Bài giảng Hệ thức lượng trong tam giác

CHƯƠNG X: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I. ĐỊNH LÝ HÀM SIN VÀ COSIN Cho ΔABC có a, b, c lần lượt là ba cạnh đối diện của A ,B,C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC , S là diện tích ΔABC thì abc ===2R sin A sin B sin C 222 22 abc2bccosAbc4S.cotg=+− =+− A bac2accosBac4S.cotgB222=+− =+−22 cab2abcosCab4S.cotg222=+− =+−22 C Bài 184 Cho ΔABC . Chứng minh: A =⇔=+2B a22 b bc Ta có: a2=+⇔ b 2 bc 4R22 sin A = 4R 22 sin B + 4R 2 sinB.sinC ⇔−=sin22 A sin B sin B sin C 11 ⇔−()1 cos 2A −−() 1 cos 2B = sin B sin C 22 ⇔−=cos 2B cos 2A 2 sin B sin C ⇔−2 sin()() B + A sin B − A = 2 sin B sin C ⇔+sin()() B A sin A −= B sin B sin C ⇔ sin() A−= B sin B() do sin() A+= B sin C > 0 ⇔−=∨−=π−ABBAB Bloại() ⇔ A = 2B Cách khác: sin22 A−= sin B sin B sin C ⇔−(s in A sin B) (s in A += sin B) sin B sin C AB+− AB AB + AB − ⇔=2 cos sin .2 sin co s sin B sin C 22 2 2 ⇔+sin()() B A sin A −= B sin B sin C ⇔−=sin() A B sin B do sin() A+=> B sin C 0 () ⇔−=∨−=π−ABBAB Bloại() ⇔=A 2B sin( A− B) ab22− Bài 185: Cho ΔABC . Chứng minh: = sin C c2 ab22−− 4RsinA4RsinB 22 22 Ta có = c422Rsin2C 11 1−−− cos 2A 1 cos 2B sin22 A− sin B ()() ==22 sin22 C sin C cos 2B− cos 2A −+2sin()() A B sin B − A ==22 2sin C 2sin C sin()() A+− B .sin A B sin() A − B == sin2 C sin C ()do sin() A+= B sin C > 0 A B1 Bài 186: Cho ΔABC biết rằng tg⋅ tg =⋅ 223 Chứng minh ab+=2c A B1 A B A B Ta có : tg⋅=⇔ tg 3sin sin = cos cos 223 22 22 ⎛⎞A B ⎜⎟do cos>> 0,cos 0 ⎝⎠22 A BABAB ⇔=−2sin sin cos cos sin sin 22 22 22 ⎡⎤AB+− AB AB + ⇔−cos − cos = cos ⎣⎦⎢⎥22 2 AB−+ AB ⇔=cos 2cos() * 22 Mặt khác: ab2RsinAsinB+=() + A +−BAB = 4R sin cos 22 AB++ AB = 8R sin cos() do() * 22 =+4R sin() A B = 4R sin C= 2c Cách khác: ab2c+= ⇔+=2R() sin A sin B 4R sin C A +−BAB CC ⇔=2sin cos 4sin cos 22 22 A −++BC AB⎛⎞ ABC ⇔==cos 2 sin 2 cos⎜⎟ do sin= cos 22 2⎝⎠ 22 A BAB AB AB ⇔+=cos cos sin sin 2 cos cos − 2 sin sin 22 22 22 22 AB AB ⇔=3sin sin cos cos 22 22 A B1 ⇔⋅=tg tg 223 Bài 187: Cho ΔABC , chứng minh nếu cotgA, cotgB, cotgC tạo một cấp số cộng thì a,b,c222cũng là cấp số cộng. Ta có: cot gA, cot gB, cot gC là cấp số cộng⇔+= cot gA cot gC 2 cot gB() * Cách 1: sin( A+ C) 2cosB Ta có:() * ⇔=⇔=sin2 B 2sin A sin CcosB sin A sin C sin B 2 ⇔=−sinB⎣⎦⎡⎤ cosA()() +−−−+ C cosA C⎣⎡ cosA () C⎦⎤ ⇔=sin22 B cos()()() A +−− C cos A C cos A + C 1 ⇔=−sin22 B cos B[] cos 2A + cos 2C 2 1 ⇔=−sin22 B() 1 sin B −−⎡()() 1 