Bài giảng Kinh tế lượng - Chương 1: Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến

Chương 1: MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH HAI BIẾN Bộ môn Toán kinh tế Trường Đại học Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Ngày 14 tháng 9 năm 2015 1 NỘI DUNG 1 Mô hình và một số khái niệm Mô hình hồi quy Hàm hồi quy tổng thể Hàm hồi quy mẫu 2 Phương pháp ước lượng OLS Tư tưởng của phương pháp OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc Trình bày kết quả phân tích hồi quy 3 Tính không chệch và độ chính xác của ước lượng OLS Các giả thiết của phương pháp OLS Độ chính xác của ước lượng OLS 4 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 5 Khoảng tin cậy cho β1,β2 và σ2 Phân phối xác suất của các ước lượng Khoảng tin cậy cho β1,β2 Khoảng tin cậy cho phương sai sai số ngẫu nhiên 6 Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy Kiểm định giả thuyết về σ2 Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy 7 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc 8 Một số vấn đề bổ sung Đơn vị đo lường trong phân tích hồi quy Hệ số chặn và mô hình hồi quy 2 Mô hình và một số khái niệm Mô hình hồi quy Bài toán quan trọng trong phân tích kinh tế: đánh giá tác động của của một biến số lên một số biến số khác. Ví dụ: muốn đánh giá tác động của thu nhập lên chi tiêu tiêu dùng. Suy luận thông thường: khi thu nhập tăng thì mức chi tiêu tiêu dùng sẽ gia tăng. −→ có thể biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc hàm số giữa các biến này như sau: TD = f(TN) Mô hình hồi quy tuyến tính Mô hình hồi quy tuyến tính hai biến thể hiện mối quan hệ phụ thuộc giữa biến Y và biến X có dạng như sau: Y = β1 + β2X + u 3 Mô hình và một số khái niệm Mô hình hồi quy Biến phụ thuộc Biến độc lập - là biến số mà ta đang quan tâm đến giá trị của nó thường kí hiệu là Y và nằm ở vế trái của phương trình - là biến số được cho là có tác động đến biến phụ thuộc, thường kí hiệu là X và nằm ở vế phải của phương trình - còn được gọi là biến được giải thích - còn được gọi là biến giải thích Sai số ngẫu nhiên: là yếu tố đại diện cho các yếu tố có tác động đến biến Y ngoài X. Hồi quy nghiên cứu sự phụ thuộc của một đại lượng kinh tế này (biến phụ thuộc, biến được giải thích) vào một hay nhiều đại lượng kinh tế khác (biến độc lập, biến giải thích ) dựa trên ý tưởng là ước lượng giá trị trung bình của biến phụ thuộc trên cơ sở các giá trị biết trước của các biến độc lập. ä Biến độc lập có giá trị xác định trước ä Biến phụ thuộc là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo các quy luật phân bố xác suất. 4 Mô hình và một số khái niệm Hàm hồi quy tổng thể Hàm hồi quy tổng thể là hồi quy được thực hiện trên số liệu của tổng thể và phản ánh chính xác mối quan hệ giữa biến độc lập và biến phụ thuộc. Hàm hồi quy tổng thể-PRF: E(Y|X) = β1 + β2X. Mô hình