Bài giảng Chương 6: uốn phẳng thanh thẳng

Chương 6: Uốn Phẳng Thanh Thẳng 1 Các Khái Niệm 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 5 Biến Dạng Của Thanh Chịu Uốn 6 Thế Năng Biến Dạng Đàn Hồi 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng Uốn phẳng 1 Các Khái Niệm z y x Mi Pi q p2 Mi Pi q zy x p a Pi q Mi 1 Các Khái Niệm Uốn khơng gian (uốn xiên) zy x p2 z y x M P M zy M  yQ  xM   zy Pl  yQ  xM   P l   Uốn thuần túy Uốn ngang phẳng 1 Các Khái Niệm 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang y x z yQ xM C y x z xQ yM C * Uốn trong mặt phẳng (yz) tồn tại nội lực: ,y xQ M * Uốn trong mặt phẳng (xz) tồn tại nội lực: ,x yQ M 2 Nội Lực Trên Mặt Cắt Ngang P qa 22M qa q a 4a A C P qa 22M qa q a 4 a A B C BY CY B qa 11 4 qa 5 4 qa 225 32 qa 2qa 23qa I xM   yQ    * Biểu đồ nội lực 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.1 Các giả thiết x y z Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng Giả thiết về các thớ dọc const y M z x 0  0 0 x y z        3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy M M Phía vật liệu bị co lại Phía vật liệu bị giãn ra Lớp trung hòa M M Phía vật liệu bị giãn ra Phía vật liệu bị co lại Lớp trung hòa Đường trung hòa y z x M Phía chịu kéo Phía chịu nén Lớp trung hòa Đường trung hòa 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang y x z Mx z dz y x z z y M z Đường trung hòa. x r Lớp trung hòa. r dj m m y  dz o o m m y  n n o o   . (7.1) .z y d dmm oo y oo d r j r j  r j r      3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy y  . (7.1) .z y d dmm oo y oo d r j r j  r j r      Theo định luật Hooke: z zE  Quan hệ giữa ứng suất và lực dọc: z zF N dF  (7.2)yE r  F yE dF r   F E ydF r   E r  xS 0 (7 3)0 .xS  x Quan hệ giữa ứng suất và mômen uốn: y zF M xdF  F E yxdF r   F E yxdF r   E r  xyJ 0 0 (7.4)xyJ  x zF M ydF  2F E y dF r   2F E y dF r   E r  (7.5)xJ 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang x z x M y J   (7.6) 3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang - Mx : Mômen uốn tại mặt cắt có điểm tính ứng suất - Jx : Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt có điểm tính ứng suất - y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến đường trung hòa => Ứng suất phân bố đều theo bề rộng mặt cắt và thay đổi tuyến tính theo chiều cao của mặt cắt. z x y F Mx ydF * Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt đối xứng y x z h n maxy k maxy min max min max x z x M y J   max max kx x M y J   min max nx x M y J    max min x x M W     max x x JW y  3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang : Mômen chống uốn của mặt cắt max max kx x M y J   min max nx x M y J    max min   max ky max ny max min x y Phía chịu nén Phía chịu kéo * Sự phân bố ứng suất trên mặt cắt không đối xứng 3.3. Điều kiện bền ứng suất pháp Vật liệu dòn     max max min max x k k x x n n x M y J M y J             (7.7) Vật liệu dẽo (7.8) max maxxz max x M y J    3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy max ky max ny max min x y Phía chịu nén Phía chịu kéo 3.4 Dạng hợp lý của tiết diện Vật liệu dòn max max min max x k x x n x M y J M y J             max max k k n n y y  a     Vật liệu dẽo     1k n  a   Mặt cắt không đối xứng     1k n  a   Mặt cắt đối xứng 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy max ky max ny max min x y Phía chịu nén Phía chịu kéo 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy z z z z z M M 3 Thanh Chịu Uốn Thuần Túy 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn thuần túy u uv 090 090045045 a x 0,5 x 0,5 x 0 u uv x x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 045 x x 2 x 2 x2 x 2 x 2 x 2 x 045   212 . ; 6 /M kN m kN cm  M zyA B b 2b 2b b Ví dụ 1: Dầm AB mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. * Nếu bố trí mặt cắt ngang như hình bên, xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. M  xM    yQ M zyA B b 2b x Theo điều kiện bền    maxmax xz x M W    Trong đó  3 4 3 max 2 2 2; ; ; 12 3 3x x max x b b M M J b y b W b      3 3 2 M b     33 3 3.12.100 6,69 2 2.6 Mb cm      2b bBố trí mặt cắt ngang như hình 2  3 4 32 ; ; 12 6 2 3x max x b b b b bJ y b W      3 3M b     33 3 3.1200 8, 43 6 Mb cm      b 2b x 6,69b cm 2b b 8,43b cm   215 . ; 6 /M kN m kN cm  Ví dụ 2: Dầm AB mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền. M zyA B 3b bb 2b 4b M  xM    yQ M zyA B - Biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. 1x M  xM    yQ 2 2 2 1 2 2 2 1 3 .30 2 .12 11 30 12 3 ic i i c i i y F b b b by b b bF            Xác định trọng tâm của mặt cắt M zyA B 3b bb 2b 4b y x    3 32 22 2 45 . 6 3 . 411 113 .30 2 .12 54 12 3 12 3x b b b b J b b b b b b b                 1x 3b bb 2b 4b y x max 11 3 k maxy y b  maxxM M Theo điều kiện bền    max maxmax xz x M y J    Trong đó  4 11 54 3 M b b     33 11 11.1500 2,57 3.54. 3.54.6 Mb cm      Chọn 2,6b cm Ví dụ 3: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Xác định tải trọng cho phép (M) theo điều kiện bền. 3M zyA B M C b 1 2 b 8b 6b    2 23 ; 2,5 / ; 6 /k nb cm kN cm kN cm    3M zyA B M C 2M M  xM     - Biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. b12b 8b 6b y 1x x Xác định trọng tâm của mặt cắt 2 1 2 1 6 .8 .12 6,5 .6 .11 4,9 8 .12 6 .11 ic i i c i i y F b b b b b by b b b b bF                  3 3 2 2 48 . 12 6 . 116 4,9 .8 .12 6,5 4,9 .6 .11 433,7 12 12x b b b b J b b b b b b b b b              Mô men quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Theo điều kiện bền     max max max max min max x k k x x n n x M y J M y J              Trong đó: max max max 2 7,1 4,9 x k n M M y b y b       Chọn 2061 .M kN cm     4 4 2 7,1 433,7 2 4,9 433,7 k n M b b M b b              3 3 3 3 433,7 433,7.3 .2,5 2061,6 . 2.7,1 2.7,1 433,7 433,7.3 .6 7169,32 . 2.4,9 2.4,9 k n b M kN cm b M kN cm              Cách 2: so sánh     max max 7,1 2,5 4,9 6 k k n n y b y b      => Thanh bị phá hủy do kéo Theo điều kiện bền  maxmax maxx k k x M y J    Chọn 2061 .M kN cm  4 2 7,1 433,7 k M b b    3 3433,7 433,7.3 .2,5 2061,6 . 2.7,1 2.7,1 kbM kN cm      x y M z Lớp trung hòa. Đường trung hòa. 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng x y z Giả thiết về mặt cắt ngang phẳng khơng cịn đúng nữa Giả thiết về các thớ dọc 0  0 0 x y z        4.1 Các giả thiết 4.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng x z x M y J   4.3 Ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang Ax y dz z y CF 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng Ax y dz z y CF dz zy yz ( )p z( )t z cb ( ) ( ) . . 0 C C t p z z yz c F F dF dF dz b       . . 0 C C x x x yz c x xF F M M dMydF ydF dz b J J         4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng . . 0 C C x x x yz c x xF F M M dMydF ydF dz b J J         . . 