Vật lý - Vì sao có nhiều cách vẽ đường ô van

1 Vì sao có nhiều cách vẽ đường ô van? - Đỗ Thuỵ Đằng - Túm tắt Bài toán vẽ đường ô van có các bán trục cho trước là đa nghiệm, cho nên đang tồn tại cả cách vẽ tổng quát toàn họ đường ô van đó và cách vẽ riêng từng đường ô van trong họ đó. 1. Mở đầu: Hiện nay đang lưu hành nhiều cách vẽ đường ô van. Ngay trong sách giáo khoa cũng đang lưu hành ít nhất 2 cách vẽ khác nhau [1], [2], [3]. Liệu đấy có phải là các cách vẽ khác nhau của 1 đường ô van? Dưới đây chúng ta tìm hiểu khái quát về đường ô van và phân tích về sự khác nhau của các cách vẽ thông dụng đó. Đường ô van là đường cong khép kín, nối trơn 2 cặp cung tròn đối xứng nhau qua hai trục đối xứng vuông góc (tại mỗi điểm nối trơn, 2 cung tròn có chung 1 tiếp tuyến). Giao điểm của 2 trục đối xứng cũng là tâm đối xứng của đường ô van. Các đoạn thẳng nhỏ nhất từ tâm đối xứng đến đường ô van (nằm trên trục đối xứng thứ nhất) là các bán trục nhỏ (n) của đường ô van và hợp thành trục nhỏ của đường ô van. Còn các đoạn thẳng lớn nhất từ tâm đối xứng đến đường ô van (nằm trên trục đối xứng thứ hai) là các bán trục lớn (l) của đường tròn ô van và hợp thành trục lớn của đường ô van (hình 1, hình 3 và hình 4) Đường ô van gần giống đường e líp có cùng cặp bán trục, cho nên đôi khi được vẽ thay thế gần đúng đường ê líp có cùng cặp bán trục [1], [2], [3]. 2. Quy trình chung để vẽ đường ô van: 2.1 Trường hợp 1: 0 < n < l <  Quy trình để vẽ đường ô van có các bán trục khác nhau, trên cơ sở kết hợp các thông số cho trước là các bán trục n và l, với thông số tự chọn là bán kính các cung tròn nhỏ Rn, theo điều kiện: 0 < Rn < n < l < , được nêu trong hình 1 ( [4], [5] ). 2.1.1 Một số ký hiệu (hình 1) Bán trục lớn: l = AO = OB Bán trục nhỏ n = CO = OD Bán kính các cung tròn lớn: Rl = O2C = O4D = O2E = O2F = O4E' = O4F' 2 Bán kính các cung tròn nhỏ: Rn = O1A = O3B = O1E = O1E' = O3F = O3F' Hình 1: Quy trình tổng quát để vẽ từng họ đường ô van có chung các bán trục: 0 < n < l < , thông qua cách tự chọn bán kính các cung tròn nhỏ Rn theo điều kiện 0 < Rn < n < l <  2.1.2 Các bước cơ bản của quy trình chung để vẽ đường ô van: Bước 1: Vẽ 2 trục vuông góc AOB và COD có các bán trục AO = OB = l và CO = OD = n. Bước 2: Tự chọn Rn theo điều kiện: 0 < Rn < n < l < , rồi lấy AO1 = CC' = Rn và kẻ O1C'. Bước 3: Dựng đường trung trực của 01C' cho cắt OD tại O2 Bước 4: Lấy OO3 = OO1 và OO4 = OO2, rồi kẻ O1 O2 ; O2 O3 ; O3 O4 và O4 O1 Bước 5: Lấy O1 làm tâm, vẽ cung tròn chứa A có bán kính O1A = Rn cho cắt O2 O1 kéo dài tại E và cho cắt O4 O1 kéo dài tại E'. Tương tự, lấy O3 làm tâm,vẽ cung tròn chứa B có bán kính O3 B = Rn cho cắt O2 O3 kéo dài tại F và cho cắt O3 O4 kéo dài F'. 