Bài giảng Phương pháp Toán Lý - Trần Thị Thu Thủy

u u u u gradu n n x y z                trong đó cosα, cosβ, cosγ là các cosin chỉ phương của n Ta xét sự trao đổi nhiệt qua mặt kín S của thể tích V. Nhiệt lượng truyền qua mặt kín S trong khoảng thời gian từ 1 2t t là: Q1 2 2 1 1 . t t t S t S u dt k dS dt k gradu ndS n          Theo công thức Ostrogradsky, ta có 2 2 2 2 2 2 S V u u u u ds dV n x y z                 Vậy: Q1 2 1 2 2 2 2 2 2 t t V u u u dt k dV x y z                (5.2) - Giả sử rằng trong thể tích V có chứa một nguồn nhiệt có mật độ là ( , , , )g x y z t (nghĩa là nhiệt lượng sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian), thì từ thời điểm t1 đến t2, trong thể tích V xuất hiện một lượng nhiệt là Q2 2 1 ( , , , ) t t V dt g x y z t dV   (5.3) - Tổng hai phần nhiệt lượng này làm thể tích V biến đổi một nhiệt lượng là Q3  2 1( , , , ) ( , , , ) V c u x y z t u x y z t dV  trong đó c là nhiệt dung riêng, ρ là mật độ khối. Ta có thể viết lại: Q3 2 1 t t V u c dt dV t      (5.4) Theo nguyên lý cân bằng nhiệt ta có: Q1 + Q2 + Q3 = 0 Từ (5.2), (5.3) và (5.4) ta viết 81 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( , , , ) 0 t t t t V t V t V u u u u dt k dV dt g x y z t dV dt c dV x y z t                         Hay 2 1 2 2 2 2 2 2 ( , , , ) 0 t t V u u u u dt c k g x y z t dV t x y z                         (5.5) Vì thể tích V là tùy chọn, tức là (5.5) đúng với mọi V nên ta phải có hàm dưới dấu tích phân luôn bằng không 2 2 2 2 2 2 ( , , , ) 0 u u u u c k g x y z t t x y z                  hay 2 2 x z 1 ( , , , ) 0;t x yy z k u a u u u g x y z t a c c          (5.6) (5.6) là phương trình truyền nhiệt trong môi trường đồng chất có chứa nguồn nhiệt. Nó thuộc loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính không thuần nhất của một hàm bốn biến. Nghiệm u = u(x, y, z, t) của phương trình này mô tả sự phân bố nhiệt độ trong môi trường truyền nhiệt. Nếu trong môi trường không chứa nguồn nhiệt thì phương trình trở thành 2 x z 0t x yy zu a u u u      (5.7) (5.7) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính thuần nhất của một hàm bốn biến. 5.2. Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh dài vô hạn - Bài toán Côsi Xét sự truyền nhiệt trong thanh rất mảnh đồng chất dài vô hạn. Do thanh rất mảnh nên tiết diện của nó rất nhỏ, nếu ta đặt thanh dọc theo trục x thì ta xem nhiệt độ tại các điểm nằm trên cùng một tiết diện có nhiệt độ như nhau, và do vậy nhiệt độ của thanh chỉ thay đổi theo chiều dài. Hàm nhiệt độ từ bốn biến giảm còn hai biến ( ( , , , ) ( , )).u x y z t u x t Giả thiết rằng ở thời điểm ban đầu nhiệt độ trong thanh xác định bởi hàm f(x) và trong thanh không có nguồn nhiệt. Khi đó ta có phương trình và các điều kiện đầu như sau 2 0t xxu a u  (5.8) 0t u   ( )f x (5.9) 82 Giải phương trình (5.8) theo phương pháp tách biến Đặt      , . u x t X x T t (5.10) Thay vào phương trình (5.8) và chia tất cả cho a2X(x)T(t) ta được ' '' 2 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) T t X x a T t X x   Do hai biến x và t biến thiên độc lập