0 C x yz c xF dM ydF dz b J    c y x yz x c Q S J b   1 C x yz x c F dM ydF dz J b    - Qy : Lực cắt tại mặt cắt có điểm tính ứng suất - Jx : Mômen quán tính chính trung tâm của mặt cắt có điểm tính ứng suất - bc : bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất - : Mômen tĩnh của diện tích bị cắt lấy đối với trục trung hòa. c xS 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 2 2 3 6 4 y yz Q h y bh         max 0 / 2 0 0 yz yz khi y h khi y          yC cy x y Cb CF A max min max * Sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt 4.4 Kiểm tra bền cho dầm chịu uốn ngang phẳng * Điều kiện bền ứng suất pháp Vật liệu dòn     max max min max x k k x x n n x M y J M y J             Vật liệu dẽo * Điều kiện bền ứng suất tiếp  max maxmax x z x M y J      /2 max max . . F y x yz C x Q S J b    4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng A B C D z z zy z z xM yQ z z z zy z z zy E 3.5 Ứng suất trên phân tốc thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng zy u uv v 1 a u 1 a u yz zy yz zz yz zyz B B cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 z z u yz z uv yz    a  a   a  a          3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng * Ứng suất pháp cực trị 2 0 sin 2 2 cos 2 0 2 yzu z yz z d tg d   a  a a a           2 2max min 1 4 2 z z yz        0 cos 2 2 sin 2 0 2 2 uv z z yz yz d tg d    a  a a a        * Ứng suất tiếp cực trị 2 2 max min 1 4 2 z xy      3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng 3 max N E 0 max 90a  1 D 3 0 max 45a  1 max  C 0 max 45a  3 max   3 1 0 max 45a  B 3 max k A 0 max 0a  3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng uuv max max u uv pmina max a p min max max a max a a 3.5 Ứng suất trên phân tố thuộc dầm chịu uốn ngang phẳng 4 Thanh Chịu Uốn Ngang Phẳng q cos 2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2 2 z z u yz z uv yz    a  a   a  a          Ví dụ 4: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Xác định phản lực liên kết tại A, B. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền ứng suất pháp.    2 2120 / ; 2 ; 6 / ; 2,5 /q kN m a m kN cm kN cm     P qa22M qaq 3a a b 3bA B C * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. * Với b tìm được, kiểm tra bền cho dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp. * Phản lực liên kết tại A, B 2 2 3 130 .3 . 2 .3 .4 0 2 6 3 110 .3 .3 . 2 . 0 2 6 A B B B A A am q a qa Y a qa a Y qa am Y a q a qa qa a Y qa                         * Biểu đồ nội lực P qa22M qaq 3a a A B C AY BY 2qa 2qa 2121 72 qa  xM     11 6 qa qa 7 6 qa  yQ      * Theo điều kiện bền ứng suất pháp * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp    x x z W M max max     6 3 72 121 2 2 bb qa   cm qab 77,20 6.108 100.2.120.121 108 121 3 2 3 2   Chọn cmb 21     22223max /5,2/499,021.12 2.120.11 12 11 . 12 3 2 3 4 3. 6 11 cmkNcmkN b qa bbb bbbqa yz   => Bền Ví dụ 5: Dầm AC mặt cắt ngang khơng đổi, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Xác định phản lực liên kết tại A, C. * Xác định kích thước mặt cắt ngang (b) theo điều kiện bền ứng suất pháp. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. P qa2M qa q 2a a A B C b 12b 8b 6b   2780 / ; 1,8 ; 18 /q kN m a m kN cm   * Phản lực liên kết tại A, C * Biểu đồ nội lực 2 2 3 170 .3 . .2 .3 0 2 4 10 .2 .3 . . 