3 Bước 6: Lấy O2 làm tâm, vẽ cung tròn chứa C có bán kính O2 C = Rl và giới hạn là ECF (vì O2C = O2C' + C'C mà O2C' = O2O1 và O1E = O1A = C'C = Rn). Tương tự lấy O4 làm tâm, vẽ cung tròn chứa D có bán kính O4 D = Rl và giới hạn là E'DF'. 2.1.3. Mối liên hệ giữa các bán kính Rn và Rl với các bán trục n và l (hình 1) Xét tam giác vuông có đỉnh góc vuông là tâm đối xứng của đường ô van và 2 đỉnh góc nhọn là 2 tâm của 2 cung tròn liên tiếp của đường ô van (thí dụ: tam giác vuông 00102 trên hình 1), chúng ta tìm được: 2 22 ( ) 2( ) l n l nR l n R R l     (1) 2 2( ) 2 2( ) n l n l n lR R n R     (2) 2 2 2 2 ( 2 ( ) (2 )( ) l n l n l n R l n lR R l R nR l n n R        (3) Như vậy, khi đã biết độ dài các bán trục 0 < n < l < , cứ chọn một giá trị của bán kính Rn, chỉ thu được một giá trị của bán kính Rl và chỉ vẽ được một đường ô van tương ứng. Ngược lại, cứ chọn một giá trị của bán kính Rl cũng chỉ thu được một giá trị của bán kính Rn và cũng chỉ vẽ được một đường ô van tương ứng. Khi 0 < n < l < , giá trị của bán kính Rn chọn trước có miền xác định rộng, cho nên khi chỉ biết độ dài các bán trục n và l, nếu không có thêm các qui định ràng buộc khác, có thể vẽ được một họ các đường ô van khác nhau (các đỉnh tương ứng của mọi đường ô van trong 1 họ đều trùng với các đỉnh tương ứng của một hình thoi cơ sở và đều trùng với các điểm tương ứng nằm giữa từng cạnh của một hình chữ nhật cơ sở). Các đường ô van trong cùng một họ có chung cặp bán kính trục, tuy các bán kính và độ dài từng cặp cung tròn thành phần của các đường ô van khác nhau là không tương ứng bằng nhau, nhưng đều bị ràng buộc với độ lớn các bán trục đã cho theo một quy luật xác định (3) 2.1.4. Miền xác định của Rn Giả sử: 0  n  nR  < l <  Trên hình 2, chúng ta có: Bán trục lớn: l = A*O* = O*B* Bán trục nhỏ: n = C*O* = O*D* Lấy A*O1 * = nR   n Giả sử vẫn tồn tại 1 đường ô van có: 0 < n  nR  < l <  4 Khi đó, nếu 2O  là tâm của cung tròn lớn chứa C* có bán kính 2O  C* và nối trơn với cung tròn nhỏ chứa A* có bán kính 1O  A* tại E* trên đường 2O  O*1 kéo dài, chúng ta suy ra được: A*O1 * = E*O1 C*O* + O*O2 * = E*O1 * + O1 *O2 * C*O* + O*O2 * = A*O1 * + O1 *O2 * (4) Xét tam giác vuông O* O1 * O2 * , chúng ta có : O1 * O2 * > O*O2 * . Kết hợp với giả định: ( A* O1 * = Rn * )  (n = C* O* ) Chúng ta khẳng định rằng biểu thức (4) là vô lý Như vậy, khi: 0 < n < l < , không thể có được đường ôvan thoả mãn điều kiện: 0 < n  Rn * < l < , tức là muốn có đường ôvan phải thoả mãn điều kiện: 0 < Rn < n < l < , 2.2. Trường hợp 2: 0 < (n = l) <  Đây chính là trường hợp: Rn = Rl = n = l = R. Cho nên chúng ta suy ra: Đường tròn bán kính R là đường ôvan đặc biệt có: n = l = Rn = Rl = R 3. Một số quy trình riêng để vẽ những đường ôvan cá biệt Từ điều kiện biết độ dài các bán trục, nếu muốn vẽ được 1 đường ô van duy nhất cần có thêm quy định ràng buộc cần thiết về bán kính 1 cặp cung tròn nào đó của đường ô van đó. Đối với mỗi nhóm công tác kỹ thuật riêng, để thống nhất quy mô của đường ô van có cùng các bán trục, người ta thường bổ sung quy ước về phép chọn bán kính các cung tròn của đường ô van bằng 1 phương pháp dựng hình nào đó phù hợp với yêu cầu chung. 