2sin 2 A +− 1 2sin 2 C ⎤ 2 ⎣ ⎦ ⇔=+2sin222 B sin A sin C 2b22 a c 2 ⇔ =+ 4R222 4R 4R ⇔=+2b222 a c ⇔•a222 , b ,c là câùp số cộng Cách 2: Ta có: a222=+− b c 2ab cos A 222⎛⎞1 ⇔=+−abc4bcsinA.cotgA⎜⎟ ⎝⎠2 ⇔=+−abc4ScotgA222 bca22+− 2 Do đó cotgA = 4S acb22+− 2 abc2+− 22 Tương tự cotgB ==, cotgC 4S 4S bca22+− 2 abc 2 + 22 − acb 22 +− 2 Do đó:() * ⇔+=⋅2 4S 4S 4S ⇔ 2b222=+ a c Bài 188: Cho ΔABC có sin22 B+= sin C 2sin2 A Chứng minh BAC ≤ 600 . Ta có: sin22 B+= sin C 2sin2 A bc2a22 2 ⇔+= 4R22 4R 4R 2 ⇔+=bc22 2a* 2() Do định lý hàm cosin nên ta có abc2bccos222=+− A 22 22 bca22+− 22b( +−− c) b c ⇔=cos A = ( do() * ) 2bc 4bc bc22+ 2bc1 =≥= ()do Cauchy 4bc 4bc 2 Vạây : BAC ≤ 600 . Cách khác: định lý hàm cosin cho a222=+− b c 2bc cos A ⇒+=+ b222 c a 2bc cos A Do đó (*)⇔+ a2222 bc cos A = a abc222+ 1 ⇔==cos A ≥( do Cauchy) 242bcbc Bài 189: Cho ΔABC . Chứng minh : Ra( 222++ b c) cotgA+cotgB+cotgC = abc bca22+− 2 Ta có: cotgA = 4S acb22+− 2 abc2+− 22 Tương tự: cotgB==,cotgC 4S 4S abc222+ +++ abc 222 Do đó cot gA++= cot gB cot gC = 4S abc 4 4R abc222++ = R abc Bài 190: Cho ΔABC có 3 góc A, B, C tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 2. Giả sử A < B < C. 111 Chứng minh: = + abc Do A, B, C là cấp số nhân có q = 2 nên B = 2A, C = 2B = 4A π 24ππ Mà A++=π B C nên A = ,B = ,C = 77 7 Cách 1: 11 1 1 Ta có: += + b c 2R sin B 2R sin C ⎛⎞ 11⎜⎟ 1 =+⎜⎟ 2R 24ππ ⎜⎟sin sin ⎝⎠77 42ππ sin+ sin 1 = 77 2R 24ππ sin sin 77 3ππ 2sin .cos 1477⎛⎞π 3π =⋅ ⎜⎟do sin= sin 2R 23ππ 7 7 sin .sin ⎝⎠ 77 π cos 11 =⋅ 7 = R2ππRsinA 2sin .cos 77 1 = a Cách 2: 111 1 1 1 =+⇔ = + a b c sin A sin B sin C 11 1sin4Asin2A+ ⇔= + = sin A sin 2A sin 4A sin 2A sin 4A 1 2sin3A.cosA 2cosA 2cosA ⇔= = = sin A sin 2A sin 4A sin 2A 2 sin A cos A 34ππ do : sin 3A===• sin sin sin 4A 77 Bài 191: Tính các góc của ΔABC nếu sin A sin B sin C == 123 abc Do định lý hàm sin: ===2R sin A sin B sin C sin A sin B sin C nên : ==()* 123 abc ⇔= = 2R 2R 3 4R bc⎪⎧ba3= ⇔=a =⇔⎨ 3 2 ⎩⎪c2a= 2 Ta có: c22== 4a() a 3 + a2 ⇔=+cba222 VạâyΔ ABC vuông tại C Thay sin C= 1 vào() * ta được sin A sin B 1 == 123 ⎧ 1 sin A = ⎪ 2 ⇔ ⎨ 3 ⎪sin B = ⎩⎪ 2 ⎪⎧A30= 0 ⇔ ⎨ 0 ⎩⎪B60= Ghi chú: Trong tam giác ABC ta có a=⇔ b A = B ⇔ sin A = sin B ⇔ cos A = cos B II. ĐỊNH LÝ VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cho UABC có trung tuyến AM thì: BC2 AB22+= AC 2AM 2 + 2 a2 hay : cb2m22+= 2 + a 2 Bài 192: Cho UABC có AM trung tuyến, AMB = α , AC = b, AB = c, S là diện tích