Bài giảng Lý thuyết thông tin - Chương 2: Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu (Phần 3)

Chương 2: Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu 2.3 Định lý cho bài toán mã trong trường hợp kênh không bị nhiễu Mở ñầu • Biến ngẫu nhiên X có các trạng thái x1, x2, , xM với xác xuất tương ứng p1, p2, , pM • Các từmã cho x1, x2, , xM là W1, W2, , WM có 9/30/2010 2 Huỳnh Văn Kha độ dài lần lượt là n1, n2, , nM • Tập các ký tựmã là {a1, a2, , aD} • Ta sẽ xây dựng bộmã để cực tiểu hóa chiều dài từ mã trung bình • Đầu tiên là tìm chặn dưới lớn nhất, sau đó tìm cách tiến gần tới chặn dưới đó. Và cuối cùng là xây dựng thuật toán để tìm bộmã tối ưu ðịnh lý 2.4 (ðịnh lý cho bài toán mã trong trường hợp kênh không bị nhiễu) Gọi 9/30/2010 3 Huỳnh Văn Kha là chiều dài từmã trung bình của một bộmã giải được bất kỳ cho biến ngẫu nhiên X. Khi đó: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Đặt: Thì các q có tổng bằng 1. Áp dụng mệnh đề 1.1 9/30/2010 4 Huỳnh Văn Kha i Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Dấu bằng trong bất đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi: 9/30/2010 5 Huỳnh Văn Kha • Do bộmã là giải được nên Và ta được • Tiếp theo, nếu , thì Chứng minh ñịnh lý 2.4 • Ngược lại, nếu thì từ (*) ta được 9/30/2010 6 Huỳnh Văn Kha Nhưng Vậy , và từ (**), ta được Bộ mã tối ưu tuyệt ñối • Bộmã làm cho dấu bằng trong định lý 2.4 xảy ra được gọi là bộmã tối ưu tuyệt đối • Ví dụ 9/30/2010 7 Huỳnh Văn Kha X Xác suất Từmã x1 1/2 0 x2 1/4 10 x3 1/8 110 x4 1/8 111 Bộ mã tối ưu tuyệt ñối • Bộmã tối ưu tuyệt đối phải thỏa mãn • Trong trường hợp tổng quát chưa chắc xây dựng 9/30/2010 8 Huỳnh Văn Kha được bộmã tối ưu tuyệt đối, do các ni như trên chưa chắc là số nguyên • Tuy nhiên, ta hoàn toàn có thể xây dựng được bộ mã tiền tố có chiều dài từmã trung bình gần bằng chận dưới H(X)/log D như khẳng định của định lý sau ðịnh lý 2.5 Cho trước biến ngẫu nhiên X, với độ không chắc chắn là H(X). Khi đó tồn tại bộmã 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 9 tiền tố cho X, sao cho chiều dài từmã trung bình thỏa mãn Chứng minh ñịnh lý 2.5 • Chọn ni là số nguyên thỏa mãn 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 10 • Khi đó log pi ≥ -ni log D, suy ra • Vậy theo định lý 2.2 thì tồn tại bộmã tiền tố ứng với các ni chọn như trên Chứng minh ñịnh lý 2.5 • Tiếp theo, ta ước lượng chiều dài từmã trung bình. Nhân hai vế cho pi rồi lấy tổng theo i ta được 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 11 • Và ta có kết luận của định lý Mã hóa theo block • Theo định lý 2.5, ta luôn xây dựng được bộmã tiền tố có chiều dài trung bình nhỏ hơn chận dưới H(X)/log D cộng thêm 1 ký tựmã 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 12 • Tuy nhiên ta có thể làm tốt hơn thế nếu dùng phương pháp mã hóa theo block • Nghĩa là ta không mã hóa từng trạng thái xi của X, mà sẽmã hóa từng nhóm s các trạng thái • Nói cách khác, ta sẽ xây dựng bộmã cho vector ngẫu nhiên Y = (X1, X2, , Xs). Trong đó các Xi là độc lập và có cùng phân phối xác suất như X Mã hóa theo block X p Từmã x1 3/4 0 x 1/4 1 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 13 Y=(X1, X2) p Từmã x1x1 9/16 0 x1x2 3/16 10 2 x2x1 3/16 110 x2x2 1/16 111 Mã hóa theo block • Ta sẽ kiểm chứng rằng việc mã hóa theo block sẽ làm giảm chiều dài từmã trung bình cho một trạng thái của X 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 14 • Theo định lý 2.5, ta sẽ xây dựng được bộmã tiền tố cho Y với chiều dài từmã trung bình thỏa • Nhưng do các Xi độc lập và cùng phân phối xác suất với X nên ta có: H(Y) = H(X1) + H(X2) + + H(Xs) = sH(X) Mã hóa theo block • Như vậy 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 15 • chính là số ký tựmã trung bình đểmã hóa một trạng thái của X • Từ trên ta thấy có thể gần H(X)/log D tùy ý • Vậy H(X)/log D chính là số ký tựmã trung bình (lấy trong bộ D ký tựmã) cực tiểu dùng đểmã hóa một trạng thái của X Một ý nghĩa của H(X) • Trong trường hợp D=2 , ta thấy H(X) chính là số ký tựmã trung bình cực tiểu dùng đểmã hóa 1 trạng thái của X 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 16 • Một bộmã nhị phân tiền tố sẽ tương ứng với một dãy các câu hỏi “yes no” dùng để xác định trạng thái của X • Trong đó số câu hỏi để xác định xi chính bằng chiều dài ni của từmã tương ứng • Vậy H(X) có thể xem là số câu hỏi trung bình cực tiểu dùng để xác định trạng thái của X Ví dụ X Từmã x 00 9/30/2010Huỳnh Văn Kha 17 x1? x1 x2 x yes yes yes no 1 x2 01 x3 11 x4 100 x5 101 x1 or x2? x4 or x5? x4? x5 4 x3 yes no no no