Giáo trình Đại số và Hình học Giải tích 1,2 - Tạ Lê Lợi

n phương 2.1 Định nghĩa. Q : V −→ K gọi là dạng toàn phương nếuu tồn tại dạng song tuyến tính q trên V sao cho: Q(x) = q(x, x), ∀x ∈ V. Khi đó ta nói dạng toàn phương Q sinh bởi dạng song tuyến tính q. Nhận xét. Q là thuần nhất bậc 2, i.e. Q(αx) = α2Q(x), ∀x ∈ V, α ∈ K. Ví dụ. a) Trong R2 với tọa độ (x1, x2), mọi dạng toàn phương có dạng: Q(x1, x2) = ax21 + bx1x2 + cx 2 2 = (x1 x2) ( a b/2 b/2 c )( x1 x2 ) b) Một dạng toàn phương trong Rn là đa thức thuần nhất bậc 2 theo n biến: Q(x) = txAx = n∑ i,j=1 aijxixj Để ý là dạng song tuyến tính qA(x, y) = txAy cho ở ví dụ 1.2 d), sinh ra dạng toàn phương trên. Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 115 c) Tích vô hướng Euclid trong Rn sinh ra dạng toàn phương: x21 + · · ·+ x2n. d) Dạng Lorentz trong không-thời gian R4 = {(x, y, z, t)}: x2+y2+z2−ct2 (c > 0). Nhận xét. Có thể có nhiều dạng song tuyến tính sinh ra cùng một dạng toàn phương. Chẳng hạn, các dạng song tuyến tính q = ax1y1+λx1y2+µx2y1+cx2y2, với λ+µ = b, cùng sinh ra một dạng toàn phương Q = ax21 + bx1x2 + cx 2 2. 2.4 Mệnh đề. Mọi dạng toàn phương Q tồn tại duy nhất dạng song tuyến tính đối xứng q˜ sinh ra Q, i.e. có tương ứng 1-1 giữa dạng toàn phương và dạng song tuyến tính đối xứng. Chứng minh: Gỉa sử q là dạng song tuyến tính sinh ra Q. Đặt q˜(x, y) = 1 2 (q(x, y) + q(y, x). Khi đó q˜ là dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra Q. Từ tính đối xứng của q˜, ta có q˜(x+ y, x+ y) = q˜(x, x) + q˜(y, y) + 2q˜(x, y). Suy ra q˜ đợc xác định bởi công thức: q˜(x, y) = 1 2 (Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)). Vậy tính duy nhất của q˜ được chứng minh.
Nhận xét. Theo chứng minh trên, dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra Q(x) = txAx = n∑ i,j=1 aijxixj có ma trận là ma trận đối xứng hóa của A: A˜ = 1 2 (A + tA) , i.e. a˜ij = 1 2 (aij + aji). 2.3 Dạng cực của dạng toàn phương = Dạng song tuyến tính đối xứng sinh ra nó. Ma trận biểu diễn dạng toàn phương trong một cơ sở là ma trận (đối xứng) biểu diễn dạng cực của nó trong cơ sở đó. 3. Dạng chính tắc Bài toán. Xét 3 bài toán tương đương sau: 1. Tìm cơ sở để ma trận biểu diễn dạng song tuyến đối xứng có dạng đơn giản. 2. Cho ma trận đối xứng A ∈ MatK(n), tìm ma trận P ∈ GlK(n) sao cho tPAP là ma trận đơn giản. 3. Cho dạng toàn phương Q = n∑ i,j=1 aijxixj , tìm phép đổi biến x = PX sao cho Q có dạng đơn giản theo biến mới. 116 Ta sẽ chứng minh có thể đưa về dạng ma trận đường chéo. 3.1 Định nghĩa. Cho q là dạng song tuyến tính trên V . Cơ sở B = (e1, · · · , en) của V gọi là cơ sở q-trực giao nếuu q(ei, ej) = 0, ∀i = j. Nhận xét. Một cơ sở q-trực giao khi và chỉ khi ma trận biểu diễn q trong cơ sở đó có dạng đường chéo. Kết qủa sau được phát biểu dưới 3 dạng tương đương: 3.2 Định lý. (i) Mọi dạng song tuyến tính đối