 3) Có quy tắc giản ước a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y. II. Cấu trúc vành. 2.1 Định nghĩa: Tập A khác rỗng được trang bị hai phép toán, phép toán thứ nhất gọi là phép cộng, viết là +, phép toán thứ hai gọi là nhân, viết là .. Bộ ba (A,+, .) được gọi là một vành nếu thỏa mãn các tính chất sau đây. 1) Cặp (A,+) là một nhóm giao hoán. 2) Phép nhân có tính chất kết hợp. 3) Phép nhân có tính phân phối về hai phía đối với phép cộng, nghĩa là ∀a, b, c ∈ A ta có a.(b+ c) = a.b+ a.c (b+ c).a = b.a+ c.a Nếu phép nhân có tính giao hoán thì ta nói vành A có tính chất giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung hòa, ký hiệu là 1 thì vành A được gọi là vành có đơn vị. Ví dụ: Các vành (Z,+, .), (Q,+, .), (R,+, .) là các vành có đơn vị. 2.3 Vành nguyên Định nghĩa: Vành (A,+, .) được gọi là vành nguyên nếu có tính chất a.b = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0. Ví dụ: Các vành (Z,+, .), (Q,+, .), (R,+, .) là các vành nguyên. Vậy trong vành nguyên ta có: Điều kiện cần và đủ để một tích bằng không là một trong hai nhân tử phải bằng không. III. Cấu trúc trường. 3.1 Định nghĩa: Cho K là một tập khác rỗng được trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.). Ta nói bộ ba (K,+, .) hay K là một trường nếu thỏa mãn cá tính chất sau: 1) (K,+, .) là một vành giao hoán có đơn vị. 2) Với mọi a ∈ K,a 6= 0(phần tử trung hòa của phép +), tồn tại phần tử a′ sao cho a.a′ = a′.a = 1, phần tử a′ được gọi là phần tử nghịch đảo của a. 3.2. Một số tính chất 91) Trường là một vành nguyên. 2) K là một trường thì K{0} là một nhóm đối với phép nhân. Bài 3: số phức 1. Tính chất của tập hợp số thực: Trên tập hợp R các số thực ta có các phép toán cộng hai số thực và nhân hai số thực. Các tính chất này có tính chất cơ bản sau đây. Với mọi số thực a1, a2, a3 ∈ R, 1) a1 + a2 = a2 + a1, 2) (a1 + a2) + a3 = a1 + (a2 + a3), 3) a1 + 0 = a1, 4) a1 + (−a1) = 0, 5) a1a2 = a2a1, 6) (a1a2)a3 = a1(a2a3), 7) a1.1 = a1, 8) a1. 1 a1 = 1, (a1 6= 0), 9) a1(a2 + a3) = a1a2 + a1a3. Các tính chất 1) − 9) của các phép toán cộng và nhân trên R được gọi là tính chất trường của R và tập hợp R được gọi là trường số thực. 2. Xây dựng trường số phức. Nhiều bài toán trong toán học dẫn đến các phương trình đại số. Để giải quyết các bài toán này, một trong những yêu cầu được đặt ra là mở rộng các hệ thống số để cho các phương trình đó có nghiệm. Trong tập hợp N các số tự nhiên, phương trình x+ 3 = 0 không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta đã mở rộng tập hợp N ra tập hợp Z. Trong tập Z, phương trình 3x = 1 không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập Z ra tập hợp Q. Trong tập hợp Q, phương trình x2 = 3 không có nghiệm. Để giải được phương trình này, người ta mở rộng tập Q ra rập R. Khi mở rộng hệ thống số, hệ thống mới giữ nguyên các tính chất của hệ thống trước đó và có thêm các tính chất thuận tiện cho việc tính toán. Ta thấy rằng, phương trình x2 + 1 = 0 không có nghiệm trong tập hợp các số thực R. Vì vậy cần thiết phải mở rộng hệ thống số R ra hệ thống số mới, được gọi là số phức mà phương trình x2 + 1 = 0 có nghiệm trong tập hợp các số phức. Ký hiệu C = R2 = {(x, y)/x, y ∈ R}, mỗi phần tử của C được gọi là một số phức. Phép cộng và nhân số phức. Cho hai số phức z1 = (x1, y1), z2 = (x2, y2) ∈ C. Ta định nghĩa phép toán cộng và nhân số phức như sau. z1 + z2 = (x1 + x2, y1 + y2) z1z2 = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) Đặc biệt, (x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0), (x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0) Như vậy khi cộng và nhân các số phức dạng (x, 0) ta được một số phức dạng (x, 0). Vì vậy có thể đồng nhất số phức dạng (x, 0) với số thực x. Tức là x = (x, 0). 