Bài giảng Giải tích hàm nhiều biến - Chương II: Tích phân bội - Bài 2: Tích phân bội ba

§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhĐịnh nghĩa: Cho hàm f(x,y,z) xác định trên miền đóng và bị chặn Ω trong không gian Oxyz. Chia Ω thành n phần không dẫm lên nhau có thể tích tương ứng là Trong mỗi miền Ωk lấy 1 điểm bất kỳ Mk(xk,yk,zk) Lập tổng tích phân Cho , nếu tổng trên tiến tới giá trị hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền Ω và cách lấy điểm Mk thì giới hạn hữu hạn S được gọi là tích phân bội ba của hàm f(x,y,z) trên miền ΩChú ý : Vì tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền Ω nên ta có thể chia Ω bởi các mặt phẳng song song với các mặt tọa độ . Khi ấy mỗi miền nhỏ là hình hộp chữ nhật nên ta có ΔV = Δx Δy Δz = dxdydz Vì vậy ta thường dùng kí hiệu :§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhVậy: Tính chất: Các hàm f, g khả tích trên Ω Nếu Ω được chia thành 2 miền không dẫm lên nhau Ω1, Ω2§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính1. 2. 3.4. Nếu g ≥ f trên Ω thì5.Ta gọi giá trị trung bình của hàm f trên Ω là đại lượng6. Định lý giá trị trung bình: Nếu hàm f(x,y,z) liên tục trong miền đóng, giới nội, liên thông Ω thì trong Ω tồn tại ít nhất 1 điểm M0(x0,y0,z0) sao cho :§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhCách tính Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = φ(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = ψ(x,y) thì Ta còn viết tích phân trên ở dạng Như vậy, để tính tích phân bội ba ta cần xác định hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng tọa độ, sau đó đi xác định mặt giới hạn trên, dưới của Ω§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhVí dụ 1 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Còn z giới hạn bởi x2+y2≤z ≤4, nên§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhHình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là phần hình tròn D : x2+y2≤4, 0≤x, 0≤y§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhDx=0y=0z=4z=x2+y2Mặt trụ parabolic song song với trục Oz và tựa lên đường parabol y=x2 là mặt trụ không kín, ta cần thêm giao tuyến của mặt phẳng z + y = 1 với mặt phẳng Oxy là đường thẳng y = 1 để có được hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là miền đóng D Trong miền D, ta có y≤1 tức là 0 ≤ 1 - y nên trong Ω mặt phẳng z = 1 – y nằm trên mặt phẳng z = 0 Ví dụ 2 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi y=x2, y+z=1, z=0§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tính-111DVì vậy: §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhy+z=1z=0y=x2§2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhVí dụ 3: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x trên miền Ω giới hạn bởi x=0, y=0, z=0, x+y=1, x+y=zHình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z=0 là miền D giới hạn bởi x=0, y=0, x+y=1x+y=1Miền D ứng với x+y≥0 nên ta được 0≤z ≤x+y. Vậy : §2. Tích phân bội ba – Định nghĩa và cách tínhx=0x+y=1y=0x+y=zXét điểm M(x,y,z) trong không gian, N(x,y,0) là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Gọi (r,φ) là tọa độ của N trong tọa độ cực thì : x = rcos φ, y = rsin φVậy điểm M được xác định bởi bộ ba số (r, φ, z), chúng được gọi là tọa độ trụ của điểm M. Công thức liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes là§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụyxzM(x,y,z)yxzM(x,y,z)zφN(r,φ)rTa có công thức tính tích phân trong tọa độ trụChú ý : Ta thường đổi tích phân bội ba sang tọa độ trụ nếu hình chiếu của miền lấy tích phân xuống 1 trong 3 mặt tọa độ là 1 phần hình tròn hoặc 1 phần ellipse.