Bài giảng Cực trị trong đại số

6) 1+ sinC 1+ C+ 1+ sin 2 .Cộng (5) và (6) ta có: 1 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin 60A B C + + + + + + + 1 1 2 60      ≥ +       A +B C+1+ sin 1+ sin 2 2 4 1 sin 60 ≥ + ( Cũng làm tương tự các bước (5), (6)) Suy ra 1 1 1 1 sin 1 sin 1 sinA B C + + + + + 3 1 sin 60 ≥ + 4 3 2 2 3 = + Vậy GTNN của biểu thức là 4 3 2 2 3+ . Dấu bằng xảy ra khi ABC∆ đều. Ví dụ 2: Trong tam giác ABC, tìm GTNN của biểu thức 1 1 1 1 . 1 . 1 sin sin sinA B C      + + +            Lời giải: Ta có: 1 1 1 . 1 sin sinA B    + +        1 1 1 1 sin sin sin .sinA B A B = + + + 2 2 1 1 sin .sin sin .sinA B A B   ≥ + +     2 1 1 sin .sinA B   = +    ( ) ( ) 2 2 1 cos A B cos A B    = +  − − +  ( ) 2 2 2 1 1 1 1 sin 2 A Bcos A B        ≥ + = + + − +      2 1 1 60 sin 2 C     ≥ +  +     (có dạng (1)) 46 Tương tự 2 1 1 1 1 . 1 1 60sin sin 60 sin 2 CC       + + ≥ +     +         (8) Nhân (7) và (8) ta được 1 1 1 1 1 . 1 . 1 . 1 sin sin sin sin 60A B C        + + + +                2 1 1 1 . 1 60sin sin 2 2 A B C         ≥ + +   + +           4 1 1 sin 60  ≥ +    Suy ra 1 1 1 1 . 1 . 1 sin sin sinA B C      + + +            3 1 1 sin 60  ≥ +    3 2 1 3   = +    Vậy GTNN của biểu thức là 3 2 1 3   +    khi ABC∆ đều. ▼ Dạng 5: Sử dung đạo hàm I . Kiến thức cần nắm: Để giải các dạng bài toán này cần sử dụng tới một số cong thức tính đạo hàm sau đây: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ' ' '. ' os ' '. 1 tan ' ' tan ' Sinx Cosx Sinu u Sinx Cosx Sinx C u u Sinx x Cos x u u Cos u = = = − = − = = II. Một số bài tập ví dụ: .Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số ( ) 3cos3 2cos2 9cos 2y f x x x x= = + + + Lời giải: Lời giải: TXĐ: D=R Ta có ( ) ( ) ( )3 23 4cos 3cos 2 2cos 1 9cos 2y f x x x x x= = − + − + + 3 212cos 4cosx x= + 47 10 243 16 8− 0 Đặt t = cos x , 1 1t− ≤ ≤ Ta có ( ) 3 212 4y g t t t= = + ( )' ' 2 ' 2 36 8 0 36 8 0 y g t t t y t t = = + = ⇔ + = ( )4 9 2 0 0 2 9 t t t t ⇔ + = = ⇔  = −  Bảng biến thiên t -1 2 9 − 0 1 ( )'g t + 0 - 0 + ( )g t Căn cứ vào bảng biến thiên ta được: max f(x) = max g(t) = 16 min f(x) = min g(t) = -8 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x= = − + + + + Lời giải: TXĐ: D=R Đặt t = cos x, 1 1t− ≤ ≤ Ta có ( ) 2 22 5 4 8y g t t t t t= = − + + + + Dg(x)= [-1,1] ( )' ' 2 2 1 2 2 5 4 8 t t y g t t t t t − + = = + − + + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 4 8 2 2 5 2 5 4 8 t t t t t t t t t t − + + + + − + = − + + + 48 2 2 5+ 2 13+ 5 ' 0y = ( ) ( )2 21 4 8 2 2 5 0t t t t t t⇔ − + + + + − + = ( ) ( )2 22 2 5 1 4 8 0t t t t t t⇔ + − + = − + + = (do 1 1t− ≤ ≤ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 22 2 5 1 4 8 2 1 0 24 12 0 2 1 1 1 2 2 2 1 t t t t t t t t t t t t t  + − + = − + +⇔  + − ≥ + = ⇔  − ≤ ≤  = − ⇔ ⇔ = − − ≤ ≤ Bảng biến thiên t -1 1 2 − 1 ( )'g t + 0 - ( )g t Căn cứ vào bảng biến thiên ta có max f(x) = max g(x) = 2 13+ min f(x) = min g(x) = 5 Ví dụ 3: Cho cos 2 cos 2 1, ,x y x y R+ = ∀ ∈ .