Bài giảng Phương pháp tính (Computation Methods) - Chương III: Nội suy - Ngô Thu Lương

Chương III : NỘÄÄI SUY 1) Nộääi suy đa thứùùc 2) Nộääi suy Spline bậääc 3 3) Phương pháùùp bình phương tốáái thiểååu Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 1 1.1) Nộääi suy đa thứùùc theo Lagrange a) Nộääi dung : Biết các giá trị ( )i iy f x= của hàm ( )y f x= tại các điểm ix theo bảng Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 2 Tìm hàm lại hàm ( )f x Lời giải : Vôââ sốáá hàøøm Tìm ( ) ( )f x P x= chỉ là đa thứùùc bậääc n thỏa ii yxP =)( Lời giải là duy nhấáát Các bước tìm đa thức )(xP Bướùc 1 : Thiết lập đa thứùùc cơ sởûû Lagrange ∏ − − = ≠= n ikk ki ki xx xx xL ,0 )( )()( Ví dụ : =)(0 xL ))..()()...(( xxxxxxxx −−−− − Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 3 ))..()()...(( 001010 11 nii nii xxxxxxxx −−−− = − Bướùc 2 : Côââng thứùùc tính P(x) ∑= = n i ii xLyxP 0 )()( = )(...)()( 1100 xLyxLyxLy nn+++ b) Sai sốáá : ( ) ( )f x P x− ≤ Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 4 ))....()(()!1( 10 )1( n n xxxxxx n M −−− + ≤ + c) Nhậään xéùùt : *) Số mốc nội suy càng lớn thì sai số càng nhỏ , tuy nhiên bậc của đa thức sẽ lớn, tính toán sẽ dài . *)Sai số phụ thuộc vào )1( +nM , thực tế không biết vì hàm ( )f x chưa biết *)Đa thức nội suy )(xP là duy nhất Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 5 Ví dụ : Tìm đa thức nội suy P(x) từ bảng số liệu 1,0,1 210 ==−= xxx 3,1, 3 1 210 === yyy Tính gần đúng giá trị của bảng tại 7.0=x Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 6 Giảûûi : Ta tìm các đa thức Lagrange 2)11)(01( )1)(0()( 2 0 xxxx xL −= −−−− −− = 1 1 )10)](1(0[ )1)](1([)( 2 1 − − = −−− −−− = xxx xL )0)](1([)( 2 xxxx xL +=−−−= Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 7 2)01)](1(1[2 −−− 3 342)(3)(1)( 3 1)( 2 210 ++ =++= xx xLxLxLxP 2.26 3 3)7.0.(4)7.0.(2)7.0( 2 = ++ =P d) Tỷûû sai phââân Tỷ sai phân bậc 0 của f tại 0x : )(][ 00 xfxf = Tỷ sai phân bậc 1 của f tại 1,0 xx : 01 01 10 ][][ ],[ xx xfxf xxf − − = Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 8 Tỷ sai phân bậc 2 của f tại 2,, 10 xxx 02 1021 210 ],[],[ ],,[ xx xxfxxf xxxf − − = Tương tự cho tỷ sai phân bậc cao hơn e) Bảûûng tỷûû sai phââân Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 9 f) Nộääi suy Newton tiếáán theo bảûûng tỷûû sai phââân Đa thức )(xP có thể tìm dưới dạng ..))(()()( 102010 +−−+−+= xxxxaxxaaxP ))..()((.. 110 −−−−+ nn xxxxxxa Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 10 Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 11 1 3 42 3 2)0)(1( 3 2)1( 3 2 3 1)( ++=−++++= xxxxxxP g) Nộäi suy Newton lùøi ..))(()()( 1210 +−−+−+= −nnn xxxxaxxaaxP ))..()((... 11 xxxxxxa nnn −−−+ − ][0 nxfa = Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 12 =1a ][ 1, −nnx xf . ],,[ 212 −−= nnn xxxfa ],,[ 1...,1 knknnnk xxxxfa −+−−= 1 3 2 1 0[ , , .. , , , ]n n na f x x x x x x−= Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 13 )0)(1( 3 2)1(23)( −−+−+= xxxxP 22 4 13 3x x+ += 2) Nộääi suy Spline bậääc 3 a) Nộääi dung : Cho bảng số liệu Tìm mộät hàøm )(xS thỏa các điều kiện : Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 14 )(xS : Đi qua các điểm đã