Đề thi Toán cao cấp - Đề 5

ĐỀ THI TOÁN CAO CẤP : ĐỀ 5 15- Câu 1: Cho hàm z = x2 – 2xy + 1. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 – 2xy + 1 = f(x,y) Vậy điểm dừng là (0,0). Ta có: mà Tại (0,0) không có cực trị 24 - Câu 2: Cho hàm z = x6 – y5 – cos2x – 32y. Tìm cực trị. Giải: Ta có: z = x6 – y5 – cos2x – 32y = f(x,y) x = 0 (vì sinx và cosx đối nhau) (vô nghiệm) Vậy hàm z không có điểm dừng 33- Câu 3: Cho hàm z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y. Tìm cực trị Giải: Ta có: z = x2 + 4xy + 10y2 +2x + 16y = f(x,y) Vậy điểm dừng là (1,-1). Ta có: mà mà (1,-1) là điểm cực tiểu. 59 - Câu 4: Xác định cận của tích phân: I =dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: D: x + y 1, x – y 1, x 0. Giải: O 1 x y y = x-1 y = 1-x 2 1 -1 Ta có (*) Ta có: x + y 1 x – y 1 mà x 0 Từ (*) x = 1 O x y D 1 -1 -1 68 - Câu 5: Đổi thứ tự tính tích phân I = . Giải: Ta có: y = x x = 2 x = 1 y = 2x 1 2 O x y D2 D1 78 - Câu 6: Thay đổi thứ tự tính tích phân: I = . Giải: 87 - Câu 7: Tính tích phân Giải: = đặt (1) (2) O x y x = 1 x = 2 D 105 - Câu 8: Tính D là miền giới hạn bởi Giải: 115 - Câu 9: Tính tích phân: D là tam giác OAB với O(0,0); A(1,0); B(0,1). Giải: O D x y A(1,0) B(0,1) O 3 x y 125 - Câu 10: Tính tích phân: trong đó D là hình tròn Giải: Ta có vì Ta đặt Câu 11: Gọi S là diện tích miền giới hạn bởi các đường và . Tính S. O x y 1 1 Giải: Ta có Vậy 149 - Câu 12: Xét tích phân bội ba trong đó là miền trong không gian được giới hạn bởi các mặt x = 0, y = 0, x + y = 2, z = 0 và z = 2, tìm cận . 2 O 2 D x y y = 2-x Giải: Từ hình vẽ ta có cận = [0;2]x[0;2-x]x[0;2] = 159 - Câu 13: Tính tích phân bội ba , trong đó là miền: . Giải: = = 2 170 - Câu 14: Tính , là hình hộp Giải: = 180 - Câu 15: Cho là phần hình trụ: .Đặt Chuyển sang tọa độ trụ và xác định cận tích phân. Giải: Ta có Đặt Vậy I = 202 - Câu 16: Tính tích phân đường , trong đó C có phương trình . Giải: Ta có: 211 - Câu 17: Tính tích phân đường , trong đó C có phương trình . Giải: Ta có: Câu 18: Tính tích phân đường , trong đó C là đường biên của tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0) và B(0,1). O A(1,0) x y B(0,1) Giải: Ta có: (1) Trên AB ta có phương trình đường thẳng y = 1-x (2) (3) (1)(2)(3) 231 - Câu 19: Tìm độ dài cung tròn với Giải: Ta có: và Ta có: Câu 20: Tính lấy theo đoạn thẳng nối từ O(0,0) đến A(1,2). Giải: Ta có phương trình đường thẳng OA: y = 2x => dy = 2dx 257 - Câu 21: Cho C là biên của hình chữ nhật D = [-1;1] x [0;2]. Tính Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có 267 - Câu 22: Cho C là biên của hình chữ nhật . Tính tích phân đường loại 2. Giải: Áp dụng công thức Green: Ta có (Từ câu 23 đến câu 28 là nội dung của Tích phân Mặt, bỏ) 385 - Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có (*) Khi chia 2 vế cho y. Từ (nghiệm tổng quát) 397 - Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có (*) Đặt Từ (*) (nghiệm tổng quát) 413 - Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có: (*) Khi , chia 2 vế cho (*) (**) (1) = ln|y| (2) Đặt u = 1 + tgx Từ (**), ta có được nghiệm tổng quát: 425 - Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có: (*) Đặt Từ (*) khi chia 2 vế cho x ta được (nghiệm tổng quát) 443 - Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có: (*) Phương trình đặc trưng: Phương trình vi phân (*) có 2 nghiệm phân biệt Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: Câu 34: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Giải: Ta có: (*) Xét phương trình thuần nhất: (**) Ta có phương trình đặc trưng: Phương trình (**) có 2 nghiệm riêng: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là (***) Trong đó và là nghiệm của hệ phương trình Đơn giản e2x, ta được : Áp dụng định thức Wronsky, ta được Thế , vào phương trình (***), ta được: y ==0 Câu 35: Giải phương trình Giải: Ta có: (*) Khi , ta chia 2 vế cho x, từ (*)(**) Đặt Từ (**) ; đơn giản x2, và nhân phân phối : (***) Tính M: Đặt (1) Tính N: N = Đặt (2) Thay (1) và (2) vào (***), có: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là : Câu 36: Giải phương trình Giải: Ta có: (*), đây là dạng phương trình khuyết y: Nên ta đặt Từ (*) => Mà Vậy nghiệm tổng quát của phương tình (*) là: --------------------HẾT--------------------