Chuyên đề Khảo sát các hàm số

A(-1, 2). Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom Định m để (d) cắt đồ thị (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x3  3 x = m(x + 1) + 2  (x+1)( x2 - x – 2 - m) = 0 (d) cắt (1) tại 3 điểm phân biệt.  x  1   2  x x 2  m  0 (2)  (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1.  9 1 4(2 m )  0 m    0   4 g( 1)  0 m  0 m  0  Khi đó (2) có 2 nghiệm , => hệ số tiếp tuyến tại B và C là: f’( ), f’( ) xB xC xB xC Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau f’( ).f’( ) = -1  xB xC (3 2 -3)(3 2 - 3) = -1  xB xC 9 2 2 - 9( 2 + 2 ) + 9 = -1  xB xC xB xC  9 P2 -9( S 2 - 2P) +10 = 0 b S 1 Mà:   a   P2 m     => 9( 2  m )2 - 9(1 + 4 + 2m) +10 = 0 => 9 m2 +18m – 9 = 0 => 2 +2m-1=0 m1  2 (loại) m   m1  2 9 So với điều kiện: m > - và m  -1+ 2 . 4 Câu43: Cho hàm số: y= x22 x  m 2 x  2 1) Tìm giá trị của m sao cho y  2 với mọi x  -2 Ta có: y  2  y -2  y  2  maxy  2  miny   2 x2 x  2 Mà: y’= x24 x  4  m 2 (x  2)2 y’= 0 2 2 x1 2  m x 4 x  4  m  0 x2 2  m (m  0) Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  u'( x ) y1 2  2 m  CÐ  v'( x ) 1 (m  0)  u'( x )  y2 2  2 m  CT v'( x )  2 Ta có:  maxy  2 2  2m  2  x2   miny  2 2  2m  2  x2  m0 m  2  m  2 m2  m  2 Vậy: y2,  x   2 khi m   2  m  2 2) Khảo sát hàm số với m = 1: x2 2 x  1 1 y  x  x2 x  2  TXĐ: D = R\{-2} x2 4 x  3 y '  (x  2)2 y ' 0   x3  x1  Tiệm cận đứng: x = -2 vì lim y   x2  Tiệm cận xiên: 1 y = x vì lim 0 x x  2  BBT:  Đồ thị: Cho x=0, y = 1 2 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom Câu 44: Cho hàm số: y = x2 8 x (1) 8(x m ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1: y= x2 8 x 8(x  1)  TXĐ: D = R\{-1} y’= 8x2  16 x  64 = x2 2 x  8 64(x  1)2 8(x  1)2 y’= 0   x4  x2  Tiệm cận đứng: x = -1 vì lim y   x1 1 9 9  Ta có: y= x - + 8 8 8(x  1)  Tiệm cận xiên: 1 9 9 y= x- vì lim 0 8 8 x 8(x  1)  BBT:  Đồ thị: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2) Tìm m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1, )  x28 x Ta có: y  (1) 8(x m ) D = R\{-m} 8x2 16 mx  64 m x 2  2 mx  8 m y'   64(x m )2 8( x  m ) 2 Hàm số (1) đồng biến trên [1, )  y'  0,  x  [1;  ) x2 2 mx  8 m  0,  x  [1;  ) '  0m2  8 m  0 m 1  m  1 1 m  0    '  0   1 Hay '  0 af'(1)  0  0  m  x x 1   1 2  6  S 1  0  2 1 ĐS: 1 m  6 Câu 45: 1) Khảo sát hàm số : y( x  1)2 ( x  2) (C) y x3 3 x  2 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  TXĐ: D = R y' 3 x2  3 y’=0   x1  x1 y”=6x y”= 0  x= 0 x = 0 y=  2  điểm uốn I(0, -2)  BBT:  Đồ thị: Cho x =  2 , y =  4 x = 2, y = 0 2) Xác định k để đường thẳng (  ) qua M(2, 0) và có hệ số góc k cắt đồ thị hàm số sau tại 4 điểm phân biệt: 3 y x 3 x  2 (C ) 1 1 Ta có: y f x 1   Đây là hàm số chẵn nên đồ thị (C ) nhận Oy làm trục đối xứng. 1 Đồ thị (C ) suy từ ( C) như sau: 1 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom - Phần của (C) bên phải Oy giữ nguyên, bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua Oy. Xét đưòng thẳng (d ) qua 2 điểm M(2, 0) và I(0, -2) 1 y y 2 Hệ số góc k M I   1 1 xM x I 2 Xét đường thẳng qua 2 điểm M(2, 0) và A(-1, -4): (d2 ) Hệ số góc yM y A 4  k2   xM x A 3 Nếu ( ) qua M và nằm giữa (d ) và (d ) thì ( ) cắt (C ) tại 4 điểm phân biệt. 1 2 1 4 1 k  3 Câu 46: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 3x  1 y  (1) x  3  TXĐ: D = R \{3} 10 y '  0 (x  3)2  Hàm số giảm trên từng khoảng xác định .  