hồi quy tổng thể-PRM: Yi = β1 + β2Xi + ui, i = 1,N; hoặc: Y = β1 + β2X + u. trong đó E(Y|X) là kỳ vọng của biến Y khi biết giá trị của X, hay còn gọi là kỳ vọng của Y với điều kiện X. Ví dụ. Hồi quy TD (tiêu dùng) theo TN (thu nhập). Mô hình hồi quy tuyến tính như sau: TD = β1 + β2TN + u Các hệ số hồi quy ä β1 được gọi là hệ số chặn, nó chính bằng giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi biến độc lập X nhận giá trị bằng 0. ä β2 được gọi là hệ số góc cho biết: khi biến độc lập X tăng một đơn vị thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y thay đổi β2 đơn vị. 5 Mô hình và một số khái niệm Hàm hồi quy mẫu Hàm hồi quy mẫu là hồi quy được thực hiện trên số liệu của mẫu dùng để ước lượng hàm hồi quy tổng thể. Hàm hồi quy mẫu-SRF: Yˆ = βˆ1 + βˆ2X. Mô hình hồi quy mẫu-SRM: Yi = βˆ1 + βˆ2Xi + ei, i = 1, n; hoặc: Y = βˆ1 + βˆ2X + e. trong đó Yˆ là ước lượng cho E(Y|Xi); βˆ1, βˆ2 là ước lượng cho β1, β2; ei là phần dư, ước lượng cho ui. Ví dụ Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính của chi tiêu (Y – triệu đồng/tháng) theo thu nhập (X – triệu đồng/tháng), ta được: Ŷi = 2, 066116 + 0, 831956Xi 6 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc Xét mô hình hồi quy tổng thể: Y = β1 + β2X + u Mô hình hồi quy mẫu tại mỗi quan sát: Yi = β1 + β2Xi + ui β̂1,β̂2 là các ước lượng của β1, β2 khi đó ta có thể viết hàm hồi quy mẫu như sau: Ŷi = β̂1 + β̂2Xi Sai lệch giữa giá trị thực tế Yi và giá trị ước lượng tương ứng từ hàm hồi quy mẫu Ŷi là phần dư ei = Yi − Ŷi 7 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc Phương pháp xác định β̂1,β̂2 dựa trên tiêu chuẩn cực tiểu tổng bình phương các phần dư được gọi là phương pháp bình phương bé nhất. n∑ i=1 e2i = n∑ i=1 (Yi − Ŷi)2 = n∑ i=1 (Yi − β̂1 − β̂2Xi)2 Tìm β̂1,β̂2 sao cho: f(β̂1, β̂2) = n∑ i=1 e2i = n∑ i=1 (Yi − β̂1 − β̂2Xi)2 −→ min β̂1,β̂2 sẽ là nghiệm của hệ sau:  ∂f ∂β̂1 = n∑ i=1 (Yi − β̂1 − β̂2Xi)2 ∂β̂1 = 0 ∂f ∂β̂2 = n∑ i=1 (Yi − β̂1 − β̂2Xi)2 ∂β̂2 = 0 Giải hệ ta được:  β̂1 = Y − β̂2Xβ̂2 = XY−X.Y X2−(X)2 ⇔  β̂1 = Y − β̂2X β̂2 = n∑ i=1 xiyi n∑ i=1 x2 i với xi = Xi −X, yi = Yi −Y và X,Y là trung bình mẫu của X,Y. 8 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc Ví dụ Quan sát về thu nhập (X – triệu đồng/năm) và chi tiêu (Y – triệu đồng/năm) của 10 người, ta được các số liệu sau: X 100 80 98 95 75 79 78 69 81 88 Y 90 75 78 88 62 69 65 65 60 70 Hãy ước lượng hàm hồi quy tuyến tính của Y theo X. 9 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc∑ Yi = 722; ∑ Y2i = 53108; ∑ Xi = 843;∑ X2i = 72045; ∑ XiYi = 61680; n = 10 X = ∑ Xi n = 843 10 = 84, 3; Y = 722 10 = 72, 2 ∑ xiyi = n∑ i=1 XiYi − n.X.Y = 61680 − 10 × 84, 3 × 72, 2 = 815, 4∑ x2i = n∑ i=1 X2i − n.(X) 2 = 72045 − 10.