Giáo án toán học -Giá trị lượng giác của một góc (cung)

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (CUNG) 1. Mục tiêu: Qua bài học, học sinh cần nắm được: a) Về kiến thức: - Hiểu thế nào là đường tròn lượng giác và hệ toạ độ vuông góc gắn với nó, điểm M trên đường tròn lượng giác xác định bởi số  (hay bởi góc  , cung  ) - Hiểu các định nghĩa côsin, sin, tang và côtang góc lượng giác  và ý nghĩa hình học của chúng. Biết được tính chất của côsin và sin của góc lượng giác  - Nắm chắc các công thức lượng giác cơ bản. b) Về kĩ năng: - Biết tìm hiểu điểm M trên đường tròn lượng giác xác định bới số thực  - Biết xác định dấu của cos  , sin  , tan  ,cot  , khi biết - Biết các giá trị côsin, sin, tang và côtang của một số góc lượng giác thường gặp. - Dựa vào định nghĩa, biết xác định các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt và ngược lại. - Sử dụng thành thạo các công thức lượng giác cơ bản. c) Về tư duy: - Hiểu được cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc  , từ đó xác định dấu của các giá trị lượng giác. - Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản để giải một số dạng bài tập. d) Về thái độ: - Cẩn thận, chính xác. Tích cực hoạt động, trả lời các câu hỏi. 2. Phương tiện dạy học: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 2 - - Thước kẻ, compa… 3. Phương pháp dạy học: - Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh (HS). *Kiểm tra bài cũ: 1. Nêu khái niệm góc lượng giác 2. Nêu khái niệm cung lượng giác. Đường tròn định hướng là gì? 3. Với kí hiệu (Ou, Ov), Tia Om quay theo một chiều từ Ou đến Ov. Ta nói, tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu là Ou và tia cuối là Ov. Kí hiệu: (Ou, Ov). Là đường tròn với chiều di động đã được chọn Tia Ou, Ov, Om cắt đường tròn (O) lần lượt tại U, V và M. Khi tia Om quét góc lượng giác (Ou, Ov) thì điểm M chạy trên đường tròn theo một chiều từ điểm U đến điểm V. Ta nói, điểm M vạch nên một cung lượng giác điểu đầu U, điểm cuối V. Kí hiệu: 1.Đường tròn lượng giác: Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 3 - có nhận xét gì? *Bài mới: -Mỗi số  R, ta có một cung lượng giác duy nhất có số đo  hay ta có một góc lượng giác duy nhất (OA, OM) có số đo Cung và góc lượng giác đó gọi tắt là cung  và góc Ta viết = Có vô số góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo các góc đó có dạng + k2 , k z ,  = sđ (Ou, Ov). a) Định nghĩa: Đường tròn lượng giác là một đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1), định hướng, trên đó có một điểm A gọi là điểm gốc b) Tương ứng giữa số thực và điểm trên đường tròn lượng giác:  R Có M O =  , (OA, OM) = Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM) =  gọi là điểm xác định bởi số  O 1 A A M O  Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 4 - và (OA, OM) = -Ứng với mỗi số thực  , có một điểm trên đường tròn lượng giác (tương tự như trên trục số). Điểm đó biểu diễn vô số góc lượng giác có số đo:+k2  , kz Vì sao có kết quả này? Ta nói, mỗi điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực có dạng +k2  , kz Điểm M ứng với những số thực nào? Điểm M biểu diễn góc 1+ Các góc lượng giác có