10 Bằng cách đó tập số thực R được xem là tập con của tập hợp các số phức C. Ký hiệu i = (0, 1) ∈ C, ta có i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. Như vậy i2 +1 = 0, nên i là nghiệm của phương trình x2 + 1 = 0. Số phức i được gọi là đơn vị ảo của C. Với cách đồng nhất x = (x, 0), một số phức z = (x, y) được viết dưới dạng z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy(∗). Công thức (∗) được gọi là dạng đại số của số phức z, số thực x được gọi là phần thực của số phức z và được ký hiệu là Rez, số thực y được gọi là phần ảo của số phức z và được ký hiệu là Imz. Dùng công thức (∗), phép cộng và nhân số phức được viết lại như sau (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2), (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1). Dễ dàng chứng minh được rằng phép cộng và phép nhân số phức có đầy đủ các tính chất của một trường và tập hợp C được gọi là trường số phức. Số phức z = x− iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x = iy. Rõ ràng ta có z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2. Giả sử z = x + iy 6= 0, khi đó x2 + y2 > 0, ký hiệu ϕ là góc xác định bởi cosϕ = x√ x2 + y2 , sinϕ = y√ x2 + y2 . Góc ϕ xác định sai khác một bội của 2pi. Nó được gọi là acgumen của z và được ký hiệu là argz. Nếu z = x + iy thì số thực | z |= √x2 + y2 được gọi là moddun của z. Ta có ngay bất đẳng thức sau | z1 + z2 |6| z1 | + | z2 | . Với các ký hiệu trên số phức z được biểu diễn dưới dạng z =| z | (cosϕ + i sinϕ)(∗∗). Công thức (∗∗) được gọi là dạng lượng giác của số phức z. Nếu z1 =| z1 | (cosϕ1 + i sinϕ1), z2 =| z2 | (cosϕ2 + i sinϕ2) thì z1z2 =| z1 || z2 | (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)). Do đó |z1z2| = |z1||z2|, arg(z1z2) = argz1 + argz2. Từ đây ta suy ra rằng, với n là số nguyên thì zn = |z|n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)). Công thức này được gọi là công thức Moivre. Số phức z0 được gọi là căn bậc n của số phức z nếu z n 0 = z. Tập hợp tất cả các căn bậc n của số phức z được ký hiệu là n √ z. Và ta có thể suy ra n √ z = { n √ |z|(cos ϕ + 2kpi n + i sin ϕ + 2kpi n /k ∈ Z} 11 bài tập 1. Tính các biểu thức sau a) (1 + √ 3i)60, ( 1 + √ 3i 1 − i ) 20 b) (2 −√2 + i)12, ( √ 3 + i 1− i ) 12 c) ( 1− i√3 2 )n, 3 √ 2− 3i,√3 − 4i 2. Chứng minh rằng nếu z + 1 z = 2 cosϕ thì zn + 1 zn = 2 cos nϕ, với n ∈ Z. 12 Chương II ma trận- định thức Bài 1: ma trận I. Khái niệm về ma trận. Cho M là một tập hợp và m,n là các số nguyên dương. Ta gọi một ma trận cỡ m×n trên M là một bảng hình chữ nhật A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn  gồm mn phần tử của M được xếp thành m hàng và n cột. Với 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n, phần tử aij được gọi là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của ma trận A hay cũng gọi là phần tử ở vị trí (i, j) của A. Ta gọi i là chỉ số hàng và j là chỉ số cột. Để đơn giản ma trận A còn được viết dưới dạng A = [aij], i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n. Hai ma trận A = [aij] và B = [bij] được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và aij = bij với mọi i, j. Ma trận A cỡ n× n được gọi là ma trận vuông cấp n. Ma trận cỡ 1× n được gọi là ma trận hàng, ma trận cỡ n× 1 được gọi là ma trận cột. Từ đây về sau ta chỉ xét ma trận trên trường K với K là trường số thực R và trường số phức C. Tuy nhiên, để đơn giản hầu hết các ví dụ được cho trên trường số thực R. Ma trận cỡ m× n gồm mn số 0 được gọi là ma trận không. Ma trận I = In  1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . 1  được gọi là ma trận đơn vị cấp n. II. Các phép toán trên ma trận. 2.1 Phép cộng Định nghĩa: Cho A = [aij] và B = [bij] là các ma trận cỡ m × n. Tổng của hai ma trận A và B là ma trận C = [cij] cỡ m × n, trong đó cij = aij + bij với mọi i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n. Ký hiệu là C = A + B. Ví dụ: ( 1 2 3 3 2 1 ) + ( 4 5 6 7 8 9 ) = ( 5 7 9 10 10 10 ) Từ định nghĩa về phép toán cộng ma trận, ta có các tính chất đơn giản sau. Tính chất: cho A,B,C là các ma trận cỡ mXn trên K. Khi đó a) A + (B + C) = (A + B) + C, b) A+ B = B + A, c) A + 0m,n = Am,n + A = A, d) Với A = [aij], ký hiệu −A = [−aij]. Khi đó A + (−A) = 0. Ma trận −A được gọi là ma trận đối của A. Ta có định nghĩa sau. Định nghĩa: Nếu A,B là các ma trận cũng cỡ thì ta có A−B = A + (−B) 13 2.2 Phép nhân một số với ma trận. Định nghĩa: Cho A = [aij] là ma trận cỡ m × n và α ∈ K. Tích của α với A là ma trận B = [bij] cỡ mXn và bij = αaij với mọi i = 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ..., n. Ví dụ: 3 ( 1 2 3 4 5 6 ) = ( 3 6 9 12 15 18 ) Ta có các tính chất sau đây Cho A,B là các ma trận cỡ m× n và α, β ∈ K. Khi đó a)1.A = A, b) (αβ)A = α(βA), c) (α + β)A = αA + βA, d) α(A + B) = αA + αB. 2.3 Phép nhân các ma trận. Định nghĩa: Cho A = [aij] là ma trận cỡ m× n và B = [bjk] là ma trận cỡ m× p. Tích của các ma trận A và B là ma trận C = [cik] cỡ m× p, trong đó cik = ai1b1k + ai2b2k + ...+ ainbnk = n∑ j=1 aijbjk với i = 1, 2, ...,m; k = 1, 2, ..., p. Khi đó ta ký hiệu C = AB. Ta thấy rằng ai1, ai2, ..., ain là các phần tử ở hàng thứ i của A và các phần tử bik, b2k, ..., bnk là các phần tử ở cột thứ k của B. Ví dụ 1: Cho A = ( 1 2 5 0 −1 1 ) ;B =  1 2 33 2 1 1 2 − 2 , khi đó C = AB = ( 9 12 −11 1 1 −1 ) Ví dụ 2: Cho A = ( 1 + i 2 −1 1 ) ;B = ( −1 0 4− i 1 ) . Khi đó AB = A = ( 7− 3i 2 5− i 1 ) ;BA = A = ( −1− i −2 4 + 3i 9 − 2i ) Như vậy, với A,B là các ma trận vuông cấp n thì nói chung AB 6= BA. Tính chất: 1) Cho A,B,C lần lượt là các ma trận cỡ m× n, n× p, p× q và α ∈ K. Khi đó a)A(BC) = (AB)C, b) α(AB) = (αA)B = A(αB), c) AIn = ImA = A 2) Nếu A,B là các ma trận cỡ m× n,C là ma trận cỡ n × p thì (A + B)C = AC + BC. 3) Nếu A là ma trận cỡ m× n, và B,C là các ma trận cỡ n× p thì A(B + C) = AB + AC. 14 2.4 Ma trận chuyển vị. Định nghĩa: Cho ma trận A cỡ m× n A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn  Ma trận Ac =  a11 a21 . . . am1 a12 a22 . . . am2 ... ... ... a1n a2n . . . amn  được gọi là ma trận chuyển vị của A. Như vậy, nếu A = [aij] thì A c = [aji] với mọi i, j. Ví dụ: Cho A = ( 1 2 3 4 5 6 ) thì Ac =  1 42 5 3 6  III. Các phép biến đổi sơ cấp. Cho ma trận A trên K. Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A là các phép biến đổi sau: 1) Đổi vị trí hai hàng(hai cột) của ma trận A ... ... ... ai1 ai2 . . . ain ... ... ... aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...  −→  ... ... ... aj1 aj2 . . . ajn ... ... ... ai1 ai2 . . . ain ... ... ...  2) Nhân một hàng(một cột) của ma trận A với một số α 6= 0, tức là các phần tử của hàng(cột) đó được nhân với α. α  ... ... ... ai1 ai2 . . . ain ... ... ...  =  ... ... ... αai1 αai2 . . . αain ... ... ...  3) Cộng vào hàng(cột) thứ i một bội α của hàng(cột) thứ j của ma trận A. ... ... ... ai1 ai2 . . . ain ... ... ... aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...  −→  ... ... ... ai1 + αaj1 ai2 + αaj2 . . . ain + αajn ... ... ... aj1 aj2 . . . ajn ... ... ...  15 Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép biến đổi sơ cấp thì ta nói A tương đương với B và ký hiệu A ∼ B. Bây giờ ta xét một dạng ma trận đặc biệt mà được gọi là ma trận dạng bậc thang. 