(84, 3)2 = 980, 1 βˆ2 = n∑ i=1 xiyi n∑ i=1 x2 i = 815, 4 980, 1 = 0, 831956; βˆ1 = Y−βˆ2X = 72, 2−0, 831956×84, 3 = 2, 066116 Ŷi = 2, 066116 + 0, 831956Xi ä Giá trị βˆ2 = 0, 831956 chỉ ra rằng khi thu nhập tăng 1 triệu đồng/năm thì chi tiêu trung bình của một người tăng khoảng 0,831956 triệu đồng.10 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc (a) Đồ thị phân tán (b) Mô hình hồi quy 11 Phương pháp ước lượng OLS Công thức ước lượng hệ số chặn, hệ số góc Ví dụ Trong tệp số liệu ch1vd1.wf1 có 135 quan sát cho các biến số: số năm làm việc sau khi tốt nghiệp ngành ngân hàng (KN, năm) và mức lương hàng năm (TN, triệu đồng). Hãy ước lượng hàm hồi quy tuyến tính của TN theo KN. 12 Phương pháp ước lượng OLS Trình bày kết quả phân tích hồi quy Trình bày kết quả phân tích hồi quy: T̂N = 77,39822 + 1,694911KN R2 = 0, 030146 se = (8,403364) (0,833602) df = 133 t = (9,210385) (2,033237) F(1,133) = 4,134052 p = (0,0000) (0,0440) p = (0,044018) 13 Tính không chệch và độ chính xác của ước lượng OLS Các giả thiết của phương pháp OLS Giả thiết 1: Với mỗi giá trị của X, giá trị của Y là Yi = β1 + β2Xi + ui Giả thiết 2: Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên khi biết giá trị của X E(ui) = E(u|Xi) = 0, ∀i Khi giả thiết 2 thỏa mãn thì E(ui) = 0 Cov(Xi, ui) = 0 Từ đó, ta được: E(Y|Xi) = β1 + β2Xi Giả thiết 3: Phương sai của các sai số ui không đổi Var(ui) = Var(u|Xi) = σ2, ∀i 14 Tính không chệch và độ chính xác của ước lượng OLS Các giả thiết của phương pháp OLS Giả thiết 4: Không có sự tương quan giữa các ui: cov[ui, uj] = 0, ∀i , j. −→ ui là ngẫu nhiên, sai số ở quan sát này không ảnh hưởng đến sai số ở các quan sát khác. Giả thiết 5: ui có phân phối chuẩn, ui ∼ N(0, σ2). 15 Tính không chệch và độ chính xác của ước lượng OLS Độ chính xác của ước lượng OLS Định lý Khi giả thiết 2 thỏa mãn thì các ước lượng β̂1, β̂2 là các ước lượng không chệch của β1, β2, nghĩa là E(β̂1) = β1;E(β̂2) = β2 Định lý Khi các giả thiết 1 - 3 thỏa mãn thì phương sai của các hệ số ước lượng var(β̂2) = σ2 n∑ i=1 x2 i ;var(β̂1) = n∑ i=1 X2i n n∑ i=1 x2 i σ2 β̂2 = n∑ i=1 xiyi n∑ i=1 x2 i = n∑ i=1 wiyi = β2 + n∑ i=1 wiui ;wi = xi n∑ i=1 x2 i 16 Tính không chệch và độ chính xác của ước lượng OLS Độ chính xác của ước lượng OLS Ước lượng của phương sai sai số ngẫu nhiên σ2 σˆ2 = e21 + e 2 2 + · · ·+ e2n n − 2 Thống kê σˆ còn được gọi là sai số chuẩn của hàm hồi quy (standard error of regression). Thay σ2 bằng ước lượng của nó σˆ2, ta được: var(β̂2) = σˆ2 n∑ i=1 x2 i ;var(β̂1) = n∑ i=1 X2i n n∑ i=1 x2 i σˆ2 Sai số chuẩn (standard error) của hệ số ước lượng se(β̂2) = σˆ√ n∑ i=1 x2 i ; se(β̂1) = √√√√√√ n∑i=1X2i n n∑ i=1 x2 i .