cùng kí hiệu (OA, OM) có số đo là +k2  , kz HS giải 1+ k2  , kz (hay bởi cung  , hay bởi góc  ) -Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung (góc) lượng giác có số đo  (hay +k2 , kz) Ví dụ 1: 1) Tìm trên đường tròn lượng giác điểm M biểu diễn góc =1 M O 1 A Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 5 - k2  , kz Góc x =+k2 , kz được biểu diễn bởi những điểm nào? 3 HS lên bảng giải 2 điểm đối tượng qua O. Vì khi k=2h  x= + h2 ,h z HS làm ở nhà 2) (Phiếu học tập 1) Trên đường tròn lượng giác, tìm các điểm biểu diễn các góc =90o; -120o; 4 3 ; - 4  ;  +k2  ; - 2  +k ; kz Chú ý: -Góc x= +k2 ; kz được biểu diễn bởi một điểm M trên đường tròn lượng giác, với (OA, OM)= -Góc x=+k , kz được biểu diễn bởi hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác và chúng đối xứng với nhau qua O, với (OA, OM)= -Với hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác và chúng đối xứng với nhau qua O thì hai điểm đó biểu diễn góc x= +k , kz với =(OA, OM) Ví dụ 2: (phiếu học tập 2) A, A’ là hai điểm biểu diễn góc nào? Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 6 - Cho đường tròn lượng giác tâm O, điểm góc A, Xét hệ toạ độ vuông góc Oxy sao cho tia Ox trùng với tia OA Gợi ý: Vẽ hình chiếu H của M trên trục Ox. Tính OH, ta có: XM= OH HS xác định điểm M. Tìm toạ độ của OH=MH=OM.sin45o= 2 2 . M( 2 2 ; 2 2 ). B, B' là hai điểm biểu diễn góc nào? B là điểm biểu diễn góc nào? B A’ A B’ c) Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác (Ox, Oy)= 2  +k2 ,kz O x A H M y K O Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 7 - Giới thiệu định nghĩa -Hệ toạ độ Oxy được gọi là hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho. H2: Tìm toạ độ điểm M (O) sao cho sđ AM = 4 3 2.Giá trị lượng giác sin và côsin a)Các định nghĩa: - (Ou, Ov)=(OA, OM) =với M(O) và M(x, y). -Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou, Ov) hay của  -Kí hiệu: cos(Ou, Ov)= cos=x *Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác (Ou, Ov)hay của  Kí hiệu: sin(Ou,Ov) =sin= y x A H M y K O A’ B’ B i j Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 8 - Gọi 2 HS ở hai nhóm trình bày Từ định nghĩa ta thấy, M(x;y) x =cos = OH y = sin =OK Gợi ý: Vị trí điểm M biểu diễn Góc  ? Số đo  ? Nhận xét 2 điểm biểu diễn góc  và  +k2 , k z ? Mỗi nhóm làm một trường hợp  4 3 ;  -60o MM yxOM ,)(  A hoặc A’  =k , k z MA, =k2 : cos =1 MA’, = +k2 : cos =-1 Nếu sđ (Ou,Ov) = ao thì ta viết cos (Ou, Ov)=cosao, sin (Ou, Ov) = sinao Ví dụ 3: Dựa vào định nghĩa, hãy tính: cos 4 3 ; sin 4 3 ; cos(-60o ); sin(-60o ) Trong lượng giác, trục Ox còn gọi là trục côsin, trục Oy còn gọi là trục sin. H3: Tìm để sin= 0 suy ra cos=? cos=0 suy ra sin=?; b) Tính chất: b1.cos(+k2 )=cos , k z Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 9 - Kết luận gì về sin và côsin của 2 góc đó? Nhận xét hoành độ và tung độ của mỗi điểm trên đường tròn lượng giác Kết luận gì về sin và côsin của góc  tuỳ ý. Từ định nghĩa, hãy tìm một đẳng thức liên hệ giữa sin và cos cos > 0 Mx > 0  vị trí M cos < 0 Mx < 0  vị trí M sin > 0 My > 0  vị trí M Trùng nhau Bằng nhau x,y  [-1;1] Sin =OK cos= OH OH2+OK2=OM2=1 HS trả lời sin(+k2 )=sin , k z b2.Sin , cos  [-1;1] b3.Sin2 + cos2 =1 Ví dụ 4: Điền số thích hợp vào “…” Sin2 750 + cos2 750 = … Sin2 5  + cos2 5  =… Sin2 2a + cos2 2a =… x A M y O A’ B’ B  Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 10 - sin < 0 My < 0  vị trí M Giới thiệu định nghĩa HS trả lời H4 a) M? cos>0, cos<0 Sin >0, Sin <0 b) Dấu sin3, cos3? 