UABC. Với 0 < α < 900 bc22− a/ Chứng minh: cotgα= 4S b/ Giả sử α=450 , chứng minh: cotgC – cotgB = 2 HM MB− BH a/ UAHM vuông ⇒α=cotg = AHAH aBH ⇒α=cotg −()1 2AH AH 22 2 bc22− ()ac2accosBc+− − Mặt khác: = 4S 2AH.a Đặt BC = a bc22− a ccosB a BH ⇒=−=− (2) 4S 2AH AH 2AH AH bc22− Từ (1) và (2) ta được : cotg α= 4S Cách khác: Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích tam giác ABH và ACH Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABH và ACH ta có: AMBMc22+−2 cotg α= (3) 4S1 AMCMb22+−2 −α=cotg (4) 4S2 Lấy (3) – (4) ta có : bc22− S cotg α= ( vì S1=S2 = ) 4S 2 HC HB HC− HB b/Ta có: cotgC – cotgB = −= AHAH AH ()MH+−− MC( MB MH) = AH 2MH = = 2cotgα= 2cotg450 = 2 AH Cách khác: Aùp dụng định lý hàm cos trong tam giác ABM và ACM ta có: BM22+− c AM2 cotg B = (5) 4S1 CM22+− b AM2 cotg C = (6) 4S2 Lấy (6) – (5) ta có : bc22− S cotg C−= cot gB =2 cot gα=2 ( vì S1=S2 = và câu a ) 2S 2 Bài 193 Cho UABC có trung tuyến phát xuất từ B và C là m,mbc thỏa c m =≠b 1. Chứng minh: 2cotgA = cotgB + cotgC bmc 2 2 c mb Ta có: 22= bmc 2 1b⎛⎞22 ⎜⎟ac+− c2 22 ⇔=⎝⎠ 2 2 b 1c⎛⎞22 ⎜⎟ba+− 22⎝⎠ cb44 ⇔+−=+−bc22 ac 22 ab2 2 bc 22 22 1 ⇔−=ac22 ab 2 2() c 4 − b 4 2 1 ⇔−=−ac22() b 2()( c 2 b 2 c 2 + b 2) 2 222⎛⎞c ⇔=+2a c b() 1⎜⎟ do ≠ 1 ⎝⎠b Thay bca2bccosA22+=+ 2 vào (1), ta có (1) thành a2bccosA2 = a4RsinA222 ⇔==cos A 2bc 2()( 2R sin B 2R sin C) cos A sin A sin() B+ C ⇔=2 = sin A sin B sin C sin B sin C sinBcosC+ sinCcosB ⇔=2 cotgA =+cotgC cotgB sin B sin C Bài 194: Chứng minh nếu UABC có trung tuyến AA’ vuông góc với trung tuyến BB’ thì cotgC = 2 (cotgA + cotgB) UGAB vuông tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’ 2 Vậy ABC= C′ 3 22 ⇔=9c 4mc 2 222⎛⎞c ⇔=9c 2⎜⎟ b +− a ⎝⎠2 ⇔=+5c222 a b ⇔=+5c22 c 2ab cos C (do định lý hàm cos) ⇔=2c2 ab cos C ⇔=2()()() 2RsinC2 2RsinA 2RsinB cosC ⇔=2 sin2 C sin A sin B cos C 2sinC cosC ⇔= sin A sin B sin C 2sin() A+ B ⇔=cotgC sin A sin B 2() sin A cos B+ sin B cos A ⇔=cotgC sin A sin B ⇔+=2() cotg B cotgA cotgC III. DIỆN TÍCH TAM GIÁC Gọi S: diện tích UABC R: bán kính đường tròn ngoại tiếp UABC r: bán kính đường tròn nội tiếp UABC p: nửa chu vi của UABC thì 111 S=== a.h b.h c.h 222abc 111 S=== absinC acsinB bcsinA 222 abc S = 4R Spr= S=−−− ppapbpc()()() 2S Bài 195: Cho UABC chứng minh: sin 2A++= sin 2B sin 2C R2 Ta có: sin2A+() sin2B + sin2C = sin2A + 2sin(B + C).cos(B - C) = 2sinAcosA + 2sinAcos(B - C) = 2sinA[cosA + cos(B - C)] = 2sinA[- cos(B + C) + cos(B - C)] = 2sinA.