σˆ 17 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 Giữa các giá trị mẫu của biến phụ thuộc Yi và các ước lượng của nó Ŷi có sự sai lệch. −→ Nếu sai lệch là nhỏ thì hàm hồi quy mẫu khá phù hợp với số liệu mẫu. −→ Khi sai lệch lớn thì hàm hồi quy mẫu là phù hợp thấp với số liệu mẫu. Để đánh giá một cách định lượng sự phù hợp của hàm hồi quy mẫu đối với số liệu mẫu −→ đưa ra khái niệm hệ số xác định, kí hiệu là R2 18 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 TSS = n∑ i=1 (Yi − Y¯)2: Độ dao động trong mẫu của biến phụ thuộc, thể hiện sự biến đổi của biến Y quanh giá trị trung bình mẫu của nó (Total Sum of Squares). RSS = n∑ i=1 e2i : Tổng bình phương các phần dư (Residual Sum of Square). RSS chính là tổng bình phương các sai số. ESS = n∑ i=1 (Yˆi − Yˆ) 2 : Độ dao động của giá trị ước lượng, thể hiện sự biến đổi của biến Yˆi quanh giá trị trung bình mẫu của nó (Explained Sum of Squares). 19 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 Tính chất TSS = ESS + RSS Sự biến đổi của Y là tổng của hai thành phần: của sự biến đổi của phần dư (thể hiện cho các yếu tố không đưa vào mô hình) và sự biến đổi được thể hiện bởi mô hình. Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy xác định: a) TSS; ESS; RSS b) σ̂2 c) Var(βˆ1); Var(βˆ2) 20 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 Tỷ số ESS TSS thể hiện phần trăm sự biến đổi của biến Y trong mẫu được giải thích bởi mô hình, còn được gọi là hệ số xác định của hàm hồi quy và được ký hiệu là R2. R2 = ESS TSS = 1 − RSS TSS 0 ≤ R2 ≤ 1 R2 = 1: biến X giải thích được 100% sự thay đổi của biến Y. R2 = 0: biến X hoàn toàn không giải thích được sự thay đổi của biến Y −→ mô hình không phù hợp −→ có thể cho rằng mô hình hồi quy tổng thể không phù hợp. 21 Độ phù hợp của hàm hồi quy - hệ số xác định R2 Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy xác định hệ số xác định R2 và nêu ý nghĩa. Nhận xét i) Trong mô hình hồi quy hai biến chứa hệ số chặn 3 ESS = βˆ22 n∑ i=1 x2i 3 R2 = r2X,Y 3 R2 = 0 khi và chỉ khi βˆ2 = 0 ii) Trong mô hình hồi quy hai biến không chứa hệ số chặn thì các phát biểu về R2 đều có thể không đúng nữa vì R2 có thể nhận giá trị âm. 22 Khoảng tin cậy cho β1,β2 và σ 2 Phân phối xác suất của các ước lượng Định lý Khi các giả thiết 1 - 5 thỏa mãn, ta có: ä t = β̂j − βj se(β̂j) ∼ t(n − 2) ä (n − 2)σˆ2 σ2 ∼ χ2(n − 2) ä Yi ∼ N(β1 + β2Xi, σ2) 23 Khoảng tin cậy cho β1,β2 và σ 2 Khoảng tin cậy cho β1,β2 Xét mô hình hồi quy Y = β1 + β2X + u Khoảng tin cậy của βj Khoảng tin cậy đối xứng( βˆj − tα/2(n − 2)se(βˆj); βˆj + tα/2(n − 2)se(βˆj) ) ; Khoảng tin cậy bên phải (dùng để ước lượng tối thiểu cho βj)( βˆj − tα(n − 2)se(βˆj); +∞ ) ; Khoảng tin cậy bên trái (dùng để ước lượng tối đa cho βj)( −∞; βˆj + tα(n − 2)se(βˆj) ) ; trong đó tα(n) là giá trị tới hạn Student bậc n mức α. Ý nghĩa: Khoảng tin cậy (1 − α) ∗ 100% cho hệ số góc βj (j = 1, 2, ..., k) cho biết khi biến Xj tăng 1 đơn vị và các biến khác trong mô hình không đổi thì giá trị trung bình của biến phụ thuộc thay đổi trong khoảng nào. 24 Khoảng tin cậy cho β1,β2 và σ 2 Khoảng tin cậy cho β1,β2 Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% của β2 và nêu ý nghĩa. Ví dụ Trong tệp số liệu ch1vd1.wf1 có 135 quan sát cho các biến số: số năm làm việc sau khi tốt nghiệp ngành ngân hàng (KN, năm) và mức lương hàng năm (TN, triệu đồng). Ước lượng hàm hồi quy tuyến tính của TN theo KN, ta được: Hãy ước lượng khoảng tin cậy 95% của β2. 