Mật độ mức hạt nhân - Phạm Đình Khang (Phần 1)

.63) g và không đơn giản nh− trong ví dụ đ−ợc ần magic hầu nh− rõ ràng là a giảm h− vậy của a’(U) đ−ợc tính ⎤⎡π2 Dạng phụ thuộc năng l−ợng của thông số a đối với hạt nhân nh− hệ hai thành phần không phải luôn rõ ràn khảo sát ở trên. Tuy nhiên với hạt nhân hai l khi năng l−ợng kích thích giảm, đối với hạt nhân không magic thì a tăng khi U giảm. Đối với hạt nhân biến dạng phổ một hạt của chúng gần với dạng phân bố đều, giá trị a hầu nh− là hằng số với U. Đặc tính n theo (2.55) – (2.60) có thể thấy trên hình 2.4. 52 Trong mẫu khí Fermi trừ thông số a các đại l−ợng trung bình bình ph−ơng hình chiếu của mômen một hạt 2 và mô men quán tính J là hằng số không m phụ thuộc vào t hạt thể hiện sự agic. Trên hình 2.5 cho thấy các đặc tr−ng thống kê đ−ợc tính cho hạt nhân Pb . Mặc ệt đối của các đại l−ợng đối với hai phổ m trên hình vẽ cho thấy khá rõ dạng phụ thuộc năng l−ợng của a, năng l−ợng kích thích. Cấu trúc lớp của phổ mộ phụ thuộc năng l−ợng của các đại l−ợng nói trên trong đó sự phụ thuộc năng l−ợng thể hiện khá mạnh trong các đặc tr−ng của các hạt nhân hai lần m 208 dù giá trị tuy ột hạt khác nhau nh−ng 2m và J. Khi nghiên cứu các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân tr ác kết quả của tính toán chính lệch h U không lớn. Khi năng l− cao khoảng 100 MeV, sự phụ thuộc này bị triệt tiêu và các thông số a và J nhận giá trị tiệm cận của mình với dạng phụ thuộc trơn vào số ong mẫu các hạt độc lập th−ờng sử dụng sự gần đúng của mô men nhỏ. C xác [43] các đặc tr−ng thống kê của hạt nhân Pb208 chứng tỏ rằng có sự khỏi gần đúng mômen nhỏ xuất hiện chỉ ở các giá trị mô men góc đủ lớn. Cũng nên l−u ý rằng sự phụ thuộc năng l−ợng của các thông số hiệu dụng a’ và f trong mẫu lớp tồn tại chỉ khi năng l−ợng kích thíc ợng kích thích khối A (hình 2.6, 2.7). Từ các hình vẽ thấy rõ ràng là khi U = 7 MeV, trong dạng phụ thuộc của a và J vào A có cấu trúc lớp cụ thể là xuất hiện sự thay đổi lớn của thông số a trong vùng hạt nhân hai lần magic. Trong khi đó ở U = 100 MeV ì các đ t điệu thay đổi theo A. Tuy nhiên chúng ta nhận thấy rằng giá trị tiệm cận của các thông số hiệu dụng phụ thuộc vào phổ th ại l−ợng rên lại đơn 53 i m 5 hứncác trạng thá ột hạt. Các tính toán [1 ] c g tỏ rằng đối với phổ của thế Nilxon [14]: ( ) ( ) ( ) 3/22 (2.64) và đối với phổ của thế Xacxon – Wud: ⎪⎬ ε−±= 23/5 A)3/21(005.0290.0m ⎪⎫±= A005.0105.0a ⎭ε−±= A)3/21(0005.00185.0J h ( ) ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ε−±= ε−±= ±= 23/5 3/22 A)3/21(0005.00144.0J A)3/21(005.0263.0m A005.0090.0a h (2.65) ở đâ số biến dạng tứ cực [14], các đại l−ợng y ε - thông và J có đơn vị MeV-1. a Hình 2.6. Sự phụ thuộc a vào số khối A tính trong mẫu các hạt độc lập. • dạng. Tính cho phổ một hạt của hạt nhân. o Tính cho hạt nhân biến 54 Hình 2.7. Sự phụ thuộc J giống nh− ở hình 2.6. vào A, ký hiệu • và o 55 mật độ trạng thái trong mẫu siêu chảy g ta ng iên cứu ảnh h−ởng của t−ơng tác cặp d− lên các đặc tr−ng thống kê của hạt nh loại với Hamilton của mẫu siêu chảy dạng: νσ + νσν∑ ∑−ε= ' aGaaHˆ eo + các toán tử sinh − giữa νσ aNˆ đ c tr−ng thống kê của hệ nh− vậy nhờ công cụ toán học của lý thuyết siêu chảy [44, 45]. Để làm việc đó, cần chuyển từ Hamilton với t−ơng tác cặp (3.1) sang Hamilton của các giả hạt độc lập mà dạng t−ờng minh của chúng có thể tìm đ−ợc nhờ phép biến phân Khatri - Phốc - Bôgôliubôv −ợc sử dụng trong [38-42, 46-52] khi tính mật độ trạng toán về mật độ trạng thái có một loạt tính đặc biệt l háp biến phân và sự tính toán các tích phân t−ơng ứng trong (1.87). Vấn đề này đ−ợc mà công trình này đã chứng minh rằng để thu đ−ợc dạng phân và sau đó mới chuyển hoàn toàn sang Hamilton chuẩn. Sử dụng đánh giá nh− vậy đối với bài toán của chúng ta, nhờ các hệ thức (1.94) – (1.99) đối với mật độ trạng thái ta có thể viết: Ch−ơng 3 3.1 Các hệ thức cơ bản: Chún h ân nguyên tử đối với hệ hạt Fermi độc lập cùng +ν−ν + −ν + ν + '' aaa (3.1.) νσ νν ở đây εν - năng l−ợng của các trạng thái một hạt mà chúng suy biến bậc hai th dấu của hình chiếu của mômen góc tức là σ = ± ; a νσ và aνσ là và huỷ hạt ở các trạng thái ν, σ ; G - yếu tố ma trận của t−ơng tác cặp d các nucleon. Đối với toán tử số hạt toàn phần ta có: + νσνσ a (3.2) Có thể tính toán các ặ ∑= [45]. Giải pháp nh− vậy đ thái. Chúng ta nhận thấy rằng trong bài iên quan tới một loạt các b−ớc thực hiện của ph−ơng p khảo sát trong [52], chính xác của các đặc tr−ng thống kê của hệ cần tính các tích SexpD)2()E,N( 2/11 −−π=ω (3.3) đây ở ( )[ ]⎨⎧ λ−−+α−β= NˆHˆexpSplnNES ⎭⎬⎫⎩ β (3.4) 22 NˆNˆNˆHˆNˆHˆ −− Các giá trị S và D cần đ−ợc tính theo β và α = λβ mà ta thu đ−ợc chúng từ nghiệm của các ph−ơng trình đối với điểm yên ngựa: 22 NˆHˆNˆHˆHˆHˆ D −−= (3.5) NˆN,HˆE == (3.6) 56 ệ thức (1.97). hép biến đổi chính tắc: tử giả hạt. Các toán tử sinh và huỷ giả hạt ở đây trung bình của các toán tử đ−ợc xác định theo tổng thống kê đầy đủ bằng h Chúng ta chuyển tới biểu diễn các giả hạt [45] nhờ p ⎭⎬ ⎫ ασ+α= ασ+α= νσν + σνν + νσ + νσνσνννσ − − vua vua (3.7) tức là chuyển từ toán tử hạt sang toán α+νσ và ανσ thoả mãn các hệ thức giao hoán nh− là các toán tử a+νσ và aνσ : { }{ } { } ⎭⎬ ⎫ =αα=αα δδ=αα+αα=αα +++νσ , + σν + νσσννσ σσνννσσνσννσσν 0,, '''' '''''''' (3.8) Từ hệ thức giao hoán (3.8) và (1.60) suy ra rằng: 1vu 22 =+ νν (3.9) trong đó uν và vν là số thực với số lấp đầy giả hạt hữu hạn. Nhờ (3.7) đối với toán tử Hamilton suy rộng ( NˆHˆ λ− ) có thể thu đ−ợc: ( ) ( )( ) ( )[ ] ∑− ναα+αα+++−∑ λ−ε= νν ++ +λ− +ν ν−νNˆ ở đây (3.11) −ν+νννν−ν+νννν ν ' ' BˆBˆGuvvnˆnˆvuHˆ 22 222 (3.10) νσ + νσνσ αα=nˆ là các toán tử giả hạt và: ( )−ν+ννν −− nˆnˆ1v (3.12) +−ν+νν++ν+−ννν +αα−αα= uvuBˆ 22 biểu thức: Các toán tử νσnˆ thoả mãn ph−ơng trình 2nˆνσ = νσnˆ và do vậy các giá trị riêng của toán tử νσnˆ bằng 0 hoặc bằng 1. Chúng ta xác định Hamilton chuẩn Hˆ bằng0 ∑ σν ống kê theo Hamilton của mẫu: σν + σνν αα+= EUHˆ 00 (3.13) và sẽ khảo sát trung bình th ( )[ ] ( )[ ]00 Hˆβ− (3.14) và Eν và cả uν và vν đều 0 expSp/HˆexpAˆSpAˆ β−= Các giá trị U0 đ−ợc tìm thấy từ điều kiện mô tả tốt nhất 0 NˆHˆ λ− . Hamilton với độ chính xác đến phần không đổi