§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụMiền Ω giới hạn bởi 2 mặt cong nên ta sẽ khử biến z từ 2 phương trình để tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng z = 0(loại)§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụVí dụ 4: Tính tích phân Trong đó Ω là miền giới hạn bởi Suy ra, hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn , tương ứng ta có Vậy: Hình chiếu của miền lấy tích phân là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên sang tọa độ trụ bằng cách đặt : và ta có §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụVì x2+y2≤1 nên §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụMiền DMặt trụ kín x2+y2=1 song song với trục Oz nên chiếu Ω xuống mặt phẳng Oxy ta được hình tròn : x2+y2≤1 §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụVí dụ 5: Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Với 2 mặt còn lại, ta phải so sánh giữa z=0 và z= để có cận đối với dz √2-x-yTa vẽ thêm đường thẳng √2-x-y=0trong mp z=0 để so sánh√2-x-y=0Rõ ràng, trong hình tròn ta có √2-x-y≥0§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụHình chiếu của Ω là hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân trên tọa độ trụ bằng cách đặt Vậy : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụTa sẽ tính bằng cách thứ 2x+y+z=√2Miền Dx2+y2=1Ta đang có tích phân kép trên cả hình tròn nên ta sẽ đổi tích phân kép trên sang tọa độ cực thông thường và được§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụNhư vậy, thực chất việc ta tính tích phân bội ba trong tọa độ trụ chính là việc tính tích phân đó bình thường theo dz, sau đó đổi tích phân kép trên hình chiếu sang tọa độ cực.§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụ§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ trụVí dụ 6: Tích tích phân bội ba hàm f(x,y,z) = y2+z2 trên miền Ω giới hạn bởi y2+z2=1, y2+z2=4, x=2π, x=4πTrong 4 mặt tạo nên Ω có 2 mặt trụ cùng song song với Ox nên ta sẽ chiếu Ω xuống mặt phẳng x=0, và được miền D : 1≤ y2+z2≤42 mặt còn lại cho ta cận tích phân theo dx: 2π≤x ≤4πTrong không gian cho điểm M(x,y,z), N là hình chiếu của M xuống mặt phẳng xy. Ta đặt:ρ là độ dài đoạn OMNhư vậy 0 ≤ ρ ˂ +∞, - 2π ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π Nếu M nằm trên Oz thì góc φ không xác định, còn khi M trùng với gốc tọa độ thì cả θ cũng không xác định. Còn tất cả các điểm khác đều có thể xác định φ, θ, ρ và ta gọi đó là tọa độ cầu của điểm M§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuθφNMφ là góc giữa Ox và tia ONθ là góc giữa Oz và tia OMρKhi đó, ta dễ dàng tính đượcNgược lại, ta có công thức chuyển từ tọa độ cầu sang tọa độ Descartes như sau§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuTừ đó, ta có công thức đổi biến tích phân bội 3 sang tọa độ cầu:Thông thường, nếu miền lấy tích phân là 1 phần hình cầu hoặc 1 phần ellipsoid thì ta sẽ đổi tích phân bội ba sang tọa độ cầu.Cận của φ được xác định dựa vào hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy, còn đối với θ, ρ thì dựa vào phần cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuHình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn D: x2+y2≤1 ,0≤x, 0≤y nên ta được 0 ≤ φ ≤ π/2 Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz bởi mặt x = y ta được ½ hình tròn với z ≥ 0 (D1) nên 0 ≤ θ ≤ π/2Trong miền D1, đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 đường cong tức là đi trong Ω ta chỉ gặp mặt cầu với phương trình§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVí dụ 7 : Tính tích phân Trong đó Ω giới hạn bởi Ta đổi sang tọa độ cầu bằng cách đặt x = ρsinθcosφ, y= ρsinθsinφ, z = ρcosθ ρ ≤ 1Vậy : §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầux2+y2+z2=1zMặt cắt dọc0≤θ ≤π/20≤ρ≤1Miền lấy tích phân là 1 phần ellipsoid nên ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu mở rộng bằng cách đặt :§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVí dụ 8: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trên miền Ω giới hạn bởithì định thức JacobivàĐiều kiện x ≤ 0, y ≥ 0 nên hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy là ¼ hình tròn đơn vị nằm trong góc phần tư thứ 2 nên ta có π/2 ≤ φ ≤ π Cắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1Vậy :§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuCắt dọc Ω bởi 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = y ta được D1 : , z ≤ 0, y ≥ 0 (¼ ellipse ) nên π/2 ≤ θ ≤ π và đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ ta chỉ gặp 1 mặt ellipsoid với phương trình ρ = 1 nên ta có ρ≤1Vậy :§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuDHình chiếuMặt cắtzπ/2≤θ≤π0≤ρ≤1§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVí dụ 9: Tính tích phân bội ba hàm f(x,y,z)=x+y trong miền Ω giới hạn bởi x2+y2+z2=2, z2=x2+y2, z≥0Miền Ω giới hạn chỉ bởi 2 mặt nên ta tìm hình chiếu xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ 2 phương trình 2 mặt và được hình chiếu là D: x2+y2≤10≤φ ≤2πHình chiếu D là cả hình tròn tâm tại gốc tọa độ nênTa cũng cắt dọc miền Ω bởi mặt phẳng thẳng đứng x=0 để được -y≤z≤y, y2+z2 ≤2, 0≤zSuy ra 0≤θ≤π/4, 0 ≤ρ≤√2§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuMiền DMặt cắtzzz0≤θ≤π/20≤θ≤π/2§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVậy Thự ra đây là tích của 3 tích phân xác định nhân với nhau, mà tích phân thứ nhất bằng 0. Suy ra I9=0Tuy nhiên, vì miền Ω có hình chiếu là hình tròn nên ta cũng có thể đổi tích phân trên sang tọa độ trụ thông thường§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuI9=0Ví dụ 10 : Đổi tích phân sau về tọa độ DescartesTrước tiên, ta xem xét cận của tích phân theo dr, dφ để có hình chiếu D của miền lấy tích phân xuống mặt Oxy, §2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuSuy ra D: x2+y2≤1-111§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuvà cuối cùng xem xét đến hàm dưới dấu tích phân để đổi về tọa độ Oxyz : sau đó là cận của tích phân theo dz để có mặt giới hạn trên, giới hạn dưới với chú ý x2+y2=r2 : 0≤z≤4-x2-y2Vậy:Ta cũng bắt đầu từ cận tích phân theo dx, dy để có hình chiếu của miền lấy tích phân xuống mặt phẳng Oxy§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVí dụ 11: Đổi tích phân sau sang tọa độ cầu và tính0-aa-aCận tích phân theo dz là cho ta ½ hình cầu nằm phía dưới mặt phẳng z = 0Cắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0Suy ra π/2 ≤ θ ≤ π và 0≤ ρ≤aCuối cùng thay x=ρsinθcosφ vào§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuCắt dọc miền lấy tích phân bởi mặt phẳng chứa trục Oz là x = 0 ta được ½ hình tròn y2+z2≤a2, z≤0-aa-az§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuVí dụ 12: Tính tích phân trên miền V: x2+y2=1, z=0, x2+y2=z2 (z≥0) của hàm 3 mặt giới hạn V không có mặt cầu nhưng vì hàm f(x,y,z) mà ta sẽ đổi tích phân sang tọa độ cầu Hình chiếu của V xuống mp z=0 là hình tròn D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤2πCắt dọc V bởi mp x=0 ta được D1: z=0, y=1, z=y 11π/4≤θ≤π/2Đi từ gốc tọa độ ra, ta chỉ gặp duy nhất đường thẳng tương ứng là mặt trụ trong không gian với pt x2+y2=1 ↔ ρsinθ=1 ↔ ρ =1/sinθ§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầuD1§2. Tích phân bội ba – UD hình họcThể tích miền Ω được tính bởiVí dụ 13: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi D: 0≤x≤6, √x≤y≤2√xHai mặt trụ song song với trục Oz là y = √x, y = 2√x tựa lên 2 đường parabol, ta lấy thêm đường thẳng giao tuyến của mặt phẳng x + z =6 với mặt phẳng z = 0 để được miền đóng D là hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy.Miền D nằm bên trái đường thẳng x = 6 tức là ứng với 0 ≤ 6 – x nên trong miền Ω ta có bất đẳng thức 0 ≤ z ≤ 6 – x §2. Tích phân bội ba – UD hình họcO62√6√6DVậy: D≤ 5π/4Cắt dọc Ω bằng mặt phẳng chứa trục Oz là y = x ta được miền D1 là hình vành khăn §2. Tích phân bội ba – UD hình họcVí dụ 14: Tính thể tích vật thể Ω giới hạn bởi Ta sẽ tính thể tích bằng cách đổi tích phân bội basang tọa độ cầu bình thườngHình chiếu của vật thể xuống mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn D: π/4 ≤ φD1≤ πTrong miền D1 ta đi theo chiều mũi tên từ gốc tọa độ raVậy:§2. Tích phân bội ba – UD hình họcnên 0 ≤ θta gặp đường tròn nhỏ trước, đường tròn lớn sau nên 1 ≤ ρ ≤ 2DD1§2. Tích phân bội ba – UD hình họcTa tìm hình chiếu của Ω xuống mặt phẳng Oxy bằng cách khử z : thay z từ pt sau vào pt trước Cắt dọc Ω bằng 1 mặt phẳng chứa trục Oz là mặt x = 0 ta được miền D1: -y ≤ z ≤y, y2+z2≤2z nên 0 ≤ θ ≤π/4 và đi theo chiều mũi tên từ trong gốc tọa độ ra ta chỉ gặp 1 mặt cầu với phương trình§2. Tích phân bội ba – UD hình họcVí dụ 15: Tính thể tíchΩ giới hạn bởi Ta được hình chiếu D: x2+y2≤1 → 0≤φ≤ 2π11§2. Tích phân bội ba – Đổi biến sang tọa độ cầu0 ≤ θ ≤π/40≤ρ≤2cosθ