25 Khoảng tin cậy cho β1,β2 và σ 2 Khoảng tin cậy cho phương sai sai số ngẫu nhiên Khoảng tin cậy cho phương sai của sai số ngẫu nhiên (n − 2)σˆ2 χ2α/2(n − 2) ≤ σ2 ≤ (n − 2)σˆ 2 χ2 1−α/2(n − 2) trong đó σˆ2 là sai số chuẩn của hồi quy -S.E. of regression. Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy ước lượng σ2 với độ tin cậy 95%. Ví dụ Sử dụng tập số liệu ch1vd1.wf1. Hãy ước lượng σ2 với độ tin cậy 95%. 26 Kiểm định giả thuyết Các bước khi kiểm định giả thuyết thống kê: ä Bước 1: Xác định cặp giả thuyết thống kê H0 và H1. ä Bước 2: Tính giá trị quan sát của thống kê kiểm định. ä Bước 3: So sánh thống kê quan sát với giá trị tới hạn −→kết luận chấp nhận H0 hay bác bỏ H0. ä Bước 4: Kết luận. 27 Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy Kiểm định cặp giả thuyết H0 : βj = 0 và H1 : βj , 0 với mức ý nghĩa α. Cách 1: Dùng khoảng tin cậy đối xứng của βj với độ tin cậy (1 − α) : Bước 1: Tính KTC của ( βˆj − se(βˆj)tα/2(n − 2); βˆj + se(βˆj)tα/2(n − 2) ) ; Bước 2: - Nếu β2 = 0 thuộc KTC thì chấp nhận H0. - Nếu β2 = 0 không thuộc KTC thì không chấp nhận H0. Cách 2: Dùng thống kê T Bước 1: Tính t = βˆj se(βˆj) t-statistic; Bước 2: Tra bảng tα/2(n − 2) Bước 3: - Nếu |t| ≤ tα/2(n − 2) thì chấp nhận H0 - Nếu |t| > tα/2(n − 2) thì không chấp nhận H0 Cách 3: Dùng p − value Bước 1: Tính t = βˆj se(βˆj) ; Bước 2: Tính pvalue = P (|T| ≥ |t|) Bước 3: - Nếu p − value ≥ α thì chấp nhận H0 - Nếu p − value < α thì không chấp nhận H0 28 Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết về hệ số hồi quy Bài toán: Kiểm định giả thuyết H0 : βj = β∗ với mức ý nghĩa α. t = βˆj − β∗ se(βˆj) Loại giả thuyết H0 H1 Bác bỏ H0 p − value Hai phía βj = β∗ βj , β∗ |t| > tα/2(n − 2) P (|T| ≥ |t|) Bên trái βj ≥ β∗ βj < β∗ t < −tα(n − 2) P (T < t) Bên phải βj ≤ β∗ βj > β∗ t > tα(n − 2) P (T > t) Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy kiểm định giả thuyết β2 , 0 với mức ý nghĩa 5%. Ví dụ Sử dụng tập số liệu ch1vd.wf1. Hãy kiểm định giả thuyết “cứ sau mỗi năm làm việc, mức lương trung bình tăng hơn 1,5 triệu đồng” với mức ý nghĩa 5%. 29 Kiểm định giả thuyết Kiểm định giả thuyết về σ2 Bài toán: Kiểm định giả thuyết H0 : σ2 = σ20 với mức ý nghĩa α. χ2 = (n − 2)σˆ2 σ20 Loại giả thuyết H0 H1 Miền bác bỏ H0 Hai phía σ2 = σ20 σ 2 , σ20 χ 2 < χ2 (1−α/2) hoặc χ 2 > χ2 (n,α/2) Bên trái σ2 ≥ σ20 σ2 < σ20 χ2 < χ2(1−α) Bên phải σ2 ≤ σ20 σ2 > σ20 χ2 > χ2(α) Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy kiểm định giả thuyết H0 : σ2 = 30;H1 : σ2 , 30 với mức ý nghĩa 5%. 