U0 trùng với ể viết: 0Hˆ Hamilton của mẫu các hạt độc lập (2.1a). Vì thế đối với lnQ có th ( )[ ]∑∑ ν νσν σν + σνν β−++β−=⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ αα+β−= Eexp1ln2UEUexpSplnQln 00 (3.15) 57 sinh α+νσ và huỷ ανσ bằng nhau bởi vì chỉ chúng mới có đóng góp khác không vào giá trị trung bình của Chúng ta biến đổi Hamilton suy rộng (3.10) sau khi đ−a vào nó chỉ những thành phần có số toán tử 0 NˆHˆ λ− : ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )( )[ ]∑ ∑ ∑ νν −ν+ν−ν+ν−ν+ν−ν+ννννν ++++−+−− ' '''''' nˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆ1vuvu (3.16) Từ (3.16) thấy rằng để thu đ−ợc ν ν +ν−νν+ν−ννν−ν+νν−ν+ννν −−−++−−−++λ−ε=λ− G nˆnˆ1vnˆnˆvuGnˆnˆ2vnˆnˆuNˆHˆ 44422 0 NˆHˆ λ− cần thiết tính trung bình của các giá trị 0 , và . ν ν+ 0 + - '+ '- 0 15) ta sẽ có: ν ν ν ν Sử dụng (3. ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ] ννν nEexp0 là trung bình số giả hạt lấp đầy. −νσ νσ =β+=∂ β−∂ β−=β− β−= 1 E HˆexpSpln 2 1 HˆexpSp HˆexpnˆSp nˆ 100 0 (3.17) Chúng ta dễ dàng tính giá trị trung bình của 0 khi Hamilton 0Hˆ đ−ợc biểu diễn d−ới dạng: ∧∧ ⎛∑ ν ⎟⎠ ⎞−+ nEnH −ν∧ννν⎜⎝ ++= EU00 và sau khi thu đ−ợc giá trị trung bình ta làm phép cân bằng Eν+ = Eν- = Eν. Khi đó đối với lnQ ta sẽ có: [ ] [ ])E(xpe1ln_)E(xpe1lnUQln 0 ν ν +ν ν β−++β−++β−= ∑∑ Khi tính các đạo hàm: [ ] [ ][ ]{ } [ ][ ] 0)Hˆexp(Qln 0 2 ==∂ −ν )Hˆexp(Sp)Hˆexp(SpE 00 β−β−∂β −ν+ ta thu đ−ợc: nˆnˆSp)Hˆexp(nˆSp)Hˆexp(nˆSp E 2 00 2 β−+β−β−−∂ +ν−ν+ν ν 2nnˆnˆ νσ−ν+ν = (3.18) T−ơng tự đối với : n ν+ n ν- n ν'’+ n ν'’- 0ˆ ˆ ˆ ˆ ( )( )−+−+−+−+ νννννννν νν +++++−=∂∂β ∂ '''' nˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆnˆEE Qln ' 002 2 = [ ] )n(n)Eexp( )Eexp( ' ' νννν ν ννν −δ=β+ βδ= 12 1 2 2 58 Từ đó )( ) ( ( )νννννν−ν+ν−ν+ν −n1n''0'' (3.19) >λ− ∧ ta dễ dàng thu đ−ợc: δ+=++ 2nn4nˆnˆnˆnˆ và đối với H< ∧ 0N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G/n1vnu2 n1v 222' 24 ' ∆−⎥⎤⎢⎡ ⎟⎞⎜⎛ −+ìλ−ε= −⎥⎦ ⎤⎡ −+⎤⎡ ⎞⎛ ∑ νν ννννν ν ν νν n1nvu2nuGn1vnu2NˆHˆ 22422 0 ⎢⎣ −+−⎥⎦⎢⎣ ⎟⎠⎜⎝ −+λ−ε=λ− ∑ ∑ ννννννννννν n21n21vuvuG ''' −ì−− ∑ νννννν ⎦⎣ ⎠⎝ν (3.20) Các mức năng l−ợng một hạt tái chuẩn hoá đã đ−ợc đ−a vào đẳng thức cuối cùng của (3.20): )]n1(vnu)[2/G(' 22 νννννν −+−ε=ε vàhàm t−ơng quan: ( )∑ ν rong phép tái chuẩn hoá tiếp theo, chúng ta sẽ bỏ qua các mức một hạt bởi vì khi xác định εν các hiệu ứng t−ơng quan cần phải bị loại trừ và vì thế thay cho ε'ν chúng ta lại sử dụng ký hiệu εν. Chúng ta xác định giá trị các hệ số uν và vν mà khi đó trung bình của ννν −=∆ n21vuG (3.21) T 0 NˆHˆ λ− cực tiểu. Để phân toàn phần bằng 0: làm vậy, ta cho đạo hàm biến 0vuNHˆ 0 =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −λ−δ ∑ ν νν ở đây nν = u2ν+v2ν-1: điều kiện liên kết (3.9) tác đ - các thừa số bất định Lagrăng. Khi tính đạo hàm biến phân theo uν và vν ta thu đ−ợc: (3.22) ộng lên các hệ số uν và vν ; àν 0v)n21(u)n1(v)(2 0u)n21(vnu)(2 =à−∆−−−λ−ε =à−∆−−λ−ε νννννν νννννν Từ đó suy ra ph−ơng trình thứ hai để xác định hệ số uν và vν: ( ) ( )∆−=λ−ε 22 vuvu2 ννννν Hệ ph−ơng trình (3.9) và (3.23) có hai