Bài giảng Phương trình vi phân cấp 2

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 4CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNBÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006) NỘI DUNG-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2. TRƯỜNG HỢP GIẢM CẤP 3 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HÀM2 – PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 HỆ SỐ HẰNGGIẢM CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Giải phương trình vi phân cấp 2:Phương trình vi phân cấp 2: F(x, y, y’, y’’) = 0BT Côsi: PT chuẩn hoá + ĐK đầuGiảm cấp cơ bản: Phương trình F(x, y’, y’’) = 0Nguyên tắc: Đặt u(x) = đạo hàm cấp thấp nhất của ẩn yNghiệm tổng quát PT vi phân cấp 2 chứa 2 hằng số C1, C2Đáp số: NghiệmPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP 2--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tuyến tính (linear): y,y’,y’’ – bậc 1Hệ số hàm, k0 thuần nhất (vế phải): y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)Ví dụ:Hệ số hằng, k0 thuần nhất (có vế phải): y’’ + py’ + qy = f(x)Ví dụ:PT thuần nhất tương ứng: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0Ví dụ: Tương ứng (1):PT thuần nhất tương ứng: y’’ + py’ + qy = 0Ví dụ: Tương ứng (3):GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH C2 THUẦN NHẤT HỆ SỐ HẰNG ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PTVPC2 thuần nhất hệ số hằng y’’ + py’ + qy = 0PTrình đặc trưng k2 + pk + q = 0 > 0: k1  k2  R  < 0: N0 phức = 0: k1 = k2  R Phải tìm đủ 2 nghiệm phương trình đặc trưng y’’’ –y = 0y’’ – 5y’ + 6y = 0y’’ – 4y’ + 4y = 0y’’ – 2y’ + 5y = 0SƠ ĐỒ GIẢI PTVP TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT CẤP n -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------PTVP t/tính thuần nhất L[y] = 0PT đặc trưng (đại số) ẩn kTìm đủ n ng. k1  knn hàm cơ sở y1  yn k2 – 5k + 6 = 0: N0 2, 3 ytq = C1e3x + C2e2x k2 – 4k + 4 = 0: 2 (kép) ytq = C1e2x + C2xe2x k2 – 2k + 5 = 0 k1,2 = 1  2i:  =1,  = 2  Nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.tn = ex(C1cos2x + C2sin2x)  k3 – 1 = 0 1 Nghiệm k = 1  N0 CS ex, xex ?NGHIỆM (HÀM) CƠ SỞ TƯƠNG ỨNG N0 PT ĐẶC TRƯNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------k1  R: Nghiệm đơn k  R: bội cấp r   i: phức liên hợp, đơn  i: bội cấp r  2r n0 đơnPTĐT kn+p1kn-1 + pn = 0  Tìm n nghiệm thực – phức. Nghiệm bội cấp r  r nghiệm đơn trùng nhauPHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÔNG THUẦN NHẤT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Giải ptrình y’’ – 3y’ + 2y = 2 bằng cách chỉ ra 1 nghiệm riêng yr kết hợp với nghiệm tổng quát thuần nhấtNghiệm riêng yr = 1  ytq = C1ex + C2e2x + 1PTVP tuyến tính không thuần nhất cấp n (hệ số tuỳ ý): PTVP tuyến tính thuần nhất cấp n tương ứng:Nghiệm tổng quát (E) = Tổng quát (E0)+ Nghiệm riêng (E)TÌM NGHIỆM RIÊNG VỚI VẾ PHẢI ĐẶC BIỆT -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vế phải: ex[Pn(x)cosx + Qm(x)sin x], Pn, Qm – đa thức 2/ Vế phải chứa ex  yr chứa ex 3/ Vế phải chứa lượng giác  yr chứa 2 hàm: sin x, cos x (dù vế phải chỉ có 1 loại hàm!)1/ Vế phải chứa đa thức  yr chứa đa