Bài giảng Toán kinh tế - Bài 2: Hàm hai biến số - Trần Lộc Hùng

kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z ∂x = 3x 2 − 6y = 0 và ∂z ∂y = 3y 2 − 6x = 0 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z ∂x = 3x 2 − 6y = 0 và ∂z ∂y = 3y 2 − 6x = 0 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ 22 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x3 + y3 − 6xy 1 Từ các phương trình ∂z ∂x = 3x 2 − 6y = 0 và ∂z ∂y = 3y 2 − 6x = 0 2 Hệ phương trình đối xứng cho hai nghiệm (2, 2) và (0,0) 3 Tại điểm (0,0) hàm số không có cực trị 4 Tại điểm (2,2) hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu, fcực tiểu = −8. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Giá trị lớn nhất và bé nhất Giả sử hàm hai biến z = f (x , y) xác định và liên tục trong một miền đóng và giới nội D ⊆ R2. Định lý Weierstrass Hàm hai biến z = f (x , y) xác định và liên tục trong một miền đóng và giới nội đạt giá trị lớn nhất (fmax) và bé nhất (fmin)trong D 1 Có thể đạt cực trị tại các điểm dừng trong D 2 Có thể đạt cực trị trên biên của miền D PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Giá trị lớn nhất và bé nhất Thủ tục tìm fmax và fmin 1 Tìm các giá trị của hàm f(x,y) tại các điểm dừng trong miền D 2 Tìm giá trị lớn nhất của hàm f (x , y) trên ∂D (biên của miền D) 3 Khi đó, fmax = max{các giá trị hàm f trong 1 và 2} 4 và fmin = min{các giá trị hàm f trong 1 và 2} PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ 23 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số z = f (x , y) = x2 + 2xy + 2y2 trong miền D đóng hình tam giác có các đỉnh A(-1, 1), B(2, 1) và C(-1, -2). 1 Từ các phương trình ∂z ∂x = 2x + 2y = 0 và ∂z ∂y = 2x + 4y = 0 2 Hệ phương trình cho điểm dừng là (0,0) ∈ D và f (0,0) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các ví dụ Ví dụ 23 Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số z = f (x , y) = x2 + 2xy + 2y2 trong miền D đóng hình tam giác có các đỉnh A(-1, 1), B(2, 1) và C(-1, -2). 1 Từ các phương trình ∂z ∂x = 2x + 2y = 0 và ∂z ∂y = 2x + 4y = 0 2 Hệ phương trình cho điểm dừng là (0,0) ∈ D và f (0,0) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 23 (tiếp) 1 Cạnh AB có phương trình y=1, nên f (x ,1) = x2 + 2xy + 2 = (x + 1)2 + 1 ≥ 1. Vậy fmin = f (−1,1) = 1. 2 Chú ý, f (A) = f (−1,1) = fmin(−1,1) = 1, f (B) = f (2,1) = 10 3 Cạnh AC có phương trình x=-1, nên f (−1, y) = 1− 2y + 2y2,−2 ≤ y ≤ 1. Có fmin = f (−1,1/2) = 1/2 4 Chú ý, f (C) = f (−1,−2) = 13 5 Cạnh BC có phương trình y=x-1, nên f (x , y) = f (x , x − 1) = 5x2 − 6x + 2. Có fmin = f (3/5,2/5) = 1/5 6 Xét tập các giá trị {0,1,10,1/2,13,1/5}. Vậy fmin = 0, fmax = 13 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Cực trị có điều kiện Giả sử hàm hai biến z = f (x , y) xác định trong lân cận U(x0, y0) của điểm (x0, y0) ∈ D ⊆ R2 Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x , y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 nếu 1 Điểm (x0, y0) thỏa mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 2 Với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (x0, y0), có f (x , y) ≤ f (x0, y0)(f (x , y) ≥ f (x0, y0)) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Cực trị có điều kiện Giả sử hàm hai biến z = f (x , y) xác định trong lân cận U(x0, y0) của điểm (x0, y0 ∈ D ⊆ R2 Định nghĩa Hàm hai biến z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 nếu 1 Điểm (x0, y0) thỏa mãn điều kiện ϕ(x0, y0) = 0 2 Với mọi điểm (x,y) thuộc lân cận điểm (x0, y0), có f (x , y) ≥ f (x0, y0) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp tìm cực trị có điều kiện Phương pháp thế Từ điều kiện ϕ(x , y) = 0 suy ra sự phụ thuộc giữa x và y, cụ thể y = g(x), thế vào đẳng thức ϕ(x , y) = 0, có hàm một biến z = f (x ,g(x)). Cực trị của hàm một biến z = f (x ,g(x)) cho lời giải cực trị có điều kiện Chú ý: Phương pháp này thường có hiệu quả nếu điều kiện giữa x và y là tuyến tính, y = ax + b PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10− x 2 Khi đó, hàm z = f (x , y) = x2 + (10− x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5,5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10− x 2 Khi đó, hàm z = f (x , y) = x2 + (10− x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5,5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp thế Ví dụ 24 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x2 + y2 thỏa mãn x + y = 10 1 Từ phương trình x + y = 10 suy ra y = 10− x 2 Khi đó, hàm z = f (x , y) = x2 + (10− x)2 = 2x2 − 20x + 100 3 Tại điểm (5,5) hàm số có cực tiểu, vì z(5) = fmin = f (5,5) = 50 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm Lagrange, với nhân tử λ là một số thực Lλ = f (x , y) + λϕ(x , y) Tìm các điểm dừng (x0, y0) ứng với các giá trị λ từ hệ các phương trình ∂Lλ ∂x = 0; ∂Lλ ∂x = 0;ϕ(x , y) = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Lập hàm Lagrange, với nhân tử λ là một số thực Lλ = f (x , y) + λϕ(x , y) Tìm các điểm dừng (x0, y0) ứng với các giá trị λ từ hệ các phương trình ∂Lλ ∂x = 0; ∂Lλ ∂x = 0;ϕ(x , y) = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Tìm vi phân cấp hai của hàm Lλ d2Lλ = ∂2Lλ ∂x2 dx2 + 2 ∂ 2Lλ ∂x∂y dxdy + ∂2Lλ ∂y2 dy2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange (tiếp) Xác định cực trị có điều kiện với điểm dừng (x0, y0), tính vi phân cấp hai D = d2Lλ(x0, y0), Chú ý, từ điều kiện ϕ(x , y) = 0, lấy vi phân hai vế, suy ra các vi phân dx và dy thỏa mãn dϕ(x0, y0) = ∂ϕ(x0, y0) ∂x + ∂ϕ(x0, y0) ∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange (tiếp) Xác định cực trị có điều kiện với điểm dừng (x0, y0), tính vi phân cấp hai D = d2Lλ(x0, y0), Chú ý, từ điều kiện ϕ(x , y) = 0, lấy vi phân hai vế, suy ra các vi phân dx và dy thỏa mãn dϕ(x0, y0) = ∂ϕ(x0, y0) ∂x + ∂ϕ(x0, y0) ∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x , y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x , y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x , y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x , y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x , y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x , y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Trường hợp D không đổi dấu khi dx và dy thay đổi: 1 Nếu D > 0, thì z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. 2 Nếu D < 0, thì z = f (x , y) đạt cực đại tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0 Trường hợp D đổi dấu khi dx và dy thay đổi: hàm z = f (x , y) không đạt cực trị tại điểm (x0, y0) với điều kiện ϕ(x , y) = 0. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 25 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x + 2y thỏa mãn x2 + y2 = 5 Xét hàm Lagrange Lλ(x , y) = x + 2y + λ(x2 + y2 − 5) Giải các phương trình ∂Lλ(x , y) ∂x = 1+2λx = 0; ∂Lλ(x , y) ∂y = 2+2λy = 0; x 2+y2 = 5 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 25 Tìm cực trị của hàm số z = f (x , y) = x + 2y thỏa mãn x2 + y2 = 5 Xét hàm Lagrange Lλ(x , y) = x + 2y + λ(x2 + y2 − 5) Giải các phương trình ∂Lλ(x , y) ∂x = 1+2λx = 0; ∂Lλ(x , y) ∂y = 2+2λy = 0; x 2+y2 = 5 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1,−2) và (1,2), vì x0 = − 12λ ; y0 = − 1 λ ;λ = ±1 2 Chú ý: 1 Với λ = 12 , thì có điểm dừng (−1,−2) 2 Với λ = − 12 , thì có điểm dừng (1,2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1,−2) và (1,2), vì x0 = − 12λ ; y0 = − 1 λ ;λ = ±1 2 Chú ý: 1 Với λ = 