xứng q trên không gian vector hữu hạn chiều đều tồn tại cơ sở q-trực giao. (ii) Mọi ma trận đối xứng A ∈ MatK(n) đều tồn tại ma trận khả nghịch P ∈ GlK(n) sao cho tPAP là ma trận đường chéo. (iii) Mọi dạng toàn phương trên K, Q = n∑ i,j=1 aijxixj , tồn tại biếi đổi tuyến tính x = PX , sao cho theo biến mới Q có dạng chính tắc Q = λ1X21 + · · ·+ λnX2n. Định lý ở dạng (iii) được chứng minh qua thuật toán sau: 3.3 Thuật toán Lagrange. Input: Dạng toàn phương Q = n∑ i,j=1 aijxixj = 0 , (aij = aji) Ouput: Dạng chính tắc Q = λ1X21 + · · ·+ λnX2n. Giả sử ở vòng lặp thứ k − 1, Q = λ1X21 + · · ·+ λk−1X2k−1 +Qk(Xk, · · · , Xn), trong đó Qk = akkX2k + 2( ∑ j>k akjXj)Xk + ∑ i,j>k aijXiXj Bây giờ chỉ biến đổi Qk. Bước 1: • Trường hợp tồn tại aii = 0: Hoán vị vị trí i và k bằng đổi biến Xi = yk, Xk = yi, Xj = yj (j = i, k). Đặt λk = akk, rồi qua bước 2. • Trường hợp mọi aii = 0, và tồn tại akl = 0: Dùng đổi biến Xk = yk + yl, Xl = yk − yl, Xj = yj (j = k, l). Đặt λk = akl, rồi qua bước 2. • Trường hợp akj = 0 với nọi j ≥ k: Đặt λk = 0, rồi qua bước 3. Bước 2: Sau bước 1 ta có Qk = λky2k + · · · với λk = 0. Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 117 Dùng biến đổi λy2 + 2by = λ(y + b λ )2 − b 2 λ , ta có Qk = λky2k + 2( ∑ j>k a′kjyj)yk + ∑ i,j>k a′ijyiyj = λk[ yk + 1 λk ( ∑ j>k a′kjyj) ] 2 − 1 λk ( ∑ j>k a′kjyj) 2 + ∑ i,j>k a′ijyiyj Đổi biến: Xk = yk + 1 λk ∑ j≥k a′kjyj , Xj = yk (j ≥ k). Khi đó Qk = λkX2k + Qk+1(Xk+1, · · · , Xn). Bước 3: Nếu k < n, tăng k lên 1. Sau hữu hạn vòng lặp (khi k = n) Q cóù dạng chính tắc cần tìm. Ví dụ. Đưa về dạng chính tắc dạng toàn phương Q = 2x1x2 − 4x2x3 + 6x3x1 Vì các hệ số của x21, x 2 2, x 2 3 bằng 0, và hệ số của x1x2 khác 0, ta đổi biến: x1 = y1 + y2, x2 = y1 − y2, x3 = y3. Thay vào: Q = 2(y1 + y2)(y1 − y2)− 4(y1 − y2)y3 + 6y3(y1 + y2) = 2y21 + 2y3y1 − 2y22 + 10y2y3 = 2(y1 + 1 2 y3)2 − 12y 2 3 − 2y22 + 10y2y3 Đổi biến X1 = y1 + 1 2 y3, rồi tiến hành tương tự cho các biến sau: Q = 2X21 − 2y22 + 10y2y3 − 1 2 y23 = 2X21 − 2[(y2 − 5/2y3)2 − 25/4y23 ]− 1 2 y23 = 2X21 − 2(y2 − 5/2y3)2 + 12y23 Đổi biến X2 = y2 − 5/2y3, X3 = y3. Ta có dạng chính tắc: Q = 2X21 − 2X32 + 12X23 Nhận xét. Có thể xây dựng thuật toán ở dạng ma trận của định lý trên: Để tìm P sao cho tPAP = D có dạng đường chéo, ta cần lần lượt biến đổi sơ cấp trên dòng (= nhân bên trái A bởi ma trận sơ cấp E) đi đôi với biến đổi sơ cấp cùng kiểu trên cột (= nhân bên phải A bởi ma trận sơ cấp tE). Từ đó ta có: 118 Thuật toán: Input: Ma trận đối xứng A. Output: Các ma trận P khả nghịch và D đường chéo, sao cho tPAP = D Bắt đầu thực hiện các biến đổi sơ cấp từ (I|A). Giả sử ở vòng lặp thứ k − 1, I đã biến đổi thành I ′ và A có dạng   λ1 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . 0 · · · λk−1 0 · · · 0 0 · · · 0 akk · · · akn . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 ank · · · ann   Bước 1: • Trường hợp tồn tại aii = 0: Biến đổi Di ↔ Dk, rồi qua bước 2. • Trường hợp mọi aii = 0, và tồn tại akl = 0: Biến đổi Dk +Dl & Dl −Dk (= Dk +Dl, 2Dl −Dk) trên cặp (I ′|A). Biến đổi Ck + Cl & Cl − Ck chỉ trên A, rồi qua bươc 2. • Trường hợp akj = 0 với mọi j ≥ k: qua bước 3. Bước 2: Sau bước 1 ta có akk = 0. Khử các phần tử khác 0 phía dưới akk, bằng biến đổi trên (I ′|A): Dj − αjDk, với αj = aij akk (j > k) Khử các phần tử khác 0 phía phải akk, bằng biến đổi chỉ trên A: Cj − αjCk, với αj = aij akk (j > k) Bước 3: Nếu k < n, tăng k lên 1 Sau n vòng lặp A → D có dạng đường chéo và I → tP , thoả tPAP = D. Ví dụ. Ma trận biểu diễn của dạng toàn phương ở ví dụ trên: A =   0 1 −21 0 3 −2 3 0   Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 119 Thuật toán trên được tiến hành như sau (không thực hiện biến đổi trên cột của I) (I|A) =   1 0 0 | 0 1 −20 1 0 | 1 0 3 0 0 1 | −2 3 0   −→   1 1 0 | 1 1 0−1 1 0 | 1 −1 5 0 0 1 | −2 3 0   (D1 +D2 & D2 −D1) −→   1 1 0 | 2 0 1−1 1 0 | 0 −2 5 0 0 1 | 1 5 0   (C1 + C2 & C2 − C1) −→   1 1 0 | 2 0 1−1 1 0 | 0 −2 5 −12 −12 1 | 0 5 −12   (D3 − 12D1) −→   1 1 0 | 2 0 0−1 1 0 | 0 −2 5 −12 −12 1 | 0 5 −12   (C3 − 32C1) −→   1 1 0 | 2 0 0−1 1 0 | 0 −2 5 −3 2 1 | 0 0 12   (D3 + 52D2) −→   1 1 0 | 2 0 0−1 1 0 | 0 −2 0 −3 2 1 | 0 0 12   (C3 + 52C2) Vậy tP =   1 1 0−1 1 0 −3 2 1   và D =   2 0 00 −2 0 0 0 12   Nhận xét. Khi có dạng chính tắc, tiếp tục biến đổi Xk := √ λkXk trong trường hợp K := C, và Xk := √|λk|Xk khi K := R ta có: 3.5 Dạng chuẩn tắc phức. Mọi dạng toàn phương Q trên không gian vector phức đều tồn tại cơ sở sao cho Q = X21 + · · ·+X2r (r = rank(Q)) 3.6 Dạng chuẩn tắc thực (luật quán tính). Mọi dạng toàn phương Q trên không gian thực V đều tồn tại cơ sở sao cho Q = X21 + · · ·+X2p −X2p+1 − · · · −X2r Các số r và p là không phụ thuộc cách chọn cơ sở. Nói cách khác, tồn tại phân tích V = V+ ⊕ V− ⊕ V0, thoả điều kiện: Q|V+\{0} > 0, Q|V−\{0} < 0, Q|V0 = 0. Với mọi các phân tích như trên dimV+, dimV−, dimV0 là không đổi. 120 Ký hiệu ind+Q = p gọi là chỉ số quán tính dương của Q. ind−Q = r − p gọi là chỉ số quán tính âm . Chứng minh: Theo Định lý 3.2, tồn tại cơ sở (e1, · · · , en) sao cho Q = X21 + · · ·+X2p −X2p+1 − · · · −X2r Khi đó V+ = L(e1, · · · , ep), V− = L(ep+1, · · · , er), V0 = L(er+1, · · · , en) thỏa phân tích nêu trên. Gỉa sử trong một cơ sở khác (f1, · · · , fn) ta có Q = Y 21 + · · ·+ Y 2q − Y 2q+1 − · · · − Y 2r′ Rõ ràng r = r′ = hạng của Q. Ta cần chứng minh p = q. Đặt V1 = L(e1, · · · , ep), V2 = L(fq+1, · · · , fn). Khi đó nếu x ∈ V1 ∩ V2, thì Q(x) = X21 + · · ·+X2p = −Y 2q+1 − · · · − Y 2r . Suy ra X1 = · · · = Xp = 0, i.e. x = 0. Vậy V1 ∩ V2 = {0}. Suy ra dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2) ≤ dimV , i.e. p + n − q ≤ n. Suy ra p ≤ q. Do tính đối xứng ta cũng có q ≤ p. Vậy p = q.