0 2 4 A B B B A A am qa q a Y a qa a Y qa am qa Y a q a qa a Y qa                          P qa2M qa q 2a a A B C AY BY qa2qa 9 / 4qa/ 4qa  yQ 21,5qa 2qa  xM * Mơmen quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Chọn cmb 1,7 * Trọng tâm của mặt cắt b 12b 8b 6b x y 1x 2 1 2 1 6 .8 .12 6,5 .6 .11 4,9 8 .12 6 .11 ic i i c i i y F b b b b b by b b b b bF          * Theo điều kiện bền ứng suất pháp         3 3 2 2 48 . 12 6 . 116 4,9 .8 .12 6,5 4,9 .6 .11 433,7 12 12x b b b b J b b b b b b b b b               max maxmax x x M y J    2 maxmax 1,5 ; 12 4,9 7,1xM qa y b b b        2 2 2 2 334 1,5 1,5 .7,1 1,5.780.1,8 .10 .7,1.7,1 7,012 433,7 433,7 433,7.18 qa qab b cm b         Ví dụ 6: Dầm AC mặt cắt ngang hình chữ I24, liên kết, chịu lực và cĩ kích thước như hình vẽ. * Xác định phản lực liên kết tại A, B. * Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất pháp. * Vẽ biểu đồ nội lực phát sinh trong dầm. Pq l a A B C h d y y xx 40 ; 20 / ; 4 ; 1P kN q kN m l m a m      21600 /daN cm    21000 /daN cm  4 324 ; 0,56 ; 3460 ; 289x xh cm d cm J cm W cm    * Kiểm tra bền dầm theo điều kiện bền ứng suất tiếp. * Phản lực liên kết tại A, B * Biểu đồ nội lực  0 . . . 0 90 2 0 . . . . 0 30 2 A B B B A A lm q l Y l P l a Y kN lm Y l q l P a Y kN                       Pq l a A B C AY BY 40kN 50kN 30kN  yQ 40 .kN m 22,5 .kN m  xM * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất pháp   2 2 2 2max max 40.10 13,84 / 1384 / 1600 / 289 x x M kN cm daN cm daN cm W         Bền * Kiểm tra bền theo điều kiện bền ứng suất tiếp   / 2 2 2 2max max . 50.163 4, 2062 / 420,62 / 1000 / . 3460.0,56 F y x C x Q S kN cm daN cm daN cm J b         Bền Ví dụ 7: Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ A chồng theo phương đứng. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng B, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình vẽ. Các trụ thẳng đứng B có mặt cắt ngang hình vuông kích thước bxb và có khoảng cách giữa các cột là s=0,8m. Mực nước trong đập có chiều cao h=2m. Xác định kích thước mặt cắt ngang cột B nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng   8MPa  s b b B B A b AB h Nước s h * Mơmen uốn lớn nhất tại chân cột: * Theo điều kiện bền ứng suất pháp max 3 0. . 2 3 6x q h h h sM   hsq 0 0 1 . 2 R q h 1 3 h h   3 max max 3 1 6 1 6 x z x h sM W b        3 3 33 3 9,81.2 .0,8 0,1987 8.10 h sb m      Chọn 199b mm Ví dụ 7: Cho một đập ngăn nước được làm bằng các tấm gỗ A chồng theo phương đứng. Để đỡ các tấm gỗ này người ta sử dụng các trụ gỗ thẳng đứng B, các trụ này được chôn xuống đất và làm việc như các dầm côngxôn như hình vẽ. Các trụ thẳng đứng B có mặt cắt ngang hình vuông kích thước bxb và có khoảng cách giữa các cột là s=0,8m. Mực nước trong đập có chiều cao h=2m. Xác định kích thước mặt cắt ngang cột B nếu ứng suất uốn cho phép của gỗ bằng   8MPa  s b b B B A b AB h Ví dụ 8: Cho một hệ sàn như hình vẽ. Sàn mang tải thiết kế bao gồm cả trong lượng bản thân sàn . Dầm đỡ sàn có mặt cắt ngang hình chữ nhật kích thước 54mm x 204mm với nhịp dầm l=4000mm, khoảng cách của các dầm (tính từ trục dầm) bằng s=406mm. Bỏ qua trọng lượng dầm, xác định ứng suất pháp lớn nhất pháp sinh trong dầm. 29600 /w N m 406 406 51 204mm mm Dầm Sàn s s * Sơ đồ tải trọng và mơ hình tính của dầm: 406 406 4000 q 29600 /w N m 51 204mm mm 51 204mm mm Dầm Sàn )a )b s s * Mơmen uốn lớn nhất tại mặt cắt giữa dầm: max 2 2 2. . 9,6.406.4 7795,2 . 8 8 8x ql w s lM kN mm    * Ứng suất pháp lớn nhất phát sinh trong dầm: max 2 2max 7795,2 0,022 / 51.204 6 x z x M kN mm W    