Bài giảng Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán - Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

kê Toán 2012 131 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.6. Phân phối xá suất ủa tổng á biến ngẫu nhiên độ lập tuân theo ùng một quy luật • X 1 ∼ N(à 1 , σ2 1 ),X 2 ∼ N(à 2 , σ2 2 ) và độ lập thì ⇒ X 1 + X 2 ∼ N(à 1 + à 2 , σ2 1 + σ2 2 ) • Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n là n BNN độ lập ùng tuân theo một quy luật phân phối (không nhất thiết là quy luật huẩn) thì khi n khá lớn (n > 30) biến ngẫu nhiên X = ∑ n i=1 Xi sẽ phân phối xấp xỉ huẩn với E(X) = n∑ i=1 E(X i ) và V(X) = n∑ i=1 V(X i ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 132 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.9. Chiều ao ( m) ủa sinh viên nam là X ∼ N(165; 36), sinh viên nữ là Y ∼ N(155; 64). a. Tìm xá suất 1 sinh viên nữ bất kì ao hơn 1 sinh viên nam bất kì. b. Tìm tỷ lệ sinh viên ao hơn 1,7m. Biết rằng số sinh viên nam bằng số sinh viên nữ. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 133 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.7. Sự hội t ủa quy luật nhị thứ và quy luật Poisson về quy luật huẩn + Nếu X ∼ B(n, p) với n và p thỏa mãn n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì ó thể oi như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = np, σ2 = npq). + Nếu X ∼ P(λ) với λ > 20 thì ó thể xem như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = λ, σ2 = λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 134 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) 8.7. Sự hội t ủa quy luật nhị thứ và quy luật Poisson về quy luật huẩn + Nếu X ∼ B(n, p) với n và p thỏa mãn n > 5∣∣√ p 1− p − √ 1− p p ∣∣ 1√ n < 0, 3 thì ó thể oi như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = np, σ2 = npq). + Nếu X ∼ P(λ) với λ > 20 thì ó thể xem như X phân phối xấp xỉ quy luật huẩn N(à = λ, σ2 = λ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 134 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.10. Tiến hành kiểm tra hất lượng 900 hi tiết. Xá suất đượ hi tiết đạt tiêu huẩn là 0,9. Hãy tìm với xá suất 0,9544 xem số hi tiết đạt tiêu huẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số hi tiết đạt tiêu huẩn trung bình. 8.8. ứng dng ủa quy luật huẩn Quy luật phân phối huẩn đượ áp dng rộng rãi trong nhiều lĩnh vự khoa họ và đời sống. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 135 / 293 8. Quy luật pp huẩn - N( à, σ2) Thí d 3.10. Tiến hành kiểm tra hất lượng 900 hi tiết. Xá suất đượ hi tiết đạt tiêu huẩn là 0,9. Hãy tìm với xá suất 0,9544 xem số hi tiết đạt tiêu huẩn nằm trong khoảng nào xung quanh số hi tiết đạt tiêu huẩn trung bình. 8.8. ứng dng ủa quy luật huẩn Quy luật phân phối huẩn đượ áp dng rộng rãi trong nhiều lĩnh vự khoa họ và đời sống. Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 135 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Biến ngẫu nhiên liên t χ2 gọi là phân phối theo quy luật khi bình phương với n bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng f(x) = { 0 với x 6 0 1 2 n/2Γ( n 2 ) e x 2 x n 2 −1 với x > 0 trong đó Γ(x) = infty∫ 0 t x−1 e −t dt gọi là hàm Gamma. Kí hiệu: X ∼ χ2(n). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 136 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật khi bình phương là E(χ2) = n V(χ2) = 2n P(χ2 > χ2(n)α ) = α trong đó χ 2(n) α là giá trị tới hạn khi bình phương mứ α. Cá giá trị tới hạn này đượ tính sẵn ở bảng ph l 7/ 953. Ví d: χ (14) 0,9 = 7, 79 (vị trí ột α = .9, dòng df = 14) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 137 / 293 9. Quy luật khi bình phương- χ2(n) Tính hất: + Khi n tăng lên thì quy luật khi bình phương xấp xỉ quy luật huẩn. + Nếu χ2 1 ∼ χ2 1 (n 1 ) và χ2 2 ∼ χ2 2 (n 2 ) là á biến ngẫu nhiên độ lập thì χ2 = χ2 1 + χ2 2 ∼ χ2(n 1 + n 2 ) + Giả sử X 1 ,X 2 , ...,X n là á biến ngẫu nhiên độ lập ùng phân phối theo quy luật huẩn hóa. Khi đó ta ó χ2 = n∑ i=1 X 2 i ∼ χ2(n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 138 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Biến ngẫu nhiên liên t T gọi là phân phối theo quy luật Student với n bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng: f(t) = Γ ( n 2 )√ pi(n− 1)Γ(n−1 2 )[1+ t2 n− 1 ]− n 2 ∀t trong đó Γ(x) là hàm Gamma. Kí hiệu: X ∼ T(n). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 139 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Student là: E(T) = 0 với n > 1 V(X) = n n− 2 với n > 2 P(T > t(n)α ) = α trong đó t (n) α là giá trị tới hạn Student mứ α. Cá giá trị này đượ tính sẵn trong bảng ph l 8/ 955. Ví d: t (9) 0,025 = 2, 262, t (24) 0.05 = 1, 711 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 140 / 293 10. Quy luật Student- T(n) Tính hất: + t (n) 1−α = −t(n)α . + Khi só bậ tự do n tăng lên thì phân phối Student hội t nhanh về phân phối huẩn hóa. Do đó nếu n > 30 ó thể dùng phân phối huẩn hóa thay ho phân phối Student. Ví d: t (99) 0,05 ≈ u0,05 = 1, 64 + Giả sử U ∼ N(0, 1) và V ∼ χ2(n) là hai biến ngẫu nhiên độ lập thì T = U√ V n ∼ T(n) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 141 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Biến ngẫu nhiên liên t F gọi là phân phối theo quy luật Fisher - Snede or với n 1 và n 2 bậ tự do nếu hàm mật độ xá suất ủa nó ó dạng f(x) = 0 với x 6 0 C x n 1 −n 2 2 (n 2 +n 1 x) n 1 +n 2 2 với x > 0 với C = Γ ( n 2 +n 2 2 ) n n 1 2 1 n n 2 2 2 Γ(n1 2 )Γ(n2 2 ) Kí hiệu: F ∼ F(n 1 , n 2 ). Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 142 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Cá tham số đặ trưng ủa quy luật Fisher - Snede or là E(F) = n 2 n 2 − 2 V(F) = 2n 2 2 (n 1 + n2 2 − 2) n 1 (n 2 − 2)2(n 2 − 4) P(F > f(n1,n2)α ) = α trong đó f (n 1 ,n 2 ) α giá trị tới hạn Fisher - Snede or mứ α. Tính hất: f (n 1 ,n 2 ) 1−α = 1 f (n 2 ,n 1 ) α Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 143 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Cá giá trị tới hạn Fisher - Snede or đượ tính sẵn trong bảng ph l 9/ 956, trong đó n 1 = df 1 đặt ở dòng 2, n 2 = df 2 đặt ở ột 1. Ví d: f (12,5) 0,05 = 4, 68; f 5,12 0,95 = 1/4, 68 = 0, 214 Giả sử U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 ) là hai biến ngẫu nhiên độ lập với nhau. Khi đó F = U n 1 V n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 144 / 293 11. Quy luật Fisher - Snede or- F(n 1 ,n 2 ) Cá giá trị tới hạn Fisher - Snede or đượ tính sẵn trong bảng ph l 9/ 956, trong đó n 1 = df 1 đặt ở dòng 2, n 