nên ta có thể đặt ' 2 ( ) ( ) T t C a T t  (C là hằng số) (5.11) ''( ) ( ) X x C X x  (5.12) Trước hết ta giải phương trình (5.11). Do điều kiện hữu hạn của nghiệm nên C không thể nhận giá trị dương hoặc bằng không. Thật vậy Nếu C > 0, ta đặt 2 ( 0),C    khi đó 2 2 ' 2 2 ( ) ( ) ( ) a tT t T t Ae a T t    (A là hằng số tùy ý) Dễ thấy rằng với nghiệm này thì khi t  thì ( ) ,T t  kéo theo ( ) ,u t  điều này không thể chấp nhận được. Với C = 0 ta cũng lý luận tương tự. Vậy ' ' 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) T t T t T t A a T t      Tức là nhiệt độ của thanh không thay đổi theo thời gian. Vậy hằng số C chỉ có thể nhận giá trị âm. Ta đặt 2 ( 0)C     ' 2 2 ( ) ( ) T t a T t   Nghiệm của phương trình trên là 2 2 ( ) a tT t Ae  Nhận thấy rằng với mỗi giá trị  khác nhau ta có một hàm T(t) khác nhau. Để phân biệt ta đính thêm chỉ số  vào nghiệm T(t) và hằng số A 83 2 2 ( ) a tT t A e    (5.13) Giải phương trình (5.12) '' 2( ) ( ) X x C X x    (5.14) Nghiệm của (5.14) là: ( ) cos( ) sin( )X x B x D x   (B, D là hằng số tùy ý) Tương tự như trên để phân biệt nghiệm theo  ta viết lại: ( ) cos( ) sin( )X x B x D x       2 2 ( , ) ( ). ( ) cos( ) sin( ) a tu x t X x T t B x D x A e           đặt các hằng số ,B A M D A N       ta có   2 2 ( , ) cos( ) sin( ) ,a tu x t M x N x e       (5.15) (5.15) là nghiệm riêng của phương trình (5.8). Nghiệm tổng quát là tổng tất cả các nghiệm riêng. Tuy nhiên ta thấy  không bị ràng buộc bởi điều kiện nào, có nghĩa là nó liên tục. Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (5.8) được viết dưới dạng tích phân   2 2 ( , ) ( )cos ( )sin a tu x t M x N x e d          với M( ), N( ) là các hằng số tùy ý được xác định từ điều kiện đầu. Chú ý là để chỉ rõ sự thay đổi của các hằng số M, N vào  , ta đã viết lại ( ), ( ).M M N N    Các hằng số này được xác định bởi điều kiện đầu Áp dụng điều kiện đầu 0t u   ( )f x ta có  ( )cos ( )sinM x N x d        = ( )f x (5.16) Để xác định được M( ) và N( ) ta áp dụng phép biến đổi Fourier. Giả sử rằng ( )f x có dạng  ( ) ( ,0) ( )cos( ) ( )sin( )f x u x M x N x d          Và 2 2 2 2 ( , ) ( )cos( ) ( )sin( )a t a tu x t M x e N x e d               84   2 2 ( )cos( ) ( )sin( ) a tM x N x e d          Nhớ lại rằng ˆ( )f  là biến đổi Fourier của hàm f thì được xác định như sau ˆ ( ) ( ) if f e d        (5.17) Khi đó 1 ˆ( ) ( ) 2 i xf x f e d       (5.18) Thay (5.17) vào (5.18) ta có ( )1 1( ) ( ) , 2 2 i xf x f e d d                    (5.19) Do ( )f x là hàm số thực nên trong (5.19) ta chỉ lấy phần thực 1 ( ) ( ) cos ( ) 2 f x f x d d                   1 1 ( )cos cos ( )sin sin 2 2 f x d d f x d d                                     1 1 cos ( )cos sin ( )sin 2 2 x f d d x f d d                                     (5.20) So sánh (5.20) và (5.16) ta xác định được 1 1 ( ) ( )cos( ) ; ( ) ( )sin( ) 2 2 M f d N f d                 (5.21) Từ đây ta có: 2 21 ( , ) ( ) cos ( ) 2 a tu x t f x d e d                    Đổi thứ tự lấy tích phân ta có: 2 21 ( , ) ( ) cos ( ) 2 a tu x t f x e d d                    (5.22) Đây chính là