Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Mai Cẩm Tú

n. T×m x¸ suÊt x¹ thñ dïng ®óng 3 viªn ®¹n. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 45 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt 9.2. §Þnh lý 2. NÕu A vµ B lµ 2 biÕn è ph thué th× P(A.B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) HÖ qu¶ 3. NÕu P(B) > 0 th× P(A/B) = P(AB) P(B) NÕu P(B) = 0 th× P(A/B) kh«ng x¸ ®Þnh. T­¬ng tù víi biÕn è A Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 46 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt 9.2. §Þnh lý 2. NÕu A vµ B lµ 2 biÕn è ph thué th× P(A.B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) HÖ qu¶ 3. NÕu P(B) > 0 th× P(A/B) = P(AB) P(B) NÕu P(B) = 0 th× P(A/B) kh«ng x¸ ®Þnh. T­¬ng tù víi biÕn è A Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 46 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt HÖ qu¶ 4. NÕu P(A 1 A 2 ...A n−1) > 0 th× P(A 1 A 2 ...A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )...P(A n /A 1 ...A n−1) HÖ qu¶ 5. NÕu A vµ B ®é lËp th× P(A/B) = P(A) vµ P(B/A) = P(B) Chó ý: A vµ B ®é lËp ⇔{ P(A/B) = P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B/A) = P(B) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 47 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt HÖ qu¶ 4. NÕu P(A 1 A 2 ...A n−1) > 0 th× P(A 1 A 2 ...A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )...P(A n /A 1 ...A n−1) HÖ qu¶ 5. NÕu A vµ B ®é lËp th× P(A/B) = P(A) vµ P(B/A) = P(B) Chó ý: A vµ B ®é lËp ⇔{ P(A/B) = P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B/A) = P(B) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 47 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt HÖ qu¶ 4. NÕu P(A 1 A 2 ...A n−1) > 0 th× P(A 1 A 2 ...A n ) = P(A 1 )P(A 2 /A 1 )...P(A n /A 1 ...A n−1) HÖ qu¶ 5. NÕu A vµ B ®é lËp th× P(A/B) = P(A) vµ P(B/A) = P(B) Chó ý: A vµ B ®é lËp ⇔{ P(A/B) = P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B/A) = P(B) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 47 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt ThÝ d 1.31. Mét ng­êi mua 2 s¶n phÈm ïng lo¹i trªn thÞ tr­êng. X¸ suÊt lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,8. X¸ suÊt lÇn thø hai mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,95 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm; lµ 0,85 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î phÕ phÈm. T×m x¸ suÊt ng­êi ®ã mua ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.32. Mét hép ã 7 hÝnh phÈm vµ 3 phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.33. Mét hép ã 70% hÝnh phÈm vµ 30% phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 48 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt ThÝ d 1.31. Mét ng­êi mua 2 s¶n phÈm ïng lo¹i trªn thÞ tr­êng. X¸ suÊt lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,8. X¸ suÊt lÇn thø hai mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,95 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm; lµ 0,85 