Đường tròn và các đường cônic

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 1 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.  . ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Đường tròn tâm 0 0( ; )I x y , bán kính R có phương trình 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y R    .  Phương trình 2 2 2 2 0x y ax by c     với 2 2 0a b c   là phương trình đường tròn tâm ( ; )I a b  , bán kính 2 2R a b c   .  Đường thẳng : 0ax by c    là tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính R khi ( ; )d I R  .  Phương tích của điểm ( ; )A AA x y đối với đường tròn:  2 2 20 0( ) : ( ) ( )C x x y y R    là 2 2 2 /( ) 0 0( ) ( )M C A Ax x y y R    P .  2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c     là 2 2/( ) 2 2M C A A A Ax y ax by c    P .  Trục đẳng phương d của hai đường tròn không đồng tâm 1 2( ), ( )C C : 1 2/ ( ) / ( ) ( ; ) M C M CM x y d  P P . B. CÁC DẠNG TOÁN . Dạng : Các yếu tố của đường tròn  Đưa về phương trình: 2 20 0( ) ( )x x y y k    , nếu 0k  thì đó là phương trình đường tròn (C) tâm 0 0( ; )I x y , bán kính R k .  Đưa về phương trình: 2 2 2 2 0x y ax by c     , nếu 2 2 0a b c   thì đó là phương trình đường tròn (C) tâm ( ; )I a b  , bán kính 2 2R a b c   .  Để tìm quỹ tích tâm I của họ các đường tròn, ta phải tìm điều kiện xác định đường tròn, tìm tọa độ tâm, khử tham số giữa x và y. Chuyển điều kiện của tham số nếu có về điều kiện của x (hoặc y).  Để tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M, ta gọi ( ; )M x y rồi dùng quan hệ đã cho để lập phương trình đường tròn. 1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn: a. 2 2( 1) ( 2) 5x y    b. 2 2( 2) ( 5) 16x y    c. 2 22( 3) 2( 1) 9x y    2. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính. a. 2 2 2 2 2 0x y x y     b. 2 2 4 6 2 0x y x y     c. 2 2 6 8 30 0x y x y     www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 2 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. 3. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có, hãy tìm tâm và bán kính. a. 2 216 16 16 8 11x y x y    b. 2 27 9 16 8 11x y x y    c. 2 2 22 2 5 4 1 0x y x y m      4. Cho đường cong 2 2 1 ( ) : 4 2 4 0, 2 mC x y mx y m m      . a. Chứng minh rằng ( )mC là đường tròn với mọi m. b. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn ( )mC khi m thay đổi. 5. Cho đường cong 2 2( ) : 2( 1) 1 0mC x y mx m y      . a. Với m nào thì ( )mC là đường tròn. b. Khi ( )mC là đường tròn, tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi. 6. Cho phương trình 2 2 2 2( 1) 4 0 (1)x y mx m y m      a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn. b. Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn đi qua 2 điểm cố định. 7. Cho đường cong 2 2( ) : ( 2) ( 4) 1 0mC x y m x m y m        . a. Chứng minh rằng ( )mC luôn là đường tròn với mọi giá trị của m. b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn ( )mC luôn đi qua 2 điểm cố định. c. Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ ( )mC không đi qua dù m lấy bất kỳ giá trị nào. 8. Cho ABC , biết : 2 3 7 0AB x y   , : 2 1 0BC x y   và : 3 0CA x y   . Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 2 2 2 44MA MB MC   . 9. Cho hai điểm (1;1)A và (9;7)B . a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2 2 90MA MB  . b. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2 2 22 3MA MB k  , trong đó k là một số cho trước. 10. Cho hai điểm cố định A và B. Tìm tập hợp các điểm M thỏa 2 2 2MA MB k  với k là một số cho trước. (HD: Chọn đường thẳng AB làm trục hoành và đường trung trực của AB làm trục tung). 