nghiệm của bài toán. 85 Để (5.21) có dạng đơn giản hơn ta tính 2 21 cos ( ) 2 a tx e d        Đặt 2 ;p a t q x   2 2 21 1 ( . ) cos ( ) cos( ) 2 2 a t pK p q x e d q e d                  2 21 1 sin( ) . sin( ) ( ) 2 4 p pK q e d q d e q p                     2 4( , ) 1( , ) ( , ) 2 2 q pK p q q q K p q e K p q p p        Trở lại biến cũ: 2 2 2 2 ( ) 4 1 1 ( , , ) ( , ) cos ( ) 2 2 x a t a tu x t K p q x e d e a t a t                2 2 ( ) 4 1 ( , ) ( ) 2 x a tu x t f e d a t          (5.23) Hay ( , ) ( , , ) ( )u x t G x t f d       (5.24) với hàm ( , , )G x t  xác định bởi 2 2 ( ) 4 1 ( , , ) 2 x a tG x t e a t       (5.25) gọi là hàm phân bố. Tóm lại nghiệm của bài toán là ( , , ) ( ) ( 0) ( , ) ( ) ( 0) G x t f d t u x t f x t             (5.26) Ví dụ 1: Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh mảnh dài vô hạn, biết rằng ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi 0 0 1 ( ) ( ) 2 0 ( ) x x h f x h x x h         0 x u(x,0) Hình 5.2 86 Giải 0 0 1 ( , ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) 2 x h x h u x t G x t f d G x t d G x t h              2 2 ( ) 4 1 ( , , ) 2 x a tG x t e a t       với 0 0x h x h    Khi 0h thì 0 ,x  vậy: 2 0 2 ( ) 4 0 1 ( , , ) 2 x x a tG x t x e a t    Hàm này có tính chất là hàm Delta, thật vậy 2 0 2 ( ) 4 0 1 ( , , ) 2 x x a tG x t x dx e dx a t        Áp dụng 2ue du       2 0 2 ( ) 24 0 0 1 1 ( , , ) ( ) . .4 1. 2 2 x x a tG x t x dx e d x x a t a t a t              Điều này nghĩa là diện tích nằm dưới đường cong y = u(x, t, x0) bằng 1. 5.3. Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn 5.3.1. Các điều kiện biên Xét sự truyền nhiệt trong thanh rất mảnh hữu hạn có chiều dài L. Các mặt bên cách nhiệt, sự trao đổi nhiệt chỉ xảy ra ở hai đầu mút. Thanh được đặt dọc theo trục x, giới hạn bởi 0x  và .x L Ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi f(x). Giả thiết rằng trong thanh không có nguồn nhiệt. Gọi h là hệ số truyền nhiệt ngoài thì nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích mặt tiếp xúc vào môi Hình 5.3 x L O Lớp cách nhiệt Thanh mảnh 87 trường tại các đầu x = 0 là * 0 00 ( ) x h u u t     trong đó, *0 ( )u t là nhiệt độ của môi trường tại các điểm tiếp xúc với đầu mút. Nhiệt lượng này phải bằng dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích của mặt tiếp xúc tương ứng. Như vậy, theo định luật Fourier thì nhiệt lượng này bằng 0 , x u k x    lưu ý rằng các cosin chỉ phương trong trường hợp này là cos 1,cos 0,cos 0      Vậy ta có điều kiện biên tại đầu mút 0x  là * 0 00 0 ( ) x x u h u u t k x        (5.27) Tại đầu mút :x L lý luận tương tự như trên ta có * 0 ( )L x L x L u h u u t k x         (5.28) (5.27) và (5.28) là các điều kiện biên tổng quát. Ta xét một số trường hợp riêng sau - Nếu hai đầu mút của thanh luôn được giữ bằng nhiệt độ môi trường ngoài tại đó thì ta có điều kiện biên * * 00 ( ); ( )Lx x Lu u t u u t   (5.29) Đặc biệt nếu nhiệt độ môi trường ngoài luôn bằng không thì 0 (0, ) 0; ( , ) 0 x x L u u t u u L t       (5.30) Gọi là điều kiện biên Dirichlet. - Nếu hai đầu mút của thanh được cách nhiệt thì sẽ không có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài, khi đó 0 (0, ) 0x x u u t x      và ( , ) 0x x L u u L t x      (5.31) Gọi là điều kiện biên Neumann. 