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î phÕ phÈm. T×m x¸ suÊt ng­êi ®ã mua ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.32. Mét hép ã 7 hÝnh phÈm vµ 3 phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.33. Mét hép ã 70% hÝnh phÈm vµ 30% phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 48 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt ThÝ d 1.31. Mét ng­êi mua 2 s¶n phÈm ïng lo¹i trªn thÞ tr­êng. X¸ suÊt lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,8. X¸ suÊt lÇn thø hai mua ®­î hÝnh phÈm lµ 0,95 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î hÝnh phÈm; lµ 0,85 nÕu lÇn thø nhÊt mua ®­î phÕ phÈm. T×m x¸ suÊt ng­êi ®ã mua ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.32. Mét hép ã 7 hÝnh phÈm vµ 3 phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. ThÝ d 1.33. Mét hép ã 70% hÝnh phÈm vµ 30% phÕ phÈm. LÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i 2 s¶n phÈm. TÝnh x¸ suÊt lÊy ®­î 2 hÝnh phÈm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 48 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt Chó ý + §èi víi bµi to¸n ho biÕt sè s¶n phÈm th× php lÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i t­¬ng tù nh­ lÊy ïng mét ló , do ®ã trong tr­êng hîp nµy ta ã thÓ dïng ®Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt ®Ó tÝnh to¸n. + NÕu bµi to¸n kh«ng ho biÕt sè s¶n phÈm mµ ho tû lÖ th× x¸ suÊt ®Ó mçi lÇn lÊy ®­î hÝnh phÈm hoÆ phÕ phÈm lµ kh«ng thay ®æi, kh«ng ph thué vµo ph­¬ng thø lÊy ( ã hoµn l¹i hay kh«ng hoµn l¹i). Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 49 / 293 9. §Þnh lý nh©n x¸ suÊt Chó ý + §èi víi bµi to¸n ho biÕt sè s¶n phÈm th× php lÊy lÇn l­ît kh«ng hoµn l¹i t­¬ng tù nh­ lÊy ïng mét ló , do ®ã trong tr­êng hîp nµy ta ã thÓ dïng ®Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt ®Ó tÝnh to¸n. + NÕu bµi to¸n kh«ng ho biÕt sè s¶n phÈm mµ ho tû lÖ th× x¸ suÊt ®Ó mçi lÇn lÊy ®­î hÝnh phÈm hoÆ phÕ phÈm lµ kh«ng thay ®æi, kh«ng ph thué vµo ph­¬ng thø lÊy ( ã hoµn l¹i hay kh«ng hoµn l¹i). Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 49 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.1. §Þnh lý 3 ( ¸ biÕn è xung kh¾ ) Gi¶ sö A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ víi nhau th× P(A+B)=P(A)+P(B) HÖ qu¶ 1. A 1 ,A 2 , ...,A n xung kh¾ tõng ®«i P ( n∑ i=1 A i ) = n∑ i=1 P(A i ) HÖ qu¶ 2. A 1 ,A 2 , ...,A n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è n∑ i=1 P(A i ) = P ( n∑ i=1 A i ) = P(U) = 1 HÖ qu¶ 3. P(A) + P(A) = 1⇒ P(A) = 1− P(A) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 50 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.1. §Þnh lý 3 ( ¸ biÕn è xung kh¾ ) Gi¶ sö A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ víi nhau th× P(A+B)=P(A)+P(B) HÖ qu¶ 1. A 1 ,A 2 , ...,A n xung kh¾ tõng ®«i P ( n∑ i=1 A i ) = n∑ i=1 P(A i ) HÖ qu¶ 2. A 1 ,A 2 , ...,A n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è n∑ i=1 P(A i ) = P ( n∑ i=1 A i ) = P(U) = 1 HÖ qu¶ 3. P(A) + P(A) = 1⇒ P(A) = 