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2tan tanA x y= + Lời giải: Ta có: 2 2tan tanA x y= + ( ) ( )2 2tan 1 tan 1 2x y= + + + − 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 cos cos 1 cos 2 1 cos 2 2cos 2 2cos 2 2 cos 2 cos 2 2 x y x y x x x x = + − = + − + + − + = − + + Đặt cos 2t x= với 1 1t− ≤ ≤ , ta có : 49 ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 1 ( ) , 1 1 2 6 2 1 1 '( ) 0 22 t t A f t t t t t f t t t t − + = = − ≤ ≤ − + + − ⇒ = = ⇔ = − + + t 1− 1 2 1 '( )f t − 0 + ( )f t 2 3 Vậy min A 2 3 = khi , 6 x pi pi= ± + ∈k k ( )g x nhỏ nhất 2 1 sin 3 x⇔ = ⇒ min ( )g x 2 1 1 5 5 3 3 3 3 3  = − + =    Do đó : 1 3 4 8 1 1 3 5 3 5 y y+ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ Vậy max 8 5 y = ; min 4 3 y = ► . Một số bài tập dạng tương tự: 1.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 2 1 1 1 cos 5 2sin 2 2 y x x= + + + 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của: 2 2 2 2 2 2 1 1 sin cos sin cos y x x x x    = + + +        3.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 50 2 2( ) 2sin 3sin cos 5cosy f x x x x x= = + + 4.Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 24sin 2 sin 2 4 y x x pi = + +    5.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1 1 ,0 sin cos 2 y x x x pi = + < < 6.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( )( )( ) 2sin cos 2cos sinf x x x x x= + − 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 4 2 4 2 3cos 4sin 3sin 2cos x x y x x + = + 8.Cho tam giác ABC tìm giá trị lớn nhất của: ( )3 cos 3 cos cosP B A C= + + 9.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 4 4 2 2cot cot 2 tan . tan 2P a b a b= + + + 10.Cho , ,α β δ thoả mãn điều kiện : 2 2 2cos cos cos 1α β δ+ + = Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2 21 cos 1 cos 1 cosy α β δ= + + + + + 11.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )3 2 2 1 cos sin cos sin y x x x x = + + 12.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 10 10cos siny x x= + 13. Cho ∆ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= cos2A + cos2B – cos2C 14. Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 cos sin cos 2 x y x x + = + − 15. Tìm GTLN và GTNN của hàm số 2 2 cos sin cos sin 1 x x x y x + = + (1) 16. Định m để hàm số ( )4 42 sin cos sin cos cos 2y x x m x x x= + + (1) 51 có giá trị lớn nhất không lớn hơn 2 17. Tìm GTLN và GTNN của hàm số cos siny x x= + 18. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )2 2 4 3sin 1 4sin cos x x y x − = với 0 6 x pi < < 19. Cho ABC∆ có 3 góc nhọn, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = tanA.tanB.tanC 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tanM A B B C C A= + + + + + với A, B, C >0 và A + B + C = 2 pi 21. Trong mọi tam giác ABC,những tam giác nào làm cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: Hướng dẫn và đáp số: 1. Ta có: 2 2 1 5 1 1 cos sin 2 4 2 y x x= + + + Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số, ta có: 2 21 5 11 cos sin 2 4 2 x x+ + + 2 2 2 2 1 5 1 1 1 . 1 cos sin 2 4 2 x x≤ + + + + 9 1 22 2 4 2 2 ≤ + = Vậy max 22 2 y = Dấu “=” xảy ra khi : 2 2 1 5 1 cos sin 2 4 x x+ = 2. Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 sin cos 1 1 sin cos sin cos cos cos x x x x x x x x          + + + ≤ + + + +                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 sin cos sin cos sin cos 2 sin cos x x x x x x x x      ⇒ + + + ≥ + + +            3 3 3 3 3 3 sin sin sin cos cos cos A B C M A B C + + = + + 52 2 2 2 1 1 1 2 sin .cosx x  ≥ +    ( ) 2 2 2 1 4 1 25 1 1 4 2 sin 2 2 2x  ≥ + ≥ + =    Vậy min 25 2 y = Dấu “=” xảy ra khi: 2 2sin cos 4sin 2 1 x x x x pi pi  = ⇔ = ± + = k 3.Ta có : 2 22sin 3sin cos 5cosy x x x x= + + ( )3 51 cos 2 sin 2 1 cos 2 2 2 x x x= − + + + ( )7 3 sin 2 +cos2x 2 2 x= + 7 3 2 cos 2 2 2 4 x pi = + −    Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 1 cos 2 1 cos 2 4 2 2 4 2 1 7 3 2 1 7 3 2 cos 2 7 3 2 2 2 2 4 2 x x x pi pi pi    − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤         ⇔ − ≤ + − ≤ +    Vậy max ( )1 7 3 2 2 y = + ,min ( )1 7 3 2 2 y = − 4. Ta có: 24sin 2 sin 2 4 y x x pi = + +    ( )2 1 2cos sin 2 +cos2x =2+sin 2x - cos2x =2+ 2 sin 2 4 x x x pi = − +  −    Với 1 sin 2 1 2 2 2 2 4 x y pi − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +    Vậy max 2 2y = + , min 2 2y = − 5. Với 0 2 x pi và sin 0x > 53 Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 1 1 sin cos y x x = + 2 2 2 2 2 sin cos sin 2x x x ≥ = ≥ Dấu “=” xảy ra khi: sin 2 1 1 1 cos sin 2 x x x =   = tan 1 0, 4 2 x x pi pi ⇔ = ⇔ = ∈    6.Ta có: ( )( )( ) 2sin cos 2cos sinf x x x x x= + − 2 24sin cos 2sin 2cos sin cosx x x x x x= − + − ( )2 23sin cos 2 cos sinx x x x= + − 3 sin 2 2cos 2 2 x x= + ( )1 4cos 2 3sin 2 2 x x= + 5 4 3 cos 2 sin 2 2 5 5 x x = +    Đặt 4 3 cos ,sin 5 5 α α= = với 0 2 pi α< < Ta có : ( ) ( )5 5( ) cos 2 cos sin 2 sin cos 2 2 2 f x x x xα α α= + = − Với ( ) ( )5 5 51 cos 2 1 cos 2 2 2 2 x xα α− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ 5 5 ( ) 2 2 f x⇔ − ≤ ≤ Vậy max 5 ( ) ; 2 f x = min 5 ( ) 2 f x = − 7. Ta có: ( ) ( ) 22 24 2 4 2 4 2 3 1 sin 4sin3cos 4sin 3sin 2cos 3sin 2 1 sin xx x y x x x x − ++ = = + + − 4 2 4 2 4 2 3sin 2sin 3 1 1 3sin 2sin 2 3sin 2sin 2 x x x x x x − + = = + − + − + Đặt 2 4 2 2 1 5( ) 3sin 2sin 2 3 sin 3 3 g x x x x = − + = − +    ( )g x lớn nhất 2sin 1x⇔ = ⇒ max 2 1 5 ( ) 3 1 3 3 3 g x  = − + =    54 8. Ta có: 3 cos 6cos cos 2 2 A C A C P B + − = + 2 2 2 3 cos 6sin cos 2 2 3 1 2sin 6sin 2 2 2 3 sin 6sin 3 2 2 3 5 3 5 3 2 3 sin 2 2 2 2 B A C B B B B B B − = +  ≤ − +    ≤ − + +   ≤ − − + ≤     Suy ra : max 5 3 2 P = khi cos 1 302 3 120 sin 2 2 A C A C B B − =  = =  ⇔  = =  9. Ta có: ( )24 4 2 2 2 2cot cot cot cot 2cot .cota b a b a b+ = − + ( )22 2 2 2 2 2cot cot 2cot .cot 2 tan .tan 2P a b a b a b⇒ = − + + + ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2cot cot 2 cot .cot tan .tan 2cot .cot . tan . tan 4cot .cot . tan . tan 2 a b a b a b a b a b a b a b = − + + − + + ( ) ( )2 22 2cot cot 2 cot .cot tan . tan 4 2 6a b a b a b= − + − + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : cot cot 0 cot .cot tan .tan 0 cot 1 4 a b a b a b a b a b a pi− = =  ⇔ ⇔ = =  − = =  Vậy min 6P = 10. Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 6 số, ta có: 2 2 21 cos 1 cos 1 cosα β δ+ + + + + 2 2 2 2 2 21 1 1 . 1 cos 1 cos 1 cosα β δ≤ + + + + + + + 2 2 23. 3 cos cos cosα β δ≤ + + + vì 2 2 2cos cos cos 1α β δ+ + = nên ta có : 2 2 21 cos 1 cos 1 cosα β δ+ + + + + 3. 4≤ 2 3= Vậy max 2 3y = 55 Dấu “=” xảy ra khi: 2 2 21 cos 1 cos 1 cosα β δ+ = + = + 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos cos 3 1 cos cos cos 3 α β δ α β δ α β δ ⇔ + = + = + ⇒ = = = ⇔ = = = ± 11. Ta có ( )3 2 2 1 cos sin cos sin y x x x x = + + 3 2 1 2 cos 4 1 sin 2 2 x x pi  = − +           3 2 4 2 2 cos 4 sin 2 x x pi = − +    vì 3cos 1 cos 1 4 4 x x pi pi   − ≥ − ⇒ − ≥ −        32 2 cos 2 2 4 x pi ⇔ − ≥ −    và 2 2 4 0 sin 2 1 4 sin 2 x x ≤ ≤ ⇒ ≥ suy ra 3 2 4 2 2 cos 4 2 2 4 sin 2 y x x pi = − + ≥ −    Dấu “=” xảy ra 2 cos 1 4 sin 2 1 x x pi  − = −  ⇔    = 5 4 x pi ⇔ = Vậy min 4 2 2y = − 12. Ta có: 10 10cos siny x x= + 5 5 1 cos 2 1 cos 2 2 2 x x+ −   = +        ( ) ( )5 55 1 1 cos 2 1 cos 2 2 x x = + + −  56 ( 2 3 4 55 1 1 5cos 2 10cos 2 10cos 2 5cos 2 cos 2 2 x x x x x= + + + + + )2 3 4 51 5cos 2 10cos 2 10cos 2 5cos 2 cos 2x x x x x+ − + − + − ( )2 41 2 20cos 2 10cos 2 32 x x= + + ( )2 41 1 10cos 2 5cos 2 16 x x= + + ( )221 5 cos 2 1 4 16 x = + −   Mặt khác 2 20 cos 2 1 1 1 cos 2 2x x≤ ≤ ⇔ ≤ + ≤ ( )221 1 cos 2 4x⇔ ≤ + ≤ ( )225 5 1 cos 2 20x⇔ ≤ + ≤ ( ) ( ) ( )221 1 15 