11. Cho hai điểm ( ;0)A a và ( ;0)B a . Tìm tập hợp các điểm M thỏa 2 2 2MA MB k   với 0   . . Dạng : Lập phương trình đường tròn.  Phương trình đường tròn có 2 dạng nên có 2 cách lập phương trình đường tròn:  Tìm tâm 0 0( ; )I x y và bán kính R: 2 2 2 0 0( ) ( )x x y y R    .  Tìm các hệ số a, b, c( 2 2 0a b c   ): 2 2 2 2 0x y ax by c     .  Các quan hệ thường dùng đối với đường tròn (C): www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 3 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.  Đi qua 1 điểm A: tọa độ A thỏa mãn phương trình.  Đi qua 2 điểm A, B: tọa độ A thỏa mãn phương trình và tâm I thuộc đường trung trực của AB.  Đi qua 3 điểm A, B, C: tọa độ A, B, C thỏa mãn phương trình và , IA IB IC R IA   .  Đường kính PQ: Tâm I là trung điểm của PQ và 2 PQ R  .  Tâm I thuộc đường thẳng d: tọa độ I thỏa mãn phương trình của d.  Đường tròn tiếp xúc với trục hoành: tâm 0 0( ; )I x y và 0R y .  Đường tròn tiếp xúc với trục tung: tâm 0 0( ; )I x y và 0R x .  Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  : ( ; )d I R  .  Đường tròn ngoại tiếp với tam giác vuông: tâm I là trung điểm của cạnh huyền. 12. Viết phương trình đường tròn: a. Tâm (1;3)I và đi qua điểm ( 2;5)A  . b. Tâm ( 2;0)I  và tiếp xúc với : 2 1 0x y    . 13. Viết phương trình đường tròn: a. Đường kính AB với ( 1;1)A  và (5;3)B . b. Tâm (4; 7)I  và tiếp xúc với trục hoành. 14. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: a. (1; 2), (1;2), (5;2)A B C . b. (1;2), (5;2), (1; 3)A B C  . 15. Viết phương trình đường tròn: a. Đi qua điểm ( 1;2)A  , ( 2;3)B  và có tâm ở trên đường thẳng : 3 10 0x y    . b. Đi qua gốc tọa độ O và có tâm (1; 5)I  . 16. Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC biết : 3 4 6 0AB x y   , : 4 3 1 0AC x y   và : 0BC y  . 17. Cho điểm ( 3;0)A  và (0;4)B . Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB . 18. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm (2;1)M . 19. Viết phương trình đường tròn đi qua (1;1)A , (1;4)B và tiếp xúc với trục Ox. 20. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng : 2 4 0d x y   và tiếp xúc với hai trục tọa độ. 21. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm (6;0)A và đi qua điểm (9;9)B . 22. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm ( 1;0)A  , (1;2)B và tiếp xúc với đường thẳng : 1 0x y    . www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 4 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. 23. Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với 2 đường thẳng 1 : 2 1 0x y    , 2 : 2 2 0x y    . 24. Cho đường tròn 2 2( ) : 4 3 0C x y x    . Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng : 4 3 0x y   . 25. Cho hai điểm (3;4)A và (6;0)B . a. Chứng minh OAB cân tại A. b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB . . Dạng : Tương giao và tiếp tuyến.  Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng  :  ( ; )d I R  : không có điểm chung.  ( ; )d I R  : tiếp xúc ( : tiếp tuyến).  ( ; )d I R  : đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại 2 điểm.  Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường tròn (C’) tâm I’, bán kính R’:  ' 'II R R  : ngoài nhau.  ' 'II R R  : tiếp xúc ngoài.  ' ' 'R R II R R    : cắt nhau.  ' 'II R R  : tiếp xúc trong.  ' 'II R R  : đựng nhau.  Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I tại điểm A: đường thẳng đi qua A và có VTPT n AI   .  Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I, bán kính R đi qua điểm A: Viết phương trình đường thẳng qua A và có VTPT ( ; )n a b  , 2 2 0a b  . Nếu:  /( ) 0B C IB R  P : không có tiếp tuyến.  /( ) 0B C IB R  P : có 1 tiếp tuyến.  /( ) 0B C IB R  P : có 2 tiếp tuyến.  