[2sinB.sinC] abc 1abc14RS 2S = 4. . . = == 2R 2R 2R 2 R3 2 RR32 Bài 196 Cho UABC. Chứng minh : 1 S = Diện tích (UABC) = ()asin2B22+ bsin2A 4 1 Ta có : S = dt()Δ= ABC absin C 2 1 =absinAB()+ 2 1 = ab[] sin A cos B+ sinB cos A 2 1a⎡⎤⎛⎞⎛⎞ b = ab⎢⎥⎜⎟⎜⎟ sin B cos B+ sin A cos A (do đl hàm sin) 2b⎣⎦⎝⎠⎝⎠ a 1 =⎡⎤ a22 sin B cos B+ b sin A cos A 2 ⎣⎦ 1 =() a22 sin 2B+ b sin 2A 4 Bài 197: Cho ΔABC có trọng tâm G vàGAB = α=β= ,GBC ,GCA γ . 3a( 222++ b c) Chứng minh: cotgαβγ + cotg +cotg = 4S Gọi M là trung điểm BC, vẽ MH⊥ AB AH Δ⊥⇒α=AMH cos AM BH 2BH Δ⊥⇒==BHM cos B MB a Ta có: AB = HA + HB a ⇔=cAMcos α+ cosB 2 1a⎛⎞ ⇔α=cos⎜⎟ c − cos B () 1 AM⎝⎠ 2 Mặt khác do áp dụng định lý hàm sin vào ΔAMB ta có : MB AM 1 a =⇔α=sin MBsin B = sin B (2) sinα sin B AM 2AM Lấy (1) chia cho (2) ta được : a ccosB− 2c− a cos B cotgα= = 2 ab sin B a. 22R R4c()− 2acosB R4c( 2 − 2accosB) = = ab abc 3cba3cba222+− 222 +− = = abc 4S R Chứng minh tương tự : 3a22+− c b2 cotgβ= 4S 3b22+− a c2 cotgγ= 4S Do đó: cotgα+ cotg β+ cotg γ 3c222+− b a 3a 222 +− c b 3b 22 +− a c2 =++ 4S 4S 4S 3a()222++ b c = 4S 2223 222 Cách khác : Ta có mabc++= m m() a ++ b c (*) 4 2 22a cm+− 222 a 4c+− 4m a cotgα= 4 = a (a) 4SΔABM 8S 4a222+− 4m b 4b222+− 4m c Tương tự cotgβ= bc(b),cotgγ= (c) 8S 8S Cộng (a), (b), (c) và kết hợp (*) ta có: 3a( 222++ b c) cotgα+ cotg β+ cotg γ= 4S IV. BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC và r bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC thì aabc R == 2sinA 4S S r = p A BC rpatg=−() =−() pbtg =−() pctg 222 Bài 198: Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC . Chứng minh: A BC a/ r= 4R sin sin sin 222 b/ IA.IB.IC= 4Rr2 BBH a/ Ta có : Δ⊥⇒IBH cotg = 2IH B ⇒=BH rcotg 2 C Tương tự HC= r cotg 2 Mà : BH + CH = BC nên ⎛⎞BC r⎜⎟ cotg+= cotg a ⎝⎠22 ⎛⎞BC+ rsin⎜⎟ ⎝⎠2 ⇔=a BC sin sin 22 ABC ⇔=r cos() 2R sin A sin sin 222 AAABC ⇔=r cos 4R sin cos sin sin 22222 ABC A ⇔=r 4R sin sin sin . (do cos >0) 222 2 Α IK r b/ Ta có : Δ⊥ΑΚΙ⇒sin = ⇒=IA A 2 IA sin 2 r r Tương tự IB = ; IC = B C sin sin 2 2 r3 Do đó : IA.IB.IC = A BC sin sin sin 222 r3 ==4Rr2 (do kết quả câu a) r 4R Bài 199: Cho ΔABC có đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh ΔABC tại A’, B’, C’. ΔA 'B'C'có các cạnh là a’, b’, c’ và diện tích S’. Chứng minh: a' b ' C⎛⎞ A B a/+= 2 sin⎜⎟ sin+ sin ab 2 2 2 ⎝⎠ S' A B C b/= 2 sin sin sin S222 11 1 a/ Ta có : C'A'B' ==π−= C'IB' () A() B+ C 22 2 Áp dụng định lý hình