Khuếch tán rối

120 Ch­¬ng 4. KhuyÕch t¸n rèi 4.1 Tr¹ng th¸i ChuyÓn ®éng Rèi Dßng ch¶y rèi ®­îc ®Æc tr­ng bëi nh÷ng chuyÓn ®éng t¸c ®éng song song lÉn th¼ng gãc víi h­íng chuyÓn ®éng c¬ b¶n, lµm cho mét h¹t riªng lÎ chuyÓn ®éng mét c¸ch kh«ng ®Òu phô thuéc vµo dßng ch¶y trung b×nh khi nã ®­îc mang ®i theo. Do ®ã, nh÷ng m« h×nh nhËn thøc tr­íc ®©y vÒ dßng ch¶y rèi cho r»ng nã ®­îc t¹o ra cho chuyÓn ®éng trung b×nh mµ chång lªn trªn ®ã lµ nh÷ng chuyÓn ®éng ngÉu nhiªn kh«ng ®Òu. Tõ quan ®iÓm cña mét ng­êi quan s¸t chuyÓn ®éng cïng víi dßng ch¶y, chuyÓn ®éng rèi lµ chuyÓn ®éng quay rÊt m¹nh vµ sù cã mÆt cña chuyÓn ®éng quay nh­ vËy ®· dÉn ®Õn kh¸i niÖm r»ng mét tr­êng rèi ®­îc t¹o nªn tõ mét chuçi 'c¸c xo¸y' cã kÝch th­íc vµ c­êng ®é kh¸c nhau. Kh«ng cã ph­¬ng ph¸p ®Þnh l­îng x¸o trén ph¸t sinh bëi chuyÓn ®éng rèi nµo hoµn toµn tháa m·n. VÊn ®Ò c¬ b¶n cã hai mÆt; tr­íc hÕt, chuyÓn ®éng mµ rèi thùc sù ®­îc t¸ch ra tõ dßng ch¶y trung b×nh vµ thø hai, rèi ph¶i cã liªn hÖ víi c¸c thuéc tÝnh chuyÓn ®éng kÕt hîp. Th­êng kh«ng thùc tÕ nÕu ®o ®¹c tr­êng vËn tèc phøc t¹p t¹o ra bëi chuyÓn ®éng rèi xo¸y vµ nång ®é cña chÊt hoµ tan ®­îc sö dông nh­ mét chØ thÞ cña møc ®é rèi hiÖn cã. C¸ch tiÕp cËn nµy cßn ®ßi hái sù hiÓu biÕt chi tiÕt vÒ tr­êng dßng ch¶y trung b×nh, do vËy hiÖu øng cña c¸c qu¸ tr×nh kh«ng ngÉu nhiªn lªn ph©n bè nång ®é, nh­ sù tr­ît dßng ch¶y trung b×nh, cã thÓ ph¶i ®­îc tÝnh ®Õn Trong c¸c cöa s«ng vµ vïng n­íc ven bê, ¶nh h­ëng c¶n cña ®­êng bê t¹o ra nh÷ng biÕn ®æi vËn tèc trung b×nh theo h­íng ngang vµ sù tr­ît nµy ph¸t sinh c¸c biÕn d¹ng ®· nh¾c ®Õn trong Ch­¬ng 1. Tuy nhiªn, chuyÓn ®éng quay liªn quan ®Õn sù tr­ît nµy cuèi cïng chuyÓn thµnh sù quay cña c¸c xo¸y lín, vµ chóng vì thµnh c¸c xo¸y quy m« nhá h¬n hoÆc lµ rèi. Mét tr¹ng th¸i t­¬ng ®­¬ng ®­îc ¸p dông trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng, søc c¶n do ma s¸t ®¸y ph¸t sinh nh÷ng biÕn ®æi vËn tèc theo ®é s©u vµ chuyÓn ®éng quay theo h­íng th¼ng ®øng ph¸t sinh cuèi cïng còng ®ãng gãp cho sù quay cña c¸c xo¸y trong tr­êng rèi. Nh­ vËy sù tr­ît h­íng ngang hoÆc h­íng ®øng trong dßng ch¶y trung b×nh, cã thÓ ph¸t sinh bëi nh÷ng ®Æc ®iÓm vËt lý nh­ mòi ®Êt vµ ®¶o ®· chØ ra trong h×nh 2.16, cuèi cïng trë nªn mét phÇn cña rèi thÊy ®­îc trong m«i tr­êng biÓn. Cã hai c¸ch tiÕp cËn vÊn ®Ò rèi ¶nh h­ëng ®Õn viÖc x¸o trén khuÕch t¸n chÊt hoµ tan ra sao. Ph­¬ng ph¸p ®Çu tiªn lµ tÝnh trung b×nh nh÷ng dao ®éng rèi trong mét chu kú thêi gian vµ liªn hÖ dßng kÕt qu¶ víi nh÷ng thuéc tÝnh trung b×nh cña n­íc. Mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c lµ xÐt nh÷ng thuéc tÝnh thèng kª cña nh÷ng dao ®éng rèi chi tiÕt vµ sö dông chóng ®Ó m« t¶ nh÷ng ®Æc tr­ng pha lo·ng ë d¹ng phæ n¨ng l­îng. Mçi c¸ch tiÕp cËn ®­îc xem xÐt riªng rÏ trong c¸c môc sau. 121 4.2 c¸c thuéc tÝnh trung b×nh cña tr­êng Rèi 4.2.1 Ph©n t¸ch rèi vµ nh÷ng ®iÒu kiÖn trung b×nh HiÖu øng cña rèi lªn sù vËn chuyÓn mét thuéc tÝnh nh­ ®éng l­îng ®· ®­îc m« t¶ trong Ch­¬ng 1. §Æc tÝnh quan träng cña vËn chuyÓn rèi nµy ë chç nã ®¹t ®­îc mµ kh«ng cã bÊt kú sù vËn chuyÓn thùc tÕ nµo cña n­íc. Theo c¸ch t­¬ng tù, kh«ng cã vËn chuyÓn thùc tÕ cña n­íc trong khuyÕch t¸n rèi nh÷ng thuéc tÝnh nh­ khèi l­îng cña chÊt hoµ tan hoÆc cña nhiÖt. Møc ®é vËn chuyÓn cña khèi l­îng, vÝ dô, phô thuéc vµo ®é lín vµ tÇn sè cña nh÷ng nhiÔu ®éng rèi trong vËn tèc vµ nång ®é chø kh«ng ph¶i lµ nh÷ng gi¸ trÞ trung b×nh. Do ®ã, cã thÓ ®¸nh gi¸ sù vËn chuyÓn vÒ l­îng cña vËt chÊt bëi nh÷ng dao ®éng trong mét kho¶ng thêi gian ng¾n b»ng viÖc x¸c ®Þnh mèi t­¬ng quan cña nh÷ng dao ®éng riªng lÎ trong chu kú ®ã. Dù ®Þnh ®Çu tiªn biÓu thÞ qu¸ tr×nh khuyÕch t¸n rèi nµy b»ng nh÷ng sè h¹ng to¸n häc lµ cña Osborne Reynolds (1884). §­îc ¸p dông cho vËn chuyÓn mét chÊt hoµ tan, lý thuyÕt cho r»ng nh÷ng thµnh phÇn tøc thêi cña vËn tèc cã thÓ lÊy theo ba h­íng täa ®é, u, v, vµ w. Nh÷ng thay ®æi cña nh÷ng thµnh phÇn vËn tèc nµy theo thêi gian ®­îc gi¶ thiÕt t¹o ra biÕn ®æi nång ®é c cña chÊt hoµ tan. BiÓu thÞ nh÷ng gi¸ trÞ trung b×nh trong mét kho¶ng thêi gian tuú ý b»ng , , , (xem h×nh 1.3), nh÷ng gi¸ trÞ tøc thêi cña u vµ c cã thÓ biÓu thÞ ë d¹ng u = + u' (4.1) c = + c'. SuÊt vËn chuyÓn khèi l­îng, hoÆc dßng khèi l­îng cña vËt chÊt qua mét mÆt c¾t ngang cã diÖn tÝch A lÊy b»ng Auc. Bëi vËy dßng ®i qua mét diÖn tÝch cña mÆt c¾t ngang ®¬n vÞ b»ng , lÊy trung b×nh trong mét kho¶ng thêi gian tuú ý, b»ng = + u’][ + c’] = > + c’> + > + = + (4.2) = khuyÕch t¸n b×nh l­u v× theo ®Þnh nghÜa c¸c trung b×nh theo thêi gian cña nh÷ng nhiÔu ®éng vËn tèc vµ nång ®é riªng lÎ b»ng kh«ng (tøc lµ = = 0). NÕu thuéc tÝnh ®­îc vËn chuyÓn lµ ®éng l­îng mµ kh«ng ph¶i lµ chÊt hoµ tan, nång ®é tøc thêi trong dÉn xuÊt trªn cã thÓ thay thÕ bëi vËn tèc tøc thêi w', lµ nhiÔu ®éng trong thµnh phÇn th¼ng ®øng cña vËn tèc. LÊy u' lµ thµnh phÇn n»m ngang, dßng b»ng = + . (4.3) Dßng ®éng l­îng ®­îc dÉn xuÊt nh­ vËy lµ sè ®o cña søc c¶n mµ mét líp sö dông trªn mét líp kÒ bªn ®ang chuyÓn ®éng víi vËn tèc kh¸c. Cho  lµ mËt ®é cña chÊt láng, cã thÓ dÉn xuÊt nh÷ng sè h¹ng cã d¹ng cho tÊt c¶ c¸c tÝch sè cã thÓ cã cña c¸c thµnh phÇn vËn tèc. Chóng cã thø nguyªn cña ¸p suÊt (tøc lµ Newton trªn ®¬n vÞ diÖn tÝch) vµ gäi lµ øng suÊt Reynolds, hoÆc ®¬n gi¶n lµ øng suÊt tr­ît. øng dông ®Æc biÖt cña øng suÊt Reynolds x¸c ®Þnh b»ng lµ nã thÓ hiÖn dßng th¼ng ®øng cña ®éng l­îng, 122 cung cÊp phÇn tæn thÊt t¹i ®¸y bëi ma s¸t. Nã liªn quan ®Õn ph©n bè vËn tèc th¼ng ®øng b»ng c¸ch sö dông ph­¬ng tr×nh gradient (1.4) do ®ã z u Nwu zzx     '' . (4.4) V× h­íng z x¸c ®Þnh lµ d­¬ng h­íng xuèng d­íi, /z lµ ©m trong dßng ch¶y kiÓm so¸t chØ bëi gradient mÆt n­íc vµ ma s¸t. Do ®ã dÊu trõ ®­îc ®­a vµo ®Ó b¶o ®¶m r»ng dßng ®éng l­îng ®­îc ®Þnh h­íng theo gradient vËn tèc. Th«ng th­êng gi¶ thiÕt r»ng vËn tèc ë d¹ng /z thÓ hiÖn gi¸ trÞ trung b×nh vµ ta bá ®i nh÷ng dÊu mãc. BiÓu thøc t­¬ng ®­¬ng víi dßng th¼ng ®øng cña khèi l­îng lµ z c KcwQ zz     '' (4.5) trong ®ã Qz lµ vËn chuyÓn rèi cña khèi l­îng theo h­íng z. 4.2.2 Kh¸i niÖm qu·ng ®­êng x¸o trén ViÖc ®¾m con tµu SS Titanic vµo n¨m 1912 kÝch thÝch nghiªn cøu nh÷ng ®iÒu kiÖn thêi tiÕt ë ngoµi kh¬i Grand Banks cña Newfoundland. Nhµ ®éng lùc häc chÊt láng ë Cambridge, Geoffrey Ingram Taylor, tõng lµ mét nhµ khÝ t­îng trong mét cuéc th¸m hiÓm ë khu vùc ®ã vµo n¨m 1913 trªn con tµu s¨n b¾t c¸ voi Scotia, vµ «ng thùc hiÖn quan tr¾c nh÷ng ®é cao mµ kh«ng khÝ Êm bay khái lôc ®Þa ch©u Mü bÞ lµm l¹nh bëi n­íc tõ nh÷ng nói b¨ng tr«i. Taylor sö dông nh÷ng ®¸nh gi¸ dßng th¼ng ®øng cña nhiÖt vµ gradient nhiÖt ®é trung b×nh ®Ó x¸c ®Þnh mét hÖ sè vËn chuyÓn mµ «ng cho lµ liªn quan ®Õn mét qu·ng ®­êng x¸o trén khi sö dông vËn tèc rèi th¼ng ®øng. Kh¸i niÖm qu·ng ®­êng x¸o trén ®­îc ph¸t triÓn vÒ sau bëi Ludwig Prandtl (1934) thµnh lý thuyÕt 'qu·ng ®­êng x¸o trén‘ vµ nã chøng tá cã nhiÒu øng dông h÷u Ých. Kh¸i niÖm nµy t­¬ng tù víi ®­êng ®i trung b×nh tù do trong lý thuyÕt ®éng häc chÊt khÝ, chØ cã ®iÒu qu·ng ®­êng x¸o trén biÕn ®æi theo tr­êng dßng ch¶y. Sö dông kh¸i niÖm qu·ng ®­êng x¸o trén, cã thÓ liªn kÕt nh÷ng quy m« xo¸y víi hÖ sè nhít rèi. §Ó lµm ®iÒu nµy, øng suÊt tr­ît zx liªn hÖ víi gradient vËn tèc bëi biÓu thøc z u z u lwu mzx            2''  (4.6) trong ®ã lm lµ qu·ng ®­êng x¸o trén ®èi víi vËn chuyÓn ®éng l­îng. Tõ ph­¬ng tr×nh (4.4) thÊy hÖ sè nhít rèi b»ng z u l zu wu N mz       2 '' /  (4.7) gi¶ thiÕt  kh«ng ®æi trong thêi gian lÊy trung b×nh. KÕt qu¶ nµy nãi lªn r»ng ®é nhít rèi phô thuéc vµo gradient côc bé cña vËn tèc. Bëi tÝnh t­¬ng tù víi ®­êng ®i tù do trung b×nh, lm thÓ hiÖn kho¶ng c¸ch dÞch chuyÓn bëi mét xo¸y tr­íc khi nã th¶i ®i thuéc tÝnh mµ nã mang trong vïng n­íc l©n cËn. Kh¸i niÖm chøng tá cã gi¸ trÞ ®Æc biÖt gÇn c¸c biªn bëi v× kho¶ng c¸ch lan truyÒn bëi mét xo¸y bÞ h¹n 123 chÕ trong khu vùc ®ã. Sù gi¶m lm khi ®Õn gÇn biªn ®­îc dù ®o¸n b»ng ph­¬ng tr×nh (4.7) t¹o ra sù gi¶m t­¬ng øng cña Nz, vµ cã vÎ lý gi¶i ®­îc mét c¸ch vËt lý bëi v× quy m« cña c¸c xo¸y ph¶i trë nªn nhá h¬n khi kho¶ng c¸ch ®Õn biªn bÞ gi¶m ®i. Tuy nhiªn, lý thuyÕt còng dù ®o¸n r»ng trong nh÷ng khu vùc t¹i ®ã u/z tiÕn ®Õn kh«ng, nh­ cã thÓ xuÊt hiÖn t¹i t©m mét lßng dÉn ®ang ch¶y, Nz còng cã xu h­íng tiÕn ®Õn kh«ng. Nãi c¸ch kh¸c, lm ph¶i trë nªn rÊt lín ®Ó b¶o ®¶m r»ng Nz kh«ng trë thµnh rÊt nhá. T¹i t©m cña lßng dÉn cã dßng ch¶y rèi ph¸t triÓn hoµn toµn, Nz ®­îc dù kiÕn lín mét c¸ch cã lý vµ cã vÎ lµ kh¸i niÖm qu·ng ®­êng x¸o trén kh«ng cho phÐp hiÖu øng cña c¸c xo¸y cã quy m« lín h¬n, vËn chuyÓn ®éng l­îng qua mét khu vùc cã ®é tr­ît yÕu. Ph­¬ng tr×nh t­¬ng øng víi ph­¬ng tr×nh (4.7) ®èi víi vËn chuyÓn khèi l­îng z c l zc cu K cz       2 '' / . (4.8) Dï nh÷ng yÕu ®iÓm cña nã, lý thuyÕt qu·ng ®­êng x¸o trén cña Prandtl ®· ®­îc sö dông víi hiÖu qu¶ lín ®Ó liªn hÖ ®é nhít rèi vµ ®é khuÕch t¸n rèi víi nh÷ng thuéc tÝnh cña dßng ch¶y. Lý thuyÕt ®· chøng tá ­u thÕ ®Æc biÖt trong viÖc m« t¶ hiÖu øng cña vËn chuyÓn rèi víi sù cã mÆt ph©n tÇng, mét tr¹ng th¸i trong ®ã c¸c xo¸y quy m« nhá cã vÎ tréi h¬n. 4.2.3 Ph­¬ng tr×nh c©n b»ng khèi l­îng tæng qu¸t §iÒu kiÖn c©n b»ng khèi l­îng cã tÇm quan träng c¬ b¶n ®èi víi viÖc diÔn gi¶i sù thay ®æi nång ®é trong m«i tr­êng biÓn. Kh¸i niÖm dùa vµo gi¶ thiÕt r»ng khèi l­îng cña mét chÊt kh«ng thay ®æi (tøc lµ nã 'b¶o toµn'), nªn møc ®é mµ mét thÓ tÝch cã ®­îc (hoÆc mÊt ®i) khèi l­îng, phô thuéc vµo sù kh¸c nhau gi÷a møc khèi l­îng chÊt ®i vµo thÓ tÝch vµ møc mµ nã ®i ra. §Ó biÓu thÞ ®iÒu nµy b»ng nh÷ng sè h¹ng to¸n häc, xÐt mét khèi lËp ph­¬ng rÊt nhá cña n­íc. Trong c¸ch tiÕp cËn d­íi ®©y, xÐt sù vËn chuyÓn vµo vµ ra khèi lËp ph­¬ng bëi nh÷ng dßng thËm chÝ nhá nhÊt cã mÆt trong dßng ch¶y. B»ng c¸ch nµy, ®ãng gãp cña chuyÓn ®éng rèi ®èi víi c©n b»ng khèi l­îng ®­îc bao gåm trong biÓu thøc dÉn xuÊt. XÐt mét khèi lËp ph­¬ng n­íc víi nh÷ng c¹nh x, y, z (h×nh 4.1). L­u l­îng thÓ tÝch tøc thêi ®i vµo trong phÇn tö qua mét mÆt cã diÖn tÝch yz b»ng (u +u') yz, trong ®ã u + u' lµ tæng cña nh÷ng thµnh phÇn rèi vµ trung b×nh cña dßng ch¶y theo h­íng x. LÊy nång ®é tøc thêi còng b»ng tæng cña nh÷ng thµnh phÇn rèi vµ trung b×nh, x¸c ®Þnh b»ng c + c', suÊt ®Çu vµo cña khèi l­îng sÏ lµ (u + u’)(c + c')yz. Cã thÓ dÉn ra nh÷ng biÓu thøc t­¬ng ®­¬ng ®èi víi ®Çu vµo vµ ®Çu ra qua nh÷ng mÆt kh¸c, lÊy vi ph©n ®Ó cho phÐp thay ®æi nhá cña vËn tèc vµ nång ®é qua phÇn tö. Tæng cña suÊt vËn chuyÓn khèi l­îng cho tÊt c¶ s¸u mÆt cña khèi lËp ph­¬ng cho ta møc khèi l­îng thùc tÕ nhËn ®­îc trong phÇn tö, cã thÓ viÕt lµ /t(x y z). BiÓu thÞ sù c©n b»ng gi÷a møc t¨ng khèi l­îng vµ møc vËn chuyÓn qua nh÷ng mÆt cña h×nh lËp ph­¬ng ë d¹ng vi ph©n, ta cã ph­¬ng tr×nh c©n b»ng khèi l­îng tæng qu¸t (Proudman, 1953: tr. 88) 0)'()'()'()'(                  cc z ww y vv x uu t . (4.9) 124 H×nh 4.1 VËn chuyÓn h­íng ®øng vµ h­íng däc qua c¸c mÆt cña mét khèi lËp ph­¬ng bëi nh÷ng thµnh phÇn rèi vµ trung b×nh cña vËn tèc ThÊy r»ng 0''''                                c z w y v x uc z w y v x u t (4.10) trong ®ã u, v, w, c lµ nh÷ng gi¸ trÞ trung b×nh trong chu kú lÊy trung b×nh vµ nh÷ng sè h¹ng víi nh÷ng dÊu nh¸y thÓ hiÖn ®é lÖch tøc thêi tõ nh÷ng gi¸ trÞ ®ã. XÐt tÝnh liªn tôc thÓ tÝch 0' '''               c z w y v x u . (4.11) Céng ph­¬ng tr×nh nµy vµo ph­¬ng tr×nh (4.10), ph­¬ng tr×nh c©n b»ng khèi l­îng trë thµnh 0)''()''()''(                                cw z cv y cu x c z w y v x u t . (4.12) Bèn sè h¹ng ®Çu tiªn cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau c z w y v x u tDt Dc                   (4.13) vµ b»ng viÖc thay nh÷ng dßng khèi l­îng do rèi b»ng c¸c sè h¹ng gradient, ph­¬ng tr×nh (4.12) cã thÓ viÕt                      )()()( z c K zy c K yx c K xDt Dc zyx . (4.14) Nh÷ng hÖ sè khuyÕch t¸n trong ph­¬ng tr×nh (4.14) biÕn ®æi theo nh÷ng h­íng thµnh phÇn. Víi nh÷ng gi¸ trÞ K kh«ng ®æi theo thêi gian vµ ®éc lËp víi täa ®é kh«ng gian, ph­¬ng tr×nh (4.14) ®¬n gi¶n thµnh ph­¬ng tr×nh Fick 125                2 2 2 2 2 2 z c K y c K x c K Dt Dc zyx . (4.15) NhiÒu kh¶o s¸t nh÷ng qu¸ tr×nh pha lo·ng trong biÓn tËp trung vµo c¸c c¸ch gi¶i kh¸c nhau ®èi víi ph­¬ng tr×nh (4.14), trong ®ã c thÓ hiÖn nång ®é cña bÊt kú chÊt hoµ tan nµo, b»ng viÖc ®¬n gi¶n hãa cô thÓ c¸c gi¶ thiÕt hoÆc b»ng viÖc ¸p dông ph©n tÝch sè. VÝ dô, cã thÓ dÉn ra nh÷ng c¸ch gi¶i ®èi víi ph­¬ng tr×nh (4.14) ®Ó m« t¶ sù thay ®æi nång ®é theo kho¶ng c¸ch tõ t©m cña mét ®¸m m©y ®ang d·n réng hoÆc tõ trôc cña mét vÖt loang trong m«i tr­êng kh«ng cã biªn (Sutton, 1953). Mét ®Æc tÝnh tæng qu¸t cña nh÷ng ph©n bè dù ®o¸n lµ chóng cã d¹ng Gauss vµ hÖ sè khuyÕch t¸n cã thÓ x¸c ®Þnh b»ng dt d K 2 2 1   (4.16) trong ®ã 2 lµ ®é biÕn thiªn cña ph©n bè. ViÖc tÝch ph©n ph­¬ng tr×nh (4.16) trong mét kho¶ng thêi gian t trong ®ã K lµ h»ng sè hiÖu qu¶ dÉn ®Õn biÓu thøc h÷u Ých 2 = 2Kt. (4.17) Nh÷ng gi¸ trÞ cña K b¾t nguån tõ nh÷ng quan tr¾c trùc tiÕp vÒ ®é lÖch chuÈn cña nh÷ng ®èm loang vµ vÖt loang chÊt chØ thÞ trong biÓn (Talbot vµ Talbot, 1974; Bowden vµ nnk., 1974), thÓ hiÖn tÝnh biÕn thiªn ®¸ng kÓ theo thêi gian vµ kh«ng gian. Nh÷ng lý do ®èi víi nh÷ng biÕn ®æi nh­ vËy, trong mét chõng mùc nh­ chóng ta hiÓu hiÖn nay, sÏ trë nªn hiÓn nhiªn h¬n víi th¶o luËn trong môc 4.3. 4.3 c¸c thuéc tÝnh Thèng kª cña tr­êng Rèi 4.3.1 Nh÷ng c¸ch tiÕp cËn Euler vµ Lagrange Trong môc 2.4.6 thÊy r»ng viÖc m« t¶ vËn tèc t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh kh«ng xÐt ®Õn nh÷ng gia tèc dßng ch¶y theo kh«ng gian. Tuy nhiªn, gia tèc toµn bé cña dßng ch¶y t¹o ra tõ lùc t¸c ®éng thùc tÕ l¹i phô thuéc vµo sù kÕt hîp cña gia tèc t¹i mét ®iÓm (Euler) cïng víi gia tèc kh«ng gian (Lagrange). Sù phô thuéc vµo vÞ trÝ cña ng­êi quan s¸t nµy còng quan träng trong viÖc m« t¶ nh÷ng qu¸ tr×nh ph¸t t¸n rèi. Cã thÓ thÊy hiÖu øng rèi khÝ quyÓn theo nh÷ng quan ®iÓm Euler vµ Lagrange nh­ khi khãi ph¸t ra tõ mét èng khãi. T¹i mét kho¶ng c¸ch cè ®Þnh theo chiÒu giã, nång ®é ®­îc coi lµ phô thuéc vµo møc ®é lan réng cña vÖt loang cho nªn, vÝ dô khi nh÷ng ®iÒu kiÖn khÝ quyÓn lµ æn ®Þnh th× vÖt loang hÑp l¹i vµ nång ®é sÏ cao. Tr¹ng th¸i nµy gäi lµ Euler v× nh÷ng quan tr¾c tËp trung vµo nh÷ng phÇn tö thÓ tÝch cè ®Þnh trong kh«ng gian. Ng­îc l¹i, ng­êi quan s¸t cã thÓ ®i theo mét phÇn riªng biÖt cña vÖt loang khi nã ®­îc mang theo chiÒu giã vµ chøng kiÕn sù ph¸ vì cña nã thµnh nh÷ng ®¸m m©y riªng biÖt, hoÆc nh÷ng luång giã, lµm t¨ng kÝch th­íc vµ lµm gi¶m nång ®é. ViÖc m« t¶ sù dÞch chuyÓn cña nh÷ng phÇn tö riªng lÎ cña mét ®¸m khãi ®Æc tr­ng gÇn träng t©m cña nã ®­îc coi lµ sù ph¸t t¸n Lagrange. Nh÷ng lý thuyÕt thèng kª x¸o trén rèi ®· ®­îc thiÕt lËp cho c¶ hai tr¹ng th¸i Euler vµ Lagrange. Nh÷ng lý thuyÕt nµy dùa trªn mét sè gi¶ thiÕt lý t­ëng vÒ tr­êng rèi 126 ®èi víi sù ph©n bè vµ quy m« c¸c xo¸y cïng sù biÕn thiªn theo thêi gian cña nã. PhÇn lín nh÷ng ®o ®¹c rèi ®­îc thùc hiÖn t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh, nh­ng ®iÒu ®ã kh«ng ®­a ra th«ng tin ®ßi hái vÒ kÝch th­íc rèi (Ibbetson, 1981). C¸c xo¸y riªng biÖt t¸c ®éng t­¬ng hç vµ thay ®æi theo thêi gian, vµ ph©n bè kh«ng gian cña c¸c xo¸y nµy kh«ng x¸c ®Þnh ®­îc tõ b¶n ghi vËn tèc theo thêi gian. Tuy nhiªn, nÕu gi¶ thiÕt r»ng tr­êng rèi chØ thay ®æi chËm theo thêi gian, cã thÓ ®­a ra mét quan hÖ xÊp xØ gi÷a nh÷ng m« t¶ thêi gian vµ kh«ng gian. G.I. Taylor gi¶ thiÕt r»ng rèi cã thÓ xÐt lµ '®«ng cøng' theo thêi gian, ®Ó bøc tranh xo¸y dÞch chuyÓn bëi dßng ch¶y trung b×nh qua mét ®iÓm ®o ®¹c. H×nh 4.2 minh häa kh¸i niÖm nµy cho mét chuçi xo¸y cã kÝch th­íc kh¸c nhau. Nh÷ng biÕn ®æi theo thêi gian cña mét thµnh phÇn vËn tèc t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh ph¶i ®ång nhÊt víi c¸c biÕn ®æi kh«ng gian thÊy t¹i mét thêi ®iÓm ®· cho, mÆc dï theo h­íng ng­îc l¹i. NÕu tÇn sè nhiÔu ®éng ®o ®­îc t¹i mét vÞ trÝ cè ®Þnh lµ f, th× quy m« xo¸y lc cã thÓ liªn quan víi vËn tèc trung b×nh cña dßng ch¶y u, cho ta f= u/lc. Trong mét dßng ch¶y rèi, trong ®ã tÊt c¶ c¸c xo¸y ®Òu t­¬ng ®èi nhá, mèi quan hÖ nµy lµ mét xÊp xØ hîp lý. Tuy nhiªn, c¸c xo¸y lín cã xu h­íng dÞch chuyÓn víi vËn tèc kh¸c víi vËn tèc trung b×nh côc bé, vµ nÕu cã c¸c xo¸y lín hiÖn h÷u, m« h×nh rèi '®«ng cøng' Ýt tháa m·n. H×nh 4.2 HiÖu øng dÞch chuyÓn cña 'rèi ®«ng cøng' qua mét ®iÓm ®o lªn sù biÕn ®æi râ rÖt cña vËn tèc rèi w'(t) theo thêi gian. (Phiªn b¶n, víi sù cho phÐp cña Ibbetson,1981) 4.3.2 KhuyÕch t¸n tõ mét nguån liªn tôc Nh­ ®· gi¶i thÝch trong môc 4.1, mét tiÕp cËn thay thÕ cho lý thuyÕt khuyÕch t¸n lµ tu©n theo lÞch sö thêi gian cña mét h¹t riªng lÎ. C¸ch tiÕp cËn nµy kh¸c víi kü thuËt lÊy trung b×nh rèi ë chç nh÷ng thuéc tÝnh thèng kª cña chuyÓn ®éng ®­îc tÝnh ®Õn mét c¸ch t­êng minh, thay v× buéc m«n thèng kª ph¶i x¸c ®Þnh nh÷ng thuéc tÝnh cña chuyÓn ®éng trung b×nh. ViÖc lÊy trung b×nh liªn hÖ sù vËn chuyÓn khuÕch t¸n víi nh÷ng gi¸ trÞ trung b×nh, trong khi c¸ch tiÕp cËn thèng kª t×m tßi ®Ó thiÕt lËp tr­êng ph¸t t¸n, bao gåm dßng ch¶y trung b×nh, cã thÓ b¾t nguån tõ nh÷ng nhiÔu ®éng ®Æc tr­ng cho rèi ra sao. 127 Nh÷ng nÒn t¶ng cña lý thuyÕt thèng kª ®­îc thiÕt lËp bëi Geoffrey Taylor (1921). Lý thuyÕt cña Taylor xem xÐt mét tr­êng rèi ®ång nhÊt ë tr¹ng th¸i æn ®Þnh, trong ®ã mét h¹t thay ®æi vËn tèc liªn tôc theo mét c¸ch ngÉu nhiªn. T¹i mét thêi gian ®Æc tr­ng h¹t cã mét vËn tèc nhÊt ®Þnh vµ sau mét kho¶ng rÊt ng¾n vËn tèc cña h¹t ph¶i t­¬ng tù. Tuy nhiªn, víi nh÷ng kho¶ng lín h¬n nh÷ng kh¸c biÖt vÒ vËn tèc trë nªn râ rµng h¬n, do vËy ngoµi mét kho¶ng thêi gian nhÊt ®Þnh vËn tèc ph¶i trë nªn ®éc lËp víi gi¸ trÞ ban ®Çu cña nã. Nh­ vËy ®é t­¬ng quan cña vËn tèc t¹i nh÷ng kho¶ng thêi gian cµng t¨ng sÏ gi¶m ®Õn kh«ng. Taylor sö dông hµm t­¬ng quan nµy, bëi do sù phô thuéc vµo thêi gian chø kh«ng ph¶i vµo kh«ng gian cña nã, lµ Lagrange trong thùc tÕ, ®Ó dÉn ra mét biÓu thøc cho sù tr¶i réng mét sè lín c¸c h¹t khi chóng dÞch chuyÓn mét c¸ch thµnh c«ng qua mét ®iÓm cè ®Þnh. NÕu X lµ ®é lÖch cña mét h¹t riªng lÎ do vËn tèc xo¸y u' sau thêi gian t, møc ®é thay ®æi cña biÕn thiªn toµn bé X2, do sù th¶i liªn tiÕp mét sè lín c¸c h¹t (h×nh 4.3) b»ng   t dtutuXu dt Xd X dt Xd 0 ' 2 )(')('222  (4.18) trong ®ã  lµ ®é gia t¨ng nhá theo thêi gian. Sù thay ®æi møc ®é biÕn thiªn cã tÇm quan träng lín trong thùc tiÔn bëi v× nã cã thÓ liªn kÕt trùc tiÕp víi hÖ sè khuyÕch t¸n ®èi víi møc ®é lan réng (xem ph­¬ng tr×nh (4.24) d­íi ®©y). Mét khi nh÷ng thuéc tÝnh trung b×nh ®­îc gi¶ thiÕt ®ång nhÊt trong kh«ng gian vµ æn ®Þnh theo thêi gian, tÝch sè vËn tèc cã thÓ thay thÕ bëi )('/)(')(' 2  Rututu  (4.19) trong ®ã R() lµ hÖ sè t­¬ng quan Lagrange. Víi R() vµ u'2 ®Òu kh«ng phô thuéc vµo gèc thêi gian, ®é biÕn thiªn cã thÓ biÓu thÞ nh­ sau   T t dtdRuX 0 0 22 )('2  (4.20) trong ®ã X ®é lÖch cña h¹t sau thêi gian T. BiÓu thøc nµy cho thÊy ®é lÖch qu©n ph­¬ng cña mét h¹t ®¬n lÎ trong nh÷ng kho¶ng thêi gian liªn tôc b»ng nhau phô thuéc vµo vËn tèc rèi qu©n ph­¬ng cña nã, vµ hÖ sè t­¬ng quan Lagrange. R() m« t¶ mèi liªn kÕt gi÷a vËn tèc cña mét h¹t vµo thêi gian t vµ vËn tèc cña nã t¹i thêi gian t +  vÒ sau. Nh÷ng xem xÐt ®¬n gi¶n dÉn ®Õn hai hÖ qña cã thÓ cã ®èi víi nh÷ng lêi gi¶i ph­¬ng tr×nh (4.20). §èi víi thêi gian khuyÕch t¸n nhá T, nh÷ng vËn tèc h¹t t¹i t vµ t +  cã vÎ t­¬ng quan chÆt chÏ, do vËy R() = 1 khi  =0. ThÊy r»ng ®èi víi T nhá 222 ' TuX  . (4.21) Víi nh÷ng thêi gian khuyÕch t¸n lín, cã vÎ Ýt khi cã t­¬ng quan gi÷a vËn tèc h¹t t¹i nh÷ng thêi ®iÓm t vµ t +  bëi v× c¸c xo¸y kh¸c nhau ph¶i ®Õn cuéc ch¬i vµ b¾t h¹t chuyÓn ®éng kh¸c nhau ë hai thêi gian. Khi thêi gian  t¨ng lªn, sÏ ®¹t ®Õn mét ®iÓm nã v­ît tr«Þ thêi gian t1; t¹i t1 gi¶ thiÕt r»ng kh«ng cßn t­¬ng quan gi÷a vËn tèc cña h¹t t¹i t vµ t +  nh­ vËy lµ R() = 0. Nh­ vËy ®èi víi T lín 128 TutTudRX L t 22 0 2 '2'))((2 1    (4.22) trong ®ã tL lµ quy m« thêi gian Lagrange cña rèi, b»ng    0 )(  dRtL . (4.23) H×nh 4.3 Sù dÞch chuyÓn cña mét h¹t t­¬ng ®èi so víi täa ®é cè ®Þnh trong tr­êng rèi ®ång nhÊt CÇn thÊy r»ng ®èi víi mét nguån ®iÓm liªn tôc, tÊt c¶ c¸c tÇn sè dao ®éng cã hiÖu qu¶ tõ thêi ®iÓm th¶i. Nh÷ng dao ®éng chËm h¬n næi tréi sím khi lan réng khuÕch t¸n vµ duy tr× gi¸ trÞ R() lín cho ®Õn khi  trë nªn ®ñ dµi ®Ó nh÷ng mèi t­¬ng quan gi¶m ®i. Nh­ vËy khuyÕch t¸n phô thuéc vµo h×nh d¹ng cña ®­êng cong tù t­¬ng quan R(), ®Õn l­ît nã phô thuéc vµo cÊu tróc cña rèi. NÕu dßng ch¶y chØ chøa c¸c xo¸y nhá vµ chóng dÞch chuyÓn qua ng­êi quan s¸t nh­ ®­îc chØ ra trong h×nh 4.2, th× R() sÏ gi¶m nhanh h¬n nÕu dßng ch¶y chØ chøa c¸c xo¸y lín. Chøng tá r»ng R() cuèi cïng dÇn gi¶m ®Õn kh«ng víi nh÷ng gi¸ trÞ lín cña , quy m« thêi gian Lagrange tL lµ sè ®o cña chu kú liªn quan ®Õn rèi lín nhÊt cã mÆt trong dßng ch¶y. NÕu m« h×nh rèi ®«ng cøng cña Taylor cã hiÖu lùc ®èi víi tr­êng rèi ®ang nghiªn cøu, th× kÝch th­íc c¸c xo¸y lín nhÊt lc = utL. §èi víi ph©n bè x¸c suÊt chuÈn cña ®é dÞch chuyÓn h¹t, hÖ sè x¸o trén Kx theo h­íng x b»ng dt dX K x 2 2 1  . (4.24) 129 Víi thêi gian lín, tõ nh÷ng ph­¬ng tr×nh (4.22), (4.23) vµ (4.24) thÊy r»ng  1 0 2 )(' t x dRuK  (4.25) vµ ®èi víi T lín TKX x2 2  . (4.26) Trong dßng ch¶y kh«ng ®æi, T = x / u vµ ph­¬ng tr×nh cuèi cïng nµy ph¸t biÓu mét c¸ch thµnh c«ng r»ng sù lan réng mét vÖt loang, nh­ thÓ hiÖn bëi nh÷ng ®é lÖch chuÈn th¼ng ®øng Z vµ ngang Y t­¬ng øng, cuèi cïng trë nªn tû lÖ víi x1/2, cã d¹ng parab«n. T¹i nh÷ng thêi gian khuyÕch t¸n lín, tõ nh÷ng ph­¬ng tr×nh (4.23) vµ (4.25) thÊy r»ng cLx ul u u tuK 2 2 2 ''  . (4.27) BiÓu thøc nµy cã tÇm quan träng ®¸ng kÓ v× nã m« t¶ sù khuyÕch t¸n liªn quan ®Õn tû lÖ cña c­êng ®é rèi víi n¨ng l­îng cña dßng ch¶y trung b×nh ra sao. VÝ dô Nh÷ng ®o ®¹c vÒ rèi trong n­íc ven bê ngoµi kh¬i hßn ®¶o Anglesey trong biÓn Ai len cho ta tû sè 0169,0/' 22 uu (Bowden, 1962 b). VËn tèc dßng ch¶y trung b×nh kho¶ng 0,4 ms -1 ®Ó gi¶ thiÕt kÝch th­íc xo¸y cùc ®¹i lc = 15 m, ph­¬ng tr×nh (4.27) nãi lªn r»ng Kx= 0,10 m 2s-1. Mét khi tr­êng rèi ®­îc xem nh­ ®¼ng h­íng theo ph­¬ng ngang, th× cã thÓ gi¶ thiÕt Kx = Ky. Nh÷ng ®o ®¹c còng ®­a ra gi¸ trÞ trung b×nh 0044,0/' 22 uw , do vËy gi¶ thiÕt c¸c xo¸y th¼ng ®øng lín nhÊt ph¶i bÞ h¹n chÕ bëi ®é s©u, lc = 15 m, nã ®­îc lÊy theo mét biÓu thøc t­¬ng ®­¬ng víi ph­¬ng tr×nh (4.27) trong ®ã Kz = 0,026 m 2s-1. 4.3.3 KhuyÕch t¸n ®èm loang rêi r¹c Cã thÓ nhËn thÊy sù kh¸c nhau gi÷a nh÷ng tr¹ng th¸i trong ®ã vËt chÊt ®ang khuÕch t¸n tõ mét nguån liªn tôc vµ trong ®ã vËt chÊt ®ang lan réng nh­ mét ®èm loang rêi r¹c. VÝ dô tr­íc cã thÓ biÓu thÞ b»ng sù th¶i liªn tôc c¸c h¹t tõ mét nguån cè ®Þnh, trong khi vÝ dô sau ph¶i dùa vµo mét m« h×nh kh¸i niÖm kh¸c, nh­ sù lan réng cña mét nhãm h¹t. §èi víi mét sè lín h¹t, tr¹ng th¸i võa nãi cã thÓ xem nh­ thÓ hiÖn sù ph¸t t¸n mét ®èm loang riªng biÖt cña chÊt hoµ tan quanh träng t©m cña nã. Richardson (1926) kh¶o s¸t vÊn ®Ò nµy b»ng viÖc xem xÐt sù t¸ch ra cña mét cÆp h¹t trong mét côm. Mét ®Æc tÝnh tiªu biÓu cña c¸ch tiÕp cËn nµy ®Ó ®¸nh gi¸ dßng vËt chÊt lµ sù phô thuéc vµo kho¶ng lÊy trung b×nh ®· chän. Richardson b¾t ®Çu luËn ®iÓm cña «ng b»ng viÖc ®Ò xuÊt r»ng hoµn toµn kh«ng thÓ ph©n biÖt gi÷a nh÷ng biÕn ®æi vËn tèc cÊu thµnh dßng ch¶y trung b×nh vµ nh÷ng dßng ch¶y thuÇn tóy rèi. NÕu kho¶ng lÊy trung b×nh rÊt ng¾n, th× gi¸ trÞ trung b×nh dÉn xuÊt cã thÓ kh«ng ®Æc tr­ng cho dßng ch¶y. MÆt kh¸c, lÊy trung b×nh qua mét chu kú dµi cã thÓ t¹o ra nh÷ng thay ®æi ®Æc tr­ng cho sù thay ®æi b×nh th­êng cña dßng ch¶y trung b×nh, bao gåm trong nhiÔu ®éng rèi. 130 VÝ dô, nh÷ng sè ®o chuyÓn ®éng rèi trong m«i tr­êng biÓn th­êng ®­îc tÝnh trung b×nh trong kho¶ng thêi gian 10 phót ®Ó tèi gi¶n ®ãng gãp cho chuyÓn ®éng rèi tõ nh÷ng thay ®æi vËn tèc dßng ch¶y triÒu. Víi chu kú lÊy trung b×nh nh­ vËy, dao ®éng nguyªn lý bëi thñy triÒu ph¶i ®­îc ph©n biÖt râ rµng. ViÖc lÊy trung b×nh trong c¶ chu kú 25 giê lo¹i trõ hÇu hÕt chuyÓn ®éng thñy triÒu nh­ng vÉn ®Ó l¹i nh÷ng thµnh phÇn cña dßng ch¶y xuÊt hiÖn tõ nh÷ng sù kiÖn dµi h¹n, nh­ nh÷ng thay ®æi tr­êng ¸p suÊt kh«ng khÝ. T¹i ®Çu bªn kia, viÖc lÊy trung b×nh dßng ch¶y qua chu kú 1 gi©y ph¶i bao gåm nh÷ng nhiÔu ®éng sãng mÆt trong dßng ch¶y trung b×nh nh­ng vÉn lo¹i trõ mét vµi chuyÓn ®éng rèi nhanh h¬n.