thức (hệ số chưa xác định) bậc cao nhất. Hằng số  Đa thức bậc 04/  + i (vế phải)  nghiệm bội cấp r của phương trình đặc trưng  Nhân thêm xr vào yr cần tìm. Không có hàm mũ   = 0; Không có lượng giác   = 0Tóm lại: Ba cùng – Cùng dạng, cùng bậc, trùng nghiệmBA TRƯỜNG HỢP HAY GẶP ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y’’+py’+qy=ex[Pn(x)cosx+Qm(x)sinx], NĐT: nghiệm đặc trưng; H: đa thức bậcNg.riêng yr: (*) khi 0  NĐT cấp r.VP: đa thức Ng. riêng yr: (*) khi   NĐT cấp rVP: mũ Vế phải: Lượng giácNghiệm riêng yr có dạng: Bậc R = Bậc H. (*) khi i  NĐT bội cấp r NGUYÊN LÝ CHỒNG CHẤT (SGK, trang 150) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nghiệm tổng quát ytq phương trình vi phân tuyến tính có vế phải: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x) biểu diễn qua: Nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.0: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0 Nghiệm riêng yr.1 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) Nghiệm riêng yr.2 của pt: y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f2(x) Công thức chồng chất: ytq = ytq.0 + yr.1 + yr.2 Ý nghĩa: Tách phương trình có vế phải dạng tổng phức tạp thành tổng các phương trình có vế phải đơn giản VẾ PHẢI TỔNG QUÁT  BIẾN THIÊN HẰNG SỐ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Vế phải: y’’ + py’ + qy = f(x)  Tìm yr từ ytq.tn: Biến thiên hằng số C1 = C1(x), C2 = C2(x)VD: y’’ – 3y’ + 2y = lnx PTVP tuyến tính k0 thuần nhất y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x) & nghiệm tổng quát thuần nhất ytq.tn = C1y1(x) + C2y2(x).Tìm nghiệm riêng phương trình không thuần nhất: Xem C1 = C1(x), C2 = C2(x)  Ng. riêng yr = C1(x)y1 + C2(x)y2 PTVP TUYẾN TÍNH C2 HỆ SỐ HÀM (THAM KHẢO) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------N0 cơ sở thứ nhì: y2(x) = C(x)y1(x)Nghiệm tq y = C1y1 + C2y2 + yrPTVPC2 thuần nhất: y’’ + p(x)y’+q(x)y = 0Tìm nghiệm đặc biệt y1: Đoán dạng (x, đa thức) hoặc được gợi ý PTVPC2TT tổng quát hệ số hàm y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)Ng. riêng pt k0 tn: Biến thiên hằng số C1 = C1(x), C2 = C2(x)PHƯƠNG TRÌNH EULER - CÔSI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Thuần nhất ax2y’’ + bxy’ + cy = 0  2 nghiệm cơ sở y = xmPT hệ số hàm: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + a0y = f(x)  Dễ tìm nghiệm cơ sở thuần nhất hoặc đưa về hệ số hằngDấu hiệu: Hệ số xk của đạo hàm cấp k  y(k) (0  k  n) 2 nghiệm thực phân biệt m1  m2Nghiệm kép m Phức: m1,2 =   iPHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a/ x2y’’–xy’–8y = 0 b/ 4x2y’’+y = 0 c/x2y’’–3xy’+13y = 0PTrình Euler: anxny(n) + an-1xn-1y(n-1) + a0y = f(x). Đổi biến x = et  y’(x) = y’(t).t’(x), y’’(x) = VD: Giải phương trình x2y’’ – 2xy’ + 2y = ln2x + ln(x2)anxny(n) + + a0y = 0 PTĐT theo m: g(m) = 0  n nghiệm (thực, phức)  n nghiệm (hàm) cơ sởm  R: đơn  NCS y =xmm R: bội r  xm,xmlnx BÀI TOÁN BIÊN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Phân biệt với bài toán Côsi cấp 2:VD: 1 nghiệmvô nghiệmvô số nghiệmBài toán biên cấp 2, nghiệm cơ sở sin, cos  Vô số nghiệmVD:Bài toán biên: Tìm y = y(x) thoả