5 Rõ ràng, mỗi cách vẽ theo hướng chọn bán kính các cung tròn thành phần của đường ô van bằng 1 phương pháp dựng hình riêng đều chỉ cho 1 nghiệm duy nhất tương ứng, cho nên một số người đã bỏ qua tính khác biệt giữa đường e líp và đường ô van là: với cùng 1 cặp bán trục chỉ vẽ được 1 đường elíp, nhưng lại vẽ được 1 họ đường ô van có bán kính và độ dài từng cặp cung tròn thành phần không tương ứng giống nhau, mà chỉ ràng buộc với độ lớn các bán trục đã cho theo một quy luật tương ứng (3) 3.1. Quy trình riêng thứ nhất [1], [2] (hình 3) Trong hình 3 nêu quy trình vẽ đường ô van trong "vẽ kỹ thuật cơ khí" khi đã biết độ lớn các bán trục n và l thoả mãn điều kiện: 0 < Rn(1) < n < l < , kèm theo ước chọn bán kính các cung trong thành phần của đường ô van theo phương pháp dựng hình thích hợp, thông qua hiệu số độ dài các bán trục. Bước 1: Vẽ 2 trục vuông góc A1O'B1 và C1O'D1 có các bán trục A1O' = O'B1 = l và C1O' = O'D1 = n. Bước 2: Nối A1C1 rồi vẽ vòng tròn tâm O' bán kính O'A1 = O'B1 = l cho cắt O'C1 kéo dài tại M và O'D1 kéo dài tại P. Bước 3: Trên C1A1 , lấy C1N = C1M, rồi kẻ đường trung trực của A1N cho cắt A1O' tại O1' và cắt O'D1 tại O2'. 6 Bước 4: Lấy O'O3' = O' O1' và O' O4' = O'O2', rồi kẻ O1'O2'; O2'O3' ; O3'O4' và O4'O1'. Bước 5: Lấy O1' làm tâm, vẽ cung tròn chứa A1 có bán kính O1'A1 = Rn(1) cho cắt O2'O1' kéo dài tại E1 và cắt O4'O1' kéo dài tại E1'. Tương tự lấy O3' làm tâm, vẽ cung tròn chứa B1 có bán kính O3'B1 = Rn(1) cho cắt O2'O3' kéo dài tại F1 và cắt O4'O3' kéo dài tại F1'. Bước 6: Lấy O2' làm tâm vẽ cung tròn chứa C1 có bán kính O2'C1 = Rl(1) và giới hạn là E1 C1 F1. Tương tự lấy O4' làm tâm, vẽ cung tròn chứa D1 có bán kính O4'D1' và giới hạn là E1'D1F1'. Theo hình 3, Chúng ta chứng minh được đường cong A1 E1 C1 F1 B1 F1' D1 E1' là một đường ô van có bán trục n và l, cùng với cặp bán kính các cung tròn thành phần có độ lớn tương ứng là: 2 2 2 2' ' 1 1 1 1 (1) 1 1 ' 1 (. 2 n l n l n l nAC AH R AO nAO        (5) 2 2 2 2' ' 1 1 1 1 (1) 1 2 ' 1 (. 2 l l n l n l nAC C H R CO lC O        (6) 2 2 (1) 2 2 (1) ( ) ( ) l n R l l n l n R n l n l n        (7) 3.2. Quy trình riêng thứ hai [3] (hình4) 7 Trong hình 4 nêu quy trình vẽ đường ô van trong "vẽ kỹ thuật xây dựng" khi đã biết độ lớn các trục n và l thoả mãn điều kiện: o < Rn(2) < n < l < , kèm theo quy ước chọn bán kính các cung tròn thành phần của cung tròn ô van theo phương pháp dựng hình thích hợp, thông qua việc tìm trọng tâm của các tam giác kẹp giữa hình chữ nhật cơ sở và hình thoi cơ sở [4]. Bước 1: Vẽ 2 trục vuông góc A2O''B2 và