Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất

CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất. Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác. CMR: ab + bc + caa2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca). Giải: Ta có: a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca   .0)()()(. 2 1 222  accbba Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy: ab + bc + caa2 +b2 +c2. Lại có: a < b + c  a2 < a.(b + c) (1) Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3). Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được: a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca). Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: xyzyzzxz  ).().( (1). Giải: Đặt:      nzy mzx (m,n,z > 0). Khi đó (1) trở thành: )).(( nzmzznzm   zn z mnm        .1 (2). Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:   2 2 1 .( ) . 1 .( ) .m m mn z n z n m n z n m z z z                         Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm). Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:   .51.8 44  xy yx Giải: Từ giả thiết .0, 01 0       yx yx xy Ta có: ).1(41 4 1.21  xy xyxyyx Lại có:     22 24 4 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 28. 4.(1 1 ).( ) 4.( ) (1 1 ).( ) 1.x y x y x y x y x y                 Suy ra: 8.(x4 + y4) 1 (2). Từ (1) và (2) suy ra:   .5411.8 44  xy yx Ta có đpcm. Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương: x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac. Giải: Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = =   .0)()()(. 2 3 222  accbba (Do a  b c  a). Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương. Bài 5: Nếu      0 1 ab ba thì 8 144  ba . Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3. Bài 6:CMR:      4488221010 .. yxyxyxyx  . Giải: Ta có:      4488221010 .. yxyxyxyx     4444121288221212 .. yxyxyxyxyxyx     44448822 .. yxyxyxyx    0. 62268822  yxyxyxyx        22 2 2 2 6 6 2 2 2 2 4 2 2 4. . 0 . . 0x y x y x y x y x y x x y y         Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm. Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì : P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0. Giải: Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0. Bài 8:CMR: 4 1 )12( 1... 25 1 9 1 2   n A với .1,  nn Giải: Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:            )22).(12( 1 )12.(2 1. 2 1 )12( 1 2 nnnnn Áp dụng ta có: . 4 1 22 1 2 1. 2 1 22 1 12 1... 4 1 3 1 3 1 2 1. 2 1 )22).(12( 1... 5.4 1 4.3 1 3.2 1. 2 1                      nnn nn A Ta có đpcm. Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq qp qp    22 . Giải: Có:     .0 . 222       qp qpqpqp pq qp qp Ta có đpcm. Bài 10:CMR: kkk 1 1 11 2   với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra: nn 121... 3 1 2 11 222  với n >1. Giải: Ta có: kkkkk 1 1 1 ).1( 11 2     . Áp dụng cho k = 2,3,...,n ta được: .121 1 1... 3 1 2 1 2 1 1 111... 3 1 2 11 222 nnnn          Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR: .022 22    yx yx Giải: Ta có: .0222).(.22 22        yx yx yx yx yx yx Ta có đpcm. Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: .cba  CMR:   .92 bccba  Giải: Từ giả thiết bài ra ta có:   )1(9254 0)4).((042 222 bccbbccb cbcbcbcabb   Mà: (a + b + c)2  (2b + c)2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: (a + b + c)2  (2b + c)2 9bc. Ta có đpcm. Bài 13: Cho 0 < a,b,c < 2.CMR:Ba số a.(2-b) ; b.(2-c) ; c.(2-a) không đồng thời lớn hơn 1. Giải: Ta có: .1 2 2. 2 2. 2 2 )2().2.().2.()2().2().2.( 222                       ccbbaa ccbbaaaccbba Tích của ba số nhỏ hơn hoặc bằng 1 vì vậy chúng không thể đồng thời lớn hơn 1. Ta có đpcm. Bài 14: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a > b > c > 0.CMR: caca c baba b    . Giải: Ta có: caca c baba b    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 2. a b a b a c a c a b a b a c a c a a b a a c a b a c b c                             Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy ta có đpcm. Bài 15:Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: .1222  zyx CMR: .1 333  x z z y y x Giải: Áp dụng BĐT Cô Si: 2 33 2.2 xxy y xxy y x  (1). Tương tự: 2 3 2yyz z y  (2) và 2 3 2zxz x z  (3). Cộng (1),(2),(3) theo vế ta có: ).(2 222 333 zyxzx x zyz z yxy y x  Suy ra: .1)()().(2 222222 333  zyxzxyzxyzyx x z z y y x Vậy ta có đpcm.