Bài giảng Đại số tuyến tính - Nguyễn Văn Phong - Phần: Không gian véc tơ

KHÔNG GIAN VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong Toán cao cấp - MS: MAT1006 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 17 Nội dung 1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2 CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ 3 HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 1 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅ trên đó ta định nghĩa hai phép toán + : V × V → V (u, v) 7→ u + v · : R× V → V (k , u) 7→ ku Với u, v ,w ∈ V và α, β ∈ R, ta có một số tính chất sau: A1) u + v = v + u A2) (u + v) + w = u + (v + w) A3) ∃!0 ∈ V : u + 0 = u A4) ∃ − u ∈ V : u + (−u) = 0 M1) α (β) = (αβ) u M2) α (u + v) = αu + αv M3) (α + β) u = αu + βu M4) 1.u = u Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 2 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1→ A4 và M1→ M4. Ví dụ. 1) Cho V = M2 (R) = {( a b c d ) |a, b, c , d ∈ R } với hai phép toán cộng và nhân môt số với một ma trận lập thành một không gian véc tơ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 3 / 17 Không gian véc tơ Định nghĩa Cho V 6= ∅, với hai phép toán (+, ·). Khi đó, V được gọi là không gian vec tơ trên R nếu các phép toán trên V thoả mãn các tính chất A1→ A4 và M1→ M4. Ví dụ. 2) Cho V = Rn = {(x1, x2, ..., xn) |xi ∈ R}, với hai phép toán i) (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn) ii) k (x1, x2, ..., xn) = (kx1, kx2, ..., kxn) Cũng là một không gian véc tơ. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 4 / 17 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa Cho (V ,+, ·) là không gian véc tơ. Khi đó, i) Với u1, u2, ..., un ∈ V và k1, k2, ..., kn ∈ R, ta gọi k1u1 + k2u2 + ...+ knun Là một tổ hợp tuyến tính các véc tơ u1, u2, ..., un ii) Với v ∈ V , ta nói v là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ u1, u2, ..., un nếu ∃ k1, k2, . . . , kn ∈ R, sao cho v = k1u1 + k2u2 + ...+ knun Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 5 / 17 Không gian con Định nghĩa Cho (V ,+, ·) là không gian véc tơ và W ⊂ V , W 6= ∅. Khi đó, Nếu ∀u, v ∈ W và k ∈ R mà u + v , ku ∈ W thì ta nói W là không gian con của V , ký hiệu W 6 V Ví dụ. Cho V = R2 = {(x1, x2) |x1, x2 ∈ R} và a) W1 = {(x1, 0) |x1 ∈ R} b) W2 = {(x1, 1) |x1 ∈ R} Thì W1 6 V và W2 không là không gian con của V . Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 6 / 17 Không gian con Hệ quả Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất theo n ẩn số là một không gian con của Rn Ví dụ. Cho hệ phương trình x1 + 2x2 + 4x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 + 6x3 − 4x4 = 0 4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 0 3x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0 Giải hệ trên ta nhận được tập nghiệm W = {(8m − 7n,−6m + 5n,m, n) /m, n ∈ R} = 〈(8,−6, 1, 0) , (−7, 5, 0, 1)〉 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 7 / 17 Không gian con Định lý Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Nếu W = {k1u1 + k2u2 + ...+ knun/k1, k2, ..., kn ∈ R} thì W 6 V . Khi đó ta nói S sinh ra W , ký hiệu W = 〈S〉 Ví dụ. Cho W = {(x1 + x2, x1 − x2, x2) |x1, x2 ∈ R} Ta biểu diễn W dưới dạng W = {x1 (1, 1, 0) + x2 (1,−1, 1) |x1, x2 ∈ R} Khi đó áp dụng kết quả trên, ta có W 6 R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 8 / 17 Tập sinh Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Khi đó 〈S〉 = V ⇔ ∀v ∈ V ,∃k1, k2, ..., kn ∈ R sao cho v = k1u1 + k2u2 + ...