C2O''D2 có A2O'' = O"B2 = l và C2O'' = O"D2 = n. Bước 2: Vẽ hình chữ nhật cơ sở GKK'G' và nối A2 C2 . Bước 3: Kẻ các phân giác trong để tìm trọng tâm E2 của tam giác A2 C2 G. Từ E2 hạ đường vuông góc với A2 C2 tại H2 rồi kéo dài cho cắt A2 O" tại O1" và cắt O"D tại O2". Bước 4: Lấy O" O3" = O"O1" và O"O4" = O"O2" rồi kẻ O1"O2"; O2"O3"; O3"O4" và O4"O1". Bước 5: Lấy O1" làm tâm, vẽ cung tròn chứa A2 có bán kính O1"A2 = Rn(2), cho cắt O2"O1" kéo dài tại E2 và cắt O4"O1" kéo dài tại E". Tương tự lấy O3" làm tâm vẽ cung tròn chứa B2 có bán kính O3"B2 = Rn(2), cho cắt O2"O3" kéo dài tại F2 và cắt O4"O3" kéo dài tại F2' . Bước 6: Lấy O2" làm tâm vẽ cung tròn chứa C2 có bán kính O2"C2 = Rl(2) và giới hạn là E2 C2 F2 . Tương tự lấy O4" làm tâm vẽ cung tròn chứa D 2 có bán kính O4"D2 = Rl(2) và giới hạn là E'2 D2 F'2 . 8 Theo hình 4, chúng ta chứng minh được đường cong A2 E2 C2 F2 B2 F'2 D2 E'2 là một đường ô van có các bán trục n và l, cùng với cặp bán kính các cung tròn thành phần có độ lớn tương ứng là: 2 2 2 2 (2) 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) n n l n l n n R l l n l nl l n n          (8) 2 2 2 2 (2) 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) l l l n l n l R n l n n nl l n l          (9) 2 2 2 (2) 2 2 2 (2) ( ) ( ) l n R l l n l R n l n n      (10) Thêm nữa, chúng ta còn chứng minh được: Khi vẽ đường ô van theo cách vẽ riêng thứ 2 này các điểm E2 F2 F'2 và E'2 vừa là các điểm nối trơn các cung tròn thành phần của đường ô van có được, vừa là các điểm trọng tâm của các tam giác kẹp giữa hình chữ nhật cơ sở GKK'G' và hình thoi cơ sở A2 C2 B2 D2 . Đặc biệt hơn, từ cách vẽ riêng thứ 2 này, nếu quy ước thêm quan hệ giữa các bán trục của đường ô van xác định theo biểu thức: 1 2 3 n n k l B    (11) Khi đó độ lớn của cặp bán kính các cung tròn thành phần của đường ô van có được có thể xác định gần đúng bằng cặp biểu thức rút gọn sau đây [6]: Rn(2đb) = 0,262B = 0,524l = 0,786n (12) Rl(2đb) = 0,692B = 1,384l = 2,076n (13) 3.3. Nhận xét sơ bộ: Khi có chung một cặp bán trục, 2 đường ô van vẽ theo 2 cách riêng này có 2 cặp bán kính khác nhau. Chứng tỏ chúng chỉ là 2 đường trong cùng 1 họ các đường ô van có chung một cặp bán trục. Như vậy, với cùng một cặp bán trục, mỗi quy trình vẽ đường ô van dựa vào một phương pháp dựng hình riêng, để xác định được 1 cặp bán kính các cung tròn thành phần riêng, chỉ vẽ được một đường ô van riêng trong cùng một họ các đường ô van có chung cặp bán trục đó. Cách vẽ tương ứng với phương pháp dựng hình riêng thứ nhất tuy đơn giản hơn, nhưng lại không định rõ được trên hình vẽ vị trí các điểm nối trơn E1 E'1 F1 và F'1 ; cho nên đôi khi người vẽ còn bị nhầm lẫn, dẫn đến nghi ngờ kết quả. 9 Cách vẽ tương ứng với phương pháp dựng hình riêng thứ hai tuy phức tạp hơn, nhưng lại định rõ được trên hình