Chuyên đề : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1 CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Đinh Văn Trường. Tổ Toán – Trường THPT Nghèn, Can Lộc, Hà Tĩnh. SĐT: 01677.10.19.15 Phương trình mũ nằm trong lớp bài toán Phương trình, Hệ phương trình, Bất phương trình của chương trình Toán học Phổ thông. Việc rèn luyện cho các em phương pháp giải phương trình mũ sẽ giúp các em có những kĩ năng và định hướng tốt trong việc giải quyết những bài toán trong lớp bài toán này. Chuyên đề trình bày các phương pháp giải và phân loại phương trình mũ theo các phương pháp giải đó. Phương pháp 1. Đưa về cùng cơ số Biến đổi phương trình đưa các số hạng về cùng cơ số a:        f x g xa a f x g x   Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 2 1 2 49 3 x x b) 1 1 2 22 25 9 3 5     x xx x c)     x 3 x 1 x 1 x 310 3 10 3       Bài giải: a) 2x 1 1 2x 29 9 x 1 1 2x       2 1x x 02 3x 4x 0         . b) 9 5 5 5 55.5 9 9 9 275           xx x x x  3x 25 5 9 9            3x 2   . c) Nhận xét:   10 3 10 3 1   PT     x 3 x 1 x 1 x 310 3 10 3         x 3 x 1 x 1 x 3        . Điều kiện: x 1 x 3     2 2x 3 1 x x 2       Phương pháp 2. Đặt ẩn phụ * Đặt ẩn phụ dạng 1: Đặt  f xt a , t 0 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 2 23 1 39 3 28.3    x x b) 2 222 2 3   x x x x (ĐH D - 2003) Bài giải: a) Đặt 2x 3t 3  , t 1 vì 23 x 0  PT trở thành: 2 28t 3 t 3   23t 28t 9 0      t 9 1t L 3      2x 3 2 x 7      b) Đặt 2x xt 2  , t 0 PT trở thành: 24t 3 t 3t 4 0 t         2t 1 L x 1x x 2 x 2t 4              Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) 8 18 2.27 x x x b) 1 2 1 23 2 12 0    x x x 2 Bài giải: a) Chia cả 2 vế của PT cho x27 , ta thu được PT: x x 3x x8 2 2 22 2 0 27 3 3 3                             Đặt x2t 3       , t 0 . PT trở thành: 3t t 2 0   x2t 1 1 x 0 3           b) x x x 2 2 23.9 2.16 12 0    .Chia cả 2 vế của PT cho x 212 , ta thu được PT: x x 2 23 43. 2. 1 0 4 3              Đặt x3t 4       , t 0 . PT trở thành: 23t 1 0 t      x 2 t 1 33t t 2 0 1 x 02 4t L 3                  Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a)    4 15 4 15 62   x x b)     35 21 7 5 21 2    x x x Bài giải: a) Nhận xét:   4 15 4 15 1   Đặt    x x 1t 4 15 4 15 t     , t 0 PT trở thành: 21t 62 t 62t 1 0 t       t 31 8 15    2t 4 15      x 24 15 4 15 x 2       b) Chia cả 2 vế của PT cho x2 , ta thu được PT: 5 21 5 217 8 2 2                  x x Đặt x x 5 21 5 21 1t 2 2 t                   , t 0 PT trở thành: 27t 8 t 8t 7 0 t       x x 5 21 2 5 21 1 x 02t 1 x log 7t 7 5 21 7 2                       * Đặt ẩn phụ dạng 2: Đặt 2 ẩn phụ  f xu a và  g xv a , với u, v 0 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a)   22 2 114 2 2 1   xx x x b) 4 2 1 1 2 13 3 4.3    x x x x (Thi thử ĐHV năm 2011) Bài giải: a) Nhận xét:  2 2 2 2 x 1 x x 2x 2x 1 x 24 2 2       Đặt  2 2 x 1 1 x u 2 v 2       , u, v 0 . PT trở thành:  u uv u 1 v 1 1 0 v v            v 1 u 1 v      2 2 1 x x x 2 1 x 0 x 14 1            b) Đặt 2x x 1 u 3 v 3      , u, v 0 . PT trở thành:   2 2u 3v 4uv u v u 3v 0      u v u 3v     2x x 1 2x x 1 1 3 3 2x x 1 2x 1 x 13 3                1 17x 8 5x 4       3 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a) 1 1 1 1 8 1 18 2 1 2 2 2 2 2         