Giáo trình môn Kỹ thuật điều khiển tự động

nh ta phải thay đổi cấu trúc của nó. Làm thay đổi cấu trúc tức là làm thay đổi cấp của phương trình vi phân của hệ thống thì đặc tính chất lượng cũng thay đổi. Nguyên lý bất biến và điều khiển bù Một hệ thống ĐKTĐ trong đó các tọa độ yi(t) và sai lệch e(t) không phụ thuộc vào các tác động bên ngoài fi(t) được gọi là hệ thống bất biến. Để giảm ảnh hưởng của nhiễu và tăng độ chính xác người ta thường sử dụng nguyên tắc bù sai lệch tác động đầu vào và bù nhiễu. Thiết kế hệ thống điều khiển PID Bộ điều khiển PID là trường hợp đặc biệt của hiệu chỉnh sớm trễ pha nên về nguyên tắc có thể thiết kế bộ điều khiển PID bằng phương pháp dùng QĐNS hoặc dùng biểu đồ Bode. Một phương pháp khác cũng thường dùng để thiết kế bộ điều khiển PID là phương pháp giải tích. Sau đây là một ví dụ: Ví dụ 6.10. Cho hệ thống điều khiển như hình vẽ: 119/197 Hãy xác định thông số của bộ điều khiển PID sao cho hệ thống thỏa mãn yêu cầu: - Hệ có cặp nghiệm phức với ξ= 0,5 , ωn = 8 - Hệ số vận tốc KV = 100. Giải: Hàm truyền bộ điều khiển PID cần thiết kế: Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh: Theo yêu cầu đề bài KV = 100 nên suy ra: Phương trình đặc tính của hệ sau khi hiệu chỉnh là: (1) Để hệ thống có cặp cực phức với thì phương trình đặc tính (1) phải có dạng: 120/197 Cân bằng các hệ số hai phương trình (1) và (2), suy ra: Với KI = 100, giải hệ phương trình trên ta được: Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh PID cần thiết kế là: Bộ điều khiển PID được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế để điều khiển nhiều loại đối tượng khác nhau như nhiệt độ lò nhiệt, tốc độ động cơ, mực chất lỏng trong bồn chứa... do nó có khả năng làm triệt tiêu sai số xác lập, tăng tốc độ đáp ứng quá đo giảm độ vọt lố nếu các thông số của bộ điều khiển được chọn lựa thích hợp. Do tính thông dụng của nó nên nhiều hãng sản xuất thiết bị điều khiển đã cho ra đời các bộ điều khiển PID thương mại rất tiện dụng. Trong thực tế các phương pháp thiết kế bộ điều khiển PID dùng QĐNS, biểu đồ Bode hay phương pháp giả tích rất ít được sử dụng do sự khó khăn trong việc xây dựng hàm truyền của đối tượng. Phương pháp phổ biến nhất để chọn thông so cho các bộ điều khiển PID thương mại hiện nay là phương pháp Zeigler- Nichols. Phương pháp Zeigler-Nichols Phương pháp Zeigler-Nichols là phương pháp thực nghiệm để thiết kế bộ điều khiển P, PI, hoặc PID bằng cách dựa vào đáp ứng quá độ của đối tượng điều khiển. Bộ điều khiển PID cần thiết kế có hàm truyền là: 121/197 (6.9) Zeigler và Nichols đưa ra hai cách chọn thông số bộ điều khiển PID tùy theo đặc điểm của đối tượng. Cách 1: Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ hở, áp dụng cho các đối tượng có đáp ứng đối với tín hiệu vào là hàm nấc có dạng chữ S như hình 6.7, ví dụ như nhiệt độ lò nhiệt, tốc độ động cơ, Đáp ứng nấc của hệ hở có dạng S Thông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau: Ví dụ 6.11. Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển nhiệt độ của lò sấy, biết đặc tính quá độ của lò sấy thu được từ thực nghiệm có dạng như sau: 122/197 Giải. Dựa vào đáp ứng quá độ thực nghiệm ta có: Chọn thông số bộ điều khiển PID theo phương pháp Zeigler- Nichols: Cách 2: Dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín, áp dụng cho các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng, ví dụ như mực chất lỏng trong bồn chứa, vị trí hệ truyền động dùng động cơ,... Đáp ứng quá độ (hệ hở) của các đối tượng có khâu tích phân lý tưởng không có dạng như hình 6.24 mà tăng đến vô cùng. Đối với các đối tượng thuộc loại này ta chọn thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng quá độ của hệ kín như hình 6.8. Tăng dần hệ số khuếch đại K của hệ kín ở hình 6.8 đến giá trị giới hạn Kgh, khi đó đáp ứng ra của hệ kín ở trạng thái xác lập là dao động ổn định với chu kỳ Tgh. 123/197 Đáp ứng nấc của hệ kín khi K = Kgh Thông số bộ điều khiển P, PI, PID được chọn như sau: Ví dụ :Hãy thiết kế bộ điều khiển PID điều khiển vị trí góc quay của động cơ DC, biết rằng nếu sử dụng bộ điều khiển tỉ lệ thì bằng thực nghiệm ta xác định được khi K = 20 vị trí góc quay động cơ ở trạng thái xác lập là dao động với chu kỳ T = 1 sec. Giải. Theo dữ kiện của bài toán, ta có: Chọn thông số bộ điều khiển PID theo phương pháp Zeigler-Nichols: 124/197 Tính điều khiển được và quan sát được của hệ thống tuyến tính liên tục Khái niệm điều khiển được, quan sát được (Controllabbility and Observability) do R- Kalman, R.E. đề ra. Điều khiển được của một hệ thống là với một tác động đầu vào liệu chuyển được trạng thái của hệ từ thời điểm đầu vào t0 đến thời điểm cuối t1 trong khoảng thời gian hữu hạn h (t1-t0) hay không? Quan sát được của hệ thống là với các tọa độ đo được ở biến ra yi của hệ, liệu ta có thể khôi phục được các vector trạng thái xi trong một khoảng thời gian hữu hạn hay không? 