2 = df 2 đặt ở ột 1. Ví d: f (12,5) 0,05 = 4, 68; f 5,12 0,95 = 1/4, 68 = 0, 214 Giả sử U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 ) là hai biến ngẫu nhiên độ lập với nhau. Khi đó F = U n 1 V n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 144 / 293 Một số hú ý 1 Nếu X ∼ N(à; σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0; 1) 2 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn thì X = ∑ n i=1 aiXi phân phối huẩn với E(X) = ∑ n i=1 aiE(Xi);V(X) = ∑ n i=1 a 2 i V(X i ) 3 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn hóa thì X = ∑ n i=1X 2 i ∼ χ2(n) 4 Nếu U ∼ N(0; 1) và V ∼ χ2(n) độ lập với nhau thì T = U√ V/n ∼ T(n) 5 Nếu U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 )độ lập với nhau thì F = U/n 1 V/n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 145 / 293 Một số hú ý 1 Nếu X ∼ N(à; σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0; 1) 2 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn thì X = ∑ n i=1 aiXi phân phối huẩn với E(X) = ∑ n i=1 aiE(Xi);V(X) = ∑ n i=1 a 2 i V(X i ) 3 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn hóa thì X = ∑ n i=1X 2 i ∼ χ2(n) 4 Nếu U ∼ N(0; 1) và V ∼ χ2(n) độ lập với nhau thì T = U√ V/n ∼ T(n) 5 Nếu U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 )độ lập với nhau thì F = U/n 1 V/n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 145 / 293 Một số hú ý 1 Nếu X ∼ N(à; σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0; 1) 2 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn thì X = ∑ n i=1 aiXi phân phối huẩn với E(X) = ∑ n i=1 aiE(Xi);V(X) = ∑ n i=1 a 2 i V(X i ) 3 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn hóa thì X = ∑ n i=1X 2 i ∼ χ2(n) 4 Nếu U ∼ N(0; 1) và V ∼ χ2(n) độ lập với nhau thì T = U√ V/n ∼ T(n) 5 Nếu U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 )độ lập với nhau thì F = U/n 1 V/n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 145 / 293 Một số hú ý 1 Nếu X ∼ N(à; σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0; 1) 2 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn thì X = ∑ n i=1 aiXi phân phối huẩn với E(X) = ∑ n i=1 aiE(Xi);V(X) = ∑ n i=1 a 2 i V(X i ) 3 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn hóa thì X = ∑ n i=1X 2 i ∼ χ2(n) 4 Nếu U ∼ N(0; 1) và V ∼ χ2(n) độ lập với nhau thì T = U√ V/n ∼ T(n) 5 Nếu U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 )độ lập với nhau thì F = U/n 1 V/n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 145 / 293 Một số hú ý 1 Nếu X ∼ N(à; σ2) thì U = X− à σ ∼ N(0; 1) 2 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn thì X = ∑ n i=1 aiXi phân phối huẩn với E(X) = ∑ n i=1 aiE(Xi);V(X) = ∑ n i=1 a 2 i V(X i ) 3 Nếu X 1 ,X 2 , ...,X n độ lập và ùng phân phối huẩn hóa thì X = ∑ n i=1X 2 i ∼ χ2(n) 4 Nếu U ∼ N(0; 1) và V ∼ χ2(n) độ lập với nhau thì T = U√ V/n ∼ T(n) 5 Nếu U ∼ χ2(n 1 ) và V ∼ χ2(n 2 )độ lập với nhau thì F = U/n 1 V/n 2 ∼ F(n 1 , n 2 ) Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 145 / 293 Bài tập 3. B(n, p): 5, 7, 11, 13, 18, 77 Poisson: 21, 22, 23, 25 Lũy thừa: 34, 36 Chuẩn: 41, 42, 44, 47, 78, 80, 81, 87, 88, 89, 91, 93 Câu hỏi ôn tập: 50 → 76 Mai Cẩm Tú (TKT) Lý thuyết Xá suất và Thống kê Toán 2012 146 / 293