Bài giảng Toán kinh tế - Bài 1: Đại số tuyến tính - Trần Lộc Hùng

tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các tính chất của định thức 1 Giá trị định thức không thay đổi khi khai triển theo một hàng (hoặc một cột) 2 det(A)T = det(A) 3 Định thức đổi dấu nếu đổi vị trí hai hàng (hoặc hai cột) 4 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng hay hai cột giống nhau 5 Nếu nhân các phần tử của một hàng (hoặc một cột) của định thức với số λ 6= 0, thì giá trị định thức được nhân thêm λ 6 Định thức bằng 0 nếu có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ 7 Giá trị định thức không thay đổi nếu ta cộng vào các phần tử của một hàng những phần tử của hàng khác nhân với một số λ 6= 0 8 Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ Dựa vào các tính chất của định thức, sau các phép biến đổi, ta có det(A) = 1 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận nghịch đảo Cho ma trận A = (aij)n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1, là ma trận B sao cho Ma trận nghịch đảo A× B = In 1 Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận nghịch đảo Cho ma trận A = (aij)n. Ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A−1, là ma trận B sao cho Ma trận nghịch đảo A× B = In 1 Ma trận A được gọi là ma trận khả nghịch 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các định lý 1 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các định lý 1 Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi det(A) 6= 0 2 Ma trận In là ma trận đơn vị cấp n PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Các định lý Giả sử A là một ma trận khả nghịch. Khi đó, ma trận nghịch đảo A−1 xác định bởi A−1 = 1 det(A)C T ở đây C =  c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n . . . . . . . . . . . . cn1 cn2 . . . cnn  với cij = (−1)i+jdet(Mij),det(Mij) là định thức của ma trận con ứng với phần tử aij của ma trận A, cij được gọi là phần bù đại số ứng với phần tử aij của ma trận A. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ Ma trận A = 1 1 11 2 3 1 4 9  có det(A) = 2 6= 0. Có ma trận CT =  6 −5 1−6 8 −2 2 −3 1  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ Khi đó, ma trận nghịch đảo A−1 của ma trận A là A−1 =  3 −5/2 1/2−3 4 −1 1 −3/2 1/2  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa  a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = bm 1 Gồm m phương trình tuyến tính bậc nhất 2 Có n ẩn số (x1, x2, . . . , xn) 3 Bộ nghiệm (α1, α2, . . . , αn) thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận hệ số và ma trận ẩn Ma trận A =  a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn  được gọi là ma trận hệ số. Ma trận X X =  x1 x2 ... xn  được gọi là ma trận ẩn PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ma trận hệ số và ma trận ẩn Ma trận B =  b1 b2 ... bm  được gọi là ma trận hệ số tự do. Ma trận A là ma trận hệ số mở rộng A =  a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn bm  PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Hệ phương trình tuyến tính dạng ma trận Dạng ma trận AX = B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Hệ Crame Định nghĩa  a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn 1 Gồm n phương trình tuyến tính bậc nhất và n ẩn (m=n) 2 Có n ẩn số (x1, x2, . . . , xn) 3 Bộ nghiệm (α1, α2, . . . , αn) thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ 4 Định thức khác 0, det(A) 6= 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định lý Crame Định lý Hệ Crame có duy nhất nghiệm (α1, α2, . . . , αn), thỏa mãn αj = det(Aj) det(A) , j = 1,2, . . . ,n 1 Định thức cơ sở det(A) 6= 0 2 Định thức Aj là định thức ma trận cơ sở (A) có cột thứ j bị thay bởi cột hệ số tự do B det(Aj) = ∣∣∣∣∣∣∣∣ a11 a12 . . . b1 . . . a1n a21 a22 . . . b2 . . . a2n . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . bn . . . ann ∣∣∣∣∣∣∣∣ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý Ma trận có cột thứ j được thay bởi cột hệ số tự do B PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Hệ Crame Ví dụ Giải hệ phương trình bằng phương pháp Crame 2x + 3y + 2z = 9 x + 2y − 3z = 14 3x + 4y + z = 16 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Định thức cơ sở Có det(A) = ∣∣∣∣∣∣ 2 3 2 1 2 −3 3 4 1 ∣∣∣∣∣∣ = −6 6= 0 nên hệ có duy nhất nghiệm (x, y, z) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nghiệm Nghiệm của hệ phương trình là (2, 3, -2) x = ∣∣∣∣∣∣ 9 3 2 14 2 −3 16 4 1 ∣∣∣∣∣∣ −6 = 2, y = ∣∣∣∣∣∣ 2 9 2 1 14 −3 3 16 1 ∣∣∣∣∣∣ −6 = 3, z = ∣∣∣∣∣∣ 2 3 9 1 2 14 3 4 16 ∣∣∣∣∣∣ −6 = −2. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Chú ý 1 Phương pháp Cramer chỉ thích hợp với hệ Cramer (số nghiệm bằng số phương trình và có det(A) 6= 0) 2 Phương pháp Cramer không thích hợp khi số nghiệm lớn (để tìm n nghiệm ta phải tính (n+1) định thức) 3 Trong trường hợp hệ không phải Cramer thường sử dụng phương pháp khử Gauss PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp khử Gauss 1 Đưa hệ phương trình đang xét (AX=B)về một hệ phương trình tương đương bằng phép biến đổi sơ cấp 2 Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp khử Gauss 1 Đưa hệ phương trình đang xét (AX=B)về một hệ phương trình tương đương bằng phép biến đổi sơ cấp 2 Giải hệ phương trình tương đương PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp 1 Đổi chỗ hai phương trình của hệ 2 Nhân một phương trình của hệ với một số thực khác 0 3 Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính của các phương trình khác trong hệ PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Phép biến đổi sơ cấp Sau một số hữu hạn bước, hệ phương trình (AX=B) với ma trận mở rộng A được đưa về một hệ phương trình tương đương với ma trận mở rộng A′ dạng sau A′ =  a11 ∗ . . . ∗ ∗ . . . ∗ b1 0 a22 . . . ∗ ∗ . . . ∗ b2 . . . . . . . . . ∗ ∗ . . . ∗ . . . 0 0 . . . arr ∗ . . . ∗ br 0 0 . . . 0 0 . . . 0 br+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 bm  , trong đó aii 6= 0 (1 ≤ i ≤ r ) và các dấu ∗ ký hiệu các số thực có thể khác 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nhận xét 1 Nếu một trong các số thực br+1, . . . ,bm khác 0, thì hệ phương trình vô nghiệm 2 Nếu br+1 = · · · = bm = 0, thì hệ phương trình có nghiệm. Hơn nữa, mỗi nghiệm của hệ phương trình đều có thể nhận được bằng cách gán cho xr+1, . . . , xn các giá trị thực tùy ý, rồi giải duy nhất x1, . . . , xr theo các giá trị đã gán cho xr+1, . . . , xn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Nhận xét 1 Nếu một trong các số thực br+1, . . . ,bm khác 0, thì hệ phương trình vô nghiệm 2 Nếu br+1 = · · · = bm = 0, thì hệ phương trình có nghiệm. Hơn nữa, mỗi nghiệm của hệ phương trình đều có thể nhận được bằng cách gán cho xr+1, . . . , xn các giá trị thực tùy ý, rồi giải duy nhất x1, . . . , xr theo các giá trị đã gán cho xr+1, . . . , xn. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau x1 − 3x2 + 2x3 − x4 = 2 2x1 + 7x2 − x3 = −1 4x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1 A = 1 −3 2 −1 22 7 −1 0 −1 4 1 3 −2 1  −→ 1 −3 2 −1 20 13 −5 2 −5 0 13 −5 2 −7  −→ 1 −3 2 −1 20 13 −5 2 −5 0 0 0 0 −2  = A′. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau x1 + 3x2 + 5x3 − 2x4 = 3 x1 + 5x2 − 9x3 + 8x4 = 1 2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 5 5x1 + 18x2 + 4x3 + 5x4 = 12 .  1 3 5 −2 3 1 5 −9 8 1 2 7 3 1 5 5 18 4 5 12  −→  1 3 5 −2 3 0 2 −14 10 −2 0 1 −7 5 −1 0 3 −21 15 −3  −→  1 3 5 −2 3 0 1 −7 5 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  . PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh) tiếp ví dụ 2 Vậy hệ phương trình tương đương với hệ{ x1 = 6− 26x3 + 17x4 x2 = −1+ 7x3 − 5x4 . Do đó hệ có nghiệm là (6− 26a + 17b,−1+ 7a − 5b,a,b), với a,b tùy ý. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình thi cao học Quản trị kinh doanh)