125/197 Bài 7: Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc Hệ thống điều khiển rời rạc Khái niệm Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt. Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển lien tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC,... đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số 126/197 Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục c(t), uR(t) và tín hiệu số r(kT), cht(kT), u(kT). Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng. Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa biên độ, vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời rạc ở hình 7.2. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển rời rạc. Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc, điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong quyển này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển số. 127/197 Đặc điểm lấy mẫu Quá trình lấy mẫu dữ liệu Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín hiệu rời rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3). Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau: x*(t) = x(t).s(t) trong đó s(t) là chuổi xung dirac: 128/197 đồng thời giả sử rằng x(t) = 0 khi t < 0, ta được: Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được: Biểu thức chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu. Định lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện: trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu. Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các khâu lấy mẫu. Khâu giữ dữ liệu Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian. Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold - ZOH) (H.7.4). 129/197 Khâu giữ bậc 0 (ZOH) Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ rộng bằng T (H.7.4b). Ta có: R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac) Theo định nghĩa: Do đó: Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. 130/197 Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH). Nhận xét Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và (7.6). Tuy nhiên các biểu thức toán học này lại chứa hàm ex nên nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này. 131/197 Phép biến đổi Z Định nghĩa Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là: (7.7) trong đó: z = eTs (s là biến Laplace) Ký hiệu: Nếu x(k) = 0, k < 0thì biểu thức định nghĩa trở thành: Miền hội tụ (Region of Convergence - ROC) ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn. Ý nghĩa của phép biến đổi Z Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT). Biểu thức lấy mẫu x(t): Biểu thức biến đổi Z: 132/197 Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời rạc hóa tín hiệu đó. Phép biến đổi Z ngược Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là: với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ. Tính chất của phép biến đổi Z Tính tuyến tính Nếu: Thì: 133/197 Dời trong miền thời gian Làm trễ tín hiệu Ko mẫu Nếu: Thì: Nhận xét: Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với thì tương đương với trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) ko chu kỳ lấy mẫu. Vì: nên z–1 được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu. 134/197 Tỉ lệ trong miền Z Nếu: Thì: Đạo hàm trong miền Z Nếu: Thì: Định lý giá trị đầu Nếu: Thì: Định lý giá trị cuối Nếu: Thì: 135/197 Biến đổi Z của các hàm cơ bản Hàm dirac Theo định nghĩa: Vậy: (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z) Hàm nấc đơn vị Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền thời gian): 136/197 Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: Theo định nghĩa: Nếu |z-1| < 1thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta dễ dàng suy ra: Vậy: Hàm dốc đơn vị Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian): 137/197 Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỉ lệ trong miền Z: Ta có: Vậy: Hàm mũ Hàm mũ liên tục trong miền thời gian: 138/197 Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được: Theo định nghĩa: Nếu thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra: Vậy: 139/197 Kết quả trên ta dễ dàng suy ra: Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược Cho hàm ( ) X z , bài toán đặt ra là tìm ( ) x k . Theo công thức biến đổi Z ngược, ta có: với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của và bao gốc tọa độ. Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng các cách sau: Cách 1: Phân tích X( z ) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến đổi Z Ví dụ 7.1. Cho: Tìm x(k). Giải. Phân tích , ta được: 140/197 Tra bảng biến đổi Z: Suy ra: x(k) = (–2k + 3k) u(k) Cách 2: Phân tích ( ) X z thành chuỗi lũy thừa Theo định nghĩa biến đổi z: Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z–k. Ví dụ :. Cho: Tìm x(k). Giải: Chia đa thức ta được: Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui Ví dụ :. Cho: 141/197 Tìm x(k). Giải: Ta có: Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền thời gian), ta được: Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0 Thay vào công thức trên ta tìm được: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,... Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư Nếu là cực bậc một thì: Nếu là cực bậc p thì: 142/197 Ví dụ : Cho: Tìm x(k). Giải. Áp dụng công thức thặng dư, ta được: Mà: Do đó: x(k) = –2k + 3k 143/197 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền Hàm truyền của hệ rời rạc Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân: trong đó n ≥ m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc Biến đổi z hai vế phương trình ta được: Đặt: G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc. Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng: 144/197 Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn. Ví dụ 7.5. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: Tìm hàm truyền của hệ thống. Giải. Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được: Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu 145/197 Trong đó: Ví dụ 7.6: Cho Và Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6. Giải. Tra bảng biến đổi Z, ta có: Do đó dễ dàng suy ra: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu 146/197 Trong đó: Cần chú ý là: Ví dụ 7.7 sẽ minh họa điều này. Ví dụ :. Cho Và Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Giải. Tra bảng biến đổi z, ta có: 147/197 Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở ví dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số Trong đó: Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có: Ví dụ 7.8. Cho 148/197 Và Tìm hàm truyền tương đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7. Giải. Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở ví dụ 7.6 và 7.7, ta dễ dàng tính được: Thay vào công thức (7.22) ta được: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp 149/197 Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau: Trong đó: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận Trong đó: Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận 150/197 Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận Trong đó: Sơ đồ dòng tín hiệu - Công thức Mason cho hệ rời rạc Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc sau đây: Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng ( ) RG Z ZZ Z . Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống. Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z. Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào. Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc, độc giả có thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã dẫn ra trong mục 7.3.2 này. 151/197 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình sai phân Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao # 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng (7.26). Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở trên thành hệ n phương trình sai phân bậc một. Đặt các biến trạng thái như sau: Thay vào phương trình (7.26) ta được: Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng thái ta được hệ phương trình sau: 152/197 Viết lại dưới dạng ma trận: Đáp ứng của hệ thống: Đặt: 153/197 Ta được hệ phương trình biến thái: Ví dụ 7.9. Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống. Giải. Ta có: Đặt biến trạng thái như sau: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là: 154/197 trong đó: Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của tín hiệu vào Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra mô tả bởi phương trình sai phân: Chú ý: Ở phương trình trên hệ số ao = 1. Nếu ao ? 1 ta chia hai vế cho ao để được phương trình sai phân có dạng (7.27) Đặt các biến trạng thái như sau: 155/197 Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau: Trong đó: Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng: Trong đó: 156/197 Ví dụ 7.10. Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân: Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên. Giải. Ta có: Đặt các biến trạng thái: Trong đó: Hệ phương trình biến trạng thái có dạng: Trong đó: 157/197 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền hệ rời rạc Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số ao = 1. Nếu a0 ? 1 ta chia tử số và mẫu số cho ao để được hàm truyền có dạng (7.28). Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương trình sai phân: Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra được hệ phương trình biến trạng thái. Ví dụ . Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là: Giải.Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với: 158/197 xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10. Cách 2: Do nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho: Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các biến trạng thái: Ta được phương trình: 159/197 Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái: Trong đó: Ví dụ. Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền: 160/197 Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái. Giải. Hàm truyền đã cho tương đương với: Đặt biến phụ E (z) sao cho: Đặt biến trạng thái: Ta được hệ phương trình: Trong đó: 161/197 Ví dụ . Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống có hàm truyền là: Giải. Đặt biến phụ E(z) sao cho: Đặt biến trạng thái: Ta được hệ phương trình: Trong đó: 162/197 Thành lập phương trình trạng thái hệ rời rạc từ phương trình trạng thái hệ liên tục Phương pháp này chỉ áp dụng được cho hệ thống có sơ đồ khối như sau: Trình tự thành lập phương trình trạng thái Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái liên tục: Bước 2: Tính ma trận quá độ của hệ liên tục: Với: 163/197 Bước 3: Rời rạc hóa phương trình biến trạng thái ở bước 1, ta được: Trong đó: Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái của hệ rời rạc cần tìm với tín hiệu vào r(kT) là: Chứng minh: Bước 1 và bước 2 thành lập phương trình trạng thái và tính ma trận quá độ của hệ liên tục không có gì phải chứng minh. Ta chứng minh từ bước 3, ở bước này ta suy ra phương trình trạng thái của hệ rời rạc từ phương trình trạng thái của hệ liên tục. Bước 3: Ở chương 2, ta đã biết nghiệm của phương trình trạng thái hệ liên tục cho bởi công thức: Tổng quát: Áp dụng công thức trên với: 164/197 Ta được: Ta lại có: (do eR(t) là tín hiệu ở ngõ ra của khâu giữ ZOH) Thay vào công thức trên, ta được: Do e(kT) không phụ thuộc vào biến lấy tích phân nên: Đổi biến phép tính lấy tích phân, ta được: (7.31) Rời rạc hóa phương trình ngõ ra của hệ liên tục, ta được: 165/197 Bước 4: Theo sơ đồ khối của hệ thống, ta thấy: Thay vào (7.31) ta được kết quả cần chứng minh. Ví dụ. Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ như hình vẽ. Hãy thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống với các biến trạng thái được xác định trên hình vẽ. Giải Bước 1: Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ liên tục: Theo hình vẽ ta có: Kết hợp (7.32) và (7.33) ta được hệ phương trình: 166/197 Đáp ứng của hệ thống: Do đó: Bước 2: Tính ma trận quá độ: Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục, ta được: 167/197 Trong đó: Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời rạc với tín hiệu vào r(kT) là: Trong đó: 168/197 Ví dụ bằng số cụ thể: a = 2, T = 0,5sec, K = 10 169/197 Kết luận: hệ phương trình biến trạng thái cần tìm là: Tính hàm truyền hệ rời rạc từ hệ phương trình trạng thái Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái: Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền: Biến đổi Z hệ phương trình trạng thái, ta được: 170/197 Lập tỉ số, ta được: (7.35) Ví dụ. Cho hệ thống mô tả bởi phương trình trạng thái: Trong đó: Hãy viết hàm truyền của hệ thống trên. Giải. Áp dụng công thức (7.35), hàm truyền của hệ thống là: Ta có: 171/197 Vậy: 172/197 Bài 8: Phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển rời rạc Hệ thống điều khiển rời rạc :Khái niệm chung Bài này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống trở nên phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật phân tích và thiết kế đặc biệt. Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng. Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều khiển động cơ DC, AC,... đến các hệ thống điều khiển phức tạp như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho những ứng dụng khác nhau. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số thường