3.7 Dạng xác định dấu. Cho Q là dạng toàn phương trên không gian vector thực. Khi đó Q gọi là xác định dương , ký hiệu Q > 0,nếuu Q(x) > 0, ∀x = 0. Q gọi là xác định âm , ký hiệu Q < 0,nếuu Q(x) < 0, ∀x = 0. Q gọi là không xác định dấu nếuu tồn tại x, y : Q(x) > 0, Q(y) < 0 . Nhận xét. Dạng xác định dấu liên quan đến bài toán cực trị hàm nhiều biến (với Q là đạo hàm cấp 2): Nếu Q > 0, thì Q đạt min tại 0; nếu Q < 0, thì Q đạt max tại 0; và nếu Q không xác định dấu, thì Q không có cực trị tại 0. Nhận xét. Dùng thuật toán Lagrange đưa Q về dạng chính tắc: Q = λ1X21 + · · ·+ λnX2n. Khi đó Q > 0 khi và chỉ khi λ1, · · · , λn > 0, i.e. ind+Q = dimV . Q < 0 khi và chỉ khi λ1, · · · , λn < 0, i.e. ind−Q = dimV . Q không xác định dấu khi và chỉ khi tồn tại i, j sao cho λiλj < 0. Ví dụ. Với a = 0, Q = ax2 + 2bxy + cy2 = a(x+ b a y)2 + ac− b2 a y2 Vậy Q > 0 khi và chỉ khi a > 0, ac− b2 > 0. Q 0. Q không xác định dấu khi và chỉ khi ac− b2 < 0. Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 121 Trong ví dụ trên ta thấy là có thể dựa vào một số điều kiện về dấu của định thức của ma trận biểu diễn của một dạng toàn phương để biết dạng đó khi nào xác định dấu. Tổng quát, ta có công thức sau: Cho dạng toàn phương thực Q = n∑ i,j=1 aijxixj . Gọi Dk = det(aij)1≤i,j≤k (k = 1, · · · , n), là k-minor chính. 3.8 Công thức Jacobi. Nếu D1 = 0, · · · , Dr = 0, thì từ thuật toán Lagrange Q = D1X21 + D2 D1 X22 + · · ·+ Dr Dr−1 X2r +Qr+1(Xr+1, · · · , Xn). Chứng minh: Gỉa sử Q(x) = txAx và A′ = tPAP . Gọi Dk và D′k là các k-minor chính của A và A′ tương ứng. Bổ đề 1. Gỉa sử ma trận chuyển P có dạng tam giác trên với các phần tử trên đường chéo chính bằng 1 P =   1 × · · · × 0 1 · · · × . . . . . . 0 0 · · · 1   Khi đó D′k = Dk, với k = 1, · · · , n. Thật vậy, nếu gọi Ak, A ′ k và Pk là các ma trận con chính cấp k, i.e. các ma trận tạo bởi k dòng k cột đầu của A,A′ và P tương ứng, thì dễ thấy A′k = tPkAkPk. Suy ra D′k = det( tPkAkPk) = det tPk detAk detPk = (detPk)2 detAk = Dk. Bổ đề 2. Nếu D1 = 0, · · · , Dr = 0, thì thuật toán Lagrange ở các vòng lặp ≤ r có ma trận của phép đổi biến có dạng cho ở Bổ đề 1. Ta chứng minh bổ đề bằng qui nạp theo k (1 ≤ k ≤ r). Với k = 1, a11 = D1 = 0 nên theo bước 2 của thuật toán ta dùng đổi biến có dạng nêu trên. Bây giờ gỉa sử bổ đề đúng tới k− 1. Theo thuật toán Lagrange ở vòng thứ k− 1, qua phép đổi biến x = PX , vớ P có dạng ở Bổ đề 1, sao cho Q có dạng Q(x) = Q(PX) = λ1X21 + · · ·+ λk−1X2k−1 + a′kkX2k + 2( ∑ j>k a′kjXj)Xk + · · · , i.e. ma trận biểu diễn của Q theo biến X có dạng A′ = tPAP =   λ1 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . 0 · · · λk−1 0 · · · 0 0 · · · 0 a′kk · · · a′kn . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 a′nk · · · a′nn   122 Theo Bổ đề 1, a′kk = D ′ k = Dk = 0. Vậy ở vòng lặp thứ k của thuật toán sẽ sử dụng biến đổi dạng cho ở Bổ đề 1, i.e. Bổ đề đúng tới k. Dựa vào 2 bổ đề trên, ta có công thức Jacobi.