Tiếp tuyến chung : 0ax by c    với 2 đường tròn (C) và (C’): ( ; ) ( ; ) ' d I R d I R      . 26. Tìm giao điểm của đường thẳng 1 2 : 2 x t d y t       với đường tròn 2 2( ) : ( 1) ( 2) 16C x y    . 27. Tìm m để đường thẳng : y x m   có điểm chung với đường tròn 2 2( ) : 4 2 3 0C x y x y     . www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 5 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 28. Chứng minh đường thẳng : ( 1) 0x m y m     không tiếp xúc với đường tròn 2 2( ) : 4 8 5 0C x y x y     . 29. Xét vị trí tương đối của đường thẳng : 3 0x y m    với đường tròn 2 2( ) : 4 2 1 0C x y x y     . 30. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn: 2 2( ) : 2 2 1 0C x y x y     và 2 2( ') : 2 2 7 0C x y x y     . 31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a. 2 2( ) : 4 4 17 0C x y x y     tại (2;1)M . b. 2 2( ) : 8 6 0C x y x y    đi qua gốc O. 32. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2( ) : 4C x y  , biết: a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3 17 0x y    . b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 2 5 0x y    . 33. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a. 2 2( ) : 4C x y  và đi qua (2; 2)M  . b. 2 2( ) : 2 2 1 0C x y x y     và đi qua (2;0)N . 34. Cho đường tròn 2 2( ) : 4C x y  và điểm ( 2;3)A  . a. Chứng minh A ở ngoài đường tròn. Viết phương trình 2 tiếp tuyến kẻ từ A. b. Tính khoảng cách từ A đến 2 tiếp tuyến trên và khoảng cách giữa hai tiếp điểm T, T’. 35. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 2 2( ) : 1C x y  và 2 2( ') : ( 8) ( 6) 16C x y    . 36. Cho hai đường tròn 2 2( ) : 6 5 0C x y x    và 2 2( ') : 12 6 44 0C x y x y     . a. Chứng minh hai đường tròn ngoài nhau. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 37. Cho đường tròn 2 2( ) : 8 4 5 0C x y x y     và điểm (2;1)A . a. Chứng minh qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). b. Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm. 38. Cho đường tròn 2 2( ) : 2 6 5 0C x y x y     và đường thẳng : 2 1 0d x y   . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết  song song với d. Tìm tọa độ tiếp điểm. . Dạng : Tổng hợp về đường tròn. 39. Cho đường tròn 2 2( ) : 2 2 0C x y ax by c     . Chứng minh phương tích của điểm 0 0( ; )M x y đối với đường tròn (C) bằng 2 2 /( ) 0 0 0 02 2M C x y ax by c    P . www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 6 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. 40. Tính phương tích của điểm (3;4)M đối với đường tròn (C) có tâm ( 2;1)I  và bán kính 3R  . 41. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn: 2 2( ) : 3 0C x y x   và 2 2( ') : 3 3 6 4 1 0C x y x y     . 42. Cho hai đường tròn đồng tâm 2 2 1 1 1( ) : 2 2 0C x y a x b y c     và 2 2 2 2 2( ') : 2 2 0C x y a x b y c     . Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường tròn. 43. Cho hai đường tròn 2 2 1 1 1( ) : 2 2 0C x y a x b y c     và 2 2 2 2 2( ') : 2 2 0C x y a x b y c     cắt nhau tại M, N. Viết phương trình đường thẳng MN. 44. Cho hai đường tròn 2 21( ) : 6 4 23 0C x y x y     và 2( )C đi qua 3 điểm ( 1;3)A  , (0;2)B và (1; 1)C  . a. Viết phương trình đường tròn 2( )C và tính phương tích của tâm mỗi đường tròn đối với đường tròn còn lại. b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 45. Tìm m để hệ sau có nghiệm 2 2 8 4 5 0 3 4 0 x y x y x y m           . 46. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2 1 ( 0) 0 ( 0) x y a b a b Ax By C A B             . 47. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) x y a x y a         . 