vẽ vị trí các điểm nối trơn E2 E'2 F2 và F'2 ; cho nên người vẽ ít bị nhầm lẫn hơn. 4. Kết luận: Bài toán vẽ đường ô van với các bán trục cho trước là bài toán đa nghiệm (vẽ được một họ nghiệm có cùng cặp bán trục); cho nên mỗi nhóm người, với mục đích riêng đã bổ sung những ràng buộc thích hợp để bài toán chỉ còn có một nghiệm riêng cho nhóm mình. Trên đây mới chỉ dẫn ra 2 quy trình vẽ 2 đường ô van đã trở thành thông dụng trong sách giáo khoa trên cơ sở 2 cách thức riêng để chọn bán kính các cung tròn thành phần của 2 đường ô van đó. Thực ra, theo hướng này có thể có rất nhiều cách vẽ tương ứng với từng đường ô van riêng trong họ đường ô van phù hợp với từng yêu cầu riêng của từng nhóm người đặt ra. Thậm chí với riêng từng đường ô van trong mỗi họ đường ô van có cùng cặp bán trục, từ các cách dựng hình khác nhau để xác định cùng một cặp bán kính các cung tròn của đường ô van đó, cũng có thể coi là có được các quy trình khác nhau để vẽ một đường ô van đó. Tuy nhiên, khi cần vẽ đường ô van, nếu sử dụng ngay cách vẽ tổng quát (hình 1), đã dễ vẽ, lại dễ thay đổi các bán kính thành phần để điều chỉnh quy cách của từng cặp cung tròn thành phần, nhằm đáp ứng mục tiêu điều chỉnh dáng vẻ của đường ô van; cho phép, chọn được trong họ đường ô van có cùng cặp bán trục, 1 đường ô van phù hợp với yêu cầu sử dụng. Điều đáng chú ý là mọi sách giáo khoa vẽ kỹ thuật, dẫu của riêng ngành kỹ thuật nào, khi đã trình bày cách vẽ đường ô van đều nên trình bày cách vẽ tổng quát cùng với từng yêu cầu chuyên ngành để suy ra từng cách vẽ riêng, để người học có điều kiện mở rộng tầm hiểu biết về họ đường ô van đang nghiên cứu; đảm bảo tránh khả năng lặp lại những cuộc tranh luận của “những thầy bói xem voi”. Đỗ Thuỵ Đằng - Điện thoại riêng: 8680020 Tài liệu tham khảo 1- Trần Hữu Quế và nnk - Kỹ thuật 10 - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội - 1995 2- Trần Hữu Quế - Vẽ kỹ thuật cơ khí - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội - 2005. 3. Đoàn Như Kim (chủ biên) và nnk - Vẽ kỹ thuật xây dựng - Nhà xuất bản Giáo dục - Hà Nội - 2005. 10 4. Đỗ Thuỵ Đằng - Cơ sở thiết kế vòm 3 tâm của mặt cắt ngang bên trong đường hầm - Tạp chí Người xây dựng - số 4 và số 5 - Hà Nội 2005. 5. Đỗ Thuỵ Đằng - Về một số nghiên cứu kích thước vòm 3 tâm của mặt cắt ngang bên trong đường hầm - Thông tin khoa học công nghệ mỏ - Viện khoa học công nghệ mỏ - số 7 + 8 - Hà Nội 2005. 6. N.M. Pocrovxki - Thiết kế cấu trúc các tổ hợp công trình ngầm - Nhà xuất bản "Lòng đất" - Moxkva - 1970 (Tiếng Nga) Summary: Why are have many ways for drawing oval? Do Thuy Dang Problem of drawing oval with given haft - axises is many results, therefore are have been not only comprehensive way for drawing the whole family of these ovals, but also many ways for each oval in this family.