5.3.2. Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn với điều kiện biên đồng nhất (điều kiện biên Dirichlet) Xét sự truyền nhiệt trong thanh mảnh chiều dài L giới hạn bởi 0x  và .x L Biết rằng thành bên cách nhiệt. Nhiệt độ ở hai đầu mút luôn giữ bằng không, ở thời 88 điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi hàm số ( ),f x trong thanh không có nguồn nhiệt. Ta có bài toán bao gồm phương trình, các điều kiện biên và điều kiện đầu là 2 0t xxu a u  (5.32) 0 (0, ) 0; ( , ) 0 x x L u u t u u L t       (5.33) 0 ( ) t u f x   (5.34) Giải phương trình bằng phương pháp tách biến Đặt ( , ) ( ) ( )u x t X x T t Tương tự như bài toán truyền nhiệt trong thanh vô hạn ta có 2 2 ( ) a tT t A e    Chú ý rằng với các điều kiện biên (5.33) ta có các điều kiện với hàm ( )X x là (0) 0; ( ) 0X X L  ( ) cos( ) sin( )X x B x D x     Từ ( ) 0 (0) cos(0) sin(0) 0 0X x X B D B          Từ ( ) 0 ( ) sin( ) 0 ( )X L X L D L L n n            n L    hay n n L    Vậy 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) sin n n a n t L n n n n x u x t X x T t D A e L       2 2 2 2 ( , ) sin a n t L n n n x u x t e L     ( )n n nD A   (5.35) (5.35) là nghiệm riêng của bài toán, nghiệm tổng quát là tổng tất cả các nghiệm riêng 2 2 2 2 1 ( , ) sin a n t L n n n x u x t e L       (5.36) Để xác định Mn ta áp dụng điều kiện đầu 0 1 ( , ) sin ( )nt n n x u x t f x L       89 Tương tự như trong bài toán dao động của dây ta có 0 2 ( )sin L n n x f x dx L L     (5.37) Ví dụ 2: Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh mảnh có chiều dài L = 2 giới hạn bởi 0x  và 2,x  thành bên cách nhiệt. Hai đầu mút được giữ ở nhiệt độ bằng không, ở thời điểm ban đầu nhiệt độ trong thanh xác định bởi 0 1 ( ) 2 1 2 x x f x x x         Giải Theo trên, ta có 2 1 1 0 0 0 ( )sin sin ( 2)sin 2 2 2 n n x n x n x f x dx x dx x dx            2 2 0, 2 2 8 ( 1) , 2 1 (2 1) kn n k n k k            ( 0,1,2,.....)k  Vậy 2 2 2(2 1) 4 2 2 0 8 1 ( , ) ( 1) sin (2 1) 2 a k t k k u x t k xe k                 5.3.3. Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn với điều kiện biên Neuman Bây giờ ta xét bài toán tương tự như trên chỉ thay đổi điều kiện biên thuần nhất bằng điều kiện biên Neuman. Hai đầu mút của thanh cách nhiệt. 0 (0, ) 0; ( , ) 0x x x xx x L u u t u u L t       (5.38) T1, T2 là hằng số Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến, sử dụng các kết quả đã tính ở trên. Với điều kiện biên (5.37) ta có điều kiện với hàm ( )X x như sau: ' ' ' ' 0 (0, ) 0 (0) ( ) 0 (0) 0x xx u u t X T t X        ' ' ' '( , ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0x xx L u u L t X L T t X L        Từ (5.14) ta có ' (0) sin(0) cos(0) 0 0X B D D D             90 ' ( ) sin( ) 0 sin( ) 0 ( )n n X L B L L n L               2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) cos n n a n t L n n n n x u x t X x T t B A e L        