Tiệm cận đứng : x = 3 vì lim y   x3  TCN: y = 3 vì limy  3 x  BBT: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  Điểm đặc biệt: 2) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)  I(3, 3) Gọi () : x + y –3 = 0 Ta có: I và O đối xứng qua ().  Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI  (3,3) x X  3    y Y  3 Thay vào phương trình của (C): 3X  10 10 Y3   Y  X X Ta có: TCĐ của (C) đối xứng qua () là trục Ox. TCN của (C) đối xứng qua () là trục Oy. Hai Đường tiệm cận của (C ) đôi xứng của (C) qua ( ) là 2 trục Ox, Oy nên phương  1  trình của (C1) là : 10 y  x 3) C(a,b) là 1 điểm tuỳ ý trên (C). Tiếp tuyến tại C cắt 2 đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng C là trung điểm của AB và diện tích IABkhông đổi. Ta có đối với hệ trục mới: 10 10 Y= (C) Y' = - X X2 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 10 C( a , b )  C  b  a Tiếp tuyến tại C có phương trình: 10 Y f'( X )( X  X )  Y  Y '   ( X  a )  b 2 c c c a 10 10 10 Y   X   2 a a a 10 20 Y   X  2 a a 20  Tiếp tuyến cắt TCĐ tại A  A 0 , a  Tiếp tuyến cắt TCN tại B  B(2 a , 0) X X  A B a X    C  2  Y Y 10  A B   YC  2 a  C là trung điểm AB Mặt khác: 1 1 20 S X. Y  2 a .  20 (đvdt) IAB2B A 2 a Vậy: C là trung điểm đoạn AB và SIAB = 20 (không đổi). Câu 47: Cho hàm số: y = x4 – 4x2 + m (C) 1) Khảo sát hàm số với m = 3: y = x4 – 4x2 + 3  TCĐ: D = R y' 4 x3  8 x  4 x ( x 2  2) x  0 y ' 0   x   2 y'' 12 x2  8 2 7 y'' 0  x    y  3 9 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom Điểm uốn: 2 7   2 7   ,  ,  ,  3 9   3 9       BBT:  Đồ thị (học sinh hãy tự vẽ) Cho x  1 y 0   x  3 2) Giả sử (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. Xác định m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox có diện tích phía trên và phía dưới Ox bằng nhau. (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x4 4 x 2  m  0 (1) có 4 nghiệm phân biệt t2 4 t  m  0 (2) (với t x2  0 ) có 2 nghiệm phân biệt.  0  4 m  0   P 0   m  0  0  m  4   S 0  4  0 Khi đó, do tính đối xứng, theo đề bài ta có : S1 = S2. a b f( x ) dx    f ( x ) dx 0 a F( a )  F (0)   F ( b )  F ( a ) F( b )  F (0) Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom mà: x54 x 3 F( x )    mx 5 3 5 3 b4 b   mb  0 5 3 b44 b 2   m 0 ( b  0) (1) 5 3 Mà điểm 4 2 (b , 0) ( C )  b  4 b  m  0 (2) m 4 b2  b 4 Thay vào (1) b44 b 2   4b2  b 4  0 5 3 8b2 4 b 4 10 40 100 20   0 b2   m    3 5 3 3 9 9 20 Vậy m  9 CÂU 48: 1 Cho hàm số : y x3  mx 2  x  m 1 3 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0 1 y x3  x 1 ( C ) 3  TXĐ : D = R y' x2  1 x  1 y ' 0   x  1 y'' 2 x y'' 0  x  0  y  1 điểm uốn I(0, 1)  BBT: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  Đồ thị: 1 Cho x 2 , y  3 5 x2 , y  3 2) Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 1 Ta có : y x3  x 1 3 y' x2  1 y'' 2 x BXD: miny '   1 tại x = 0, y = 1  I(0, 1) R Vậy : Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I là nhỏ nhất. Phương trình tiếp tuyến tại I là: 2 y' x  2 mx  1 y' 0  x2  2 mx  1  0 (1) ' m2  1  0 ,  m  (1) có hai nghiệm phân biệt.  