Các Chuyên đề Toán phổ thông (Phần 3)

các bạn làm một số bài tập sau, hi vọng thầy cơ và các em học sinh tìm tịi, sáng tạo ra những lời giải hay, độc đáo. Bài 1: Tìm tất cả các hàm f: Z+  Z+ i) f(0) = 1 ii) f(f(n)) = f(f(n + 2) + 2) = n n Z* Bài 2: Cho n  N, tìm các hàm f đơn điệu, f : R  R thỏa mãn f(x + f(y)) = f(x) + yn Bài 3: (BMO - 2003) Tìm f : Q R tìm. i) f(x+y) – yf(x) – xf(y) = f(x)f(y) – x - y + xy x, y Q ii) f(x) = 2f(x+1) + 2 + x x Q iii) f(1) + 1 > 0 Bài 4: (VMO - 2005). Tìm tất cả các giá trị  sao cho tồn tại duy nhất hàm f : R R thỏa mãn. f(x2 + y + f(y)) = f2(x) + y Bài 5: Tìm f : N*  N* thỏa mãn. i) 2f(m2 + n2) = f2(m) + f2(n) ii) Nếu m ≥ n thì f(m2) ≥ f(n2) Diendantoanhoc.net t 2 2 2  f t  0  2 2  f t 2 2 KĨ THUẬT GIẢM BIẾN TRONG BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 1.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D   . a) Nếu tồn tại một điểm 0 x D sao cho    0f x f x với mọi x D thì số  0M f x được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là  max x D M f x   . b) Nếu tồn tại một điểm 0 x D sao cho    0f x f x với mọi x D thì số  0m f x được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D , kí hiệu là  min x D m f x   . 1.2 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m ) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ : a)  f x M (hoặc  f x m ) với mọi x D ; b) Tồn tại ít nhất một điểm 0 x D sao cho  0f x M (hoặc  0f x m ). 1.3 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đĩ. Trong nhiều trường hợp, cĩ thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn mà khơng cần lập bảng biến thiên của nĩ. Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm f trên đoạn ;a b   như sau : 1. Tìm các điểm 1 2 , ,..., n x x x thuộc khoảng  ;a b mà tại đĩ f cĩ đạo hàm bằng 0 hoặc khơng cĩ đạo hàm. 2. Tính        1 2, ,..., ,nf x f x f x f a và  f b . 3. So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đĩ là giá trị lớn nhất của f trên đoạn ;a b   , số nhỏ nhất trong các giá trị đĩ là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn ;a b   . 2.1 Ví dụ đơn gian (một biến): Trong mục này chúng tơi trình bày một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số   24f x x x   Lời giải. Tập xác định 2;2D     ,   21 4 x f x x     ,   0 2f x x    Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     2;2 min 2 2 x f x f         và     2;2 max 2 2 2 x f x f       . Thí dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2ln x y x  trên đoạn 31;e   Lời giải. Ta cĩ   2 2 2 1 2 ln . . ln ln 2 lnx x x x xxy x x      Diendantoanhoc.net Từ đĩ cĩ bảng biến thiên : Vậy   2 3 2 24 1; max ee y y e x e          và   31; min 1 0 1 e y y x          2.2 Bài tập hàm một biến Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 1)     2 2 231 2 1f x x x    2)   5cos cos5f x x x  với 4 4 x      3)   4 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 x x x f x x x            Hướng dẫn. Đặt 2 21 1t x x    , với 2 2t  . 3.1 Dồn về một biến : Trong phần này tơi trình bày một số dạng bài tốn tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến bằng cách thế một biến qua biến cịn lại. Từ đĩ xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1. Cho , 0x y  thỏa mãn 5 4 x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 1 4 P x y   Lời giải. Từ giả thiết 5 4 x y  ta cĩ 5 4 y x  . Khi đĩ 4 1 5 4 P x x    . Xét hàm số   4 1 5 4 f x x x    với 5 0; 4 x      . Ta cĩ     2 2 4 4 5 4 f x x x      . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     5 0; 4 min 1 5 x f x f         . Do đĩ min 5P  đạt được khi 1 1, 4 x y  . Thí dụ 2. Cho ,x y   thỏa mãn 20, 12y x x y    . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2 17P xy x y    . Lời giải. Từ giả thiết 20, 12y x x y    ta cĩ 2 12y x x   và 2 12 0x x   hay 4 3x   . Khi đĩ 3 23 9 7P x x x    . Xét hàm số   3 23 9 7, 4;3f x x x x x         . Ta cĩ    2' 3 2 3f x x x   . Ta cĩ bảng biến thiên x 0 1 5 4  f x  0     f x 5 x 1 2e 3e y 0  0  y 0 2 4 e 3 9 e Diendantoanhoc.net Từ bảng biến thiên ta cĩ     4;3 min 1 12 x f x f        ,       4;3 max 3 3 20 x f x f f         . Do đĩ min 12P   đạt được khi 1, 10x y   và max 20P  đạt được khi 3, 6x y    hoặc 3, 0x u  . Thí dụ 3. Cho , 0x y  thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 x y P x y     Lời giải. Từ giả thiết , 0x y  , 1x y  ta cĩ 1 , 0 1y x x    . Khi đĩ ta cĩ 1 1 x x P x x     . Xét hàm số   1 1 x x f x x x     ,     2 1 2 1 1 2 x x f x x x x x        . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra     0;1 1 min min 2 2x P f x f        đạt được khi 1 2 x y  . Nhận xét. Qua ba thí dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến bằng cách thế một biến qua biến cịn lại và sử dụng các giả thiết để đánh giá biến cịn lại. Từ đĩ tìm GTNN, GTLN của hàm số chứa một biến bị chặn. 3.2 Bài tập dồn về một biến 1/ Cho , 3;2x y     thỏa mãn 3 3 2x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2P x y  . 2/ Cho , 0x y  thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 x y P y x     3/ Cho , 0x y  thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 P x y x y     4/ Cho 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    3 3 2 23 3P x y x y x y      5/ Cho , , ,a b x y   thỏa mãn 0 , 4a b  , 7a b  và 2 3x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 2 2 2x y x y P xy a b      . Hướng dẫn. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2Q a b  là M , xét hàm số     2 22 2 , . x y x y g y f x y xy M      với ẩn y và x là tham số, x 4 3 1 3  f x  0  0  20 20  f x 13 12 x 0 1 2 1  f x  0     f x 2 Diendantoanhoc.net tìm giá trị nhỏ nhất của  g y là  h x . Sau đĩ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số  h x với 2;3x     . 6/ Cho ,x y   thỏa mãn 3x y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 8 16P x y x    . Hướng dẫn. Nếu 0x  thì 6 2x y từ đĩ xét hàm số   6 2 8 16f x x x x    . Nếu 0x  thì 2 2 8 16 16x y x    với mọi 30,x x y  . 7/ Cho  , 0;1x y  thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x yP x y  . Hướng dẫn. Xét hàm số    , 0;1xf x x x  . Chứng minh     2 2 f x f y x y f        . Ta cĩ       1 1 1 1 2 2 2 xxP x x f x f x f             . 8/ Cho , 0x y  thỏa mãn 2x y  . Chứng minh rằng x yxy x y . 4.1 Biểu thức cĩ tính chất đối xứng: Trong phần này chúng tơi trình bày một số dạng bài tốn tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đĩ thể hiện tính đối xứng. Từ đĩ bằng phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài tốn tìm G của hàm số. Thí dụ 1. Cho 2 2x y x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 2 2P x y x y xy    Lời giải. Đặt t x y  , từ giả thiết 2 2x y x y   ta cĩ     2 22xy x y x y t t      hay 2 2 t t xy   . Áp dụng bất đẳng thức       2 2 22 2x y x y x y     hay 2 2t t suy ra 0 2t  . Khi đĩ biểu thức     3 22P x y xy x y t     . Do đĩ ta cĩ max 4P  đạt được khi 2t  hay 2x y  và 1xy  suy ra 1x  và 1y  , ta cĩ min 0P  đạt được khi 0t  hay 0x y  . Nhận xét. Bài tốn này giả thiết và biểu thức P được cho dưới dạng đối xứng với hai biến. Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến t x y  . Nhưng để giải bài tốn trọn vẹn thì phải tìm điều kiện của biến t . Sau đây là một số bài tốn với định hướng tương tự. Thí dụ 2. Cho , 0x y  thỏa mãn 2 2 1x xy y   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 xy P x y    Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết , 0x y  và 2 2 1x xy y   suy ra 2 1xy t  . Áp dụng bất đẳng thức   2 4x y xy  suy ra 1 0 3 t  . Khi đĩ 3 3 1 3 P t     . Vì vậy 3 3 max 3 P   đạt được khi   2 1 ; ; 3 3 x y       hoặc   1 2 ; ; 3 3 x y       . Thí dụ 3. Cho ,x y   thỏa mãn 1x y   và 2 2 1x y xy x y     . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 xy P x y    . Diendantoanhoc.net Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết 2 2 1x y xy x y     ta cĩ     2 1x y xy x y     hay 2 1xy t t   . Áp dụng bất đẳng thức   2 4x y xy  suy ra 23 4 4 0t t   hay 2 2 3 t   . Khi đĩ 2 1 1 t t P t     . Xét hàm số   2 1 1 t t f t t     ,     2 2 2 1 t t f t t     ,   0f t  0 2t t     (loại). Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     2 3 ;2 min min 0 1 t P f t f          đạt được khi    ; 1;1x y   hoặc    ; 1; 1x y   và       2 3 2 3;2 1 max max 2 3t P f t f f           đạt được khi 1 3 x y   hoặc 1x y  . Thí dụ 4. Cho ,x y   thỏa mãn 0 , 1x y  và 4x y xy  . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2P x y xy   . Đặt t x y  . Từ giả thiết 0 , 1x y  và 4x y xy  suy ra 4 t xy  và 1 2t  . Khi đĩ   2 2 33 4 P x y xy t t     . Xét hàm số   2 3 4 f t t t  ,   3 2 4 f t t   ,   0f t  3 8 t  (loại). Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     1;2 1 min min 1 4t P f t f       đạt được khi 1 2 x y  và     1;2 5 max max 2 2t P f t f       đạt được khi    2 22 22 2; ;x y  hoặc    2 2 2 22 2; ;x y   . Thí dụ 5. Cho ,x y   thỏa mãn , 0x y  và   2 2 2xy x y x y x y      . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 P x y   . Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết   2 2 2xy x y x y x y      hay       2 2 2xy x y x y xy x y       suy ra 2 2 2 t t xy t     . Áp dụng bất đẳng thức t 2 3  0 2  f t  0   f t 1 3 1 1 3 t 1 2  f t   f t 1 4 5 2 Diendantoanhoc.net   2 4x y xy  suy ra 3 22 4 8 0 2 t t t t      hay 2 2t t    . Khi đĩ 2 2 2 2 x y t t P xy t t       . Xét hàm số   2 2 2 2 t t f t t t     ,     2 2 2 3 4 4 2 t t f t t t        ,   0f t  2 3 2t t     (loại). Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     2 2 max max 2 2 t t P f t f       đạt được khi 1x y  . Thí dụ 6. Cho , 0x y  thỏa mãn 3xy x y   . Chứng minh rằng 2 2 3 3 3 1 1 2 x y xy x y y x x y         Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết , 0x y  , 3xy x y   và áp dụng bất đẳng thức   2 4x y xy  ta cĩ 3 , 0xy t t   và 2 4 12 0t t   hay 2t  hoặc 6t   (loại). Khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh trở thành         2 23 6 3 3 2 1 2 x y xy x y xy x y xy xy x y x y              hay 2 2 3 23 9 18 3 92 4 12 4 2 t t t t t t t t t               22 6 0t t t     luơn đúng với mọi 2t  , dấu bằng xảy ra khi 2t  hay 1x y  . Thí dụ 7. Cho , 0x y  thỏa mãn 2 2 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức     1 1 1 1 1 1P x y y x                    . Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết , 0x y  và 2 2 1x y  suy ra 2 1 2 t xy   và 1t  . Áp dụng bất đẳng thức     2 2 22x y x y   suy ra 1 2t  . Khi đĩ   2 1 1 x y t t P x y xy xy t                . Xét hàm số   2 1 t t f t t    ,     2 2 2 1 1 t t f t t      ,   0 1 2f t t     (loại). Bảng biến thiên t  2 2 3  2   f t  0  0 _  f t 1 0 2 1 t 1 2  f t   f t  4 3 2 Diendantoanhoc.net Từ bảng biến thiên ta cĩ      1; 2 min min 2 4 3 2 t P f t f       đạt được khi 1 2 x y  . Nhận xét. Qua các thí dụ trên, cho ta một kỹ thuật giảm biến của bài tốn tìm GTNN, GTLN của biểu thức hai biến cĩ tính đối xứng: Do tính đối xứng nên ta luơn cĩ thể biến đổi đưa về một trong các dạng đặt t x y  , 2 2t x y  hoặc t xy , từ đĩ đưa về tìm GTNN, GTLN của hàm số. 4.2 Bài tập 1/ Cho , 0x y  thỏa mãn 1 3x y xy   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức     2 2 3 3 1 1 1 1 x y P y x x y x y       2/ Cho ,x y khơng đồng thời bằng 0 và thỏa mãn 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y P x y y x       3/ Cho 2 2 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1P x y y x    4/ Cho 2 2 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 x y P y x     5/ Cho , 0x y  thay đổi thỏa mãn   2 2x y xy x y xy    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 3 1 1 P x y   . 6/ Cho ,x y   thỏa mãn 2 2 2x xy y   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2P x xy y   . 5.1 Biểu thức đẳng cấp Trong phần này chúng tơi trình bày một số dạng bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đĩ thể hiện tính đẳng cấp. Từ đĩ xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1. Cho , 0x y  thỏa mãn 2 2 1x y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  P y x y  . Lời giải. Đặt y tx . Từ điều kiện , 0x y  suy ra 0t  . Từ giả thiết 2 2 1x y  ta cĩ 2 2 1 1 x t   . Khi đĩ biểu thức   2 2 2 1 1 t t P x t t t      . Xét hàm số   2 2 1 t t f t t    ,     2 2 2 2 1 1 t t f t t       ,   0 2 1 1 2f t t t        (loại). Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     2 120max max 2 1tP f t f       đạt được khi    2 12 12 2 2 2; ;x y  . t 0 2 1   f t  0   f t 0 2 1 2  1 Diendantoanhoc.net Thí dụ 2. Cho , 0x y  và thỏa mãn 2 2 1x y  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 4 6 5 2 2 1 x xy P xy y      Lời giải. Nếu 0x  thì từ giả thiết 2 2 1x y  và 0y  suy ra 1y  . Khi đĩ 5 3 P  . Nếu 0x  thì đặt y tx . Từ giả thiết , 0x y  và 2 2 1x y  suy ra 0t  và 2 2 1 1 x t   . Khi đĩ     2 2 2 2 2 4 6 5 5 6 1 2 2 1 3 2 1 x t t t P x t t t t           . Xét hàm số   2 2 5 6 1 3 2 1 t t f t t t      ,     2 2 2 8 4 4 3 2 1 t t f t t t       ,   1 0 1 2 f t t t       (loại). Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ   5 , 0 3 f t t   và    1 20 min min 1 t P f t f      đạt được khi 2 5 x  và 1 5 y  . Vì vậy 5 max 3 P  đạt được khi    ; 0;1x y  và min 1P   đạt được khi    2 1 5 5 ; ;x y  . Thí dụ 2. Cho , 0x y  . Chứng minh rằng   2 3 2 2 4 1 8 4 xy x x y    Lời giải. Đặt x t y  . Từ giả thiết , 0x y  suy ra 0t  . Khi đĩ bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   3 2 4 1 8 4 t t t    hay   3 2 4 2t t t   . Xét hàm số     3 2 4f t t t t   ,           3 3 2 2 2 3 2 2 2 3 4 4 4 3 4 4 4 t t t t t t t f t t t t t               ,   2 2 0f t t    . Ta cĩ bảng biến thiên t 0 2 2   f t  0   f t 0 2 0 t 0 1 2   f t  0   f t 1 1 5 3 Diendantoanhoc.net Từ bảng biến thiên ta cĩ    220max 2t f t f   hay   3 2 4 2t t t   dấu bằng xảy ra khi 2 2 t  hay 2y x . 5.2 Bài tập 1/ Cho , 0x y  thỏa mãn 1xy y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 2 3 9 x y P y x   2/ Cho , 0x y  . Chứng minh rằng 3 3 23 7 9x y xy  . 