2 2 2 2 cos a n t L n n x M e L     ( ) n nn M B A  (5.39) Lưu ý rằng giá trị 0  cũng được tính đến. Giá trị này tương ứng với hàm riêng là hằng số, 0 0( ) ,T t C do vậy 0 0 0 0( , ) ( ) ( )u x t X x T t C  (là hằng số tùy ý). Vậy 2 2 2 2 0 1 ( , ) cos a n t L n n n x u x t C M e L       (5.40) Các hằng số 0 , nC M được xác định từ điều kiện đầu 00 1 ( ) ( ,0) cos ( )nt n n x u f x u x C M f x L         (5.41) Tích phân hai vế (5.40) theo x từ 0 đến L ta có 0 0 1 10 0 0 0 0 cos cos ( ) L L L L L n n n n n x n x C dx M dx C dx M dx f x dx L L               0 0 1 ( ) L C f x dx L   (5.42) Mặt khác, nhân hai vế của (5.40) cho cos m x L  rồi tích phân theo x từ 0 đến L ta có 0 10 0 0 cos cos cos ( )cos L L L n n m x m x n x m x C dx M dx f x dx L L L L          (m=1,2,..) 1 0 0 cos cos ( )cos L L n n m x n x m x M dx f x dx L L L        Mà 0 cos cos 2 L mn m x n x L dx L L    Ta có 0 2 ( )cos L m m x M f x dx L L    91 Hay 0 2 ( )cos L n n x M f x dx L L    (5.43) Kết hợp (5.42) và (5.43) ta có 0 2 ( )cos L n n x M f x dx L L    0 0 2 M C  (5.44) Ví dụ 3: Tìm nhiệt độ ( , )u x t trong thanh kim loại dài 25cm được cách nhiệt ở các đầu mút và mặt bên. Nhiệt độ ban đầu trong thanh xác định bởi ( ) (0 ).f x x x L   Giải: Theo (5.40) 2 2 2 2 0 1 ( , ) cos ( 25) a n t L n n n x u x t C M e L L        trong đó 25 25 0 0 0 2 2 ( ) 25 25 25 M f x dx xdx    25 2 2 0 100 ( 2 1)2 50(cos 1) ((2 1) )cos 25 25 ( ) 0 ( 2 2) n n kn x n kM x dx n n k                  (k = 0,1,) Vậy 5.4. Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn có điều kiện biên không đồng nhất Xét sự truyền nhiệt trong thanh mảnh chiều dài L giới hạn bởi 0x  và .x L Biết rằng thành bên và đầu mút 0x  cách nhiệt, đầu mút x L có trao đổi nhiệt với môi trường ngoài với nhiệt độ tại x L là * ( ).Lu t Ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi hàm số ( ),f x trong thanh có nguồn nhiệt ( , ).g x t Ta có bài toán bao gồm phương trình 2 2 2(2 1) 625 2 2 0 25 100 1 (2 1) ( , ) cos 2 (2 1) 25 a k t k k x u x t e k           92 2 1 ( , ) 0t xxu a u g x t c    (5.45) Áp dụng (5.27), (5.28) ta có điều kiện biên (để đơn giản ta đã đặt Lh h ) Điều kiện biên * 0 0; ( )Lx L x x L u u h u u t k x x           (5.46) Điều kiện đầu 0 ( ) t u f x   Trước tiên ta thực hiện đổi biến hàm để chuyển điều kiện biên (5.45) về dạng đồng nhất Đặt *( , ) ( , ) ( )Lv x t u x t u t  (5.47) Hay *( , ) ( , ) ( )Lu x t v x t u t  (5.48) Khi đó phương trình biến đổi như sau, và điều kiện đầu thay đổi như sau 2 * 2 1( , ) ( , ) ( ) ( , ) 0t xx t Lt xxu x t a u v x t u t a v g x t c       2( , ) ( , ) 0t xxv x t a u G x t   (5.49) với * 1 ( , ) ( , ) ( )LtG x t g x t u t c   các điều kiện biên 0 0; x L x x L v v hv k x x         (5.50) Điều kiện đầu * *( ,0) ( ,0) (0) ( ) (0) ( )L Lv x u x u f x u F x     (5.51) Tóm lại ta có bài toán gồm phương trình (5.49) và điều kiện biên (5.50), điều kiện đầu (5.51). Giải bài toán này ta xác định được ( , ),v x t thay vào (5.48) ta xác định được ( , )u x t là nghiệm phải tìm. a) Trước hết ta giải phương trình thuần nhất tương