Hàm luôn luôn có CĐ, CT. - Tìm m sao cho khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT là nhỏ nhất. Gọi M1(x1, y1) và M2(x2, y2) là điểm CĐ và CT của đồ thị, ta có: 2 2 2 M1 M 2(x 2  x 1 )  (y 2  y 1 ) Để tìm y1, y2 ta chia f(x) cho f ’(x) : 1 1  22 2 yf '( x ). x  m   ( m  1) x  m  1 3 3  3 3 Vì f ’(x1) = 0, f ’(x2) = 0 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2 2 y ( m2  1) x  m  1 1 31 3 2 2 y( m2  1) x  m  1 1 32 3 4 M M2 ( x  x ) 2  ( m 2  1 2 )( x  x ) 2 1 2 2 19 2 1 24 2 2  (x2  x 1 ) ( m  1)  1 9  2 '   4 2 2    (m  1)  1  a  9  52 min M M 2  khi m = 0 1 2 9 2 3 min M M  khi m = 0 1 2 3 Câu 49 : 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 3 2 y  x6 x  9 x (C)  TXĐ : D = R 2 y' 3 x  12 x  9 x 1 y ' 0     x 3   y" 6 x  12 y" 0  x  2  y  2  điểm uốn (2,2)  BBT :  Đồ thị : Y 4 (C) 2 O 1 2 3 4 X 2.a.Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (C ) của hàm số : 1 y x3 6 x2 9 x 1    Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom Ta có : y x36 x 2 9 x y f ( x ) 1    1  Đây là hàm số chẳn nên đồ thị (C ) nhận Oy làm trục đối xứng 1 Y 4 -3 O 3 X (D) Do đó đồ thị (C ) suy từ (C) như sau : 1 -Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên -Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy. b.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 6 x2 9 x 3 m 0      3 2 x 6 x  9 x  3  m Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng d : y = 3 – m . Số 1 giao điểm của (C ) và d là số nghiệm của phương trình . 1 Biện luận : 3m  0  m  3:vô nghiệm 3m  0  m  3: 3 nghiệm 0 3 m  4   1  m  3: 6 nghiệm 3m  4  m   1: 4 nghiệm 3m  4  m   1: 2 nghiệm Câu 50: Cho hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 5 1) Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT: Ta có: y’ = 3(m + 2)x2 + 6x + m 2 y’ = 0  3(m + 2)x + 6x + m = 0 (1) Hàm số có CĐ, CT  (1) có 2 nghiệm phân biệt m2  0  m   2    '  0  9  3m ( m  2)  0 m   2 m  2   2  3m  6 m  9  0 3 m  1 Vậy hàm số có CĐ, CT khi: - 3 < m < 1 và m  -2 2) Khảo sát hàm số ứng với m = 0 y = 2x3 + 3x2 – 5 (C) Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  TXĐ: D = R y' 6 x2  6 x x  0 y ' 0   x  1 y'' 12 x  6 1 9 điểm uốn 1 9  y'' 0  x    y    ,   2 2 2 2   BBT:  Đồ thị : 1 Cho x, y   4 2 3 x , y   5 2 x1, y  0 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 3) Chứng minh rằng từ điểm A(1, -4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) : Đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k có phương trình: y = k(x - 1) – 4 3 2 2x 3 x  5  k ( x  1)  4 (1) (d) tiếp xúc với (C)  có nghiệm.  2 6x 6 x  k (2) Thay (2) vào (1) 2x3 3 x 2  5  (6 x 2  6 x )( x  1)  4 2x3  3 x 2  5  6 x 3  6 x 2  6 x 2  6 x  4 4x3  3 x 2  6 x  1  0 (3) x  1 2  (x  1)(4 x  7 x  1)  0  7 33 x   8 (3) có 3 nghiệm thay vào (2)  3 giá trị k Vậy : Từ A(1, -4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) CÂU 51: 1) Cho hàm số: y x3 3( a  1) x 2  3 a ( a  2) x  1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a=0 y x3 3 x 2  1 D = R y' 3 x2  6 x  3 x x  2  x  0 y ' 0   x  2 y'' 6 x  6 y'' 0  x   1  y  3 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  Điểm uốn (-1, 3)  BBT:  Đồ thị: Cho x1  y  5 x 3  y  1 