Từ công thức trên ta có: 3.9 Tiêu chuẩn Sylvester. Q > 0 khi và chỉ khi D1 > 0, D2 > 0, · · · , Dn > 0 Q 0, · · · , (−1)nDn > 0. 3.10 Áp dụng vào bài toán cực trị. Dạng xác định dấu được áp dụng vào bài toán tìm cực trị địa phương hàm f : U → R, với U ⊂ R3 là tập mở. Nếu f khả vi đến cấp 2, thì theo khai triển Taylor của f tại M0 ∈ U : f(M) = f(M0)+Df(M0)(M−M0)+12 t(M−M0)Hf(M0)(M−M0)+o(‖M−M0‖2). trong đó phần bậc nhất xác định bởi ma trận Jacobi Df(M0) = t( ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z )M0 và phần bậc hai xác định bởi ma trận Hess Hf(M0), là ma trận đối xứng: Hf(M0) =   ∂2f ∂x2 ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂x∂z ∂2f ∂y∂x ∂2f ∂y2 ∂2f ∂y∂z ∂2f ∂z∂x ∂2f ∂z∂y ∂2f ∂z2   M0 Theo điều kiện cần nếu f đạt cực trị tại M0, thì Df(M0) = 0. Khi Df(M0) = 0, từ công thức trên ta thấy khi ‖M−M0‖ đủ bé, giá trị f(M) lớn hơn hay nhỏ hơn f(M0) phụ thuộc vào dấu của dạng toàn phương xác định bởi Hf(M0). Ví dụ. Xét cực trị hàm f(M) = x3 + y3 − 3xy + z2, M = (x, y, z) ∈ R3. Điểm nghi ngờ cực trị là điểm M , sao cho: Df(M) =   3x 2 − 3y 3y2 − 3x 2z   =   00 0   Vậy ta có hai điểm cần xét là O = (0, 0, 0) và M0 = (1, 1, 0). Ma trận Hess của f : Hf(M) =   6x −3 0−3 6y 0 0 0 2   Chương VIII. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương 123 Tại M0 các định thức chính là: D1 = 6 > 0, D2 = 27 > 0, D3 = 54 > 0. Theo tiêu chuẩn Sylvester Hf(M0) > 0. Suy ra f đạt cực tiểu tại M0. Tại O ù dạng toàn phương tMHf(0, 0, 0)M = −6xy + 2z2 = −6(X + Y )(X − Y ) + 2z2 = −6X2 + 6Y 2 + 2Z2 có hạng cực đại và không xác định dấu. Vậy f không đạt cực trị tại O. 3.10 Dạng chính tắc của toàn phương trong không gian vector Euclid Cho E là không gian vector Euclid. Xét dạng toàn phương Q : E → R. Khi cố định cơ sở trực chuẩn trong E, ta có thể xem Q là dạng toàn phương trên Rn với tích vô hướng Euclid . Ta có biểu diễn Q(x) = n∑ i,j=1 aijxixj = txAx = , trong đó A = (aij)n×n là ma trận đối xứng, x =   x1 . . . xn  . Từ thuật toán chéo hoá trực giao ma trận đối xứng, ta có các kết quả tương đương sau: Định lý trục chính. (i) Mọi dạng song tuyến tính đối xứng q trong không gian vector Euclid hữu hạn chiều đều tồn tại cở sở vừa trực chuẩn (theo tích vô hướng), vừa q-trực giao. (ii) Mọi dạng toàn phương Q trên không gian vector Euclid đều tồn tại cơ sở trực chuẩn sao cho Q có dạng chính tắc. Cụ thể, nếu Q(x) =t xAx, thì tồn tại P ∈ O(n) là ma trận mà các cột là một hệ cơ sở trực chuẩn của Rn, gồm các vector riêng của A ứng với gía