ứng của phương trình (5.49): 2( , ) 0t xxv x t a u  (5.52) Áp dụng phương pháp tách biến, đặt: ( , ) ( ) ( )v x t X x T t Sử dụng các kết quả đã thu được ở các phần trước ta có 2 2 ( ) a tT t A e    ( ) cos( ) sin( )X x B x D x     Từ điều kiện biên (5.50) ta có: ' '(0) ( ) 0 (0) 0X T t X   93 ' (0) sin(0) cos(0) 0 0X B D D          Mặt khác cos( ) ( ) sin( ) ( ) x L x L v hv k B h L T t k B L T t x             ( ) h tg L k    (5.53) (5.53) cho thấy  không liên tục mà nhận các giá trị gián đoạn là nghiệm của phương trình ( ) . h tg L k    Do tính đối xứng của nghiệm nên ta chỉ lấy những nghiệm dương. Gọi các nghiệm của phương trình (5.53) là 1 2 3 .....     Ta có các nghiệm riêng tương ứng với n là 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) cos( ) cos( )n n a t a t n n n n n n n nv x t X x T t B x A e M x e              với n n nM B A   là hằng số tùy ý. Để đơn giản ta viết lại nghiệm như sau 2 2 ( , ) cos( ) n a t n n nv x t M x e   (5.54) Nghiệm tổng quát là tổng tất cả các nghiệm riêng 2 2 1 1 ( , ) ( , ) cos( ) n a t n n n n k v x t v x t M x e          Để xác định Mn ta sử dụng điều kiện đầu (5.51) Từ ( ,0) ( )V x F x  1 cos( ) ( )n n k M x F x    Nhân hai vế của phương trình trên cho cos( )m x rồi tích phân theo x từ 0 L 1 10 0 0 cos( ) cos( ) cos( )cos( ) ( )cos( ) L L L m n n n m n m k k x M x dx M x x dx F x x dx              Sử dụng điều kiện trực giao 2 2 2 0 1 ( ) cos( )cos( ) 2 0 ( ) L m n m hk L m n x x dx k h m n                  (5.55) Ta được 2 2 2 0 1 . ( )cos( ) 2 L m m m hk M L F x x dx k h           94 Hay 0 2 2 2 2 ( )cos( ) L n n n M F x x dx hk L k h       (5.56) b) Giải phương trình (5.49) Nghiệm của phương trình (5.49) được tìm dưới dạng 1 ( , ) cos( ) ( )n n k v x t x T t    (5.57) Khai triển ( )F x theo cos n x 1 ( , ) ( )cos( )n n k G x t t x     (5.58) trong đó, ( )n t được xác định theo (5.56) 0 2 2 2 2 ( ) ( , ) cos( ) L n n n t G x t x dx hk L k h        (5.59) Thay (5.57) và (5.58) vào (5.49) ta có ' 2 2 1 1 1 cos( ) ( ) cos( ) ( ) ( )cos( ) 0n n n n n n n k k k x T t a x T t t x                ' 2 2 1 ( ) ( ) ( ) cos( ) 0n n n n n k T t a T t t x          Để phương trình trên đúng với mọi x thì các hệ số phải đồng nhất bằng không, ta có ' 2 2( ) ( ) ( ) 0n n n nT t a T t t    (5.60) Đây là phương trình vi phân cấp một không thuần nhất mà ta đã biết cách giải. Nghiệm tổng quát của phương trình này có chứa một hằng số tùy ý. Hằng số này được xác định qua điều kiện đầu như sau 1 ( ,0) ( ) cos( ) (0) ( )n n k v x F x x T F x      Bằng cách tương tự như trên ta có 0 2 2 2 2 (0) ( )cos( ) L n n n T F x x dx hk L k h       (5.61) Vậy bài toán đã được giải xong. 95 Ví dụ 4: Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh mảnh chiều dài L giới hạn bởi 0x  và .x L Biết rằng trong thanh không có nguồn nhiệt, thành bên và đầu mút 0x  cách nhiệt, thanh trao đổi nhiệt tại .x L Nhiệt độ môi trường ngoài tại x L bằng không. Ở thời điểm ban đầu nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh bằng 0 .u Giải Ta có bài toán bao gồm Phương trình 2 0t xxu a u  