3.1 Định nghĩa: Cho ma trận A = [aij] cỡ m× n. Hàng thứ i của A được gọi là bằng không nếu tất cả các phần tử của hàng đó bằng không. Tức là aij = 0,∀j = 1, 2, ..., n. Phần tử aij được gọi là phần tử khác không đầu tiên của hàng thứ i nếu aik = 0, với mọi k = 1, 2, ..., j − 1 và aij 6= 0. Các khái niệm cột bằng không và phần tử khác không đầu tiên khác không của cột được định nghĩa tương tự. Ma trận A được gọi là ma trận có dạng bậc thang nếu nó có các tính chất sau đây. i) Nếu hàng thứ i của A bằng không thì hàng thứ i+ 1 của A phải bằng không. ii) Nếu các phần tử khác không đầu tiên của hàng thứ i và i + 1 nằm ở cột thứ j và thứ k thì j < k. Ví dụ: Ma trận  1 2 50 −1 1 0 0 1  là ma trận bậc thang. Ma trận  1 2 50 −1 1 0 2 1  không là ma trận bậc thang. 3.2 Định lý: Mọi ma trận đều có thể chuyển về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp. Nói cách khác mọi ma trận đều tương đương với một ma trận bậc thang. Chứng minh: Giả sử A là ma trận cỡ m × n. Ta chứng minh định lý trên bằng phương pháp quy nạp theo m. Nếu m = 1 thì hiển nhiên A có dạng bậc thang. Giả sử m > 1 và định lý đúng đối với mọi ma trận có (m − 1) hàng. Nếu A là ma trận không thì nó là ma trận bậc thang. Giả thiết A là ma trận khác không. Giả sử j1 là cột khác không đàu tiên của A. Nhờ phép đổi chổ hai hàng ta có thể giả thiết a1j1 6= 0. Cộng vào hàng thứ i của A với bội − aij1 a1j1 , i = 2, 3, ..., n của hàng thứ nhất, ma trận A được đưa về dạng A =  0 . . . 0 a1j1 a1j1+1 . . . a1n 0 . . . 0 0 b2j1+1 . . . b2n ... . . . ... . . . ... . . . ... 0 . . . 0 0 bmj1+1 . . . bmn  Ma trận A =  b2j1+1 . . . b2n... . . . ... bmj1+1 . . . bmn  có m− 1 hàng, theo giả thiết quy nạp ma trận này có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Do đó ma trận A cũng đưa được về dạng bậc thang. Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp về hàng. 16 A =  1 2 52 −1 1 3 2 1  3.3 Định nghĩa: - Cho ma trận vuông A = [aij] cấp n. Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo nếu aij = 0, với mọi i 6= j. Nghĩa là A =  a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ... ... ... 0 0 . . . ann  - Ma trận A được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0 với mọi i > j. Nghĩa là A =  a11 a12 . . . a1n 0 a22 . . . a2n ... ... ... 0 0 . . . ann  . - Ma trận A được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0 với mọi i < j. Nghĩa là A =  a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0 ... ... ... an1 an2 . . . ann  bài tập Bài 1: Thực hiện các phép tính a) ( λ 1 0 λ )n ; b) ( cosα − sinα sinα cosα )( cosβ − sinβ sinβ cos β ) c) ( cosα − sinα sinα cosα )n d)  3 + 2i −4 52 −3 1 3 −5 + i −1  3 + i 151 9 − 2i 0 −1  e)  3 2 5 00 −1 1 2 3 2 1 0   1 2 5 −1 5 5 2 −1 1 3 2 1 +  1 4 53 −1 2 3 0 1  Bài 2: Cho ma trận A =  1 4 53 −1 2 3 0 1  Tính A3 − 2A + I, với I là ma trận đơn vị cấp 3. 17 Bài 2: Định thức I. Định thức của ma trận vuông. Xét ma trận vuông cấp n A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... an1 an2 . . . ann  Nếu bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j từ ma trận A thì ta thu được một ma trận vuông cấp n − 1. Ta ký hiệu nó là ma trận Mij và gọi nó là ma trận con ứng với phần tử aij. Ta định nghĩa định thức của ma trận một cách quy nạp như sau. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là det(A) hoặc |A| và được định nghĩa như sau. A là ma trận cấp 1: A = [a11] thì det(A) = a11. A là ma trận cấp hai A = ( a11 a12 a21 a22 ) thì det(A) = ∣∣∣∣ a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ = a11det(M11)− a12det(M12) = a11a22 − a12a21 Tổng quát, A là ma trận vuông cấp n thì det(A) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... an1 an2 . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11det(M11)−a12det(M12)+. . .+(−1) n+1a1ndet(M1n) (Chú ý ràng a11, a12...., a1n là các phần tử nằm ở hàng thứ nhất của ma trận A. Định thức của ma trận cấp n được gọi là định thức cấp n. Ví dụ: ∣∣∣∣∣∣ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∣∣∣∣∣∣ = 1 ∣∣∣∣ 5 68 9 ∣∣∣∣− 2 ∣∣∣∣ 4 67 9 ∣∣∣∣+