trị riêng λ1, · · · , λn, sao cho phép đổi biến x = PX , với X =   X1 . . . Xn  , ta có Q(x) = Q(PX) = λ1X21 + · · ·+ λ2nX2n. Nhận xét. Thuật toán Lagrange đưa dạng toàn phương vể dạng chính tắc nhưng trong cơ sở không nhất thiết trực chuẩn. Còn thuật toán chéo hóa trực giao ở chương VII, phép biến đổi là trực giao, i.e. biểu diễn dạng toàn phương trong cơ sở trực chuẩn, nên không làm thay đổi “kích thước” của dạng. Vì vậy phương pháp này được áp dụng vào hình học Euclid (xem chương sau) IX. Áp dụng vào hình học Chương này sẽ nêu một số áp dụng của đại số tuyến tính vào hình học affin và hình học Euclid. Cụ thể ta sẽ xét đến các phép biến hình thông dụng và các đường, mặt bậc hai. 1. Cấu trúc affin chính tắc của một không gian vector Cho E là một không gian vector hữu hạn chiều trên R. 1.1 Định nghĩa. Với A,B ∈ E, ta ký hiệu −→AB= B −A. Khi các phần tử của E được xem là các điểm thì ta nói E được trang bị cấu trúc affin chính tắc, và E gọi là không gian affin. Hơn nữa, nếu E là không gian vector Euclid, thì lúc đó ta gọi E là không gian Euclid. Khi đó ta định nghĩa: Khoảng cách giữa hai điểm A,B ∈ E là d(A,B) = ‖ −→AB ‖ Góc ÂOB, với O,A,B ∈ E, là góc có cos(ÂOB) = cos(−→OA, −→OB).
O






 B  A       d(A,B) = ‖ −→AB ‖ ÂOB Qui ước: Để phân biệt vector và điểm trong E, trong chương này ta qui ước: • Khi xem E là không gian vector, thì phần tử của nó là vector và dùng ký hiệu →x . • Khi xem E là không gian affin, thì phần tử của nó là điểm và dùng ký hiệu A,B,O,M, · · · . Đặc biệt, dùng ký hiệu 0 cho điểm ứng với vector không của E. Mệnh đề. Với mọi điểm A,B,C ∈ E, ta có: −→ AB= → 0 ⇔ A = B, −→ BA= − −→ AB, −→ AB + −→ BC= −→ AC (hệ thức Chasles) 1.2 Ánh xạ affin. Cho E,F là các không gian vector hữu hạn chiều trên R. Ánh xạ f : E → F , gọi là affin nếuu tồn tại ánh xạ tuyến tính f∗ : E → F , sao cho −−−−−−→ f(A)f(M)= f∗( −→ AM) hay f(M) = f(A) + f∗( −→ AM), ∀A,M ∈ E Dễ thấy khi đó f∗ là duy nhất và gọi là phần tuyến tính của f . Ký hiệu Aff(E,F ) là tập mọi ánh xạ affin từ E vào F . 126 Mệnh đề. Cho f ∈ Aff(E,F ), g ∈ Aff(F,G). Khi đó g ◦ f ∈ Aff(E,G), và (g ◦ f)∗ = g∗ ◦ f∗ Bài tập: Chứng minh mệnh đề trên. 1.3 Đẳng cấu affin. Một song ánh affin từ E lên F gọi là một đẳng cấu affin. Khi E = F một đẳng cấu affin gọi là tự đẳng cấu affin hay phép biến đổi affin trên E. Tập các phép biến đổi affin trên E, ký hiệu GA(E), gọi là nhóm affin của E. Khi E là không gian Euclid, một phép đẳng cự trên E là song ánh f : E → E sao cho d(f(A), f(B)) = d(A,B), ∀A,B ∈ E Tập các phép đẳng cự trên E, ký hiệu Iso(E), gọi là nhóm đẳng cự trên E. Mệnh đề. GA(E) và Iso(E) là các nhóm với phép hợp thành ◦. Bài tập: Chứng minh mệnh đề trên. Theo một nghĩa nào đó, hình học affin nghiên cứu các tính chất hình học bất biến (không đổi) qua các phép biến đổi affin (chẳng hạn tính song song), còn hình học euclid nghiên cứu các tính chất hình học bất biến qua các phép đẳng cự (chẳng hạn tính bảo toàn góc, tính bảo toàn khoảng cách). 1.4 Cơ sở affin. Một cơ sở affin của E là một cặp (O;B) = (O;
e1, · · · ,
en), trong đó điểm O ∈ E gọi là gốc , B = (
e1, · · · ,
en) là một cơ sở của E. Nếu E là không gian Euclid và B là cơ sở trực chuẩn, thì (O;B) gọi là cơ sở euclid. 1.5 Tọa độ affin. Cho (O;B) = (O;
e1, · · · ,
en) là một cơ sở affin của E. Khi đó với mọi M ∈ E, ta có biểu diễn duy nhất −→ OM= x1
e1 + · · ·+ xn
en Bộ số x =   x1 . . . xn   ∈ Rn gọi là tọa dộ điểm M theo cơ sở (O;B). Khi đó E được đồng nhất với Rn qua đẳng cấu M ↔ x.  O     → e1  → e2 





 x1 → e1  x2 → e2      
M ↔ ( x1 x2 ) Chương IX. Áp dụng vào hình học 127 1.6 Công thức chuyển cơ sở. Cho (O;B) = (O;
e1, · · · ,
en) và (I;B′) = (I;
e′1, · · · ,
e′n) là hai cơ sở affin của E. Gọi x và x′ là các tọa độ tương ứng của cùng một điểm M ∈ E theo hai cơ sở trên. Gọi P là ma trận chuyển cơ sở B sang B′ và b là tọa độ I trong cơ sở (O,B). Từ hệ thức −→ OM= −→ OI + −→ IM , ta có công thức sau x = b + Px′ hay ( x 1 ) = ( P b O 1 )( x′ 1 ) Nếu B = B′, thì ta gọi phép chuyển cơ sở trên là phép tịnh tiến cơ sở từ O đến I. Khi đó P = I và x = b + x′. Nếu các cơ sở là cơ sở euclid, thì P là ma trận trực giao. 1.7 Biểu diễn ma trận ánh xạ affin. Cho f : E → F là ánh xạ affin. Cho (O;B) = (O;
e1, · · · ,
en) là cơ sở của E, (I; C) = (I;
f1, · · · ,
fn) là cơ sở của F . Gọi c là tọa độ của f(O) trong cơ sở (I, C) và A = M CB(f∗). Với mọi M ∈ E, ký hiệu x là tọa độ M trong cơ sở (O,B) và y là tọa độ f(M) trong cơ sở (I, C). Từ hệ thức f(M) = f(O) + f∗( −→ OM), ta có công thức y = c + Ax hay ( y 1 ) = ( A c O 1 )( x 1 ) 1.8 Không gian affin con - Phẳng k chiều. Một tập con F của không gian affin E gọi là một không gian affin con hay một phẳng trong E nếuu tồn tại một điểm A ∈ E và một không gian vector con F∗ của không gian vector E, sao cho: F = A + F∗ = {A+ →x : →x∈ F∗} = {M ∈ E : −→ AM∈ F∗} Khi đó F gọi là một phẳng qua A, có phương F∗ và có số chiều dimF = dimF∗. Khi dimF = 1, 2, dimE − 1, thì F lần lượt được gọi là đường thẳng, mặt phẳng, siêu phẳng.







F∗  0        F
A F
A         F∗  0 Bài tập: Chứng minh nếu một phẳng có hai biểu diễn F = A + F∗ = A′ + F ′∗, thì F∗ = F ′∗ và −→ AA′∈ F∗. 128 Cho (O;B) = (O;
e1, · · · ,
en) là cơ sở affin của E. Tương tự như phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian ba chiều, một phẳng F = A + F∗ trong E có thể biểu diễn bởi tập các điểm M có tọa độ x trong cơ sở đã cho thoả: Phương trình tham số: x = a + t1 → v1 + · · ·+ tk →vk, t1, · · · , tk ∈ R, trong đó a là tọa độ của A và → v1, · · · , →vk là cơ sở của F∗. Phương trình: Ax = b, trong đó A ∈ Mat(k, n) và b ∈ Mat(k, 1) sao cho F∗ = {→v∈ E : tọa độ v của →v thoả Av = 0} và b = Aa (a là tọa độ của A) Phẳng F gọi là song song với phẳng F ′, ký hiệu F ‖ F ′, nếuu F∗ ⊂ F ′∗. Bài tập: Chứng minh quan hệ song song trên tập các phẳng của E có tính phản xạ và bắc cầu, i.e với các phẳng F, F ′, F ′′ trong E, ta có: F ‖ F và F ‖ F ′, F ′ ‖ F ′′ ⇒ F ‖ F ′′ 2. Một số ánh xạ affin thông dụng. 2.1 Phép tịnh tiến. Cho → v∈ E. Phép tịnh tiến theo →v , là ánh xạ t→ v : E → E, thoả −−−−−−→ Mt→ v (M)= → v hay t→ v (M) = M+ → v , ∀M ∈ E    
t→ v (M)
M → v Mệnh đề. Với mọi → u, → v∈ E, ta có t→ u ◦ t→ v = t→ u+ → v , t→ 0 = idE , (t→v ) −1 = t−→v Nói một cách khác, tập các phép tịnh tiến {t→ v : → v∈ E} với luật hợp thành ◦ và đẳng cấu với nhóm (E,+). Bài tập: Chứng minh phép tịnh tiến trong không gian Euclid bảo toàn độ dài, bảo toàn góc và vì vậy bảo toàn thể tích n chiều. Nếu (O;B) là cơ sở affin của E, thì phép tịnh tiến t→ v có biểu diễn trong cơ sở đó là x → c + x, với c là tọa độ →v trong cơ sở B Nhận xét. Với mọi f ∈ Aff(E,E) và O ∈ E, ta có f(M) = f(O) + f∗( −→ OM). Vậy f là hợp của ánh xạ bảo toàn O và phép tịnh tiến vector → v= −−−−−→ Of(O) Chương IX. Áp dụng vào hình học 129 2.2 Phép đẳng cự. Cho E là không gian Euclid. Xét các phép đẳng cự f ∈ Iso(E). Mệnh đề. f : E → E là một phép đẳng cự khi và chỉ khi f là một đẳng cấu affin trên E và là hợp của một phép tịnh tiến và một phép biến đổi trực giao trên E, i.e. tồn tại f∗ ∈ O(E) sao cho f(M) = f(O) + f∗( −→ OM), ∀M ∈ E Chứng minh: Rõ ràng phép tịnh tiến và phép biến đổi trực giao là các phép đẳng cự. Ngược lại, giả sử f là một phép đẳng cự. Trước hết ta chứng minh f là ánh xạ affin. Gọi I = f(0) và → v= −→ I0 . Xét ánh xạ hợp f∗ = t→v ◦ f . Khi đó f∗(0) = 0, nên f∗ có thể xem là ánh xạ tuyến tính trên E. Hơn nữa, với mọi M,N ∈ E, ta có ‖f∗(M)− f∗(N)‖ = ‖t→v (f(M))− t→v (f(N))‖ = ‖f(M)− f(N)‖ = ‖M −N‖ Vậy f∗ là ánh xạ bảo toàn khoảng cách trong không gian vector Euclid E. Do E là không gian hữu hạn chiều, f∗ là toán tử trực giao (xem phần toán tử trực giao của chương VII). Suy ra f = t−→v ◦f∗ là đẳng cấu affin và có dạng cần chứng minh.
Hệ quả. Iso(E) là nhón con của nhóm GA(E). Bài tập: Chứng minh các phép đẳng cự bảo toàn độ dài, bảo toàn góc và vì vậy bảo toàn thể tích n chiều. Nếu (O;B) là cơ sở euclid của E, thì theo chứng minh trên mọi phép đẳng cư f trên E có biểu diễn trong cơ sở đã cho là x → c + Px , P ∈ O(n) Người ta thường phân biệt hai loại biến hình của phép đẳng