sin vào ΔA 'B'C' a' = 2r (r: bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC ) sin A ' BC+ ⇒=a ' 2r sin A ' = 2r sin (1) 2 ΔABC có : a= BC=+ BA' A'C BC ⇒=arcotg + rcotg 22 BC+ sin ⇒=ar2 (2) BC sin sin 22 (1) aB′ C Lấy ta được = 2sin sin (2) a22 b' A C Tương tự = 2sin .sin b22 a' b' C⎛⎞ A B Vậy +=2sin⎜⎟ sin+ sin . ab 2⎝⎠ 2 2 11 1 b/ Ta có: A'C'B'==π−= .B'IA'() C() A+ B 22 2 A + BC Vậy sin C'== sin cos 22 1 a'b'sinC' S' dt()Δ A'B'C' Ta có: ==2 1 SdtABC()Δ absin C 2 S'⎛⎞⎛⎞ a' b' sinC' ⇒=⎜⎟⎜⎟ SabsinC⎝⎠⎝⎠ C cos BCA = 4 sin sin2 sin ⋅ 2 222 CC 2sin cos 22 BCA = 2 sin⋅⋅ sin sin 222 Bài 200: Cho ΔABC có trọng tâm G và tâm đường tròn nội tiếp I. Biết GI vuông góc với đường phân giác trong của BCA . Chứng minh: abc+ + 2ab = 3a+ b Vẽ GH⊥⊥⊥ AC, GK BC, ID AC IG cắt AC tại L và cắt BC tại N Ta có: Dt(Δ=Δ CLN) 2Dt( LIC) =ID.LC = r.LC (1) Mặt khác: Dt(Δ=Δ+Δ CLN) Dt( GLC) Dt( GCN) 1 =+()GH.LC GK.CN (2) 2 Do ΔCLN cân nên LC = CN Từ (1) và (2) ta được: 1 rLC=+ LC() GH GK 2 ⇔=2r GH + GK Gọi h,hab là hai đường cao ΔABC phát xuất từ A, B GK MG 1 GH 1 Ta có: == và = hMAa 3 h3b 1 Do đó: 2r=+() h h (3) 3 ab 11 Mà: SDtABC=Δ() == pr a.h = b.h 22ab 2pr 2pr Do đó: h = và h = a a b b 211⎛⎞ Từ (3) ta có: 2r=+ pr ⎜⎟ 3ab⎝⎠ 1ab⎛⎞+ ⇔=1p⎜⎟ 3ab⎝⎠ abcab++ + ⇔=3 ⋅ 2ab 2ab a++ b c ⇔= ab+ 3 Th.S Phạm Hồng Danh (TT luyện thi Vĩnh Viễn) BÀI TẬP 1. Cho ΔABC có ba cạnh là a, b, c. R và r lần lượt là bán kính đừơng tròn ngoại tiếp và nội tiếp ΔABC . Chứng minh: CAB a/ ()a−+−+− b cotg() b c cotg() c a cotg= 0 222 r b/ 1+= cos A + cosB + cosC R A BC c/ Nếu cotg ,cotg ,cotg là cấp số cộng thì a, b, c cũng là cấp số cộng. 222 d/ Diện tích Δ=ABC R r() sin A + sin B + sin C e/ Nếu : abc44=+4 thì ΔABC có 3 góc nhọn và 2sin2 A= tgB.tgC 8 2. Nếu diện tích ( ΔABC ) = (c + a -b)(c + b -a) thì tgC = 15 3. Cho ΔABC có ba góc nhọn. Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao vẽ từ A, B, C. Gọi S, R, r lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp ΔABC . Gọi S’, R’, r’ lần lượt là diện tích, bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của ΔA 'B'C'. Chứng minh: a/ S’ = 2ScosA.cosB.cosC R b/ R'= 2 c/ r’ = 2RcosA.cosB.cosC 4. ΔABC có ba cạnh a, b, c tạo một cấp số cộng. Với a < b < c Chứng minh : a/ ac = 6Rr A − CB b/ cos= 2sin 22 3r⎛⎞ C A c/ Công sai dtgtg=−⎜⎟ 22⎝⎠ 2 5. Cho ΔABC có ba góc A, B, C theo thứ tự tạo 1 cấp số nhân có công bội q = 2. Chứng minh: 111 a/ =+ abc 5 b/ cos222 A++= cos B cos C 4