4 5 1 cos 2 4 20 4 16 16 16 x ⇔ − ≤ + − ≤ −   1 1 16 y⇔ ≤ ≤ Vậy max y =1, dấu “=” xảy ra khi x=0 min y = 1 16 , dấu “=” xảy ra khi x= 4 pi 13. Ta có M= cos2A + cos2B – cos2C = 2cos(A+B)cos(A-B) + 1 – 2cos2C = -2cosC cos(A-B) + 1 – 2cos2C = -2[cos2C + cos(A-B) cosC + 1 4 cos2(A-B)] + 1 2 [cos2(A-B)] +1 = -2[cosC + 1 2 cos(A-B)]2 + 1 2 [1 - sin2(A-B)] +1 = 3 2 -2[cosC + 1 2 cos(A-B)]2 - 1 2 sin2(A-B)] 3 2 ≤ Dấu “=” xảy ra ( ) ( ) 1 cos cos 0 2 sin 0 C A B A B  + − = ⇔   − = 57 1 cos 0 2 0 C A B  + = ⇔   − = 1 cos 6 2 2 3 A B C A B C pi pi  = = = −  ⇔ ⇔   = =  Vậy max M = 3 2 ứng với ∆ABC có A = B = 6 pi và C = 2 3 pi 14. Vì sin cos 2 cos 4 x x x pi + = −    sin cos 2 2 sin cos 2 0 x x x x ⇒ + ≤ < ⇔ + − < hay sin cos 2 0x x+ − ≠ x R∀ ∈ Do đó 2 cos sin cos 2 x y x x + = + − (1) ( )sin cos 2 2 cosy x x x⇔ + − = + ( )sin 1 cos 2 2y x y x y⇔ + − = + (2) (1) có nghiệm đối với x ⇔ (2) có nghiệm đối với x ( ) ( )2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 1 4 8 4 2 10 3 0 5 19 5 19 2 2 y y y y y y y y y y ⇔ + − ≥ + ⇔ − + ≥ + + ⇔ + + ≤ − − − + ⇔ ≤ ≤ Vậy min y = 5 19 2 − − và max y = 5 19 2 − + 15. Ta có : ( )24 4 2 2 2 2sin cos sin cos 2sin cosx x x x x x+ = + − 2 21 11 2 sin 2 1 sin 2 2 2 1 1 cos 4 3 1 1 cos 4 2 2 4 4 x x x x  = − = −    − = − = +    58 Và 1 1 s in cos cos 2 sin 2 cos 2 s in4 2 4 x x x x x x= = Nên ( ) 3 11 2 cos 4 s in4 4 4 4 4 6 2cos 4 s in4 2cos 4 s in4 4 6 m y x x y x m x x m x y  ⇔ = + +    ⇔ = + + ⇔ + = − PT trên có nghiệm đối với x ( )22 2 2 2 2 2 2 4 6 16 48 32 0 6 4 6 4 4 4 m y y y m m m y ⇔ + ≥ − ⇔ − + − ≤ − + + + ⇔ ≤ ≤ Do đó 26 4 max 4 m y + + = Ta có 26 4 max 2 2 4 m y + + ≤ ⇔ ≤ 2 2 4 2 4 4 0 m m m ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ = 16. Ta có (1) ( )2 2sin 1 cos sin cosy x x x x⇔ + = + (do sin2x +1≠ 0 ) 1 cos 2 1 cos 2 1 1 s in2 2 2 2 cos 2 2y 1 cos 2 s in2 x x y x y y x x x − + ⇔ + = +    ⇔ − + = + + ( )1 cos 2 s in2 3 1y x x y⇔ + + = − (2) (1) có nghiệm đối với x ⇔ (2) có nghiệm đối với x ( ) ( )2 221 1 3 1y y⇔ + + ≥ − 2 2 2 2 2 9 6 1 8 8 1 0 y y y y y y ⇔ + + ≥ − + ⇔ − − ≤ 2 6 2 6 4 4 − + ⇔ ≤ vậy 2 6 max 4 y + = và 2 6 min 4 y − = 59 17. Tìm GTLN và GTNN của hàm số cos siny x x= + Lời giải: Ta có cos siny x x= + ( )( )2 21 cos 1 sin 1 1 cos sinx x x x= + ≤ + + (BĐT Bunhiacopski) ( )2 cos siny x x⇒ ≤ + mặt khác cos sin 2 cos 2 4 x x x pi + = − ≤    suy ra 2 2y ≤ Dấu “=” xảy ra cos sin 4cos 1 4 x x x x pi pi  =  ⇔ ⇔ =  − =    Vậy max 2 2y = khi 4 x pi = Ta có 0 cos 1x≤ ≤ (ĐK để y xác định) và 0 sin 1x≤ ≤ 2 2 2 2 cos cos cos sin sin sin 1 cos sin cos sin x x x x x x x x x x y  ≤ ≤ ⇒  ≤ ≤ ⇒ = + ≤ + = nên 1y ≥ , dấu “=” xảy ra khi x = 0 Vậy min y = 1 khi x = 0 18. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( )2 2 4 3sin 1 4sin cos x x y x − = với 0 6 x pi < < Lời giải: Vì 1 0 0 sin 6 2 x x pi < < ⇒ < < 2 2 1 0 sin 1 4sin 0 4 x x⇒ Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số 23sin x và 21 4sin x− ta được 60 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 4 2 2 3sin 1 4sin 3sin 1 4sin 2 1 sin 3sin 1 4sin 2 cos 3sin 1 4sin (1) 4 x x x x x x x x x x + − ≥ −  − ⇔ ≥ −    ⇒ ≥ − Chia 2 vế của (1) cho 4cos x ( vì 40 cos 0 6 x x pi ) Ta được ( )2 2 4 3sin 1 4sin 1 4cos x x y x − = ≤ dấu “=” xảy ra 2 2 2 1 3sin 1 4sin sin 7 x x x⇔ = − ⇔ = ta tìm được 0 0, 6 x pi ∈    thì 2 1 sin 7 x = Vậy 1 max 4 y = 19. Ta có 2 21 2cos 1 3siny x x= + + + 2 2 1 1 3 6cos 2 6sin 3 2 x x= + + + Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có : ( ) ( ) 2 21 1 3 6cos 2 6sin 3 2 5 55 5 6 6 6 y x x y  ≤ + + + +    ⇒ ≤ + = Dấu “=” xảy ra 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 3 6cos 2. 2 6sin 3.(3 6cos ) 2.(2 6sin ) 9 18cos 4 12(1 cos ) 7 30cos 7 cos 30 x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ + = + ⇔ + = + − ⇔ = ⇔ = Vậy 55 max 6 y = 20. Ta có A + B + C = pi 61 tan( ) tan( ) A B C A B C pi pi ⇔ + = − ⇒ + = − tan tan tan 1 tan .tan A B C A B + ⇒ = − − tan tan tan (1 tan .tan )A B C A B⇔ + = − − tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C⇔ + + = (1) Vì ABC∆ có 3 góc nhọn tan , tan , tan 0A B C⇒ > Áp dụng BĐT cô-si cho 3 số tgA, tgB, tgC 3tan tan tan 3 tan tan tanA B C A B C+ + ≥ (2) từ (1) và (2) ta được 3tan . tan . tan 3 tan tan tanA B C A B C≥ 3 2 (tan .tan .tan ) 27 tan . tan . tan (tan .tan .tan ) 27 tan .tan .tan 3 3 A B C A B C A B C A B C ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ Dấu “=” xảy ra khi tanA = tanB = tanC A B C⇔ = = hay ABC∆ đều 21. Vì A + B + C = 2 pi ( ) 2 tan tan 2 A B C A B C pi pi ⇔ + = −  ⇒ + = −    ( ) tan tan 1 cot 1 tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan tan tan 1 A B C A B C A B C A B A B B C C A + ⇔ = = − ⇔ + = − ⇔ + + = Mặt khác áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta được ( ) ( )2 2 21 1 1 1 tan tan 1 tan tan 1 tan tanM A B B C C A≤ + + + + + + + ( )3 3 1 2 3= + = dấu bằng xảy ra khi tanA tanB = tanB tanC = tanC tanA tan tan tanA B C⇔ = = 6 A B C pi ⇔ = = = (do A + B + C = 2 pi ) Ta có: sin sin 2sin cos 2cos cos 2cos 2 2 2 2 2 A B A B C A B C A B + − − + = = ≤ (1) 62 Áp dụng BĐT : 33 3 2 2 a b a b+ + ≥     , dấu “=” xảy ra khi a b= Ta có: 3 3 3sin sin sin sin cos 2 2 2 A B A B C + + ≤ ≤     ( theo(1) ) 3 3 3 sin sin cos 2 2 A B C+ ⇔ ≤ (2) Tương tự: 3 3 3 sin sin cos 2 2 B C A+ ≤ (3) 3 3 3 sin sin cos 2 2 C A