nghiệm. Nghiệm thứ nhất là uνv'ν=0 và ∆=0 t−ơng ứng với mẫu các hạt độc lập. Khi đó: ( ) (3.23) ( )λ−εΘ=λ−εΘ−= νννν v;u 1 (3.24) ở đây ( ) ⎪⎨⎧ < > =Θ 0x,0 0x,1 x (3.24a) ⎪⎩ 59 Trong tr−ờng hợp nghiệm không tầm th−ờng khi uν, vν ≠ 0, với các hệ số uν và vν ta sẽ có: ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∆+λ−ε λ−ε+= ν ν ν 22 2 1 2 1u (3.25a) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∆+λ−ε λ−ε−= ν ν ν 22 2 1 2 1v (3.25b) Thay thế (3.25) vào (3.21) ta thu đ−ợc ph−ơng trình đối với hàm t−ơng quan: ( )∑ν ν ν ∆+λ−ε −= 22 n21 G 2 (3.26) Năng l−ợng của các trạng thái giả hạt Eν đ−ợc tìm ra từ điều kiện 0HˆNˆHˆ n 00 =−λ− δ δ ν Từ (3.13) và (3.20) suy ra: . Trong biến phân, các hệ số uν và vν đ−ợc coi là hằng số. ( )( )2 220 −λ−ε=δ ννν vun 024 0 =−∆+ νν Evu ừ đó nhờ (3.25) ta có: −λ−δ HˆNˆHˆ ν T ( ) 22E ∆+λ−ε= νν (3.28) Dựa trên đẳng thức 000 HNH >=λ−< ∧∧∧ ta có: ( ) G ]E[U 2 0 ∆+−λ−ε= νν∑ (3.29) ν và kết quả là chúng ta thu đ−ợc: ( ) ( )[ ] ( ) G n21 E 1)( G n21ENˆHˆ 22 0 ∆−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −λ−ε−λ−ε=∆+−−λ−ε=λ− ν ν ν ν ν ν ννν ∑∑ (3.30) Giá trị trung bình của toán tử số hạt 0 có dạng: ( )[ ] ( )∑∑∑ ν ννν ννννσν σνσν ⎥⎦⎢⎣ −−=++= n21 E 1n21vnˆu2aaN 00 (3.31) Nh− vậy khi thực hiện đánh giá nói trên, chúng ta đã chuyển từ việc khảo sát hệ hạt Fermi t−ơng tác sang nghiên cứu hệ cá ν ⎤⎡ λ−ε=ˆ 22 0 c giả hạt độc lập. Hamilton (3.13) về dạng trùng với Hamilton (2.1a) của m ộc lậ ộ chính xác tới + 0Hˆ ẫu các hạt đ p đến đ 60 thành phần U g ứng với trong mục Đ2.1, đối với entrôpy S của hệ 0. Vì thế t−ơn có thể thu đ−ợc: ( )[ ]∑ ν (3.32) ννν −−β= n1lnnE2S Các ph−ơng trình để xác định toạ độ điểm yên ngựa β0 và α0 = β0λ có dạng: ( ) G n21 E 1HˆE 2 0 ∆−⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −λ−ε−ε== ∑ ν ν ν ν ν (3.33a) ( )∑ ν ν ν ν ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ −λ−ε−== n21 E 1NˆN 0 (3.33b) [ ] ( )ở đây 1− ng ính định thức D (3.5): 221 exp1)Eexp(1n ν − νν ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∆+λ−εβ+=β+= (3.34) là trung bình số lấp đầy các giả hạt. Bằng cách t−ơng tự ta tính đ−ợc các tru bình theo Hamilton chuẩn mà các giá trị trung bình này cần thiết cho việc t ( ) ( ) ⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩ ⎣⎦⎣ ν νν 2E2 ⎪⎨⎧ ⎥⎦⎢ ⎡ −+−ì⎥⎤⎢⎡ −= ∑∑ νννννν 22 n21n1n)n1(nE4D (3.35) −ơng trình (3.33) cùng với (3.26), (3.35) tính S và D rồi thay chúng vào (3.3) nhỏ, biểu thức xác định mật độ trạng thái ω(N,E,M) có dạn h 44a) ở mẫu các hạt độc lập: ⎤∆2 Các hệ thức thu đ−ợc đủ để tính mật độ trạng thái ω(N,E). Để làm vậy cần tìm β, λ và ∆ ở N và E đã biết khi giải các ph sau đó theo các công thức (3.32) và để thu đ−ợc mật độ trạng thái của hệ từ N hạt ở năng l−ợng E đã cho tr−ớc. Trong mẫu này ở gần đúng mô men g giống n − (2. ) ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ σ−σπ ω= (ω E,N 2 2 2 Mexp 2 E,NM, (3.36) hông số phụ thuộc spin σ2 và mômen quán tính đ−ợc xác định nh− sau: T ( )∑ ν ννν − −=ℑβ=σ n1nm2; 212 (3.37) đầy mà với chúng phải sử dụng công thức (3.34). quan gần trạng hân t = β-1 h−ớng tới không t−ơng ứng β→∞. Khi đó từ (3.34) suy ra rằng tất cả nν = 0 và các ph−ơng trình 6) có dạng : Sự khác biệt với mẫu các hạt độc lập xuất hiện chỉ trong số trung bình các lấp 3.2 Hiệu ứng cặp gần trạng thái cơ bản: Chúng ta xem xét đặc tr−ng của hệ có sự t−ơng tác t−ơng thái cơ bản. Để làm điều đó, ta cho nhiệt độ hạt n (3.33) và (3.2 61 ∑ ν ν ν ν ∆− ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ∆+λ−ε λ−ε−ε= G)( 1E 0 2 2 0 2 0 0 0 (3.38a) ∑ ν ν ⎥⎢ λ−ε−= 01N (3.38b) ⎤⎡ ν ⎥⎦⎢⎣ ∆+λ−ε 2020 )( ( )∑ν ∆+λ−ε= 0220v 1 G 2 (3.38c) Nghiệm các ph−ơng trình này cho phép xác định thế hoá học λ, hàm t−ơng quan ∆0 và năng l−ợng E0 của trạng thái cơ bản của hệ. Không cần thiết năng l−ợng E0 giá trị đặc bi năng l−ợng kích thích: gán cho ệt vì ở nó đ−ợc dùng chủ yếu để xác định ( )( ) ( ) ( ) ( ) G22 ⎥⎦∆+ ở trạng thái cơ bản, năng l−ợng của hệ có ∆0 ≠ 0 nhỏ hơn năng l−ợng của hệ hạt độc lập với ∆ = 0. Chúng ta l−ợng ở trạng thái cơ bản của hệ hạt độc lập với ∆= 0 và hệ hạt t−ơng tác có ∆ ≠ n21 EEU 2 0 2vvv 22 vv 0 ∆−∆+∑ ⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ − λ−ε −λ−εε− ∆+λ−ε λ−εε=−= (3.39) 0v0v⎣ Bởi vì lực t−ơng tác cặp là lực kéo, trạng thái siêu chảy của hệ có ∆0 ≠ 0 là trạng thái cơ bản của hệ. Điều này có nghĩa là chứng minh điều này: Chúng ta tính năng l−ợng tích tụ Ett bằng hiệu số năng 0 0 [47] : ( ) ( ) ( ) G NHNHEtt 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 00 11 ˆˆˆˆ 00 ∆+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∆+− −−−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − −−−= =−−−= ∑∑ ≠∆=∆ λε λελελε λελε λλ ν ν ν ν ν ν ν ν (3.40) Để đánh giá Ett chúng ta giả định rằng phổ các trạng thái một hạt của hệ là rời rạc và có mật độ g. Trong gần đúng liên tiếp với Ett ta có: ( ) ( ) ελελελε λενgEtt ∫ ν νν d ∞ ⎥⎥⎦⎣ −− +−∆+−0 00000 2 (3.41) Hàm d−ới dấu tích phân đối xứng đối với λ0 và đóng góp cơ bản vào tích phân (3.41) là do vùng năng l−ợng ⏐ε-λ0 ⏐< γ. Đối v đúng γ >> ∆0 ta dễ dàng thu đ−ợc: ⎤ ⎢⎢ ⎡ ∆+−= 22 2 0 22 2 0 )( 2 ∆ ới năng l−ợng tích tụ trong gần 4/20∆=⎟⎟⎠ ⎞ gdxx (3.42) 22 20 2 2 0 2 0 2 2 ⎜⎜⎝ ⎛ −∆+ ∆+∆+= ∫− xx xgEtt γ γ 62 Nh− vậy năng l−ợng trạng thái cơ bản của hệ có t−ơng tác cặp nhỏ hơn năng l−ợng trạng thái cơ bản của hệ hạt độc lập là Ett =g∆20/4. Chúng ta khảo sát h thích đầu tiên của hệ chẵn. Chân không giả hạt là trạng ái cơ bản đầu tiên. Để kích thích hệ nh− vậy cần sinh ra một cặp giả hạt. Vì trạng thái cơ bản kíc th vậy năng l−ợng E1h của trạng thái kích thích đầu tiên sẽ gồm cả năng l−ợng của hai giả hạt (3.28). ( ) ( ) 020202202011 2E ∆≥∆+λ−ε+∆+λ−ε= (3.43) Do vậy trong phổ của hệ chẵn sẽ có suy biến năng l−ợng bậc 2∆0 khi đó là năng l−ợng liên kết cặp. Th−ờng thì hệ thức (3.43) đ−ợc nêu ra nh− một kết quả của việc tạo nên một trạng thái liên kết bởi các cặp hạt hút nhau. Vì vậy ng−ời ta th−ờng gọi năng l−ợng 2∆0 là năng l−ợng cặp là năng l−ợng cần thiết để phá vỡ không lấp đầy thấp nhất là trạng h chuyển chúng. Tuy nhiên ý nghĩa về các cặp liên kết không chỉ là câu chữ [10]. Phổ kích thích của hệ lẻ không có những tính