b) Với giá trị nào của a thì hàm số đồn biến với 1x  2 Ta có: 3 2 y x 3 a  1  x  3 a  a  2  x  1 y' 3 x2  6 a  1  x  3 a  a  2  Hàm số đồng biến với 1x  2 y '  0 với 1x  2 x2 2 a  1  x  a  a  2   0 với : 2 x   1  1  x  2 BXD: y ' 0 với 2 x   1  1  x  2  1 a  2  a  1 a 1  a  1  a  Vậy hàm số đồng biến trong 1x  2 với mọi a Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom m 2) Tìm m để đồ thị y x2 3 x   3 có 3 điểm cực trị. x m Ta có: y' 2 x  3  x2 Hàm số có 3 cực trị  y’= 0 có 3 nghiệm phân biệt. 2x3  3 x 2  m  0 có 3 nghiệm phân biệt. Xét hàm số g x  2 x3  3 x 2  m g'( x )  6 x2  6 x x0  ycđ   m g' x   0   x1  y   m  1  CT   g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt y. y  0 cđ ct m m 1  0   1  m  0 Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị khi: -1 < m < 0 Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường cong chứa 3 điểm cực trị: 1 3  3 3m 3 m y f' x  x     .  . 2 4  4 2x 4 x2 Tọa độ các điểm cực trị thỏa hệ:  m f' x   0 2x  3   1    x2 3 3m 3 m   y  .  .  3 3m 3 m  4 2x 4 x2 y  .  . 2   4 2x 4 x2 Khử m ta có: m m 2x  3   2 x2  3 x x2 x Thay vào (2) ta được : 3 3 3 y 2 x2  3 x  2 x  3  4 2  4 2 y 3 x  6 x  3 y 3 x  1 2 Vậy 3 điểm cực trị ở trên đường cong có phương trình: y3 x  1 2 Câu 52: x2  x  1 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y  x  2  x 1 x  1  TXĐ : D = R\ 1 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom x2  2 x y'  2 (x 1) x 0 y' 0   x 2  Tiệm cận đứng : x = 1 vì lim y   x 1 1  Tiệm cận xiên : y = x + 2 vì lim 0 x x 1  BBT:  Đồ Thị: 2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm bất kì trên (C) tới hai tiệm cận của (C) là 1 số không đổi. 1 Gọi M(a, b)  (C)  b = a + 2 + a - 1 TCĐ : x – 1 = 0 TCX : y – x – 2 = 0 b a  2 Ta có: d(M, TCĐ). d(M, TCX) = a 1 2 1 1 a 1  (không đổi) 2a  1 2 Câu 53: 1) Khảo sát hàm số : y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 (C) Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom TXĐ : D = R  y' 6 x2  6 x  12 x 1 y' 0   x  2 y'' 12 x  6 1 11 y'' 0  x    y  2 2 điểm uốn 1 11    ,  2 2  BBT:  Điểm đặt biệt:  7 x  , y   8 2 5 x , y  19 2 2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua O. Đường thẳng (d) đi qua O và có hệ số góc k có phương trình: y = kx 3 2 2 x 3x  12 x  1  k x (1) (d) tiếp xúc (C)  có nghiệm.  2 6 x 6 x  12  k (2) Thay (2) vào (1) : Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2 x3 3x 2  12 x  1  (6 x 2  6 x  12) x 2 x3  3x 2  12 x  1  6 x 3  6 x 2  12x 4 x3  3x 2  1  0 (x  1)(4 x2  x  1)  0 x  1  y  12   2 4 x x  1  0 (vô Vậy toạ độ tiếp điểm M là: M(-1, 12).nghiệm) Câu 54: x2  (m  2) x  m  1 Cho hàm số: y  x 1 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2: x2  3 4 y  x  1  (C ) x 1 x  1  TXĐ: D = R\-1 x2  2 x  3 y'  2 (x 1) x 1 y' 0   x  3  Tiệm cận đứng: x = –1 vì lim y   x1  Tiệm cận xiên: 4 y = x – 1 vì lim 0 x x 1  BBT:  Đồ thị: Cho x = 0 , y = 3 x = –2 , y = –7 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2) Tìm m trên đồ thị có 2 điểm A, B sao cho : 5xA – yA + 3 = 0, 5xB – yB + 3 = 0 Ta có: A, B  (d’) : 5x – y + 3 = 0  y = 5x + 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d’) : x2  (m  2) x  m  1 5 x  3 x 1 x2  (m  2) x  m  1  (5x  3)(x  1) 4 x2  (m  10) x  2  m  0   (m10 )2  16(2  m )  m 2  4 m  68  0,  m Vậy (d’) luôn luôn cắt (Cm) tại 2 điểm A, B với mọi m. - Tìm m để 2 điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : x + 5y + 9 = 0 Ta có: (d)  (d’). Toạ độ trung điểm I của AB:  x x m 10 x A B   1 2 8  5(m 10) 5 m  26 y 5x  3   3   1 1 8 8 A và B đối xứng nhau qua (d)  I  (d) m10 5(5 m  26)   9  0 8 8 68 34 26m  68  0  m   26 13 34 Vậy : m  13 Câu 55: 1) Khảo sát hàm số: y = x3 – 2x2 + x (C)  TXĐ : D = R Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom y' 3x2  4 x  1 x 1 y' 0   1 x   3 y'' 6 x  4 2 2 điểm uốn 2 2  y'' 0  x   y   ,  3 27 3 27   BBT:  Điểm đặc biệt: Cho x = 0, y = 0 4 4 x , y  3 27 2) Tìm diện tích giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 4x. Phương trình hoành độ giao điểm : x3 2 x 2  x  4 x x3  2 x 2  3x  0 x(x2  2 x  3)  0 x 0  x   1 x 3 Diện tích hình phẳng cho bởi: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 03 2 3 3 2 S(x  2 x  x  4 x) d x   (4 x  x  2 x  x) d x 1 0 0 3 x4 2 x 3 3x 2   x 4 2 x 3 3x 2            4 3 2   4 3 2   1   0 7 45 71    (dvdt ) 12 4 6 Câu 56: 2 x2  3x  m Cho hàm số : y  2x 1 a) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng 1  . ,    2  4 x2  4 x  3  2m Ta có : y'  (2 x 1)2 Hàm số nghịch biến trong : 1   1  ,     y'  0,  x    ,    2   2  2 1   4 x  4 x  3  2m  0,  x   ,    2   '  0  4  4(3  2m )  0 m  1 b) Khảo sát hàm số khi m = 1 2x2  3x  1 y  2x 1 TXĐ: D = R\ 1     2  4 x2  4 x  5 1 y'  0,  x  (2 x 1)2 2  Hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định.  Tiệm cận đứng: 1 x  vì lim y   1 2 x 2 2 Ta có: y  x  1  2 x 1  Tiệm cận xiên : 2 y  x  1 vì lim  0 x 2 x 1  BBT: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom  Điểm đặt biệt: Câu 57: Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 1) Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua. Ta có thể viết : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1) Điểm cố định A(x, y) thoả (1), m. x3 3x 2  2 x  0  x(x 2  3x  2)  0    2 2 x  y  0  y   2 x  2 x 0 , y  2  x  1 , y  0  x 2 , y   2 Vậy họ đường cong luôn đi qua 3 điểm cố định : A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2) 2) Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng. Từ đó suy ra họ đường cong có 1 tâm đối xứng. Toạ độ 3 điểm A, B, C thoả phương trình y = –2x + 2 nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng vì A và C đối xứng qua B nên họ đường cong có chung 1 tâm đối xứng là B(1, 0). 3) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom y = x3 – 3x2 + 2 (C) - TXĐ : D = R y' 3x2  6 x x 0 y' 0   x 2 y'' 6 x  6 y'' 0  x  1  y  0  điểm uốn (1, 0) -BBT - Đồ thị : Cho x = –1 , y = –2 x = 3 , y = 2 4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất. Ta có điểm uốn I(1, 0)  phương trình tiếp tuyến của (C) tại I: y = f’(1).(x – 1)  y = –3(x – 1)  y = –3x + 3 Ta có hệ số góc các tiếp tuyến là: y’= 3x2 – 6x  y = 6x – 6 y’’= 0  x = 1 BXĐ:  min y’ = –3 tại x = 1 Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I nhỏ nhất. Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy. Diện tích hình phẳng là : 1 1 4 2 3 2x 3 3x  S (  3x  3)  (x  3x  2)  d x    x   x     4 2 0  0 1 S  (đvdt) 4 Câu 58: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 y = x3 – 3x2 + 2 - TXĐ: D = R y' 3x2  6 x x 0 y' 0   x 2 y'' 6 x  6 y'' 0  x  1  y  0  điểm uốn (1, 0) - BBT: - Đồ Thị: 2) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm CĐ và điểm CT đồng thời các điểm CĐ và điểm CT nằm về 2 phía đối với trục tung. Ta có: y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1)x +2 y’ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) 2 2 y’= 0  x – 2mx + m – 1 = 0 (1) Hàm số có điểm CĐ và điểm CT ở hai bên Oy (1) có hai nghiệm x , x sao cho : x < 0 < x  1 2 1 2 2  P < 0  m – 1 < 0  –1 < m < 1 Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom Vậy -1< m < 1. Câu 59: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 x 3 y (1) x 1  TXD: D = R \{1} x2 2x 3 y'    (x 1)2  x 1 y' 0     x 3     Tiệm cận đứng: x = -1 vì lim y   x1 4 Ta có: y x  1  x 1  Tiệm cân xiên: 4 y = x – 1 vì lim 0 x x 1    BBT:  Đồ thị Cho x = 0  y = 3 x = -2  y = – 7  Đồ thị: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2 2) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2, ) sao cho (d) cắt đồ thị 5 hàm số (1) tại hai điểm A, B và M là trung điểm AB. 2 Đường thẳng (d) qua M(2, ) và có hệ số góc k: 5 2 yk (x 2)    5 Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và (d): 2 x 3 2 k(x  2)  x 1 5 2 2 5(x  3)x  5k (x  2)(x  1)  2(x  1) x  0 2 5(1 k )x  (5 k  2)x  10 k  13  0 Đường thẳng (d) cắt đồ thị (1) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 1k 0     0    x x 2 x  A B  M  k  1  (5k 2)2 20(1 k )(10 k 13) 0          2 5k  4 5(1k )     k  1  1 6  42 20  (25) 0 k     5     5    6 k    5 Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 6 2 y (x  2)  5 5 6 y x 2  5  Câu 60: Cho hàm số: y x2  3x 2 m 2 x  m 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0. y x3  3x 2  TXD: D = R y’ = 3x2- 6x x 0 y' 0   x 2 y’’= 6x – 6 y’’= 0  x = 1 y = -2  điểm uốn I(1, -2)  BBT:  Đồ thị: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ và CT đối xứng nhau 1 5 qua đường thẳng y x  2 2 Ta có: y = x3 - 3x2 + m2x + m y'= 3x2 - 6x + m2 2 2 y'= 0  3x - 6x + m = 0 (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có hai nghiệm phân biệt. 2  ’ > 0  9 – 3m > 0  3  m  3 Gọi M1(x1, y1), M2(x2, y2) là điểm CĐ, điểm CT của đồ thị. 1 5 M1, M2 đối xứng qua (d): y x  2 2 Trung điểm I của M M (d) 1 2    M1 M 2  (d) - Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường thẳng M1M2: 1 1   22  1 2 y f'(x) x     m  2  x  m  m 3 3   3  3 22  1 2 M1 M 2  : y  m  2  x  m  m 3  3 - Trung điểm I của M1M2 là điểm uốn của đồ thị: Ta có: y’’= 6x – 6 2 2 y' = 0  x = 1  y = m + m – 2  I(1, m + m – 2) Ta có: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 22  1 m 2  .   1 M1 M 2 3  2    I (d) 2 1 5 m m  2    2 2 m 0 m 0  m  0 2  m m  0 m 0  m   1 So với điều kiện: 3  m  3 nhận m = 0. ĐS: m = 0 Câu 61: 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: x2  x  1 y (C) x 1  TXD: D = R\{1} x2  2 x  2 y'  0,  x  1 (x 1)2  Hàm số giảm trong từng khoảng xác định.  Tiệm cận đứng: x = 1 vì lim y   x1 1 Chia tử cho mẫu: y  x  x 1  Tiệm cận xiên: 1 Ta có: y = - x vì lim x x 1  BBT:  Đồ thị: Luyenthitohoang.com Trung tâm luyện thi Tơ Hồng Luyenthitohoangcom 2) Chứng minh rằng  đường thẳng y =