1− P(A) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 50 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.1. §Þnh lý 3 ( ¸ biÕn è xung kh¾ ) Gi¶ sö A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ víi nhau th× P(A+B)=P(A)+P(B) HÖ qu¶ 1. A 1 ,A 2 , ...,A n xung kh¾ tõng ®«i P ( n∑ i=1 A i ) = n∑ i=1 P(A i ) HÖ qu¶ 2. A 1 ,A 2 , ...,A n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è n∑ i=1 P(A i ) = P ( n∑ i=1 A i ) = P(U) = 1 HÖ qu¶ 3. P(A) + P(A) = 1⇒ P(A) = 1− P(A) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 50 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.1. §Þnh lý 3 ( ¸ biÕn è xung kh¾ ) Gi¶ sö A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ víi nhau th× P(A+B)=P(A)+P(B) HÖ qu¶ 1. A 1 ,A 2 , ...,A n xung kh¾ tõng ®«i P ( n∑ i=1 A i ) = n∑ i=1 P(A i ) HÖ qu¶ 2. A 1 ,A 2 , ...,A n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è n∑ i=1 P(A i ) = P ( n∑ i=1 A i ) = P(U) = 1 HÖ qu¶ 3. P(A) + P(A) = 1⇒ P(A) = 1− P(A) Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 50 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt ThÝ d 1.34. Cã 2 hép s¶n phÈm. Hép 1 gåm 3 hÝnh phÈm vµ 7 phÕ phÈm. Hép 2 gåm 4 hÝnh phÈm vµ 6 phÕ phÈm. LÊy ë mçi hép 1 s¶n phÈm. T×m x¸ suÊt lÊy ®­î 2 s¶n phÈm ïng lo¹i. ThÝ d 1.35. Trong hßm ã 10 hi tiÕt trong ®ã ã 3 hi tiÕt háng. T×m x¸ suÊt ®Ó khi lÊy ngÉu nhiªn ra 5 hi tiÕt th× ã kh«ng qu¸ 2 hi tiÕt háng. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 51 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt ThÝ d 1.34. Cã 2 hép s¶n phÈm. Hép 1 gåm 3 hÝnh phÈm vµ 7 phÕ phÈm. Hép 2 gåm 4 hÝnh phÈm vµ 6 phÕ phÈm. LÊy ë mçi hép 1 s¶n phÈm. T×m x¸ suÊt lÊy ®­î 2 s¶n phÈm ïng lo¹i. ThÝ d 1.35. Trong hßm ã 10 hi tiÕt trong ®ã ã 3 hi tiÕt háng. T×m x¸ suÊt ®Ó khi lÊy ngÉu nhiªn ra 5 hi tiÕt th× ã kh«ng qu¸ 2 hi tiÕt háng. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 51 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.2. §Þnh lý 4 ( ¸ biÕn è kh«ng xung kh¾ ) A vµ B lµ ¸ biÕn è kh«ng xung kh¾ th× P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ThÝ d 1.36. Mét m¹ h ®iÖn gåm 2 bãng ®iÖn. X¸ suÊt háng ña mçi bãng lµ 0,3. C¸ bãng ®iÖn ho¹t ®éng ®é lËp víi nhau. T×m x¸ suÊt m¹ h bÞ mÊt ®iÖn do bãng háng trong 2 tr­êng hîp sau a) M¾ song song b) M¾ nèi tiÕp. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 52 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt 10.2. §Þnh lý 4 ( ¸ biÕn è kh«ng xung kh¾ ) A vµ B lµ ¸ biÕn è kh«ng xung kh¾ th× P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ThÝ d 1.36. Mét m¹ h ®iÖn gåm 2 bãng ®iÖn. X¸ suÊt háng ña mçi bãng lµ 0,3. C¸ bãng ®iÖn ho¹t ®éng ®é lËp víi nhau. T×m x¸ suÊt m¹ h bÞ mÊt ®iÖn do bãng háng trong 2 tr­êng hîp sau a) M¾ song song b) M¾ nèi tiÕp. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 52 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt ThÝ d 1.37. Mét ng­êi ®Õn hµo hµng ë 3 «ng ty ®é lËp víi nhau. X¸ suÊt b¸n ®­î hµng ë ¸ «ng ty lÇn l­ît lµ 0,4; 0,7; 0,8. T×m x¸ suÊt a. Ng­êi nµy b¸n ®­î hµng ë ®óng 1 «ng ty. b. Ng­êi nµy b¸n ®­î hµng t¹i «ng ty thø nhÊt biÕt r»ng hØ b¸n ®­î hµng t¹i ®óng mét «ng ty. ThÝ d 1.38. Trong mét ué thi, thÝ sinh ph¶i thi 3 vßng víi quy ®Þnh qua vßng tr­í míi ®­î thi vßng sau. Tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i ë ¸ vßng lÇn l­ît lµ 0,5; 0,4; 0,3. T×m a. tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i b. tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i ë vßng 1 biÕt r»ng ®· bÞ lo¹i. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 53 / 293 10. §Þnh lý éng x¸ suÊt ThÝ d 1.37. Mét ng­êi ®Õn hµo hµng ë 3 «ng ty ®é lËp víi nhau. X¸ suÊt b¸n ®­î hµng ë ¸ «ng ty lÇn l­ît lµ 0,4; 0,7; 0,8. T×m x¸ suÊt a. Ng­êi nµy b¸n ®­î hµng ë ®óng 1 «ng ty. b. Ng­êi nµy b¸n ®­î hµng t¹i «ng ty thø nhÊt biÕt r»ng hØ b¸n ®­î hµng t¹i ®óng mét «ng ty. ThÝ d 1.38. Trong mét ué thi, thÝ sinh ph¶i thi 3 vßng víi quy ®Þnh qua vßng tr­í míi ®­î thi vßng sau. Tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i ë ¸ vßng lÇn l­ît lµ 0,5; 0,4; 0,3. T×m a. tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i b. tû lÖ thÝ sinh bÞ lo¹i ë vßng 1 biÕt r»ng ®· bÞ lo¹i. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 53 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ña ®Þnh lý éng vµ ®Þnh lý nh©n x¸ suÊt 11.1. §Þnh lý 5 A 1 ,A 2 , ...,A 2 kh«ng xung kh¾ vµ ®é lËp toµn phÇn víi nhau th× P ( n∑ i=1 A i ) = 1− n∏ i=1 P(A i ) ThÝ d 1.39. TÝn hiÖu th«ng tin ®­î ph¸t 3 lÇn ®é lËp nhau víi x¸ suÊt thu ®­î mçi lÇn lµ 0,4. a. T×m x¸ suÊt ®Ó nguån thu nhËn ®­î th«ng tin b. NÕu muèn x¸ suÊt thu ®­î th«ng tin lªn ®Õn 0,9 th× ph¶i ph¸t Ýt nhÊt bao nhiªu lÇn. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 54 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ña ®Þnh lý éng vµ ®Þnh lý nh©n x¸ suÊt 11.1. §Þnh lý 5 A 1 ,A 2 , ...,A 2 kh«ng xung kh¾ vµ ®é lËp toµn phÇn víi nhau th× P ( n∑ i=1 A i ) = 1− n∏ i=1 P(A i ) ThÝ d 1.39. TÝn hiÖu th«ng tin ®­î ph¸t 3 lÇn ®é lËp nhau víi x¸ suÊt thu ®­î mçi lÇn lµ 0,4. a. T×m x¸ suÊt ®Ó nguån thu nhËn ®­î th«ng tin b. NÕu muèn x¸ suÊt thu ®­î th«ng tin lªn ®Õn 0,9 th× ph¶i ph¸t Ýt nhÊt bao nhiªu lÇn. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 54 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.2. C«ng thø Bernoulli a. L­î ®å Bernoulli Mét bµi to¸n ®­î gäi lµ tháa m·n l­î ®å Bernoulli nÕu nã tháa m·n 3 ®iÒu gi¶ thiÕt sau: 1 Cã n php thö ®é lËp. 2 Trong mçi php thö hØ ã 2 tr­êng hîp: hoÆ biÕn è A x¶y ra, hoÆ biÕn è A kh«ng x¶y ra. 3 X¸ suÊt x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng p (P(A)=p), vµ x¸ suÊt kh«ng x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng q = 1− p. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 55 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.2. C«ng thø Bernoulli a. L­î ®å Bernoulli Mét bµi to¸n ®­î gäi lµ tháa m·n l­î ®å Bernoulli nÕu nã tháa m·n 3 ®iÒu gi¶ thiÕt sau: 1 Cã n php thö ®é lËp. 2 Trong mçi php thö hØ ã 2 tr­êng hîp: hoÆ biÕn è A x¶y ra, hoÆ biÕn è A kh«ng x¶y ra. 3 X¸ suÊt x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng p (P(A)=p), vµ x¸ suÊt kh«ng x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng q = 1− p. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 55 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.2. C«ng thø Bernoulli a. L­î ®å Bernoulli Mét bµi to¸n ®­î gäi lµ tháa m·n l­î ®å Bernoulli nÕu nã tháa m·n 3 ®iÒu gi¶ thiÕt sau: 1 Cã n php thö ®é lËp. 2 Trong mçi php thö hØ ã 2 tr­êng hîp: hoÆ biÕn è A x¶y ra, hoÆ biÕn è A kh«ng x¶y ra. 3 X¸ suÊt x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng p (P(A)=p), vµ x¸ suÊt kh«ng x¶y ra ña biÕn è A trong mçi php thö ®Òu b»ng q = 1− p. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 55 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ b. C«ng thø Bernoulli NÕu bµi to¸n tu©n theo l­î ®å Bernoulli th× x¸ suÊt sau n php thö biÕn è A xuÊt hiÖn ®óng x lÇn, kÝ hiÖu P n (x), lµ: P n (x) = Cx n p x q n−x trong ®ã x=0,1,2,...,n ThÝ d 1.40. Mét ®Ò thi tr¾ nghiÖm ã 5 ©u hái ®é lËp. Mçi ©u hái ã 4 ph­¬ng ¸n tr¶ lêi vµ hØ ã 1 ph­¬ng ¸n ®óng. Mét hä sinh tr¶ lêi b»ng ¸ h hän ngÉu nhiªn 1 trong 4 ph­¬ng ¸n ña mçi ©u. T×m x¸ suÊt hä sinh tr¶ lêi ®óng 3 ©u. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 56 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ b. C«ng thø Bernoulli NÕu bµi to¸n tu©n theo l­î ®å Bernoulli th× x¸ suÊt sau n php thö biÕn è A xuÊt hiÖn ®óng x lÇn, kÝ hiÖu P n (x), lµ: P n (x) = Cx n p x q n−x trong ®ã x=0,1,2,...,n ThÝ d 1.40. Mét ®Ò thi tr¾ nghiÖm ã 5 ©u hái ®é lËp. Mçi ©u hái ã 4 ph­¬ng ¸n tr¶ lêi vµ hØ ã 1 ph­¬ng ¸n ®óng. Mét hä sinh tr¶ lêi b»ng ¸ h hän ngÉu nhiªn 1 trong 4 ph­¬ng ¸n ña mçi ©u. T×m x¸ suÊt hä sinh tr¶ lêi ®óng 3 ©u. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 56 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.3. C«ng thø x¸ suÊt ®Çy ®ñ Gi¶ sö biÕn è A è thÓ x¶y ra ®ång thêi víi mét trong ¸ biÕn è H 1 ,H 2 , ...,H n . Nhãm H 1 ,H 2 , ...,H n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è. Khi ®ã P(A) = n∑ i=1 P(H i )P(A/H i ) Chó ý: H 1 ,H 2 , ...,H n gäi lµ ¸ gi¶ thuyÕt. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 57 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ThÝ d 1.41. Mét l« hµng ã 2 s¶n phÈm ña xÝ nghiÖp I vµ 8 s¶n phÈm ña xÝ nghiÖp II. Tû lÖ hÝnh phÈm ña xÝ nghiÖp I lµ 0,9 vµ xÝ nghiÖp II lµ 0,8. a. LÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm. T×m x¸ suÊt ®Ó s¶n phÈm ®ã lµ phÕ phÈm. b. NÕu lÊy ra 2 s¶n phÈm th× kh¶ n¨ng ®Ó ¶ 2 ®Òu lµ phÕ phÈm lµ bao nhiªu. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 58 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ThÝ d 1.42. Cã 2 hép bãng ®iÖn gièng hÖt nhau vÒ h×nh thø , mçi hép ã 4 bãng tèt vµ 2 bãng háng. a) LÊy ngÉu nhiªn 1 hép vµ tõ ®ã lÊy ra 1 bãng ®iÖn. T×m x¸ suÊt lÊy ®­î bãng tèt. b) LÊy ngÉu nhiªn 1 bãng ®iÖn tõ hép thø nhÊt råi bá vµ hép thø hai, sau ®ã tõ hép thø hai lÊy ra 1 bãng ®iÖn. T×m x¸ suÊt lÊy ®­î bãng tèt ë hép thø hai. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 59 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.4. C«ng thø Bayes Víi ¸ gi¶ thiÕt nh­ ë m 11.3 ta ã «ng thø Bayes nh­ sau: P(H i /A) = P(H i )P(A/H i ) n∑ i=1 P(H i )P(A/H i ) (i = 1, n) Chó ý + C¸ x¸ suÊt P(H 1 ),P(H 2 ), ...,P(H n ) gäi lµ x¸ suÊt tiªn nghiÖm + C¸ x¸ suÊt P(H i /A) gäi lµ x¸ suÊt hËu nghiÖm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 60 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ 11.4. C«ng thø Bayes Víi ¸ gi¶ thiÕt nh­ ë m 11.3 ta ã «ng thø Bayes nh­ sau: P(H i /A) = P(H i )P(A/H i ) n∑ i=1 P(H i )P(A/H i ) (i = 1, n) Chó ý + C¸ x¸ suÊt P(H 1 ),P(H 2 ), ...,P(H n ) gäi lµ x¸ suÊt tiªn nghiÖm + C¸ x¸ suÊt P(H i /A) gäi lµ x¸ suÊt hËu nghiÖm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 60 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ThÝ d 1.43. (tiÕp thÝ d 1.41) Mét l« hµng ã 2 s¶n phÈm ña xÝ nghiÖp I vµ 8 s¶n phÈm ña xÝ nghiÖp II. Tû lÖ hÝnh phÈm ña xÝ nghiÖp I lµ 0,9 vµ xÝ nghiÖp II lµ 0,8. . LÊy ngÉu nhiªn 1 s¶n phÈm th× ®­î phÕ phÈm. Kh¶ n¨ng s¶n phÈm ®ã do xÝ nghiÖp nµo s¶n xuÊt ao h¬n. d. LÊy ra 2 s¶n phÈm th× ®­î hai phÕ phÈm. T×m x¸ suÊt ®Ó ®ã lµ hai s¶n phÈm ña xÝ nghiÖp I. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 61 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ ThÝ d 1.44. Tû lÖ ng­êi d©n nghiÖn thuè l¸ ë mét vïng lµ 30%. BiÕt r»ng tû lÖ ng­êi bÞ viªm häng trong sè nh÷ng ng­êi nghiÖn thuè lµ 60%, ßn tû lÖ ng­êi bÞ viªm häng trong sè nh÷ng ng­êi kh«ng nghiÖn thuè lµ 40%. a. LÊy ngÉu nhiªn mét ng­êi biÕt r»ng ng­êi ®ã bÞ viªm häng. TÝnh x¸ suÊt ng­êi ®ã nghiÖn thuè . b. NÕu ng­êi ®ã kh«ng bÞ viªm häng, tÝnh x¸ suÊt ®Ó ng­êi ®ã lµ nghiÖn thuè . Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 62 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ Chó ý Khi biÕt r»ng biÕn è A ®· x¶y ra th× nhãm H i /A, i = 1, n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è míi. ThÝ d 1.45. Cã hai l« s¶n phÈm gièng nhau. L« thø nhÊt ã tû lÖ hÝnh phÈm lµ 3/4, l« thø hai ã tû lÖ hÝnh phÈm lµ 2/3. LÊy ngÉu nhiªn mét l« vµ tõ ®ã lÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm thÊy nã lµ hÝnh phÈm. S¶n phÈm ®­î bá trë l¹i vµ tõ ®ã lÊy tiÕp 1 s¶n phÈm. T×m x¸ suÊt ®Ó lÇn thø hai òng lÊy ®­î hÝnh phÈm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 63 / 293 11. C¸ hÖ qu¶ Chó ý Khi biÕt r»ng biÕn è A ®· x¶y ra th× nhãm H i /A, i = 1, n lµ nhãm ®Çy ®ñ ¸ biÕn è míi. ThÝ d 1.45. Cã hai l« s¶n phÈm gièng nhau. L« thø nhÊt ã tû lÖ hÝnh phÈm lµ 3/4, l« thø hai ã tû lÖ hÝnh phÈm lµ 2/3. LÊy ngÉu nhiªn mét l« vµ tõ ®ã lÊy ngÉu nhiªn mét s¶n phÈm thÊy nã lµ hÝnh phÈm. S¶n phÈm ®­î bá trë l¹i vµ tõ ®ã lÊy tiÕp 1 s¶n phÈm. T×m x¸ suÊt ®Ó lÇn thø hai òng lÊy ®­î hÝnh phÈm. Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 63 / 293 Bµi tËp 1. D¹ng 1: 8, 10, 15, 23, 25, 28, 44, 51, 91, 92, 99. D¹ng 2: 39, 41, 46 → 50, 54 → 56, 69, 97, 110, 112. D¹ng 3: 58 → 61 D¹ng 4: 63 → 65, 70, 71, 93, 101 → 104 C¸ ©u hái «n tËp 72 → 89 Mai CÈm Tó (TKT) Lý thuyÕt X¸ suÊt vµ Thèng kª To¸n 2012 64 / 293