chất trên vì trạng thái khi mà một hạt không liên kết nằm ở mức một hạt thái cơ bản của hệ. Các trạng thái kích thích đầu tiên xuất hiện do dịc của hạt không liên kết mà hạt này có thể chiếm một trạng thái tự do bất kỳ. Vì vậy để kích thích hệ lẻ không cần "phá vỡ cặp " và sự suy biến trong các phổ của hệ lẻ không tồn tại. Đối với hệ lẻ, ph−ơng trình (3.38) có dạng [2]: ( )∑ νν ⎥⎥ ⎤ ⎢⎢ ⎡ ∆−λ−ε−ε+ε= F 2 0 22 0 sol G 1E (3.44a) ≠ν ν ⎦⎣ ∆+λ−εFs 00 ( )∑≠ν ν ⎥ ⎤⎢⎡ λ−ε−ε+= 011N ν ν ⎥⎦⎢⎣ ∆+λ−εFs 2020 (3.44b) ( )∑≠ν F Để tính đặc tr−ng của các trạng thái trong những mẫu này, ngoài phổ trạng thái một hạt còn cần biết các hằng số t−ơng tác t−ơng quan GN và GZ đối với hệ notron và proton t−ơng ứng. Ng−ời ta th−ờng t hằng số GN từ sự so sánh năng l−ợng tạo cặp mà các giá trị này đ−ợc tính theo công thức [12] : ν ∆+λ−ε = Fs 20 2 0 1 G 2 (3.44c) ở đây ε - năng l−ợng Fermi. cơ bản và kích thích của hạt nhân hu đ−ợc [ ] 4/)2N,Z(E)N,Z(E3)1N,Z(E)1N,Z(E3)N,Z(P cN −= 000 −−−++ (3.45) với các giá trị khác nhau của PN(Z,N) tìm đ−ợc từ số liệu thực nghiệm qua sự khối l−ợng các hạt nhân [29]. 63 Hình ∆0N và 0Z và số proton Z. ờng liên nét : các kết quả của Đ−ờng đứt nét : theo công thức ∆0 = 12A . z công thức (3.45) đại l−ợng E0 - năng l−ợng của trạng thái cơ bản của hạt nhân. Khi đó với hệ chẵn thì cần tính Eo theo 38a), còn hệ lẻ - theo (3.44a). Các y đ−ợc tiến hành với cỡ lớn hạt nhân có 50 ≤ A ≤ 260 với phổ một hạt Xacxon - Wood. Các kết quả ính củ Giá trị các hằng số GN và GZ liên quan đơn trị với các hàm t−ơng quan ∆0N và ∆0Z đ−ợc biểu thị trên hình 3.1. Từ dạng phụ thuộc ∆0N và ∆0Z vào số hạt trong hệ rõ ràng cho thấy cấu trúc lớp. Khi số nơtron hoặc số proton bằng số magic thì ∆0N và ∆0Z bằng 0, khi Z và N khác số magic một - hai đơn vị thì ∆0N và ∆0Z rất nhỏ. Tuy nhiên ở các giá trị N và Z khác thì các hàm t−ơng quan đ−ợc mô tả tốt bằng dạng phụ thuộc chẵn ∆0 = 12A-1/2. Bức tranh t−ơng tự có thể thấy đ−ợc khi quan sát quy luật của năng l−ợng tích tụ. T hình 3.1 rõ ràng tồn tại sự phụ thuộc dạng lớp của Ett v hệ phổ một hạt. 3.1. Các hàm t−ơng quan ∆ phụ thuộc số nơtron N Đ− [12]. -1/2 T−ơng tự có thể tìm đ−ợc G . Trong công thức (3. tính toán GN và GZ nh− vậ ch a những tính toán này có thể tìm trong [12, 21]. rên hình 3.2 cũng nh− ở ào N và Z đối với cả hai 64 : Năng l−ợng tích tụ đối với hệ proton và nơtron chẵn (ο) và lẻ (•). n. Hình 3.2 a. Kết quả tính toán phổ một hạt của thế Nilxơn. b. Kết quả tính toán phổ một hạt với thế Xácxon – Wud. 3.3 Các đặc tr−ng thống kê của hệ trong mẫu các giả hạt độc lập. Chúng ta nghiên cứu các tính chất đặc tr−ng của quy luật thống kê của hệ có t−ơng tác cặp d− của các loại t−ơng quan. Tr−ớc hết chúng ta xem xét hệ một thành phần có phổ một hạt rời rạc suy biến bậc 2 theo hình chiếu môme Chúng ta sẽ sử dụng phép gần đúng liên tiếp bằng cách thay tổng bằng tích phân: ∑ ∫ ∫∑ ν ν ν ε→ε→ d2 mgm;d 2 g 22 g - mật độ trạng thái một hạt, m2 là trung bình bình ph−ơng hình chiếu mô men λ, còn g qua các thông một hạt. Ngoài ra chúng ta sẽ sử dụng gần đúng nhiệt độ thấp t << λ. Trong