B+ ≤ (4) Cộng (2),(3),(4) ta có: 3 3 3 3 3 3sin sin sin cos cos cosA B C A B C+ + ≤ + + ⇔ 3 3 3 3 3 3 sin sin sin cos cos cos A B C M A B C + + = + + 1≤ Dấu “=” xảy ra khi sin sin sin 3cos 1 2 A B C A B CA B pi = =  ⇔ = = = − = Vậy max 1M = ⇔ABC là tam giác đều 63 Phần 5 : BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Bài 1: Cho a + b ≥ 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 + b3 là A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 2 Bài 2: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 1 1 x x y x x + + = − + là A. 1 3 B. 3 C. 3 2 D.5 Bài 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 2 1 2 1 x x y x x − + = + + : A. 1 5 2 + B. 1 5 2 − C. 9 4 2 7 + D. 9 4 2 7 − Bài 4: Cho a + b = 1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a4 + b4 là A) 2 B) 1 C) 1/8 D) 1/4 Bài 5: Cho a, b, c >0 thoả mãn 1 1 2 a c b + = , giá trị nhỏ nhất của 2 2 a b c b a b c b + + + − − là A.1 B.2 C.3 D.4 Bài 6: Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 2 1 1 x x f x x x + − = − + Bài 7: GTNN, GTLN của hàm số 2 2 2 4 5 1 x x y x + + = − + A. Min y = 1, max y = 6 B. Min y = -6, max y = -1 C. Min y =2, max y = 5 D. Min y = -5, max y = -2 A) 0 B) 2 C) 3 D) 4 Bài 8: Cho a, b, c >0, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b c b c c a a b + + + + + là A) 1 B) 1/2 C) 3/2 D) 2 Bài 9: 64 Cho a, b, c, d >0. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b b c c d d a b c d c d a d a b a b c + + + + + + + + + + + + + + + là A) 8/3 B)1/3 C) 2/3 D) 1 Bài 10: Cho hàm số 6 5cos siny x x= − . Giá trị lớn nhất của y là A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1 Bài 11: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 1 x y x x + = + + lần lượt là A) max y = 1, min y = -1/3 B) max y = 2, min y = 1/2 C) max y = 1/2, min y = 1/3 D) max y = 3, min y = 1/3 Bài 12: Giả sử x, y, z là những số dương thay đổi thỏa x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 x y z x y z + + + + + là A) 3/4 B) 1/3 C) 1 D) 2 Bài 13: Cho các số dương x, y, z sao cho xyz = 1 và n là số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 2 2 2 n n n x y z+ + +     + +            là A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Bài 14: Cho sin sin sin 0x y z+ + = . Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 4 6sin sin sinP x x x= + + là A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 Bài 15: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ( ) ( )2 2 2 2 2 24cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y+ − + + − là A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 Bài 16: Giá trị lớn nhất của biểu thức ( )( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1 x y xy x y + − + + là A) 0 B) 1/2 C) 1 D) 2 Bài 17: Cho x, y, z dương và x + y + z = 1. Giá trị lớn nhất của S = xyz(x+y)(y+z)(z+x) là A) 8/729 B) 1/729 C) 0 D) 1/2 Bài 18: 65 Cho x, y thay đổi sao cho 0 3 0 4 x y ≤ ≤  ≤ ≤ . giá trị lớn nhất của biểu thức (3-x)(4-y)(2x+3y) là A) 1 B) 6 C) 2 D) 0 Bài 19: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 22 12 37 6 6 18a b a b a b a b+ − − + + + + − + A) 2 B) 5/2 C) 3 D) 5 Bài 20: Cho x2 + y2 = 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = x + y lần lượt là A) max P = 1, min P = 0 B) max P = 0, min P = - 2 C) max P = 2 , min P = 1 D) max P = 2 , min P = - 2 Bài 21: Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1.Giá trị lớn nhất của P= ( ) ( )x u v y u v− + + là A) 2 B) 1 C) 0 D) - 2 Bài 22: Cho ∆ABC giá trị lớn nhất của 2 2 2 2 2 2 sin sin sin cos cos cos A B C P A B C + + = + + là A) 0 B) 1/2 C) 2 D) 3 Bài 23: Cho x, y, z là 3 góc nhọn thỏa x + y + z = 90o. Giá trị lớn nhất của biểu thức 5 tan tan 5 tan tan 5 tan tanP x y y z z x= + + + + + là A) 2 B) 3 C) 4 3 D) 2 2 Bài 24: Cho , 0 1 x y x y >  + = , giá trị nhỏ nhất của 22 1 1 P x y x y   = + + +       là A) 25/2 B) 1/2 C) 1 D) 2 Hướng dẫn và đáp án : 1. Từ giả thiết 1a b+ ≥ biến đổi tương đương ta được 3 3 23 3 1a b b b+ ≥ − + mà 2 2 1 1 13 3 1 3 2 4 4 b b b  − + = − + ≥    2.B 3.D 66 4. Từ a + b = 1 suy ra a2 + 2ab + b2 =1 mặt khác a2 – 2ab + b2 ≥ 0 từ đó ta có 2 2 1 2 a b+ ≥ bình phương hai vế, kết hợp với bdt 4 2 2 42 0a a b b− + ≥ ta được 4 4 1 8 a b+ ≥ . 5. Từ giả thiết ta có 2ac b a c = + vậy : ( )2 22 33 3 4 2 2 2 2 2 ac a ca b c b a b c a a b c b a c ac + ++ + + + + = + = ≥ − − 6.C 7.A 8. Đặt P = a b c b c c a a b + + + + + Ta có 2(P + 3) = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 9a b b c c a a b b c C a  + + + + + + + ≥     + + +  (Bunhiacopski cho 3 cặp số) Suy ra P ≥ 3/2 9. A 10. D 11. A 12. Áp dụng bunhiacopski cho ba cặp số tìm được max = ¾ 13. Ta có 1 1 2 2 n na aa a + + ≥ ⇒ ≥    Áp dụng ta tìm được min = 3 14. D 15. C 16. B 17. Áp dụng côsi cho 3 số : ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 3 1 3 2 3 x y z xyz x y y z z x x y y z z x = + + ≥ = + + + + + ≥ + + + Nhân vế theo vế, biến đổi tìm được max = 8/729 18. Có thể viết lại biểu thức đã cho thành: ( ) ( ) ( )1 6 2 12 3 2 3 6 x y x y− − + Áp dụng côsi cho ba số tìm được max = 36. 19. D 20. D 21. A 22. D 67 23. C 24. Áp dụng B.C.S cho 2 cặp số (1, 1) và 1 1 ,x y x y   + +    Sau đó biến đổi tương đương ta được 2 22 1 1 1 1 1 2 x y xy x y     + ≤ + + +          vì 2 1 2 4 x y xy + ≤ =    2 1 4 1 1 25 xy xy ⇒ ≥   ⇒ + ≥    vậy min = 25/2