Chuyên đề về đại số tổ hợp

ycbt. Gọi số tự nhiên có 4 chữ số cần tìm là () Ta thấy: a1 có 5 cách chọn. a2 có 5 cách chọn. a3 có 5 cách chọn. a4 có 5 cách chọn. Do đó theo qui tắc nhân có: 5.5.5.5 = 625 cách chọn hay có 625 số thoả mãn. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau là: () Do a1 khác 0 nên a1 có 6 cách chọn. Sau khi chọn a1 còn 6 số tự nhiên nên a2 có 6 cách chọn. Tương tự, a3 có 5 cách chọn. a4 có 4 cách chọn. Vậy: có 6.6.5.4 = 720 cách chọn hay có 720 số thoả mãn ycbt. Gọi số cần tìm là () Giả sử a1 = 7 khi đó số cần tìm có dạng: .... Vì a2, a3, a4, a5 là 1 bộ phận phân biệt thứ tự được chọn từ E\{7} nên có số. Do số 7 ở vị trí bất kỳ nên ta có thể đổi chỗ của các vị trí a1, a2, a3, a4, a5 . Vậy có = 1800 cách chọn hay có 1800 số thoả mãn ycbt. b. Gọi số cần tìm là () Do chữ số hàng nghìn bằng 1 nên a2 = 1 Chọn 1 vị trí trong 4 vị trí còn lại là chữ số 7 nên có 4 cách chọn. Ba vị trí còn lại là bộ phận phân biệt thứ tự được chọn từ E \ {1,7} nên có cách chọn. Vậy: số các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1 bằng 1.4.= 240 số Đặt E = {1,2,3,4,5} a. * Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau là: () a1 có 5 cách chọn. a2 có 4 cách chọn. a3 có 3 cách chọn. a4 có 2 cách chọn. a5 có 1 cách chọn. Vậy có : 5.4.3.2.1 = 120 số. * Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau, bắt đầu bằng chữ số 1 là: thì : a có 4 cách chọn ( vì a E \ {1}) b có 3 cách chọn ( vì b E \ {1, a}) c có 2 cách chọn ( vì c E \ {1, a, b}) d có 1 cách chọn ( vì d E \ {1, a, b, c}) suy ra có: 4.3.2.1 số bắt đàu từ chữ số 1 . Vậy: số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số 1 là: 120 - 24 = 96 số. b. Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số bắt đầu bằng chữ số 123 là: gồm 5 chữ số khác nhau. x có 2 cách chọn ( vì x E \ {1,2,3}) y có 1 cách chọn ( vì y E \ {1,2,3,x}) có 2.1 = 2 số. Vậy: các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, không bắt đầu bằng chữ số123 gồm có 120 - 2 = 118 số. Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng ê Lý thuyết: Nhị thức Niu tơn 1. Công thức nhị thức Newtơn: (1) 2. Các nhận xét về công thức khai triển: Có n + 1 số hạng. Các hệ số của số hạng lần lượt là: Khai triển bắt đầu bằng kết thúc bằng , sau đó không kể đến hệ số, số mũ của a ở các số hạng liền sau giảm đi 1 đơn vị và số mũ của b ở các số hạng liền sau tăng lên 1 đơn vị. Tổng các số mũ của a và b bằng n. Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu cuối bằng nhau. Công thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1: 3. Một số dạng đặc biệt: * Thay a = 1; b = x ta được: (2) * Thay a = 1; b = - x ta được: (3) * Trong (2) ; (3) cho x = 1 ta được: · (4) · (5) ê Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn Các dạng toán thường gặp là: 1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp 2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 3 - Dạng 3: Tìm Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTơn: . 1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp 1. Phương pháp: Sử dụng khai triển Newtơn, kết hợp với việc: Lựa chọn giá trị thực phù hợp. Các phép biến đổi đại số. Phép tính đạo hàm và tích phân. 2. Một số ví dụ: Ví dụ 1 1 Khai triển Tính: a. Hệ số b. Tổng T = S = P = Lời giải: Biến f(x) thành tích: f(x) = Hệ số là hệ số của + Trong khai triển số hạng tổng quát ( số hạng thứ ) là: ( ) Và: = + Ta có: = Suy ra hệ số của số hạng của f(x) là: ( do ) = 1.1 + 50 + 50 = 101 T = = f(1) = S = = f(-1)= (1- 1+ 1- 1)5 = 0 P = = = 2f(0) - f(1) = Ví dụ 2 Khai triển: a. Tính hệ số b. T = c. S = Lời giải: a. Ta có là hệ số của Công thức SHTQ của khai triển là chứa 100 - k = 97 k = 3 Hệ số của là : =-1293600 b. Ta có = c. Ta có : = Ví dụ 3 Khai triển: Tính: a. Hệ số b. Tính Lời giải: a/ Có: b/ S = f(1) = (1 + 2 + 3)10 =610 Chú ý: TQ: Khai triển ( x + 2x + 3x2)n = a0 + a1x + a2x2 +… + a2nx2n Ví dụ 4 Tìm tổng T = a0 + a1 + a2 +a3 + … + a2n (CĐCNHN- 03- 04) Cho đa thức P(x) = (16x - 15)2003. Khai triển đa thức đó thành dạng : P(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + a4x4 + … + a2003x2003 Tính tổng S ’ = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + … + a2003 Lời