3/ Cho , 0x y  . Chứng minh rằng 4 4 3 3x y x y xy   . 4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 3 8 x y x y P y xy x                 với , 0x y  . 6.1 Biểu thức ba biến Trong phần này chúng tơi trình bày một số dạng bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa ba biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến cịn lại. Từ đĩ, chuyển được bài tốn về bài tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số. Thí dụ 1. Cho , , 0x y z  thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng 1 1 16 xz yz   Lời giải. Đặt t x y  . Từ giả thiết ta cĩ  1 1z x y t     và 0 1t  . Áp dụng bất đẳng thức   2 4x y xy  hay 2 4 t xy  . Khi đĩ   2 1 1 4 1 t P xz yz xy t t t        . Xét hàm số   2 4 f t t t    ,       2 2 4 2 1t f t t t      ,   1 0 2 f t t    . Ta cĩ bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ      1 20;1 min 16 t f t f    đạt được khi 1 1 4 2 ,x y z   . Vì vậy 1 1 16 xz yz   . Thí dụ 2. Cho 2 2 2 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P x y z xy yz zx      Lời giải. Đặt t x y z   . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta cĩ     2 2 2 23x y z x y z     suy ra 3 3t   . Khi đĩ         2 2 2 2 21 1 2 1 2 2 P x y z x y z x y z t t                t 0 1 2 1  f t  0   f t  16  Diendantoanhoc.net Xét hàm số    2 1 2 1 2 f t t t   ,   2 2f t t   ,   0 1f t t     . Ta cĩ bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     3; 3 min min 1 1 t P f t f           đạt được khi 1t   hay    ; ; 1;0;0x y z   và các hốn vị của nĩ;     3; 3 max max 3 1 3 t P f t f          đạt được khi 3t  hay    1 1 1 3 3 3 ; ; ; ;x y z  . Thí dụ 3. Cho , , 0x y z  thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh rằng 3 3 3 15 1 4 4 x y z xyz    Lời giải. Do vai trị của , ,x y z bình đẳng nên ta luơn giả sử được  min , ,x x y z . Từ giả thiết , , 0x y z  , 1x y z   ta cĩ 1 0 3 x  và 1y z x   . Áp dụng bất đẳng thức   2 4 y z yz   và 27 3 0 4 x   . Khi đĩ biểu thức     33 3 3 315 153 4 4 P x y z xyz x y z yz y z xyz                3 33 315 273 1 3 4 4 x x x y z yz y z x x yz                            2 33 3 227 11 3 27 18 3 4 4 4 16 y z x x x x x x              Xét hàm số    3 2 1 27 18 3 4 16 f x x x x    ,    2 1 81 36 3 16 f x x x    ,   1 0 9 f x x    1 3 x  . Bảng biến thiên t 3 1 3  f t  0   f t 1 3 1 1 3 x 0 1 9 1 3  f x  0  0  f x 1 4 7 27 1 4 Diendantoanhoc.net Từ bảng biến thiên ta cĩ       1 3 1 30; 1 max 0 4x f x f f        . Do đĩ 1 4 P  . Dấu bằng xảy ra khi    1 1 1 3 3 3 ; ; ; ;x y z  hoặc    1 1 2 2 ; ; 0; ;x y z  và các hốn vị của nĩ. Thí dụ 4. Cho  , , 0;1x y z  thỏa mãn 1xy yz zx   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 21 1 1 x y z P x y z       . Lời giải. Ta cĩ       2 2 2 2 2 21 1 1 x y z P x x y y z z       . Xét hàm số    2 1 1 f t t t   với 0 1t  ,     2 2 2 2 3 1 1 t f t t t     ,   1 3 1 0 3 f t t t       (loại). Ta cĩ Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta cĩ     2 1 3 3 0;1 21 t t t     . Vì vậy    2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 P x y z xy yz zx       Do đĩ 3 3 min 2 P  đạt được khi 1 3 x y z   . MỘT SỐ BÀI TỐN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 1 (Đề thi tuyển sinh Đại học A – 2011) Cho , ,x y z là ba số thực thuộc đoạn 1;4   và ,x y x z  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3 x y z P x y y z z x       Lời giải. Trước hết ta chứng minh : 1 1 2 1 1 1a b ab      (*), với a và b dương và 1ab  . Thật vậy,        * 2 1 2 1 1a b ab a b         2 2a b ab ab a b ab         2 1 0ab a b    , luơn đúng với ,a b dương và 1ab  . Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : a b hoặc 1ab  . Áp dụng (*), với x và y thuộc đoạn 1;4   và x y , ta cĩ: 1 1 1 2 2 3 3 1 1 2 1 x P x y z x y x y z x y           t 0 1 3 1  f t  0   f t  3 3 2  Diendantoanhoc.net Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : z x y z  hoặc 1 x y  (1) Đặt , 1;2 x t t y      . Khi đĩ: 2 2 2 12 3 t P tt    . Xét hàm số :   2 2 2 , 1;2 12 3 t f t t tt       ,           3 2 22 2 4 3 3 2 1 9 0 2 3 1 t t t t f t t t             ,     34 2 33 f t f   . Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi 2t  4 4, 1 x x y y      (2). Suy ra 34 33 P  . Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi : 4, 1x y  và 2z  . Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng 34 33 , khi 4, 1, 2x y z   . Bài 2 (Đề thi tuyển sinh Đại học B – 2011) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn     2 22 2a b ab a b ab     . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 2 3 3 2 2 4 9 a b a b P b a b a                   Lời giải. Với ,a b dương, ta cĩ:     2 22 2a b ab a b ab        2 2 2 22 2a b ab a b ab a b         1 1 2 1 2 a b a b b a a b                     . Mà     1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b a b b a                                  , suy ra: 5 2 1 2 2 2 2 a b a b a b b a b a b a                      . Đặt 5 , 2 a b t t b a    , suy ra :    3 2 3 24 3 9 2 4 9 12 18P t t t t t t        Xét hàm số   3 24 9 12 18f t t t t    , với 5 2 t  Ta cĩ    26 2 3 2 0f t t t     , suy ra :    5 2 ; 5 23 min 2 4 f t f         . Vậy, 23 min 4 P   đạt khi và chỉ khi : 5 2 a b b a   và 1 1 2a b a b           ; 2;1a b  hoặc    ; 1;2a b  Bài 3 (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2010) Cho các số thực khơng âm , ,a b c thoản mãn 1a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2M a b b c c a ab bc ca a b c         Lời giải. Ta cĩ:       2 3 2 1 2M ab bc ca ab bc ca ab bc ca          Diendantoanhoc.net Đặt t ab bc ca   , ta cĩ :   2 1 0 3 3 a b c t      . Xét hàm số   2 3 2 1 2f t t t t    trên 1 0; 2     , ta cĩ :   2 2 3 1 2 f t t t          3 2 2 0 1 2 f t t      , dấu bằng chỉ xảy ra tại 0t  , suy ra  f t nghịch biến. Xét trên đoạn 1 0; 3        ta cĩ :   1 11 2 3 0 3 3 f t f         , suy ra  f t đồng biến. Do đĩ :     1 0 2, 0; 3 f t f t           . Vì thế :   1 2, 0; 3 M f t t           . 2 , 1M ab bc ca ab bc ca       và 1a b c    ; ;a b c là một trong các bộ số :      1;0;0 , 0;1;0 , 0;0;1 Do đĩ giá trị nhỏ nhất của M là 2. Bài 4. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2009) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức    4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y      với ,x y là các số thỏa mãn   3 4 2x y xy   . Lời giải. Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên :   2 4x y xy  nên         3 3 2 3 4 2 4 2x y xy x y x y x y xy               3 2 2 0x y x y            2 1 2 0x y x y x y              (1) Do       2 2 1 7 2 0 2 4 x y x y x y                và từ (1) suy ra : 1x y  . Vậy nếu cặp  ;x y thỏa mãn yêu cầu đề bài thì 1x y  (2). Ta biến đổi A như sau:    4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y            2 2 2 4 4 2 23 3 2 1 2 2 x y x y x y       (3) Do   2 2 2 4 4 2 x y x y    nên từ (3) suy ra :           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 92 1 2 1 2 4 4 A x y x