3. Giá trị lượng giác tang và côtang: a) Các định nghĩa: Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo  .Nếu cos 0 (+ 2  +k , kz) thì tỉ số   cos sin được gọi là tang của góc  Kí hiệu: tan (hay tang ) Vậy: tan = cos sin Khi sđ (Ou, Ov) =ao, ta viết: tan (Ou, Ov) = tan ao. Nếu sin 0 (  k , k z ) thì tỉ số   sin cos được gọi là côtang của góc  Kí hiệu:cot ( hay cotag ) Vậy: cot=   sin cos Ví dụ 5: Tính tan 4 3 , cot (-60o)? Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 11 - Xét trục số At, gốc A, cùng hướng với trục Oy và tiếp xúc với đường tròn lượng giác tại A. Khi (OA, OM)= sao cho cos  0 thì đường thẳng OM cắt trục At tại T. Toạ độ điểm T? Hướng dẫn: Viết phương trình đường thẳng OM=yT. Đường thẳng OM cắt trục At tại T và yT = tan hay HS trả lời xT = 1 Đường thẳng OM có dạng y= kx. Vì đường thẳng đó qua M nên cos =ksin  k=   cos sin = tan Phương trình đường thẳng OM: y= tan . Tung độ điểm T: yT = tan b) Ý nghĩa hình học: y t B s M T  x O A Trục At còn gọi là trục tang Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 12 - AT = tan Xét trục số Bs, gốc B, cùng hướng với trục Ox và tiếp xúc với đường tròn lượng giác tại B. Khi (OA, OM) = sao cho sin  0, thì đường thẳng OM cắt trục Bs tại S, toạ độ điểm S? Nhận xét giá trị tancosvà cot? Nhận xét các điểm biểu diễn góc và +k , kz Kết luận gì về tang của 2 góc đó? Nêu một đẳng thức liện hệ - ys=1, xs=cot .(tương tự trên) - tanR ,cotR - tan =1 vị trí T  = 4  +k .kz 2 HS trả lời Là 2 điểm đối xứng qua O. sin2=tan2 . cos2 - Trục Bs còn gọi là trục côtang Ví dụ 6: Tìm . để tan=1 H5 c) Tính chất: c1. tan )(  k = tan, kz c2. cot )(  k =cot (khi các biểu thức có nghĩa) c3.cot= tan 1 ,   k 2  , k z , (cot . tan=1) C4. 1+tan2= cos 1 2 , (cos 0) 1+cot2= sins 1 2 , (sin  0) Ví dụ 7: Tìm các giá trị lượng giác của góc…biết Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 13 - giữa tan và cot? tanvà cos? Gợi ý: biến đổi từ đẳng thức sin2  + cos2 Cách khác? Nêu hướng giải HS nhắc lại giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt (góc hình học) GV điền vào bảng. Giá trị lượng giác của góc lượng giác (Ou, Ov) có số sin2 + cos2 = 1  cos2 = cot2.sin2 Chia 2 vế cho cos2(sin2) 2 HS giải. Bằng nhau. rằng a) sin = - 3 1 với 2  < < 2 3 b) tan = 2 1 với - < <0 4. Tìm các giá trị lượng giác của một góc:  0 6  4  3  2  sin 0 1/2 2 / 2 2 / 2 1 cos 1 3 / 2 2 / 2 1/2 0 tan 0 1/ 3 1 3 || cot || 3 1 1 / 3 0 Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác GV: Võ Thị Minh Tâm - Quốc Học Huế - 14 - đo  và ( ] 2 ;0[  )của góc hình học uOv? Củng cố: HS nắm vững cách xác định điểm M trên đường tròn lượng giác xác định bởi số  => dấu của các giá trị lượng giác. Biết tính chất của các giá trị lượng giác và thuộc các công thức lượng giác cơ bản. BTVN: 14 23/199, 200, 201.