giải: Có ngay S’ = a0 + a1 + a2 +a3 + a4 + … + a2003 = P(1) = (16 - 15)2003 = 1 = P(1) Ví dụ 5 (HVKTQS –1997) Viết lại P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 + … + 20(1 + x)20 dưới dạng P(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + a4x4 + … + a20x20 Tìm . Lời giải: Ta có Ví dụ 6 Do đó hệ số Khai triển (1+ x + x2)1996 = a0 + a1x + a2x2 +… + a3992x3992 .Tính: a/ Tính: b/ Tính: c/ CMR = a0 + 2a1 + 22 a2 +… + 23992 a3992 chia hết cho 2401 Lời giải: Đặt f(x) = (1 + x + x2)1996 a/ Ta có = f(1) = (1+ 1 + 12)1996 = (3)1996 b/ Ta có = f(-1) = (1- 1+12)1996 = (1)1996=1 c/ Ta có = a0 + 2a1 + 22 a2 +… + 23992 a3992 = f(2) = (1 + 2 + 4)1996 = = (7)1996 =(7)1992 .74 = 2401. (7)1992 Vậy S3 chia hết cho 2401. 3. Bài tập tương tự Cho n Î Z + , Tính ( ĐHSPHCM 2000 - D – E ) Tính tổng ( ĐHBK- A- 99-2000 ) 1/ Tính I = 2/ Rút gọn ( ĐHNN- I- 99 – 00) Tính tổng ( CĐSPKT Vinh- D- 03- 04) Tính tổng Biết n Î Z+ Thoả mãn điều kiện : ( CĐGT- 02- 03) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: ( ĐHCĐ- B- 03 - 04) Viết khai triển Niu tơn của biểu thức : (3x - 1)16 Từ đó CMR: ( ĐHBKHN- 98-99-) Tính Giá trị của biểu thức : Tính tổng Tính các tổng sau Tính Tính a. ĐS: b. . ĐS c, ĐS d. ĐS e. ĐS g. ĐS : h. ĐS : i. ĐS : k. ĐS : m. ĐS : n. ĐS: Lời giải BT phần tính tổng Cho n Î Z + Tính ( ĐHSPHCM 2000 D – E ) Giải Ta có : Mặt khác Vậy Tính tổng (ĐHBK A 99-2000) Giải Ta có chọn x = -1 được Vậy S = 0 1/ Tính I = 2/ Rút gọn Giải 1/ Đặt t = 1- x Þ dt = - dx x = 0 Þ t = 1 x = 1 Þ t = 0 2/ Ta có: Tính tổng Giải Ta có: Cho x = 1 ta được: Tính tổng Biết n Î Z+ T/m điều kiện : Giải Biết Þ Û Û Mà giải ra n=12 Vậy Cho n là số nguyên dương. Tính tổng: Giải Ta có Þ Viết khai triển Niu tơn của biểu thức : (3x - 1)16 Từ đó CMR: Giải Cho x =1 ta được Tính Giá trị của biểu thức : Giải Suy ra Tính tổng Giải Ta có: Tính các tổng sau Tính Giải : Mọi x, n ta có: Tính a. ĐS: b. . ĐS c, ĐS d. ĐS e. ĐS g. ĐS : h. ĐS : i. ĐS : k. ĐS : m. ĐS : n. ĐS: 2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp . 1. Phương pháp giải: Sử dụng khai triển Newtơn, kết hợp với việc: Lựa chọn giá trị thực phù hợp. Các phép biến đổi đại số. Phép tính đạo hàm và tích phân. Phép đánh giá cho bất đẳng thức cùng với các phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đơn. 2. Một số ví dụ: Ví dụ 1 CMR: Con - C1n + C2n - C3n + ….(-1)kCkn + ….(-1)nCnn = 0. Lời giải: * Xét khai triển: (1 - x )n = Con - C1nx + C2nx + … +(-1)kCknxk + … +(-1)nCnnxn * Thay x = 1 ta có: 0 = C0n - C1n + C2n + …(-1)kCkn + …+(-1)nCnn ( Đpcm ) Ví dụ 2 CMR: Lời giải: * Xét khai triển: * Thay x = 1 ta có ( Đpcm ) Ví dụ 3 CMR Lời giải: * Xét khai triển: * Lấy đạo hàm hai vế ta có: * Lấy đạo hàm hai vế một lần nữa, ta có: * Thay x =1 ta có: ( Đpcm ) Ví dụ 4 CMR : Lời giải * Ta có: * Cộng (1), (2) ta được: * Trừ (1), (2) ta được: * Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 5 CMR: 3. Bài tập tương tự: CMR: ( CĐSP bến tre –A- 02 – 03 ) Hd: khai triển: ( 1+ x)20 cho x =1, x = -1 CMR: Hd: + Dùng khai triển: ,Lấy đạo hàm hai vế + Cho x = 1/2 CMR: Hd: + Dùng khai triển: + Cho x = 1. CMR: Hd: Khai triển: ( 3x + 4)17, cho x =1 CMR: Hd: Khai triển: ( 1 + x)n, cho x =6 CMR: CMR: CMR: Tính I = Từ đó chứng minh: ( ĐHCSND – A- 00- 01) Tính: I = Từ đó chứng minh: Tính: Suy ra rằng: 3 -Dạng 3: Tìm Giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTơn: * Chú ý: Câu hỏi thường gặp: Trong khai triển , tìm: Số hạng không chứa biến. Số hạng chính giữa. Số hạng thứ n0 (n0 n) Số hạng có hệ số lớn nhất. - Số hạng hũư tỷ, số hạng nguyên… * Phương pháp giải: * Viết công thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: () trong bài cần xác định đúng a,b à hệ số của số hạng thứ k +1 là * Từ gỉa thiết số hạng cần tìm là số hạng không chứa biến, hoặc là số hạng thứ n0 hay số hạng chính giữa… à k. * Thay k ta có số hạng( hoặc hệ số) phải tìm. Ví dụ 1 * Một số ví dụ: Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: Lời giải * Số hạng tổng quát trong khai triển ( x3 - xy)15 là: * Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9: Ví dụ 2 Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc x. Lời giải * Số hạng tổng quát trong khai triển là: * không phụ thuộc thuộc x . * Vậy số hạng không phụ thuộc x là số hạng thứ 7 ứng với k = 6: Ví dụ 3 Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển Lời giải * Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: ( ) * là số hạng hữu tỷ là một số tự nhiên chia hết cho 2 ( vì ) * Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỷ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7: Ví dụ 4 Trong khai triển đa thứcthành dạng: Tìm hệ số ) lớn nhất. ( Học viện kỹ thuật QS –A- 2000 –2001 ) Lời giải * Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: ( ) * Hệ số của số hạng chứa xk là ( ) * Để tìm max ta so sánh và + Ta có Do đó: Tức là khi k tăng từ 1 đến 12 thì: giảm khi k tăng và tăng khi k tăng và * Vậy đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng: Ví dụ 5 Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của ( Đại học cao đẳng –A- 2003 –2004 ) Lời giải * Ta có: = * Khai triển trên có 9 số hạng nhưng chỉ có số hạng thứ 4 và thứ 5 là chứa : Suy hệ số số hạng chứa trong là ; trong là * Vậy hệ số số hạng chứa trong khai triển là + Bài tập tương tự: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu Tơn: 1. (TNTH - 00 – 01) 2. 3. Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng: ( ĐHSPHN – 2000 – 2001 ) Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: (10 3. ()12 ( x3 - xy)15 4. (a3 + ab)31 Cho biết hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5. Tìm số hạng tử đứng giữa trong khai triển trên. 1. Trong khai triển , tìm hệ số của số hạng chứa . Trong khai triển , tìm hệ số của . ( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 ) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển ( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 ) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của , biết rằng (n là số nguyên dương, x > 0 ) ( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 ) 5. Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để ( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 ) 1. Trong khai triển theo nhị thức Newtơn. Tìm hệ số của số hạng chứa . Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu Tơn của: biết ( Đại học CĐ- dự bị –A- 2003 –2004 ) 1. Trong khai triển thành đa thức: Tìm max . 2. Trong khai triển P(x) = thành đa thức: P(x) = . Tìm max . 1. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ ( Học viện kỹ thuật QS –A- 2000 –2001 ) 2. Tìm hạng tử của khai triểnlà một số nguyên. Ôn tập chủ đề 3: đại số tổ hợp. Dạng 1: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. . Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1. 6. (TNTHPT - 98 - 99) 2. 7. (ĐHNN - 99- 00) 8. (ĐHQGHN - 98- 99) 9. ( ĐHHH – 1999 ) 5. 10. 11. (TNTHPT – 03 – 04 ) 12. (TNTHPT – 04 – 05 ) Giải các hệ phương trình sau: a. b. (ĐHBK HN A/ 2001 ) c. Dạng 2: Bài toán đếm số phương án Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông. a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ? b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ? ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 h/s trong đó: a. Số nam nữ bằng nhau. b. Có ít nhất 1 nữ. (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách? (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ? b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ? (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu Tơn: 1. (TNTH - 00 – 01) 2. 3. Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng: ( ĐHSPHN – 2000 – 2001 ) Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: (10 3. ()12 ( x3 - xy)15 4. (a3 + ab)31 Cho biết hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5. Tìm số hạng tử đứng giữa trong khai triển trên. 1. Trong khai triển , tìm hệ số của số hạng chứa . Trong khai triển , tìm hệ số của . ( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 ) Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển ( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 ) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của , biết rằng ( n là số nguyên dương, x > 0 ) ( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 ) 5. Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để ( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 )