+ knun Ví dụ. Cho V = R3, và a) S1 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0), u3 = (0, 0, 1)} b) S2 = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)} c) S3 = {u1 = (1, 0, 0), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 1, 1)} Các tập S1, S2, S3 có sinh ra V không ? Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 9 / 17 Độc lập tuyến tính Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V . Khi đó, ta nói hệ S là độc lập tuyến tính Nếu ∀k1, k2, ..., kn ∈ R, k1u1 + k2u2 + ...+ knun = 0 thì k1 = k2 = ... = kn = 0 Ngược lại, nếu S không độc lập tuyến tính ta nói S là phụ thuộc tuyến tính Ví dụ. Xét lại ví dụ trên, thì S1, S2, S3 là ĐLTT hay PTTT. Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 10 / 17 Cơ sở của không gian véc tơ Định nghĩa Cho V là không gian véc tơ và B = {e1, e2, ..., en} ⊂ V . Ta nói B là một cơ sở của V nếu i) 〈B〉 = V , ii) B độc lập tuyến tính. Khi đó, ta nói V là hữu hạn chiều và số véc tơ độc lập tuyến là số chiều của V , ký hiệu dimV = n. Ví dụ. Chứng minh rằng B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} là một cơ sở của R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 11 / 17 Toạ độ của một véc tơ Định nghĩa Cho B = {e1, e2, ..., en} là một cơ sở của V . Khi đó, ∀v ∈ V ,∃x1, x2, ..., xn ∈ R : v = x1e1 + x2e2 + ...+ xnen Ta gọi x1, x2, . . . , xn là toạ độ v trong cơ sở B, ký hiệu [v ]B =  x1 x2 ... xn  Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 12 / 17 Toạ độ của một véc tơ Ví dụ. Tìm toạ độ của v = (1, 2, 3) trong a) B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} b) B′ = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (1, 1, 0), e3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 13 / 17 Ma trận chuyển cơ sở Định nghĩa Cho B = {e1, e2, ..., en} và B′ = {f1, f2, ..., fn} là hai cơ sở của V . Ta định nghĩa ma trận A = ([f1]B, [f2]B, ..., [fn]B) là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′, ký hiệu PB→B′ Ví dụ. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ từ B sang B′, với B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} và B′ = {f1 = (1, 0, 0), f2 = (1, 1, 0), f3 = (1, 1, 1)} Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 14 / 17 Ma trận chuyển cơ sở Định lý Cho B và B′ là hai cơ sở của V . Khi đó với mọi v ∈ V , ta có i) [v ]B = PB→B′[v ]B′ ii) [v ]B′ = PB′→B[v ]B iii) PB′→B = (PB→B′)−1 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 15 / 17 Hạng của hệ véc tơ Định nghĩa Cho V là một không gian véc tơ và S = {u1, u2, . . . , un}. Khi đó, số chiều của không gian con sinh bởi S được gọi là hạng của hệ véc tơ S. Ký hiệu dimW = r (S). Lưu ý: Để tìm hạng của một hệ véc tơ, ta lập ma trận A =  [u1] T B [u2] T B ... [un] T B  trong đó, B là cơ sở chính tắc. Khi đó, r (S) = r (A). Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 16 / 17 Hạng của hệ véc tơ Ví dụ. Cho hệ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ R3. Tìm r (S), với u1 = (1, 3, 0), u2 = (0, 2, 4), u3 = (2, 8, 4), u4 = (3, 13, 8). Lập A =  1 3 0 0 2 4 2 8 4 3 13 8  →  1 3 0 0 2 4 0 2 4 0 4 8  →  1 3 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0  Vậy r (S) = 2, nghĩa là ta tìm được một không gian con W = 〈(1, 3, 0), (0, 2, 4)〉 6 R3 Nguyễn Văn Phong (BMT - TK) ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Toán cao cấp - MS: MAT1006 17 / 17