48. Cho đường tròn 2 2( ) : 4 8 5 0C x y x y     . a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua ( 1;0)A  . b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua (3; 11)B  . c. Gọi BM, BN là các tiếp tuyến với (C) kẻ từ B (M, N là các tiếp điểm). i. Viết phương trình đường thẳng MN. ii. Tính MB, MN. d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng : 2 0d x y  . e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng : 3 4 1 0x y    . 49. Cho đường tròn (C) tâm I có phương trình 2 2 2 4 11 0x y x y     . a. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB nhỏ nhất. b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 7 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. c. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho IAB có diện tích lớn nhất. d. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho 2 7AB  . e. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và chia đường tròn thành 2 cung có độ dài bằng 2. f. Viết phương trình đường thẳng  đi qua (0;1)M và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho 2MA MB . 50. Cho 2 2( ) : 2 4 0C x y x y    và : 1 0d x y   .Tìm M d mà qua đó kẻ được 2 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho: a.  60oAMB  . b.  90oAMB  . c.  120oAMB  . d. Góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60o . e. 2MA  . . CÁC ĐƯỜNG CÔNIC . Dạng : Đường elip  Định nghĩa: 1 2( ) 2 ( 0)M E MF MF a a     .  1 2, F F là 2 tiêu điểm.  1 2 2F F c gọi là tiêu cự ( 0)a c  .  ( )M E thì 1 2, MF MF là 2 bán kính qua tiêu ứng với điểm M.  Phương trình chính tắc: 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b     , 2 2 2a b c  . Tiêu điểm 1 2( ;0), ( ;0)F c F c .  Bán kính qua tiêu: Cho 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b     . ( ; ) ( )M x y E ta có 1 cx MF a a   và 2 cx MF a a   .  Hình dạng của elip: Cho 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b      Hai trục đối xứng là , Ox Oy , tâm đối xứng là O.  Ox là trục lớn, Oy là trục bé.  1 2 1 2( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )A a A a B b B b  là các đỉnh.  1 2 2A A a là độ dài trục lớn. www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 8 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. 1 2 2B B b là độ dài trục bé.  Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng , y= bx a   gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E).  Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 4ab .  Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 4( )a b .  Tiêu điểm luôn nằm trên trục lớn.  Tâm sai: (0 1) c e e a    .  Phép co về trục hoành với hệ số co k, 0 1k  : biến điểm ( ; )M x y thành '( '; ')M x y sao cho ' ' x x y ky    . Tìm ảnh của (C) bằng cách tính tọa độ x, y theo x’, y’ rồi thế vào phương trình (C) ta được phương trình (C’). 51. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elip (E): a. 2 2 1 25 9 x y   b. 2 23 9x y  . 52. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục và tâm sai của mỗi elip có phương trình sau: a. 2 24 3 36x y  b. 2 24 4x y  . 53. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: a. Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai 3 2 e  . b. Độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4. 54. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: a. Có một tiêu điểm ( 3;0)F và đi qua 3 (1; ) 2 M . b. Các cạnh hình chữ nhật cơ sở có phương trình: 7; 2x y    . 55. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp: a. Đi qua hai điểm 9 (4; ) 5 M và 12 (3; ) 5 N . b. Đi qua 3 4 ( ; ) 5 5 M và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. 56. Tìm tâm sai của elip (E) trong các trường hợp sau: a. Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục bé (k>1). c. Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự. www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 9 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 57. Qua tiêu điểm của elip 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài dây AB. 58. Cho elip (E): 2 2 ( ) : 1 9 1 x y E   có 2 tiêu điểm 1 2, F F . Tìm điểm M thuộc (E) sao cho 1 22MF MF . 59. Cho elip 2 2( ) : 9 25 225E x y  . a. Tìm tọa độ hai tiêu điểm 1 2, F F và tâm sai. b. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn 1 2F F dưới một góc vuông. 60. Tìm trên elip 2 2 2 2 ( ) : 1 x y E a b   một điểm M sao cho 1 22MF MF , trong đó 1 2, F F là các tiêu điểm của elip. 61. Một elip (E) có độ dài trục lớn bằng 6, tâm sai bằng 1 2 và khoảng cách từ một điểm M của (E) đến tiêu điểm 1F bằng 7. a. Tìm khoảng cách từ M đến tiêu điểm 2F . b. Viết phương trình chính tắc của elip (E) và tìm tọa độ của M. 62. Tìm giao điểm của đường thẳng 2 : 1 x t d y t      với elip 2 2 ( ) : 1 4 5 x y E   . 63. Cho elip 2 2( ) : 4 16E x y  và đường thẳng  đi qua điểm 1 (1; ) 2 M và song song với đường thẳng : 2 3 0d x y   . Tìm tọa độ các giao điểm A và B của đường thẳng  và elip (E). Chứng minh MA MB . 64. Cho đường thẳng : 2 0d x y m   và elip 2 2 ( ) : 1 5 4 x y E   . Tìm m để: a. d cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b. d và (E) có điểm chung duy nhất. 65. Cho elip 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E   và đường thẳng  thay đổi có phương trình tổng quát 0Ax By C   luôn thỏa mãn 2 2 225 9A B C  . Tính tích khoảng cách từ hai tiêu điểm 1 2, F F của (E) đến đường thẳng  . 66. Cho elip 2 2 ( ) : 1 16 9 x y E   và điểm (1;2)I . Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip (E) tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB. 67. Cho elip 2 2 ( ) : 1 9 4 x y E   . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua (1;1)M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 10 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. 68. Cho elip 2 2 ( ) : 1 100 36 x y E   có hai tiêu điểm 1 2, F F . a. Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là 1 2F F . b. Chứng minh (E) và (C) không có điểm chung. 69. Cho elip 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b     . Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm và 1 2,A A là các đỉnh trên trục lớn của (E). M là một điểm tùy ý trên (E) có hình chiếu trên Ox là H. Chứng minh rằng: a. 2 2 21 2.MF MF OM a b   . b.   2 2 2 1 2 4( )MF MF OM b   . c. 2 2 1 22 . . b MH HA HA a     . 70. Cho elip 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0) x y E a b a b     . a. Chứng minh rằng với mọi M thuộc (E), ta có b OM a  . b. Gọi A là giao điểm của đường thẳng : 0d x y   với (E). Tính OA theo , , , a b   . c. Gọi B là điểm trên (E) sao cho OA OB . Chứng minh rằng tổng 2 2 1 1 OA OB  có giá trị không đổi. d. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 71. Tìm ảnh qua phép co về trục Ox theo hệ số k của: a. 2 2 2 ( ) : 9, 3 C x y k   b. 2 2 ( ) : 9, 2 25 9 x y E k   . . Dạng : Đường hyperbol  Định nghĩa:  1 2( ) 2 ( 0)M H MF MF a a     .  1 2, F F là hai tiêu điểm.  1 2 2F F c là tiêu cự ( 0)c a  .  Với ( )M H thì 1 2, MF MF là hai bán kính qua tiêu ứng với điểm M.  Phương trình chính tắc:  2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0, 0) x y H a b a b     , 2 2 2c a b  .  1 2( ;0), ( ;0)F c F c là hai tiêu điểm.  Bán kính qua tiêu:  Cho 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0, 0) x y H a b a b     và ( ; ) ( )M x y H . www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 11 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.  Nếu x>0 thì 1 2, cx cx MF a MF a a a      .  