cho trong bảng )(xS là đa thứùc bậäc 3 trêân mỗãi đoạïn nhỏû ],[ 1+jj xx ( các đa thức này có các hệ số khác nhau) Gọi ( )jS x là đa thức trên mỗi đoạn nhỏ 1[ , ]j jx x + ( )jS x thỏa các điều kiện : a) jjj yxS =)( 11)( ++ = jjj yxS b) )()( 1/ 11 / +++ = jjjj xSxS Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 15 c) )()( 1// 11 // +++ = jjjj xSxS d) / / / /0 0 1( ) ( )n nS x S x−= điềààu kiệään biêâân tựïï nhiêâân jjj xxh −= +1 jj ya = j jj j h cc d 3 )( 1 − = + 3 )2()( 11 jjj j jj j cch h aa b + − − = ++ Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 16 Để tìm jc ta giải từ hệ bAx =                   + + + = −−−− 100000 )(2.00 0...00 0.)(20 0..)(2 000001 1122 2211 1100 nnnn hhhh hhhh hhhh A  c Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 17                = − n n c c c x 1 1 0 .                       = − − − − − − − − −−− 0 )21( 2 3)1( 1 3 . . )01( 0 3)12( 1 3 0 nana nh nana nh aa h aa h B Ví dụï : Nội suy Spline bậc 3 của bảng 3210 3210 ==== xxxx 0410 3210 ==== yyyy 10 1100 ==== yaya 422 == ya 033 == ya Các hệ số ic tính theo hệ phương trình  00001 0c  00c Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 18           − =                     0 21 6 1000 1410 0141 3 2 1 c c c           − =           0 6 3 3 2 1 c c c 0 1 20 3 0b b b= = = 231 210 =−== ddd Ta có hàm : =)(xS        ≤≤−+−− ≤≤−−−+−+ ≤≤− 32)2(2)2(64 21)1(3)1(3)1(31 10)0(1 32 32 3 xxx xxxx xx Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 19 Spline với điều kiện biên ràng buộc / / 0 0 0 1( ) '( ) , ( ) '() )n n nS x f x S x fd x−= = trong đó )(',)(' 0 nxfxf là các đại lượng cho trước 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 2( ) . . 0 h h h h h h     +   + Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 20 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 2( ) . 0 0 0 . . . 0 0 0 . 2( ) 0 0 0 0 2 n n n n n n h h h h A h h h h h h − − − − − − =      +      1 0 0 0 2 1 1 0 1 0 1 1 2 1 2 3 ( ) 3 '( ) 3 3( ) ( ) .. 3 3( ) ( )n n n n n n a a f x h a a a a h h B a a a a h h− − − − −   − −      − − −     =     − − −      Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 21 1 1 33 '( ) ( )n n n n f x a a h − − − −    Hàm S(x) Spline bậc 3 nội suy bảng số liệu với điều kiện biên ràng buộc : x 3 5 y 2.5 6 Ví dụ : Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 2222 Tính giá trị của hàm S(x) tại điểm x =4 0'(3) '( ) 2 ; '(5) '( ) 0.25nS f x S f x= = = = 3) Phương pháùùp bình phương tốáái thiểååu Nộääi dung : Từ bảng số liệu tìm nhữõõng hàøøm sốáá cóùù dạïïng biếáát trướùùc Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 23 sao cho tổng bình phương độ lệch so với bảng số liệu đã cho là nhỏ nhất ( ) ( )y af x bg x= + y a b x= + Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 24 1 1 2 1 1 1 . . . . . n n i i i i n n n i i i i i i i a n b x y a x b x y x = = = = = + = + = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 25 1.02 1.984y a bx x= + = + Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 26 Cho bảng số liệu x 0 1 2 3 4 y 2.0 2.2 3.5 4.2 5.3 Tìm hàm 1 by a x = + + Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 27 theo phương pháp bình phương tối thiểu của bảng trên.