Điều kiện biên 0 0;x xx x L x Lu hu k u     Điều kiện đầu 00tu u  Nhận thấy rằng điều kiện biên đã đồng nhất nên không cần phải đổi biến hàm. Áp dụng các kết quả đã tính ở trên 2 2 1 ( , ) cos( ) n a t n n k v x t M x e      với các n là nghiệm của phương trình: ( ) h tg L k    0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 22 cos( ) cos( ) L L n n n n n n u M u x dx M x dx hk hk L L k h k h              0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 21 1 .sin( ) sin( ) L n n n n n n u u x L hk hk L L k h k h             Mà 1 1 2 2 ( ) sin( ) cos( ) ( ) ( 1) ( 1) 1 ( ) 1 ( ) n nn n n n n n n tg L h k L L tg L tg L h k                2 2 ( 1) ( ) n n h k h    1 0 2 2 2 2 2 ( 1) 2 1 ( ) n n nn n u h M hk k hL k h       2 2 1 0 2 2 1 2 2 2 ( 1) 1 ( , ) 2 cos( ) ( ) n n a t n n n n n u x t hu x e hk k hL k h             96 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 1. Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt, hai đầu mút của thanh được giữ ở nhiệt độ bằng 0, trong thanh không có nguồn nhiệt. Tại thời điểm ban đầu t = 0 nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh là không đổi và bằng T0. ĐS: 2 2 2 0 2 0 4 1 (2 1) (2 1) ( , ) sin exp 2 1n T n x n a t u x t n                2. Giống bài 1 chỉ khác là thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi ( ) ( ).f x x x  ĐS:   2 2 2 2 33 2 0 8 1 (2 1) (2 1) ( , ) sin exp 2 1n n x n a t u x t n                3. Giống bài 1 chỉ khác là thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi: 0 2 ( ) 2 x x f x x x        ĐS:   2 2 2 22 2 0 4 ( 1) (2 1) (2 1) ( , ) sin exp 2 1 n n n x n a t u x t n                 4. Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên và hai đầu mút của thanh cách nhiệt, trong thanh không có nguồn nhiệt. Tại thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi ( ) ( ) . Ax x f x   ĐS: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 (2 ) ( , ) cos exp 6 n A A n x n a t u x t n               5. Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt. Đầu mút 0x  cách nhiệt, còn đầu mút x  luôn được giữ ở nhiệt độ bằng 0. Tại thời điểm ban đầu t = 0, nửa đầu của thanh có nhiệt độ bằng 0, nửa sau của thanh có nhiệt độ không đổi T0 và trong thanh không có nguồn nhiệt. ĐS: 2 2 2 0 2 0 4 ( 1) (2 1) (2 1) ( , ) cos exp 2 1 2 4 n n T n x n a t u x t n                 97 6. Giống bài 5, chỉ khác là tại thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt độ trong thanh xác định bởi: 2 ( ) ( ) cx x f x   ĐS:   2 2 2 22 2 0 8 1 4( 1) (2 1) (2 1) ( , ) 1 cos exp (2 1) 2 42 1 n n c n x n a t u x t nn                        7. Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt. Nhiệt độ đầu mút 0x  luôn được giữ bằng không, còn đầu mút x  cách nhiệt. Tại thời điểm ban đầu t = 0 nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh đều bằng T0 và trong thanh không có nguồn nhiệt. ĐS: 2 2 2 0 2 0 4 1 (2 1) (2 1) ( , ) sin exp 2 1 2 4n T n x n a t u x t n                8. Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt. Nhiệt độ đầu mút 0x  luôn được giữ bằng không