các gần đúng này các tính toán đã đ−ợc đơn giản đi rất nhiều vì các điều kiện bảo toàn số hạt tự động đ−ợc tuân theo do sự đối xứng của phổ một hạt với các đặc tr−ng của hệ đ−ợc tính đến trong mật độ trạng thái thôn số g, 2m và ∆0. Chúng ta nghiên cứu dạng phụ thuộc của hàm t−ơng quan ∆ vào nhiệt độ t = β-1. Các hàm t−ơng quan ở trạng thái cơ bản ∆0 và ở trạng thái kích thích ∆ liên quan với nhau bằng hệ thức: ∫∞ + εε= d)(2ln = ∆ε∆ 0 22 ∆0 n [ ]∫ ∆β++∆β+0 2222 ))(xexp(1)(x ∞ dx2 = 2I(β∆) (3.46) ên dễ dàng thu đ−ợc nhờ (3.26) và (3 t nhiệt độ t nhỏ (do đó β = t -1 ch thành chuỗi, biểu thức d−ớ ên ta có: hệ thức nói tr .38b). Chúng ta khảo sát hai tr−ờng hợp tới hạn [10]. Đầu tiên giả hiết rằng → ∞) khi đó ∆ ~ ∆0 và ∆β >>1. Bằng cách phân tí i dấu tích phân (3.46) và giới hạn ở số hạng đầu ti ( ) ∆β−∞ ⎟⎠⎜⎝⎛ ⎥⎦⎢⎣⎡ ∆β+∆β− π=≈∆ ∫ e2dxe2ln )2/x10 22 ⎞⎤ ∆β∆ 0 ∆β2 65 ⎟⎠⎜⎝ ∆ −∆=⎟⎠⎜⎝ ∆β −∆=∆ 0 0 0 0 00 e1e1 (3.47) Từ đó: ⎟⎜⎟⎜ ∆−∆β− t/ Do vậy khi nhiệt độ tăng, hàm t−ơng quan giảm (giá trị liên kết giảm). giá trị t mà ở đó hàm t−ơng qu cứu vùng β mà ∆β <<1. Rất thuận tiện biểu diễn tích phân I(β∆) d−ới dạng: ⎞⎛ π⎞⎛ π t22 Chúng ta tìm an ∆ tiến tới 0. Để làm vậy ta nghiên ( ) 21 III +=∆β (3.48) ( ) ở đây ( ) dxx2I 0 x1 22∫ ∆β+ ⎟⎠⎜⎝ −= (3.48a) 2/xth1 1 ∞ ⎞⎛ ( ) ( ) ( ) dxxx2I 0 222 ∫ ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ ∆β+−= (3.48b) Tích phân (3.48a) bằng [9]: 2/xth2/xth1 22∞ ⎟⎞⎜⎛ ∆β+ ( )[ ]∆βγπ= /lnI2 1 (3.49) ở đây lnγ = c = 0,577 - hằng số ơle. Bởi vì khi ∆β = 0, tích phân I2 = 0 nên phân tích I2 thành ch 2 và giới hạn ở số hạng đầu tiên ta thu đ−ợc: uỗi theo (∆β) ( ) ' 0 2 2xx4 ⎠⎝ 2 xth1dxI ∫∞ ⎟⎞⎜⎛∆β−= sử dụng khai triển ( )∑ ∞ = = 222 x4 2 th đối với I2 ta sẽ có: ++π0n x1n2 1x ∑ ∫ + ∞ ∞ 2221 ]x) dx ++π∆β= = 0 0 2 2 2 2 42 n n([ )(I 2 2 0 22 2 8 371 ξ∆β=∑∆β ∞ )()()( (3.50) = 12 π+π = )n(n y đối với tr−ờng hợp ∆β <<1 ta thu đ−ợc: ở đây ξ(3) là hàm Riman [9]. Nh− vậ 2 2 0 t8 )3(7t lnln ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∆ π ζ+∆γ π=∆ ∆ (3.51) Từ (3.51) thấy rằng hàm t−ơng quan tiến tới 0 khi: 0 0 th 567.0t ∆=π ∆γ= (3.52) 66 0. Khi t < tth , hệ đ−ợc mô tả bằng các hệ thức của mẫu siêu chảy mà các Nhiệt độ tth xác định điểm chuyển pha từ pha siêu chảy ∆≠0 sang pha bình th−ờng ∆ = chúng sẽ thu đ−ợc trong ch−ơng này, còn khi t ≥ tth thì hệ đ−ợc mô tả bằng hệ thức của mẫu các hạt độc lập trong ch−ơng 2. Khi lấy gần đúng liên tục, các biểu thức đối với entrôpy S, mô men quán tính f và năng l−ợng kích thích U có dạng: [ ] ε−−∆+εβ= ∫∞ d)n1ln(ngS 0 22 (3.53) ( ) ε−β=ℑ ∫∞ dn1nmg 0 2 (3.54) G d)]n21([gU 0 ε= ∫ (3.55) 22 02 0 22 0 2 ∆−∆+ε−∆+ε−∆+ ∞ ( )[ ]22exp1n ∆+εβ+= ở đây 1− (3.56) Nhiệt c hi chú ý độ t = β-1 húng ta lấy từ ph−ơng trình trạng thái (3.55). K rằng ở t = tth, hàm t−ơng quan có giá trị 0, từ ph−ơng trình (3.55) không khó khăn chúng ta thu đ−ợc năng l−ợng chuyển pha 2 0 2 02 thth g778,04 g atU ∆=∆+= (3.57) Khi U > Uth các hệ thức của mẫu siêu chảy chuyển thành các hệ thức của mẫu khí Fermi có năng l−ợng kích thích hiệu dụng: tt 2 0 hd EU4 g UU −=∆−= (3.58) Nh− vậy