12 , thì có điểm dừng (−1,−2) 2 Với λ = − 12 , thì có điểm dừng (1,2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1,−2) và (1,2), vì x0 = − 12λ ; y0 = − 1 λ ;λ = ±1 2 Chú ý: 1 Với λ = 12 , thì có điểm dừng (−1,−2) 2 Với λ = − 12 , thì có điểm dừng (1,2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange) Xác định các điểm dừng (−1,−2) và (1,2), vì x0 = − 12λ ; y0 = − 1 λ ;λ = ±1 2 Chú ý: 1 Với λ = 12 , thì có điểm dừng (−1,−2) 2 Với λ = − 12 , thì có điểm dừng (1,2) PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d2Lλ(x , y) = ∂2L ∂x2 dx2 + 2 ∂ 2 ∂x∂y dxdy + ∂2L ∂y2 dy2 = = 2λd2x + 2λd2y Do ∂2L ∂x2 = 2λ ∂2L ∂y2 = 2λ ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d2Lλ(x , y) = ∂2L ∂x2 dx2 + 2 ∂ 2 ∂x∂y dxdy + ∂2L ∂y2 dy2 = = 2λd2x + 2λd2y Do ∂2L ∂x2 = 2λ ∂2L ∂y2 = 2λ ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Vi phân toàn phần bậc hai D = d2Lλ(x , y) = ∂2L ∂x2 dx2 + 2 ∂ 2 ∂x∂y dxdy + ∂2L ∂y2 dy2 = = 2λd2x + 2λd2y Do ∂2L ∂x2 = 2λ ∂2L ∂y2 = 2λ ∂2L ∂x∂y = 0 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Ví dụ 25 (tiếp) Cực trị Các giá trị cực trị có điều kiện fmin = f (−1,−2) = −5; fmax = f (1,2) = 5 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với các giá trị λ = ±12 , ta xét các vi phân bậc hai D = d2Lλ 1 D = d2L 1 2 = dx2 + dy2 > 0 2 D = d2L− 12 = −dx 2 − dy2 < 0 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (−1,−2), ứng với λ = 12 2 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (1,2), ứng với λ = −12 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với các giá trị λ = ±12 , ta xét các vi phân bậc hai D = d2Lλ 1 D = d2L 1 2 = dx2 + dy2 > 0 2 D = d2L− 12 = −dx 2 − dy2 < 0 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (−1,−2), ứng với λ = 12 2 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (1,2), ứng với λ = −12 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với các giá trị λ = ±12 , ta xét các vi phân bậc hai D = d2Lλ 1 D = d2L 1 2 = dx2 + dy2 > 0 2 D = d2L− 12 = −dx 2 − dy2 < 0 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (−1,−2), ứng với λ = 12 2 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (1,2), ứng với λ = −12 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Phương pháp nhân tử Lagrange Với các giá trị λ = ±12 , ta xét các vi phân bậc hai D = d2Lλ 1 D = d2L 1 2 = dx2 + dy2 > 0 2 D = d2L− 12 = −dx 2 − dy2 < 0 Vậy, ta có kết luận 1 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (−1,−2), ứng với λ = 12 2 Hàm số z = f (x , y) đạt cực tiểu tại điểm (1,2), ứng với λ = −12 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các bài tập Bài tập 1 Tính giá trị gần đúng A = √ (1.02)2 + (1.96)2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các bài tập Bài tập 2 Tìm các giá trị cực trị của các hàm số sau z = f (x , y) = 2x2 + 2xy + y2 − x + y + 2 z = f (x , y) = 2x3 + 6xy − 6x − 3y2 − 30y + 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các bài tập Bài tập 2 Tìm các giá trị cực trị của các hàm số sau z = f (x , y) = 2x2 + 2xy + y2 − x + y + 2 z = f (x , y) = 2x3 + 6xy − 6x − 3y2 − 30y + 2 PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các bài tập Bài tập 3 Tìm các giá trị cực trị có điều kiện của các hàm số sau z = f (x , y) = 6− 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. z = f (x , y) = x2 + y2 với điều kiện x2 + y 3 = 1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh) Các bài tập Bài tập 3 Tìm các giá trị cực trị có điều kiện của các hàm số sau z = f (x , y) = 6− 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. z = f (x , y) = x2 + y2 với điều kiện x2 + y 3 = 1. PGS.TS. Trần Lộc Hùng Toán Kinh tế (chương trình ôn thi cao học Quản trị kinh doanh)