Bài giảng Lý thuyết xác suất – Thống kê toán học

 Bài GiảngLÝ THUYẾT XÁC SUẤT – THỐNG KÊ TOÁN HỌCPROBABILITY THEORY AND MATHEMATICAL STATISTICS Chương 1 CÁC KHÁI NiỆM CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN§1. PHÉP THỬ - BIẾN CỐ - KHÔNG GIAN MẪU1. CÁC KHÁI NiỆM2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐ4. KHÔNG GIAN MẪU5. CÁC TÍNH CHẤT 1. CÁC KHÁI NiỆMPhép thử được xem là việc thực hiện một số điều kiện nhất định nào đó, một quan sát hay một thí nghiệm, một quá trình làm phát sinh dữ liệuThường ta xét một phép thử có nhiều kết cục, mỗi kết cục của phép thử được gọi là một biến cố. 1. CÁC KHÁI NiỆMCác loại biến cố • Biến cố chắc chắn, ký hiệu Ω, là biến cố nhất thiết xảy ra khi phép thử được thực hiện.• Biến cố không thể có, ký hiệu Ø, là biến cố nhất thiết không xảy ra khi phép thử được thực hiện.• Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra, ta thường dùng các ký tự A, B, C để ký hiệu các biến cố này.CÁC KHÁI NiỆM Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không biết chắc kết cục nào xảy ra trước khi thực hiện phép thử (mặc dù có thể biết được tất cả các kết cục có thể xảy ra của nó)2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ Xét phép thử , A, B là biến cố. • Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A U B (hoặc A + B ), biến cố này xảy ra khi (và chỉ khi) có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra. • Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, ký hiệu là A ⋂ B (hoặc A.B), biến cố này xảy ra khi (và chỉ khi) A xảy ra và B xảy ra.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐVí dụ Xem hai xạ thủ bắn vào một bia, mỗi người bắn một viên. Gọi A là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia” A’ là biến cố “xạ thủ thứ nhất bắn không trúng bia” B là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn trúng bia” B’ là biến cố “xạ thủ thứ hai bắn không trúng bia” Khi đó: A U B là biến cố “bia trúng đạn”. A’ ⋂ B’ là biến cố “bia không trúng đạn”3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐXét phép thử ; A, B là biến cố.Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B, ký hiệu A ⊂ B, nếu A xảy ra thì B xảy ra.Biến cố A và B được gọi là tương đương, ký hiệu A = B, nếu A kéo theo B và B kéo theo A. 3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐHai biến cố A và B được gọi là xung khắc nhau nếu A ⋂ B = ØBiến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu là , nếu A xung khắc và A U = Ω (biến cố chắc chắn)Đôi khi ta sử dụng ký hiệu A\B để chỉ biến cố A ⋂ 3. SỰ LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIẾN CỐVí dụ Xét phép thử là tung một con xúc xắc và xem mặt nào xuất hiện. Khi đó:Biến cố “mặt 2 xuất hiện” và biến cố “mặt 5 xuất hiện” xung khắc với nhau.Biến cố “mặt chẵn xuất hiện” và biến cố “mặt lẻ xuất hiện” đối lập với nhau.4. KHÔNG GIAN MẪU Xét phép thử Ta gọi không gian mẫu là tập hợp các biến cố đơn giản nhất của phép thử, mà mỗi biến cố này không thể phân nhỏ thành các biến cố khác, và ta gọi mỗi biến cố như vậy là biến cố sơ cấp. Khi phép thử được thực hiện, nhất thiết một trong các biến cố sơ cấp xảy ra.Ta thường ký hiệu không gian mẫu là S.4. KHÔNG GIAN MẪUVí dụ Một nhà đầu tư quan sát chỉ số VN-index trong một ngày để so sánh với VN-index của ngày hôm qua.Gọi A là biến cố “VN-index tăng so với VN-index ngày hôm qua” B là biến cố “VN-index bằng VN-index ngày hôm qua” C là biến cố “VN-index giảm so với VN-index ngày hôm qua”Không gian mẫu của phép thử này là S = {A, B, C} 4. KHÔNG GIAN MẪUVí dụ Tung một con xúc xắc để xem mặt nào xuất hiện.Gọi Ai là biến cố “mặt i xuất hiện” (i = 1, 2, , 6)Không gian mẫu của phép thử này là S = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} 5. CÁC TÍNH CHẤTXét phép thử có không gian mẫu S;A, B, C là các biến cố • A U B = B U A• A ⋂ B = B ⋂ A• A U (B U C) = (A U B) U C = A U B U C• A ⋂ (B ⋂ C) = (A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ B ⋂ C• A U (B ⋂ C) = (A U B) ⋂ (A U C)• A ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) U (A ⋂ C)• • §2. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT1. Định nghĩa xác suất theo cách cổ điển2. Định nghĩa xác suất theo thống kê Xét phép thử và A là biến cố. n : số trường hợp đồng khả năng có thể xảy ra. m : số trường hợp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A. Xác suất của biến cố A được xác định là  1. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT  THEO CÁCH CỔ ĐIÊNĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO CÁCH CỔ ĐIỂNVí dụ 1 Một lô hàng có 10 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng này. Tính xác suất để lấy được sản phẩm tốt.VÍ DỤ 2 Một cửa hàng có 30 máy vi tính, trong đó có 20 máy do công ty SN sản xuất và 10 máy do công ty IB sản xuất. Một khách hàng đến cửa hàng mua 2 máy vi tính. Giả sử khả năng được mua của mỗi máy là như nhau. Tính xác suất để khách hàng này mua 1 máy của công ty SN và 1 máy của công ty IB.VÍ DỤ 3 Một nhà phân tích thị trường chứng khoán đưa ra một danh sách cụ thể 5 loại cổ phiếu. Giả sử xếp được bảng thứ tự tăng trưởng của 5 loại cổ phiếu này vào năm tới và các khả năng xếp hạng đều như nhau. Tính xác suất để dự đoán đúng 3 loại cổ phiếu xếp ở đầu bảng này.a) Không yêu cầu theo thứ tự.b) Đúng theo thứ tự 1, 2, 3.VÍ DỤ 4 Một công ty tuyển 3 nhân viên cho 3 vị trí giám đốc tiếp thị, trợ lý giám đốc, trưởng phòng kinh doanh. Biết có 50 người dự tuyển trong đó có 20 người là nữ. Tính xác suất để trong 3 người được tuyển có trợ lý giám đốc là nữ. ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊVí dụ • Người ta tung một đồng xu cân đối hơn 10.000 lần thì tính được tần suất của biến cố mặt ngửa xuất hiện gần bằng 0,5.• Trong khoảng từ năm 1974 đến 1981, mỗi năm quan sát hơn 3 triệu em bé sinh ra ở Hoa Kỳ người ta tính được tần suất của biến cố sinh ra bé trai gần bằng 0,513.§3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CÔNG THỨC NHÂN CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ CÔNG THỨC BAYES1. CÔNG THỨC CỘNG Cho không gian mẫu S, và đã định nghĩa biến cố, xác suất của biến cố (trong các phần sau ta không lặp lại giả thiết này); A, B là biến cố. Khi đó: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ⋂ B)1. CÔNG THỨC CỘNGVí dụ Một khách sạn được lắp 2 hệ thống chuông báo động phòng cháy. Một hệ thống báo khi phát hiện lửa và một hệ thống báo khi phát hiện khói. Qua thực nghiệm thấy xác suất chuông báo lửa là 0,96, xác suất chuông báo khói là 0,93, xác suất cả hai chuông báo là 0,9. Tính xác suất để có ít nhất một chuông báo khi có hỏa hoạn.1. CÔNG THỨC CỘNGTrường hợp A, B xung khắc P(A U B) = P(A) + P(B) CÔNG THỨC CỘNG(Trường hợp xung khắc)Ví dụ Một lô hàng gồm 40 máy vi tính trong đó có 25 máy do công ty SN sản xuất và 15 máy do công ty IB sản xuất. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên 5 máy từ lô hàng này. Tính xác suất để: a) Cả 5 máy do công ty SN sản xuất.b) Cả 5 máy do công ty IB sản xuất.c) Cả 5 máy do một công ty sản xuất.1. CÔNG THỨC CỘNG (Trường hợp đối lập)1. CÔNG THỨC CỘNG (Trường hợp đối lập)Ví dụ Trong một đợt khuyến mại dành cho khách hàng thân thiết, một công ty phát hành 100 vé trong đó có 10 vé có thưởng. Một khách hàng được tặng ngẫu nhiên 5 vé. Tính xác suất để trong 5 vé này có ít nhất một vé trúng thưởng. 2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆNĐịnh nghĩa Cho không gian mẫu S, và đã định nghĩa biến cố, xác suất của biến cố. A, B là hai biến cố với P(B) > 0. Khi đó xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra, ký hiệu P(A|B), được xác định bởi2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Ví dụ Một công ty có lô hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có 60 sản phẩm do phân xưởng 1 sản xuất, 40 sản phẩm do phân xưởng 2 sản xuất. Số sản phẩm đạt tiêu chuẩn của phân xưởng 1, phân xưởng 2 lần lượt là 55; 35. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng này. Biết rằng sản phẩm được chọn là sản phẩm đạt tiêu chuẩn, tính xác suất để sản phẩm đó do phân xưởng 1 sản xuất.3. CÔNG THỨC NHÂN CÔNG THỨC NHÂNVí dụ Một lô hàng gồm 20 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm. Người ta lần lượt lấy mỗi lần một sản phẩm để kiểm tra (không hoàn lại) cho đến khi phát hiện đủ 2 phế phẩm thì dừng.a) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng ở lần thứ hai.b) Tính xác suất để việc kiểm tra dừng ở lần thứ ba.4. 4. SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐHai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu P(A) = P(A|B) hay P(B) = P(B|A) Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố này đều không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra biến cố kia.Từ định nghĩa này ta suy ra: Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B)4. SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐVí dụ Một lô hàng có hai kiện sản phẩm. Mỗi kiện có 20 sản phẩm. Kiện 1 có 18 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Kiện 2 có 16 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi kiện ra 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm được lấy ra có đúng 3 sản phẩm tốt. 4. SỰ ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN CỐVí dụ Một hệ thống gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để mỗi bộ phận bị hỏng trong một ngày lần lượt là 0,05; 0,1; 0,15. Hệ thống ngừng hoạt động nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng. Tính xác suất để hệ thống hoạt động tốt (không bị ngừng hoạt động) trong một ngày.5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦCho không gian mẫu S và A1, A2, , An, B là các biến cố.Các biến cố A1, A2, , An được gọi là một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi nếu chúng thỏa mãn hai điều kiện: (biến cố chắc chắn) (biến cố không thể có) với mọi i ≠ j và i, j ∈ {1, 2, , n}5. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦVí dụ Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 60 nam và 40 nữ. Số sinh viên đạt môn Toán cho ở bảng sau: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp học này. Tính xác suất để chọn được sinh viên đạt môn Toán.ĐạtKhông đạtNam4614Nữ3466. CÔNG THỨC BAYESTỪ CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐỦ TA CÓ :VÍ DỤ 1 Một công ty có 3 phân xưởng I, II, III cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỷ lệ phế phẩm của phân xưởng I, II, III lần lượt là 2%, 3%, 5%. Một lô hàng của công ty này có 48% sản phẩm của phân xưởng I, 22% sản phẩm của phân xưởng II, 30% sản phẩm của phân xưởng III. Tính tỷ lệ phế phẩm của lô hàng. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng, nếu sản phẩm đó là phế phẩm thì khả năng nó thuộc phân xưởng nào là cao nhất?Bộ phận nghiên cứu thị trường của một công ty khảo sát và đánh giá triển vọng của chuỗi các cửa hàng của công ty này tại các trung tâm thương mại. Bộ phận nghiên cứu này chia các cửa hàng thành 2 nhóm : các cửa hàng có doanh thu cao và các cửa hàng có doanh thu chưa cao. Đánh giá triển vọng của các cửa hàng theo mức độ A, B, C : - Loại A gồm các cửa hàng cần được ưu tiên đầu tư. - Loại B gồm các cửa hàng cần duy trì một thời gian đề xem xét thêm. - Loại C gồm các cửa hàng sẽ loại bỏ trong thời gian gần vì lý do nào đó, chẳng hạn do vị trí, hợp đồng VÍ DỤ 2VÍ DỤ 2 Trong các cửa hàng có doanh thu cao, tỷ lệ cửa hàng loại A, loại B, loại C lần lượt là 65%, 25%, 10%. Trong các cửa hàng có doanh thu chưa cao, tỷ lệ cửa hàng loại A, loại B, loại C lần lượt là 12%, 36%, 52%. Biết rằng có 70% cửa hàng có doanh thu cao, 30% cửa hàng có doanh thu chưa cao. a) Chọn ngẫu nhiên một cửa hàng trong chuỗi các cửa hàng này, tính xác suất để chọn được cửa hàng loại A. b) Giả sử chọn được cửa hàng loại A, tính xác suất để cửa hàng đó là cửa hàng có doanh thu cao.