hiệu ứng t−ơng tác d− của loại t−ơng q vùng năng l−ợng kích thích U : Trong pha siêu c đặc tr−ng thống kê cần phải sử dụng các hệ thức của mẫu các giả hạt độc lập, khi U > Uth các hệ thức này chuyển thành các ph− mẫu các hạt độc lập với năng l−ợng kích thích hiệu dụng Uhd. Khi đó ý nghĩa vật lý của Ett trở nên rõ ràng hơn: ở năng l−ợng cao U > Uth để kíc bằng năng l−ợng tích tụ Eht để "bứt các hệ ra" và các hạt Fermi độc lập. Các biểu thức (3.53) – (3.55) đối với S, ℑ với ∆/∆0 trong [53] đ−ợc phân tách thành chuỗi cá onal và phụ thuộc vào t/tth. Các kết quả thu đ−ợc chỉ ra trên hình 3.3. uan xuất hiện trong tất cả các hảy khi U < Uth để mô tả các ơng trình của h thích hệ cần mất năng l−ợng sau đó kích thích hệ nh− khi và U và thậm chí cả (3.46) đối c hàm Macđ 67 các đặc tr−ng thống kê của hệ có phổ một hạt rời rạc ở các biến mi t−ơng ứng với các đ−ờng đứt S = at ; 2 Hình 3.3. Sự phụ thuộc nhiệt độ của không thứ nguyên (tth = 0,567∆0 ) [43]. Các đại l−ợng của mẫu khí Fer nét. Từ hình vẽ rõ ràng là có sự không liên tục (gẫy khúc) của các đại l−ợng khi t = tth - xuất hiện sự chuyển pha loại hai. Tại điểm chuyển pha khi t = tth hàm t−ơng quan bằng 0. Khi t > tth entropy S, năng l−ợng kích thích U và mômen quán tính ℑ phụ thuộc vào nhiệt độ nh− các đại l−ợng t−ơng ứng ở mẫu khí Ferni: U = at2 + g∆ /4, ℑ = 2m g . Từ hình vẽ cũng thấy rằng sự t−ơng tác của loại 0 t−ơng quan sẽ dẫn đến sự giảm mạnh mômen quán tính ở vùng nhiệt độ thấp. Nh− vậy t−ơng tác d− của loại t−ơng quan tỏ ra có ảnh h−ởng đủ mạnh lên quy luật của các đặc tr−ng thống kê của hệ. Khi tính mật độ trạng thái hạt nhân nh− một hệ hai thành phần bao gồm proton và nơtron, th−ờng xuất phát từ điều kiện không có t−ơng tác t−ơng quan giữa nơtron và proton mà nó có dạng [12, 21]. 0NZ 2∆>λ−λ (3.59) Tức là sự khác nhau về thế năng hoá học của hệ proton và nơtron phải −ợt quá 2∆ Tro các iện này luôn đ−ợc thoả trong các h t nhâ nhẹ ợc iải q ết. C úng (2.59) đ−ợc thoả mãn. Khi đó amilton của hạt nhân có tính đến t−ơng tác cặp của loại t−ơng quan có dạng: +ε= +−−+ N,Z v 'vv vvvvvvv '' aaaaGaaH (3.60) Các hệ thức để tính mật độ trạng thái hạt nhân trong mẫu các giả hạt độc p ở gần đúng momen nhỏ có dạng giống nh− ở mẫu các hạt độc lập. Chúng đ−ợc xác định bằng các hệ thức (2.53) và (2.54). Khi đó Entrôpy S, thông số phụ thuộc spin σ2 và các yếu tố của đị xác định nh− sau: v 0. ng hạt nhân phức tạp thì điều k mãn. Vấn đề về t−ơng quan nơtron – prôton ạ n ch−a đ− g uy h ta giả thiết rằng điều kiện H ∑ ∑ ∑ =τ σ τ+τ+τ+τ+τστστ + τ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ˆ lậ nh thức D đ−ợc ( )[ ]{ }∑ ∑ −−β= =τ τττN,Z v vvv nlnnES 12 (3.61) ( )∑ ∑ τττ ⎥⎤⎢⎡ −=σ vv2 v2 n1nm (3.62) =τ ⎦⎣N,Z v 68 ( ) ( ) ( )∑ ⎪⎭ ⎪⎬⎪⎩ ⎪⎨ ∑ ⎥⎥⎦⎢⎢⎣ −λ∆+−λ−= =τ νττ ττ ντττντββ N,Z v v v nE nnED 222 2112 (3.63a) ⎫⎧ ⎤⎡ 22 ( ) ( )∑ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ −∆+−= ντ ν ταα v N N vvN nE nnD NN 2112 2 2 (3.63b) NNN DD N αααβ λ= (3.63c) ằn Z vào N. Trong các côn Các giá trị Dβαz và Dαzατ thu đ−ợc từ DβαN và DαNα b g cách thay τνn là trung b