x x x x b) 22 2 6 6  x x Bài giải: a) Đặt x 1 1 x u 2 1 v 2 1         , u, v 1 . PT trở thành: 8 1 18 u v 1 u v     Nhận xét:       x 1 x 1 x 1 x 1uv 2 1 2 1 2 1 2 1 u v            . Ta có hệ: 8 1 18 u v 2u 8v 18 u v u v 9uv u v u 9;vuv u v 8                 Từ đó, nghiệm của PT là: x 1 hoặc x 4 b) Đặt x x u 2 v 2 6      , u 0, v 6  . PT trở thành: 2u v 6  Nhận xét: 2 x 2v 2 6 u 6 v u 6       . Ta có hệ phương trình:    22 2 u v 6u v 6 u v u v 1 0v u 6               Do điều kiện của u, v nên hệ u v 3   2x log 3  Phương pháp 3. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Dạng 1: Phương trình có dạng:  f x k (1) hoặc    f x g x (2). Ta có hai mệnh đề sau: Mệnh đề 1. Nếu hàm số  y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất. Mệnh đề 2. Nếu hàm số  y f x đồng biến (nghịch biến) và hàm số  y g x nghịch biến (đồng biến) trên tập K thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) x x x3 4 5  b) 7 6 11 2   x x x Bài giải: a) Chia cả 2 vế của phương trình cho x5 , ta được: x x3 4 1 5 5             Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số nghịch biến trên R nên x x3 4y 5 5             là hàm số nghịch biến trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x 2 . Thật vậy + Với x 2 thì 2 23 4VT 1 VP 5 5               . + Với x 2 thì 2 23 4VT 1 VP 5 5               . + Với x 2 thì 2 23 4 1 5 5             . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 2 . b) Nhận xét: VT của phương trình là tổng của hai hàm số đồng biến trên R nên x xy 7 6  là hàm số đồng biến trên R và VP của phương trình là hàm số bậc nhất có hệ số a 11 0   nên y 11x 2   là hàm số nghịch biến trên R. Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x 0 . Thật vậy + Với x 0 thì 0 0VT 7 6 2 11.0 2 VP       . + Với x 0 thì 0 0VT 7 6 2 11.0 2 VP       . + Với x 0 thì VT VP 2  . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 0 . 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a)    2 2 1 2 2 3 0    x xx x b)  25 2 3 5 2 7 0    x xx x Bài giải: a) Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x. Ta có:      2 2 2 2 1 8 2 3 2 5 3 2              x x x x x x Xét phương trình: x xx 3 2 2 3 x     Hàm số xy 2 đồng biến trên R và hàm số y 3 x  nghịch biến trên R Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x 1 . Vậy phương trình có 2 nghiệm 2; 1  x x b) (Đặt ẩn phụ không hoàn toàn) Đặt 5 xt , điều kiện 0t Khi đó phương trình tương đương với:  2 2 3 2 7 0    t x t x      2 2 1 ' 3 2 7 4 7 2              t x x x t x Ta có: x5 7 2x  có nghiệm duy nhất x 1 Dạng 2: Phương trình có dạng:    f x f y (3). Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3. Nếu hàm số  y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên tập K thì phương trình (3) x y  . Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: a) 2 3 1 2 22 2 4 3 0      x x x x x (*) b) 2 2os sin os2 c x xe e c x (**) Bài giải: a) Ta có:    2 2x 4x 3 x 3x 1 x 2       (*)    2x 3x 1 2 x 22 x 3x 1 2 x 2         Xét hàm số:   tf t 2 t  . Ta có:   tf ' t 2 ln 2 1 0, t R     . Do đó  f t đồng biến trên R. PT    2f x 3x 1 f x 2     2x 3x 1 x 2     x 1 x 3     b) Ta có: 2 2cos2x cos x sin x  (**) 2 2cos x 2 sin x 2e cos x e sin x    Xét hàm số:   tf t e t  . Ta có:   tf ' t e 1 0, t 0     . Do đó  f t đồng biến trên  0; . PT    2 2f cos x f sin x  2 2cos x sin x  x k 4       Phương pháp 4. Đánh giá hai vế của phương trình + Nếu VT M và VP M thì VT VP M  . + Nếu VT VP thì tìm dấu = xảy ra theo đánh giá. Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: a) 242 2 16  x x x b) 32.6 4 3.12 2.8 2.3   x x x x x (Đề thi thử trên Tuhoctoan.net) Bài giải: a) Ta có: x x x xVT 2 2 2 2 .2 2     và 24 4VP 16 x 16 2    . Do đó, PT VT VP 2 x 0     b) Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta thu được PT: 33 3 32. 1 3. 2 2. 2 2 2                     x x x Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 32. 1 1 3 322. 1 2 2 2                   x x x và 3 33. 2 1 1 3 323. 2 2 3 2                    x x x Do đó, VT VP . Dấu = xảy ra x 0  . 5 Phương pháp 5. Đưa về phương trình tích: Biến đổi phương trình đưa về dạng A 0 A.B 0 B 0      Ví dụ 11. Giải các phương trình sau: a) 5 2 5 42 1 2 1.2 2 .2 2      x xx xx x b) 2 2 22 5 3 2 2 .3 2 5 3 4 .3      x xx x x x x x x Bài giải: a)    x 5 4 x 5 42 x 1 x 11x . 2 2 2 24          x 5 42 x 1 1x1 2x 2 2 0 4 x 1 x 5 4                   Giải PT chứa dấu giá trị tuyệt đối ta được x 4 Vậy PT có 3 nghiệm: x 4 ; 1x 2   b) Điều kiện: 12 x 3       22 5 3 1 2 .3 2 1 2 .3 0      x xx x x x x   21 2 .3 2 5 3 2 0     xx x x x 2 1 2 .3 0 2 5 3 2 0          xx x x x . Nhận xét: + Với 2 x 0   thì x1 2x.3 0  + Với 10 x 3   thì 1 x 321 2x.3 1 .3 0 3     Do đó PT x1 2x.3 0  vô nghiệm. Giải phương trình chứa căn 4 22x 9     là nghiệm của PT. Phương pháp 6. Lôgarit hóa Lấy lôgarit hai vế của phương trình với cơ số thích hợp. Ví dụ 12. Giải các phương trình sau: a) 1 5 .8 500   x x x b) 2 33 2 x x Bài giải: a) Lấy lôgarit cơ số 5 hai vế của phương trình, ta được: 5 5 x 1x log 8 log 500 x       2 54 5x x 1 log 8 x 3 log      2 5 5x log 2 3 x 3log 2 0     5 x log 2 x 3      b) Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế của phương trình, ta được: x x x 3 3 22 3 .log 2 log 2 3         2 3 3 x log log 2  6 MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. 2 22 1 24 5.2 6 0x x x x       2. 3 2cos 1 cos4 7.4 2 0x x    3.      26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1x x x      4.    2 3 2 3 14x x    5. 3 1 5 35.2 3.2 7 0x x    6. 3 3 1 8 12 6 2 1 2 2 x x x x               7. 1 2 14.9 3 2x x  8. 2 22 .3 1,5x x x  9. 2 1 15 .2 50 x x x    10. 3 23 .2 6 x x x  11. 22 1 3 x x   12. 3 22 8 14x x x     13.  25 2 3 5 2 7 0x xx x     14. 38 .2 2 0x xx x    15.  2 3 2.3 3 12 7 8 19 12x xx x x x x       16. 6224 241   xxx 17. 0273.43 5284   xx 18. 26.52.93.4 x xx  19. xxx 6242.33.8  20.   77.0.6 100 72  xx x 21. 13250125  xxx 22. 623.233.4 212   xxxx xxx 23. 033.369 31 22   xx 24. 0639 11 22   xx 25. 12 3 694    xx x 26. 211 2222 2332   xxxx 27. xxx   21 10 5 15.2 28.     32531653  xxx 29. xxx 36.281.216.3  30.   2log 12222 22 xx xxlo       31.   8444242 22  xxxxx 32. 3loglog29log 222 3. xxx x  33. 052.2 82 log3log   xx xx 34. 5log3log 22 xxx  35.      324log 242 2   xx x 36. xxx 100lglg10lg 3.264  37. 62 6 1 2 12 3 13                 x xx x x x 38. 093.613.73.5 1112   xxxx 39. 20515.33.12 1  xxx 40. 2 222 4log6log2log 3.24 xx x  41. 2653  xxx 42.  21 122 2   xxxx 43.      3210 1013232 1212 22    xxxx 44. 02525 21   xxxx