Nếu x<0 thì 1 2, cx cx MF a MF a a a      .  Hình dạng của hyperbol (H): Cho 2 2 2 2 ( ) : 1 ( 0, 0) x y H a b a b     .  Hai trục đối xứng là Ox, Oy; tâm đối xứng là O.  Ox là trục thực, Oy là trục ảo.  1 2( ;0), ( ;0)A a A a là hai đỉnh của (H).  1 2 2A A a là độ dài trục thực. 1 2 2B B b là độ dài trục ảo.  Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng , x a y b    gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H).  Hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sỏ có phương trình b y x a   gọi là hai đường tiệm cận.  Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 4ab.  Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 4(a+b).  Tâm sai: ( 1) c e e a   . 72. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục thực, trục ảo, phương trình các tiệm cận và vẽ hyperbol (H): a. 2 2 1 9 4 x y   b. 2 2 1 9 16 x y   . 73. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục thực, trục ảo, phương trình các tiệm cận và tâm sai của hyperbol (H): a. 2 29 9x y  b. 2 24 1x y  . 74. Lập phương trình chính tắc của (H): a. Có tiêu điểm (5;0) và độ dài trục thực bằng 8. b. Có tiêu cự bằng 2 3 và một tiệm cận là 2 3 y x  . c. Độ dài trục thực là 8, tiêu cự là 10. d. Tâm sai 5e  và đi qua ( 10;6)M . 75. Lập phương trình chính tắc của (H): a Độ dài của trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. b. Góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 và (H) đi qua điểm N(6;3). c. Đi qua hai điểm (6; 1)P  và ( 8;2 2)Q  . www.VNMATH.com Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Page 12 Created by Nguyen Van Rin NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i. d. Đi qua điểm (4 2;3)M và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của elip 2 2 ( ) : 1 35 10 x y E   . 76. Cho hyperbol 2 2( ) : 9 16 144H x y  a. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H). b. Lập phương trình đường tròn (C) đường kính 1 2F F và tìm giao điểm của (C) và (H). c. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). 77. Cho elip 2 2 ( ) : 1 25 9 x y E   a. Xác định hai tiêu điểm và các đỉnh của (E). b. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). c. Lập phuuwong trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). 78. Cho bốn điểm (3;2), ( 3;2), ( 3; 2), (3;-2)P Q R S   . a. Viết phương trình elip (E) và hyperbol (H) cùng có hình chữ nhật cơ sở PQRS. b. Tìm tọa độ giao điểm của elip (E) với các đường tiệm cận của hyperbol (H). 79. Cho m>0. Chứng minh rằng hyperbol (H) có các tiêu điểm 1 2( , ), ( , )F m m F m m  và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm trên (H) tới các tiêu điểm là 2m, có phương trình 2 2 m xy  . 80. Cho 1 2( 2, 2), ( 2, 2)F F  . Chứng minh mỗi điểm ( ; )M x y thuộc đồ thị 1 y x  đều có 1 2 2 2MF MF  . 81. Tìm các điểm trên hyperbol 2 2( ) : 4 4 0H x y   . a. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120 . c. Có tọa độ nguyên. 82. Cho hyperbol 2 2 ( ) : 1 4 5 x y H   và đường thẳng : 0x y m    . a. Chứng minh rằng  luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ( )M Nx x . b. Gọi 1F là tiêu điểm trái và 2F là tiêu điểm phải của (H). Xác định m để 2 12F N F M . www.VNMATH.com §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Created by Nguyen Van Rin Page 13 Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt. 83. Cho hyperbol 2 2 2 2 ( ) : 1 x y H a b   . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (H) đến hai đường tiệm cận bằng 2 2 2 2 a b a b . 84. Cho hyperbol 2 2 2 2 ( ) : 1 x y H a b   . Gọi 1 2, F F là các tiêu điểm và 1 2, A A là các đỉnh của (H). M là điểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N. Chứng minh rằng: