Luyện thi đại học - Môn Toán

1 £23 Tích phaân [email protected] Luyeän thi Ñaïi hoïc Tích phaân Ñeà thi 1999-2009 7 thaùng 2 2010 2 £1 Tích phaân 1999-2008 I.Baát ñaúng thöùc tích phaân 1.Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc sau : 1)  2 1 2 1 2 lnxdxdx(lnx) 2) 3 1 x cotgx 12 3 3 4   π π 3) 4x-1 dx 2 1 2 1 0 2000 π  4) 26 1dxx1 x 226 1 1 0 3 10 25 3    5) 3 32 1cosxxcos dx 3 3 0 2 ππ π     6)   108dxx117x254 117   3.Giaûi baát phöông trình :     x e lnx2 lnx 43 t dt t2 dt Phöông phaùp ñoåi bieán soá Tích phaân cuûa caùc haøm phaân thöùc 1999-2000 1.Tính tích phaân : a) dxx1 x11 2 1 3 2  b)    3 1 24 2 dx1xx 1x c)   1 0 6 4 dx1x 1x d) 2)3x(x dx1 0 22  e)   1 0 2 23xx dx f) 1)(x xdx1 0 3  g) dx1x 1x1 0 6 2  h)   4 1 2 1)(xx dx i) dx1xx 26x2 0 2  £22 3.Tính theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ñöôïc taïo ra khi cho hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = ex, y = 1/e, y = e vaø truïc tung quay xung quanh truïc Oy. Ñeà thi Tuù taøi naêm 2008 Kyø I Tính tích phaân 1.Khoâng phaân ban  1 0 )xdxxe(1 2.Phaân ban Ban A  1 1- dx4)3 x(12x Ban CB  2 π 0 cosxdx1)(2x 3.Boå tuùc 2 π 0 sinxdxcosx Ñeà thi Tuù taøi naêm 2008 Kyø II Tính tích phaân 1.Khoâng phaân ban  1 0 dx13x 2.Phaân ban Ban A  1 0 dxxe1)(4x Ban CB  2 1 1)dx4x2(6x 3.Boå tuùc  1 0 1)dx2x2(3x 3 £21 Töø ñoù tìm CÑ Kinh teá – Coâng ngheä tp.HCM naêm 2007 4. Haõy chöùng minh 54dxx2cos4 1 57 ππ 4 π 6 π     Dieän tích hình phaúng Tính dieän tích cuûa hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : 1. 3xy,34x2xy  . 2. 24 2xy4 2x4y  , . 3. )xxe(1y1)x,(ey  Ñeà thi ÑH-CÑ khoái A naêm 2007 4. x + y = 0, x2 2x + y = 0 CÑ KTKT Coâng nghieäp II naêm 2007 5. y = 7  2x2, y = x2 + 4. CÑ KT Cao Thaéng naêm 2007 Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôùi parabol (P) : y = – x2 + 4x vaø ñöôøng thaúng d : y = x. Ñeà thi CÑ khoái A, B, D naêm 2008 Theå tích cuûa caùc khoái troøn xoay 1.Cho hình phaúng H giôùi haïn boûi caùc ñöôøng y = xlnx, y = 0, x = e. Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay taïo thaønh khi quay hình H quanh truïc Ox. Ñeà thi ÑH-CÑ khoái B naêm 2007 2.Cho hình phaúng H giôùi haïn boûi caùc ñöôøng y = ex , y = e x + 2 x = 0, x = 2. Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay taïo thaønh khi quay hình H quanh truïc Ox. £2 2. Chöùng minh raèng :   cotga 1/e 2 tga 1/e 2 0)(tga1)xx(1 dx x1 xdx 3.Tính tích phaân : dxa1)x(ax 2 1 2  trong ñoù a laø moät soá cho tröôùc . 4..Tính : dx1)(x xlim 1 0 22n 13n n     Tính caùc tích phaân : a) dxx1 arctgxxx1 0 2 2  b)  5 4 20 dx4)-x(x 2000-2001 Tính caùc tích phaân : a. dx92xx 110x2xx2)dx92xx 103xx1) 1 0 2 231 0 2 2     b.    2 1 2 21 0 2 dx127xx x2)dx65xx 114x1)   1 0 24 34xx dx3)   2 0 2 3 dx12xx 3x4)   1 0 24 dx1xx x5)   1 0 3 dxx1 36) 2001-2002 1.Tìm hoï nguyeân haøm :    dx1)3x1)(x5x(x 1x 22 2 4 £3 2    2 51 1 dx12x4x 12x 3.  11 12xx dxx 24 4.  11 22 )x(1 dx 5.   2 1 1)4x(x dx 6.    2 1 dx1)x(x 1x2x 7.   b 0 dx2)2x(a 2xa (a,b laø caùc tham soá döông cho tröôùc) 2002-2008 1. 1 0 31)(x xdx  2. 0 2x1 xdx  1 3.   1 0 12x dx3x 4. 0 25x22x dx  1 5. 1 3xx dx  3 6. dx x2x 22x23x3x4x2 1    CÑ GTVT III naêm 2007 7. dx 12x 1x1 0   CÑ Coâng Nghieäp Thöïc phaåm Tp.HCM naêm 2007 8. 0 1- 22x2x dx  9. dx1x2x 12x 1 0    10. 0 1- 42x2x dx  Ñeà thi ÑH Saøi goøn khoái A naêm 2007 £20    T0Taa f(x)dxf(x)dx Duøng tính chaát chaün leû cuûa haøm soá 1999 − 2000 Tính tích phaân :     1 1 2 4 dx1x sinxxI 2000 − 2001 1.Chöùng minh raèng : 0nx)dx-sin(sinxI 2π 0   vôùi moïi n nguy eân 2.Tính tíc h phaân : 1) dx xsin-4 cosxx2 π 2 π 2   2) )dxxexsin(eI 2x 1 1- x2   Caùc tích phaân ñôn giaøn 2002-2008 1.Cho haøm soá xbxe 31)(x a f(x)    TÌm a vaø b b ieát raèng f’ (0) =  22 vaø 5dxf(x) 1 0  . 2.Tính tíc h phaân   2 0 dxx2xI 3. Tính tíc h phaân I(x) =   x 1 dt 1)t(t 1 vôùi x > 0. 5£19 19 19C21 118 19C20 1...219C4 11 19C3 10 19C2 1S  2.a )Tính tíc h phaân : dx)x(1xI 1 0 n32 n   b )Chöùng minh raèng 1)3(n 1-2C 33n 1...C 12 1C 9 1C 6 1C 3 1 1nn n 3 n 2 n 1 n 0 n   Caùc daïng toaùn khaùc Caùc tích phaân ñôn giaøn 2000 − 2001 1.Tính c aùc tíc h phaân : dx e )e(12)dx4-2J1) 1 0 3 2x3 0 x   2.Tính tíc h phaân : (x)]dxgmax[f(x), 2 0  trong ñoù : f(x) = x2 vaø g (x) = 3x 2 . 3.Cho f(x) = Asin2x + B . Tính A, B ñeå .3f(x)dx,4(0)f 2π 0 2   2001 − 2002 1.Tính tíc h phaân : dx 4 0 m-xx tuy ø theo m. 2.Tính tíc h phaân : 2 1 x dx21)(2x  . Duøng tính chaát tuaàn hoaøn cuûa haøm soá Chöùng minh raèng neáu f(x) laø haøm lieân tuïc vôùi moïi g iaù trò c uûa x vaø tuaàn hoaøn vôùi c hu ky ø T thì : £4 11. dx 42x 1x4x 2 0    Tích phaân cuûa caùc haøm caên thöùc 1999-2000 Tính tíc h phaân : a .   3 7 0 3 dx 13x 1x b .   4 7 2 9xx dx c . dx 23x 1x 2 0 3  d .   1 0 2 2 1x x)dx(x e. 1x1)(2x dx 3 1 0 22  f. dx1x 2xx 3 0 2 35   g.   1 0 1x xdx 2000-2001 Tính c aùc tíc h phaân : a . dxx2xx1) 4 0 23   3 0 23 dxx2xx2) b. dxxax1) a 0 222  (a laø haèng soá döông ) dx)x(12) 1 0 32  c . 1xx dx1) 2    2 1 2x1x dx2) 2001-2002 1. dx3x15x 1 0  2.  10 23 dxx1.x 3.   10 2 15x dx : 6£5 2002-2008 1.  9 1 dx3 x1x 2.  1 0 dx2x13x . 3.  1 0 .dx12xx 4. dx3x22x  5.  1 0 .dxx1x 6.  3 0 dx5.x12x 7. dx 1x1 x 2 1   8.   10 5 1x2x dx 9.   32 5 42xx dx 10.   7 0 dx 3 1x 2x 11. dx 15x 4x 2 0   12. dx3x1x3 3x 3 1-    13. dx 12x 32x5x 3 0    14.   3 7 0 dx 3 13x 1x 15. dx 12x xdx 1 0   CÑ Nguy eãn taát Thaønh naêm 2007 16. dx 5x 1xx 2 1    17.   1 5 3x11 dx 18.   6 2 14x12x dx Tích phaân cuûa caùc haøm muõ 1999-2000 a )   ln2 0 x 1e dx b) 1 1-  dx21 x x 4 £18 2.Cho tíc h phaân :  2 π 0 n n xdxcosI vôùi n laø soá nguy eân döông . 1) Tính I3 vaø I4 . 2) Thieát laäp heä thöùc g iöõa In vaø In-2 vôùi n > 2 . Töø ñoù tính I11 vaø I12 . 3.Cho   1 0 2x 2nx n dx e1 eI vôùi n = 0,1,2,3,… 1) Tính Io . 2) Tính In + In+1 . Coâng thöùc Newton 2000 − 2001 1.Tính tíc h phaân : )*Nn(dx)x-x(1I 1 0 n2  Töø ñoù c höùng minh raèng : 1)2((n 1C 1)2(n 1)(...C 8 1C 6 1C 4 1C 2 1 n n n 3 n 2 n 1 n 0 n   2.Tính tíc h phaân : )*Nn(dxx)(1I 1 0 n  Töø ñoù c höùng minh raèng : 1n 1-2C 1n 1...C 3 1C 2 11 1n n n 2 n 1 n   3.Cho n laø moät soá nguy eân döông . a )Tính tíc h phaân : dxx)(1I 1 0 n  b )Tính toång : nn 2 n 1 n 0 n C1n 1...C 3 1C 2 1CS  1.Tính tíc h phaân : dxx)-x(1I 1 0 19 Ruùt goïn toång : 7£17 4.Chöùng minh raèng vôùi moïi n ngy eân döông ta c où : 0dxe1)-(2x 2x-x 1 0 12n   2000-2001 4.a )Chöùng minh raèng : 1)!n(m n!!m dxx)-(1xI 1 0 nm nm,   vôùi moïi m,n = 0,1,2,3,… ( Ky ù hieäu m ! = 1.2.3…m vaø quy öôùc 0 ! = 1 ) . b )Giaû söû raèng m + n = 10 . Hoûi vôùi m,n naøo thì Im,n ña ït g iaù trò lôùn nhaát , beù nhaát ? Ta ïi sao ? 5.Tính tíc h phaân : )Nn(dx)x-(1I 1 0 n2 n   a )Tìm heä thöùc g iöõa In vaø In1 ( vôùi n  1 ) . b )Tính In theo n . 6.Tính tíc h p ha ân : .)0,1,2,3,..n(dx)x-x(1J,dx)x-(1xI 1 0 1 0 n2 n n22 n    1)Tính Jn vaø c höùng minh baát ñaúng thöùc : 1)2(n 1In  vôùi moïi n = 0,1,2, … 2)Tính In+1 theo In vaø tìm : n 1n n I I lim  7.Tính tíc h phaân : 1,2,3,...)n( x1)x(1 dx 1 0 n nn   2001-2002 1.Cho tíc h phaân :   π0m dx2cos2x3 sin2mxI (m laø tham soá ) Chöùng minh raèng : Im + Im-2 = 3Im-1 vôùi moïi m  2 . £6 2000-2001 1)   ln2 0 dx 1xe 2xe 2)   1 0 dx 32xe 1 2001-2002 1.  44 dx1x6 x6cosx6sin π π 2.   1 0 x21 dx 2002-2009 1.   ln5 ln3 3x2exe dx 2.   ln2 0 dx 2xe 2xe 3.  8ln ln3 dx2x.e1xe 4.   ln5 ln2 1xe dx2xe 5.   ln3 0 31)x(e dxxe Tích phaân cuûa caùc haøm logarit 1999-2000 a ) dx x x)ln1lnxe 1 3 2  b )  e 1 dx 2x lnx2 c ) e 1 dx x lnx 2000-2001 e 1 dx x x2ln1  8£7 2001-2002 1. dx cosx1 sinx)(1ln2 π 0 cosx1   2.  40 tgx)dx(1ln π : 2002-2008 1.  e 1 dx x lnx3lnx1 2.   e 1 dx 2lnx1x 2lnx3 3.   3e 1 dx 1lnxx x2ln 4. 3 π 4 π dx sin2x (tgx)ln 5.   e 1 3 lnx1x xd CÑ Xaây d öïng soá 2 naêm 2007 Tích phaân cuûa caùc haøm löôïng giaùc 1999 − 2000 1.Cho 2 soá nguy eân döông p vaø q . Tính : xdxcospx.cosqI 2π 0  trong tröôøng hôïp p = q vaø p  q . 2.Cho haøm soá : sin3xsin2xsinxg(x)  a )Tìm hoï nguy eân haøm c uûa g (x) . b )Tính tíc h phaân : dx 1e g(x)I 2 π 2 π x   3.Tính tíc h phaân : a ) dx sin2x3 sinxcosx π/3 π/4    b )  4 π 0 2xdxtg c ) dx 53cosx4sinx 67cosxsinx π/2 0    d ) xcosdx π/4 0 4 £16 2) Töø c aùc keát quaû treân , haõy tính c aùc g iaù trò c uûa I , J vaø :   3 5π 2 3π sinx3cosx cos2xdxK 2.Tính tíc h phaân : 1)  20 π dx cosxsinx cosx 2)  8 π 0 dx cos2xsin2x cos2x 3) π 2 0 5c osx 4sinx dx3(c osx sinx)   : 2002-2008 Tính c aùc tíc h phaân   2 π 0 dx x2004cosx2004sin x2004sin 13. 2 π 0 sin5xdx3xe Tích phaân truy hoài 1999-2000 1.Tính tíc h phaân : 1,2,3,...ndxexI 2x- 1 0 n n   1)Chöùng minh : In  In+1 . Tính In+1 theo In . 2)Chöùng minh : 1)2(n 1I0 n  vôùi moïi n  2 . Töø ñoù tìm nn Ilim 2.Cho : dx e1 eI 1 0 x- -nx n   1) Tính I1 . 2) Vôùi n > 1 haõy tìm c oâng thöùc b ieåu d ieãn In qua In-1 . 3.Cho tíc h phaân :  1 0 2 dx(xsinx)I(t) . a ) Tính tíc h phaân khi t =  . b ) Chöùng minh raèng I(t) + I( t) = 0 ( t  R ) . 9£15 5.  2π 0 dxxsinx 6.  0 1- dx)3 1x2xx(e 7.  2 π 0 sinxdxx)3cos(x 8.  e 1 lnxdx x 13x 9.  e 1 lnxdx x 12x 10. 2 π 0 2xdxsincosxe Tích phaân lieân hôïp 1999-2000 1.Tính tíc h phaân :  π 0 2xcosxdxeI 2.1) Cho haøm soá f lieân tuïc treân  1,0 .Chöùng minh :   π/2 0 π/2 0 f(cosx)dxf(sinx)dx 2) Söû duïng keát quaû treân ñeå tính :   π/2 0 3π/2 0 3 dx cosxsinx xdxsinJdx cosxsinx xdxcosI 2001-2002 1. Ñaët :   6 π 0 2 6 π 0 2 cosx3sinx xdxcosJ, cosx3sinx xdxsinI 1) Tính I  3J vaø I + J . £8 e) 2 xsin dx3 4π π  f)   π/2 0 sin2x1 dx g) dxx)sinsin2x(1 π/2 0 32  h)  π 0 2 dxcosx)sinxcosx(1 i) dx cosx1 x4sin π/2 0 3  j)  3 π 6 π 4 xcosxsin dx k)   2 π 0 cosx1 dx 8.Tính tíc h phaân : dx xsinbxcosa sinxcosxI π/2 0 2222  vôùi a  0 , b  0 vaø a 2  b 2 . 2000 − 2001 1.Chöùng minh raèng vôùi ha i soá töï nhieân m , n khaùc nhau 0xdxsinmx.sinnxdxcosmx.cosn π π- π π-   2.Tính c aùc tíc h phaân : a . xdxcos2)xdxsinxcos1) /2 /6 3 0 22  π π π  π 0 4 π/4 0 4 xdxcos4)xdxsin3)  /2 0 441010 x)dxx.sincos-xsinx(cos5) π π 0 3xcos5xdxcos6) b . dx cosxsinx cosxsinx1) 3 4    π π  4 0 2 dx xcos sin2x12) π 10 £9 3)  3 π 6 π 22 dx2xcotgxtg c . tgx1 dx1) 4 π 0    3 π 4 π 4xdxtg2)      3 π 6 π 6 πxsinxsin dx3) d . xcos-2 dx1) 4 0 2 π dx xcos xsin2) 3 4 6 2 π π dxe cosx1 sinx13) 2 π 0 x  e.   2 2 dx x2sin-4 cosxx π π 2001-2002 1. 20 xdx3sin π 2.  40 22cosx)(sinx dx π 3. dx cos2x x3tg6 0 π 4. dx xcosxsin sin4x4 π 0 66   5.  4 π 0 4 dx xcos 1 6.  20 dxsinx1 x 34cos π 7.  π20 dxsinx1 8.  40 3x24sin dx π 9.  2π0 dxcos2x1 10.  20 )dxsinxcosx( π 11.a ) Tính tíc h phaân :  2 π 0 2 sin2xdxxcos b) Chöùng minh raèng :   2 π 0 52 π 0 6 sin6xdxsinxxcoscos6xdxxcos £14 2.  2 π 0 2xdxsin1)(x 3.  4 π 0 cosxdx1)(x 4. 4 π 0 dx x2cos x 5.   4 π 0 dx cos2x1 x 6.  2 π 0 dxx2cos1)(2x 7.  1 0 dx2xe2)(x 8.  2 π 0 xcosx)cosxdsinx(e 9.  4 π 0 dxcosx)sinxe(tgx Pp ñoåi bieán soá vaø pp tích phaân töøng phaàn 1999-2000   3 0 1 1- x.arctgxdx 4x-5 x 2002-2008 1.   4 0 dx 31)(2x 12xln 2. 1 0 dx 2xe3x 3. 5 0 dx 2xe5x 4. 9 2π 0 dxxsin CÑ GTVT III naêm hoïc 2007 11 £13 10.  2 1 dx 2x x)(1ln 11. e 1 dx x xln 12. 2 1 dx 3x xln Ñeà thi ÑH-CÑ khoái D naêm 2008 Khöû haøm ña thöùc 1999-2000 a . 1 0 xdxxe b .   dx1)ex(2x x2 c . dxxsin 2π 0  d . π 0 2sinxdxx e. π 0 34 xdxxsinxcos 2000-2001 3 π 0 xcosxdx1) xdxxtg2) π/4 0 2 2001-2002 )dxxexsin(e 2x 1 1- x2  2002-2008 1. 2 π 0 2xdxsinx CÑ Kinh teá Tp .HCM naêm 2007 £10 vaø tính :  2 π 0 5 cos7xdxxcos 12.Tìm hoï nguy eân ha øm :     dx6πxcotg3πxtgI 2002-2009 1. 4 π 0 xtgxdx2sin 2.  4 π 0 x)dx8tg1( 3.  2 π 0 dx3x)2sin2x(1sin 4.  4 π 0 dxx)4sinx4(cos 5.   2 π 0 dx cosx1 2xcosxsin 6.   4 π 0 dx 2xsin1 x2sin21 7.   4 π 0 dx 2xsin1 cos2x 8.   2 π 0 dx cosx1 x34sin 9.   2 π 0 dx 12cos3x sin3x 10.   2 π 0 dx 2sinx5 cosx 11.   2 π 0 dx 2 x)sin(2 2xsin 12. dx cosxcos2x sinx 2 3   π π CÑ Taøi c hính – Haûi qua n naêm 2007 13.   2 π 0 dx x2cos5sinx7 cosxdx 14.   2 π 0 dx 33)cosx x(sin cos2x 15.  2 π 0 xdx5sinxcos 6 x3cos1 16.   2 π 0 dx x24sinx2cos 2xsin 12 £11 17.    2 π 0 dx 3cosx1 sinx2xsin 18.   2 π 4 π dx 2xsin1 cosxsinx 19. 6 π 0 dx cos2x x4tg Ñeà thi ÑH-CÑ khoái A naêm 2008 20. 4 cosx)sinx2(12xsin dx 4 xsin      π 0 π Ñeà thi ÑH-CÑ khoái B naêm 2008 Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Khöû haøm logarit 1999 − 2000 a . 2 1 xlnxdx b .   e e 1 2 dx x)(1 lnx c .  2 π 0 dxcosx)cosxln(1 d .    2 π 2 π 2 dx)1x xcosxln( 2000-2001 dx x 1)ln(x 2 1 2  £12 2001-2002 1. e1 xlnxdx 2. e1 lnxdx2x 3. 101 xdx2xlg 4. 3 π 3 π 2 dx xcos xsinx 5.  2π0 dxxsin 6. dxxsin 3 2 π 0 3  7.Cho haøm soá f(x) = ax+b vôùi a 2 + b 2 > 0 . Chöùng minh raèng : 0f(x)cosxdxf(x)sinxdx 2 3 π 0 2 3 π 0          2002-2009 1.  2 1 2)lnxdx(x 2. e 1 lnxdx2x 3.  3 2 x)dx2(xln 4.  1 0 dx)2x(1xln 5.  2 1 1)lnxdx(4x 6,  2 0 dx1)7)ln(x(2x 7.  3 0 dx5)2(xxln 8. e 1 xdx2ln3x Ñeà thi ÑH-CÑ khoái D naêm 2007 9. e 1 dx 3x xln Ñeà thi ÑH Saøi goøn khoái D, M naêm 2007