30 Kiểm định giả thuyết Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy Bài toán: Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy với mức ý nghĩa α. Kiểm định cặp giả thuyết H0 : R2 = 0 (Hàm hồi quy không phù hợp) H1 : R2 , 0 (Hàm hồi quy phù hợp) Tiêu chuẩn thống kê Fqs = ESS/1 RSS/(n − 2) = R2/1 (1 − R2)/(n − 2) = R2(n − 2) (1 − R2) . Nếu Fqs > Fα(1; n − 2) thì bác bỏ H0, kết luận hàm hồi quy là phù hợp. Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy kiểm định sự phù hợp của mô hình với mức ý nghĩa 5%. Ví dụ Sử dụng tập số liệu ch1vd.wf1. Sau khi ước lượng hàm hồi quy, hãy kiểm định sự phù hợp của mô hình với mức ý nghĩa 5%. 31 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc Khoảng tin cậy (1 − α) cho giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y khi X = X0 là: ( Yˆ0 − t(n − 2)α/2se(Yˆ0); Yˆ0 + t(n − 2)α/2se(Yˆ0) ) ; trong đó Yˆ0 = βˆ1 + βˆ2X0 là ước lượng điểm cho E(Y|X0); se(Yˆ0) = σˆ √ 1 n + (X0 −X)2∑n i=1 x2i . Khoảng tin cậy (1 − α) cho giá trị riêng biệt của biến phụ thuộc Y khi X = X0 là: ( Yˆ0 − t(n − 2)α/2se(Y0 − Yˆ0); Yˆ0 + t(n − 2)α/2se(Y0 − Yˆ0) ) ; trong đó Yˆ0 = βˆ1 + βˆ2X0 là ước lượng điểm cho Y0; se(Y0 − Yˆ0) = σˆ √ 1 + 1 n + (X0 −X)2∑n i=1 x2i . 32 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập. Hãy dự báo giá trị trung bình và giá trị riêng biệt của chi tiêu khi thu nhập ở mức 60 triệu đồng/năm với hệ số tin cậy 95%. 33 Một số vấn đề bổ sung Đơn vị đo lường trong phân tích hồi quy Trong hàm hồi quy hai biến , nếu đơn vị tính của X và Y thay đổi thì ta không cần hồi quy lại mà chỉ cần áp dụng công thức đổi đơn vị tính. Hàm hồi quy theo đơn vị tính cũ: Ŷi = β̂1 + β̂2Xi Hàm hồi quy theo đơn vị tính mới: Ŷ∗ i = βˆ∗1 + β̂ ∗ 2X ∗ i 1 (đơn vị của Y) = k1 (đơn vị của Y∗i ) −→ Y∗i = k1Yi 1 (đơn vị của X) = k2 (đơn vị của X∗i) −→ X∗i = k2Xi βˆ∗1 = k1βˆ1 βˆ∗2 = k1 k2 βˆ2 Ví dụ Cho hàm hồi quy giữa lượng tiêu thụ cà phê (Y – ly/ngày) với giá bán cà phê ( X – ngàn đồng/kg) như sau: Ŷi = 110 − 0, 2Xi Viết lại hàm hồi quy nếu đơn vị tính của Y là ly/tuần. 34 Một số vấn đề bổ sung Đơn vị đo lường trong phân tích hồi quy Ví dụ Từ số liệu đã cho của ví dụ trước về chi tiêu và thu nhập, yêu cầu viết lại hàm hồi quy với đơn vị tính như sau: a) Y – triệu đồng/tháng; X – triệu đồng/năm b) Y – triệu đồng/tháng; X – triệu đồng/ tháng c) Y – ngàn đồng/tháng; X – ngàn đồng/tháng 35 Một số vấn đề bổ sung Hệ số chặn và mô hình hồi quy Ví dụ: Giả sử có hàm hồi quy tổng thể sau về mối quan hệ giữa số năm kinh nghiệm KN (năm) và mức thu nhập của người lao động TN (triệu đồng/tháng) trong ngành dệt may TN = 3, 6 + 0, 6KN + u −→ khi số năm kinh nghiệm bằng 0 - nghĩa là người vừa mới bắt đầu làm việc - thì mức thu nhập trung bình của người lao động là 3,6 triệu/tháng. Ví dụ: Xét hàm hồi quy tổng thể về mối quan hệ giữa giá và nhu cầu về vàng: Q = 25 − 0, 1P + u 36